H05. Cirkelbanen

5.1 Van cirkelbanen naar Kepler

Eerder hebben we gezien dat de Maan om de Aarde draait en dat de Aarde om de zon draait. In dit gedeelte gaan we kijken naar de banen die planeten afleggen.

Daarvoor gebruiken we de wis- en natuurkunde voor cirkelvormige banen en voor ellipsen. Als je deze leerstof begrijpt kun je straks gaan meten en rekenen aan de banen van sterren rond ons vermoedelijke zwarte gat SgrA*.

Een voorwerp dat je horizontaal weggooit beschrijft een kromme (parabool-) baan. De snelheid verandert voortdurend van grootte en richting, omdat de zwaarte- of gravitatiekracht op het voorwerp werkt. De snelheid neemt toe omdat de val ook in de richting van de zwaartekracht gaat: het voorwerp valt ook naar beneden. (Beneden moet je trouwens lezen als: in de richting van het middelpunt van de aarde want voor onze tegenvoeters in Australië is die richting dan natuurlijk "omhoog".)

Deze beschrijving klopt alleen maar als je niet te hard gooit, en je aanneemt dat het aardoppervlak horizontaal is. Newton liet al zien dat als de beginsnelheid van de worp maar groot genoeg is, je het voorwerp in een cirkelbaan om de aarde kunt brengen, het aardoppervlak buigt dan voortdurend onder het voorwerp weg. De snelheid van je voorwerp verandert dan alleen nog maar van richting en niet meer van grootte. Dat komt omdat de gravitatiekracht bij een cirkelbaan altijd loodrecht staat op de snelheid, en die kracht kan dus geen arbeid verrichten. De bewegingsenergie van je voorwerp blijft dus constant, en daarmee natuurlijk ook de snelheid.

 

Opdracht 12

In de volgende simulatie kun je zien hoe een en ander in zijn werk gaat: sleep de snelheid naar de juiste waarde voor een cirkelbeweging rond de aarde. Die waarde kun je vinden door gewoon uitproberen, maar je kunt hem ook berekenen met de formules voor een cirkelbeweging. De stipjes geven informatie over de grootte van de snelheid want ze worden met een vast tijdsinterval Δt getekend.

Zoals je wel kunt nagaan is de animatie zelf niet op schaal gemaakt: de straal van de aarde is 6,4·103 km, dus de berg zou in deze tekening wel erg hoog zijn!

Maak deze opdracht in je schrift.

a. Welke snelheid geeft een goede cirkelbaan?
b. Welke kracht zorgt ervoor dat de snelheid van je voorwerp steeds van richting verandert?
c. Wat gebeurt er als je de snelheid iets groter maakt?

 

Om de juiste snelheid te geven kun je hier ook een eenvoudige berekening toepassen. Voor elke cirkelbeweging heb je een kracht nodig die de snelheid van richting verandert: de middelpuntzoekende kracht Fmpz.

Let op: dit is zelf geen échte kracht, hij wordt altijd geleverd door een van de bestaande krachten zoals de gravitatiekracht, de wrijvingskracht, een spankracht...

In dit voorbeeld wordt de Fmpz geleverd door de gravitatiekracht Fg.

In formulevorm:

Waarin m de massa van je voorwerp, mA de massa van de aarde, r de afstand van je voorwerp tot het midden van de aarde, G de gravitatieconstante en v de snelheid.

Na omschrijven vind je:

Wat denk je?

Klopt de waarde die jij gevonden had in de simulatie met deze analytische oplossing?

Plaats hier je muis

 

 

5.2 Opdrachten cirkelbanen

Opdracht 13

Maak onderstaande opdrachten in je schrift.

Vier rijstkorrels liggen op een schaal in een magnetron. De schaal draait rond en doet er 18 seconden over om één keer rond te draaien. Eén rijstkorrel ligt precies in het midden. De andere drie liggen op 2,7 cm, 4,9 cm en 7,5 cm afstand van het middelpunt van de schaal.

a. Bereken bij iedere straal van de cirkelbaan (r) de snelheid waarmee de rijstkorrel beweegt (v). Vul de volgende tabel in:

b. Teken een (v,r)-diagram (v op de y-as en r op de x-as) van de beweging.

Je hebt nu laten zien dat voor deze rijstkorrels geldt dat v recht evenredig is met r: v ~ r.

c. Probeer nu aan te tonen dat in deze situtatie altijd v~r geldt. Gebruik in je bewijs de formule voor de cirkelomtrek en de letter voor de omlooptijd T.

 

 

In werkelijkheid zijn de meeste planetenbanen geen cirkels maar ellipsen. Daarom laten we je nu eerst wat opgaven over deze wiskundige figuren maken. Wat een ellips precies is lees je in 'De wetten van Kepler' op de volgende bladzijde.

  • Het arrangement H05. Cirkelbanen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
    Laatst gewijzigd
    2015-05-08 13:30:30
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

    Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld  en getest in een SURF-project  (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student).  In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT.  In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo).  Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

    Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

    De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). 

    Gebruiksvoorwaarden:  creative commons cc-by sa 3.0

    Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

     

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Meten aan melkwegstelsels' voor VWO 4 voor het vak NLT.
    Leerniveau
    VWO 6; VWO 5;
    Leerinhoud en doelen
    Aarde, natuur en heelal; Natuur, leven en technologie; Zonnestelsel en heelal; Ruimte; Natuurkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    e-klassen rearrangeerbaar

    Bronnen

    Bron Type
    https://maken.wikiwijs.nl/userfiles/b3c95f7fac4ffa7cedfd509f05c39414.swf
    https://maken.wikiwijs.nl/userfiles/b3c95f7fac4ffa7cedfd509f05c39414.swf     		Video

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    , Bètapartners. (z.d.).

    test

    https://maken.wikiwijs.nl/45635/test

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van