Achtergronden
Deze mini-leerlijn is gebaseerd op materialen van het Rekenweb, een project van het Freudenthal Instituut.
Oppervlakte is een lastig begrip. Kinderen in de bovenbouw kunnen meestal wel de formule van ‘lengte maal breedte’ toepassen, maar als echt inzicht nodig is blijkt hun kennis vaak beperkt. Deze serie computeractiviteiten is bedoeld als aanvullend op een serie lessen waarin leerlingen via onderzoeksopdrachten leren waar het bij oppervlakte om gaat. Een beschrijving van die lessen is te vinden via:
Beschrijving lessen oppervlakte rekenweb
Beschrijving van de lessenserie.
Daar zijn ook verwijzingen te vinden naar artikelen over de lessenserie.
Voor wie
Het materiaal is geschikt voor groep 6, 7 en 8 op de basisschool. Voor leerlingen van groep 6 zal het dienen als een kennismaking met het berekenen van oppervlakte. Wanneer het onderwerp oppervlakte al eerder aan de orde is geweest, kan het materiaal dienen voor verdieping van het inzicht.
Visie
De leerlijn is ontworpen vanuit de principes van het realistisch reken-wiskundeonderwijs, en met name gebaseerd op het idee van geleid heruitvinden. Leerlingen worden in een situatie gebracht waarin ze - met hulp van de leerkracht - zelf uitvinden wat oppervlakte is en waarop procedures voor het berekenen van oppervlakte gebaseerd zijn.
Doelen
De leerlingen kunnen de oppervlakte van een rechthoekige figuur bepalen op basis van een al aanwezige hokjes- of tegeltjesstructuur. Ze weten hoe ze daarbij gebruik kunnen maken van vermenigvuldigen en ze weten hoe ze via opmeten van de randen (lengtes) oppervlakte kunnnen bepalen.
Inhoud
Oppervlakte is een lastig begrip. Kinderen in de bovenbouw kunnen meestal wel de formule van ‘lengte maal breedte’ toepassen, maar als echt inzicht nodig is blijkt hun kennis vaak beperkt. Een belangrijk probleem zit in het feit dat meters en centimeters lengtematen zijn, terwijl de kern van oppervlakte volleggen is. De activiteiten die kinderen in groep 3, 4 en 5 hebben gedaan rond bijvoorbeeld het meten van oppervlakte met blaadjes papier raken vergeten als ze in groep 6 en 7 met standaardmaten moeten werken. Het lijkt vaak alsof de formule ‘lengte maal breedte’ elk inzicht bij de leerlingen aan de kant schuift.
Het inzicht dat leerlingen moeten ontwikkelen kunnen we als volgt samenvatten:
1. Oppervlakte heeft betrekking op de grootte van een vlak.
2. In principe kun je meten met allerlei zelfgekozen maten, maar als je oppervlaktes met elkaar wilt vergelijken is het natuurlijk handig als je steeds dezelfde maat gebruikt.
3. Je moet als maat een vorm kiezen die steeds aansluit. Met rondjes, bijvoorbeeld, kun je oppervlakte niet goed meten.
4. Om te bepalen hoeveel maal een maat past kun je vaak gebruik maken van vermenigvuldigen.
5. Als je wilt vermenigvuldigen is het handig om een vierkante vorm als maat te gebruiken, want dan ontstaan er nooit problemen door het in verschillende richtingen leggen van de maat.
6. Om te weten hoe vaak een maat in een bepaalde richting past kun je meten met een strook. Je kunt oppervlakte dus berekenen vanuit lengtes.
7. Het is handig om te werken met standaardmaten. Daarbij kan worden aangesloten bij het systeem van de lengtematen.
8. Net als bij het meten van lengte in standaard lengtematen (mm, cm, dm, m, enzovoort), kunnen we oppervlakte in de ene standaardmaat omrekenen naar een andere standaardmaat.
9. Als de lengte en breedte van een vlak twee keer zo groot worden, wordt de oppervlakte niet ook simpelweg twee keer zo groot. Het gaat om een verandering in twee richtingen.
10. Oppervlakte is niet gebonden aan een bepaalde vorm; ook niet-rechthoekige vormen hebben een oppervlakte.
Leeractiviteiten
De serie computeractiviteiten richt zich op een aantal aspecten, met name op de punten 1, 4, 5 en 6. De activiteiteiten zijn bedoeld als aanvullend op een serie lessen waarin leerlingen via onderzoeksopdrachten leren waar het bij oppervlakte om gaat. Een beschrijving van die lessen is te vinden via http://www.fi.uu.nl/toepassingen/03295/ .
Rol leraar
De leerlingen werken bij voorkeur in tweetallen, zodat ze onderling al kunnen overleggen over wat een handige aanpak is. In principe hebben ze bij het maken van de opgaven geen begeleiding nodig. Wel is essentieel dat de leerkracht zorgt voor een gesprek waarin leerlingen onder woorden brengen wat ze hebben ontdekt en waarin ze hun ontdekkingen vergelijken met die van andere leerlingen.
Tijd
De leerlingen zullen per computertaak 30 tot 45 minuten nodig hebben. Er zijn 8 taken. Daarnaast is tijd nodig om met de leerlingen door te spreken welke ontdekkingen ze hebben gedaan. Het lijkt verstandig om het werken aan de taken af te wisselen met andere reken-wiskundetaken, maar deze mini-leerlijn kan het beste binnen drie tot vier weken worden afgerond.
Toetsing
Of de leerlingen de gewenste inzichten ontwikkeld hebben valt het beste vast te stellen door hen te laten uitleggen hoe ze oppervlakteberekeningen aanpakken. Via rekenweb+ (www.rekenweb.nl) zal een versie van de taken beschikbaar komen waarin het werk van de leerlingen bewaard kan worden. De manier waarop leerlingen een taak hebben uitgevoerd is vaak te zien in de manier waarop ze een opgave achterlaten. Te zien valt bijvoorbeeld of een vlak helemaal volgelegd is of dat alleen aan de randen tegeltjes zijn gelegd.
De computertaken
Er is via Rekenweb+ (www.rekenweb.nl) een versie van de taken beschikbaar met registratie van de antwoorden. In de versie voor Wikiwijs worden de antwoorden slechts bewaard tot het moment dat de opdrachtenserie gesloten wordt. U moet leerlingen daarom vragen de antwoorden op open vragen in hun schrift te schrijven.
Verknippen (1)
De opdracht bij deze taken is van een gegeven figuur via knippen en schuiven een rechthoek te maken. Deze opdrachten zijn vooral bedoeld om leerlingen ervaring te laten opdoen met het knippen, draaien en verschuiven van stukjes van de figuur.
De opdracht bij deze taken is van een gegeven figuur via knippen en schuiven een rechthoek te maken. Deze opdrachten zijn vooral bedoeld om leerlingen ervaring te laten opdoen met het knippen, draaien en verschuiven van stukjes van de figuur.
Oppervlakte Vergelijken (1)
Bij deze opdrachten vergelijken de leerlingen de oppervlakte van twee figuren. De rode figuur kan worden verschoven en in stukjes worden geknipt, de grijze figuur ligt vast. Door de figuren over elkaar heen te leggen en de rode figuur te verknippen kan worden vastgesteld of de oppervlakte verschillend is of gelijk.
Bij deze opdrachten vergelijken de leerlingen de oppervlakte van twee figuren. De rode figuur kan worden verschoven en in stukjes worden geknipt, de grijze figuur ligt vast. Door de figuren over elkaar heen te leggen en de rode figuur te verknippen kan worden vastgesteld of de oppervlakte verschillend is of gelijk.
Volleggen (1)
In deze taak is de opdracht steeds om uit te zoeken hoeveel keine gele rechthoekjes passen op de grote rechthoek (de bovenkant van een tafel). Bij alle opgaven is het vrij eenvoudig om de grote rechthoek vol te leggen, maar gehoopt wordt dat leerlingen ontdekken dat ze de vraag ook kunnen beantwoorden met minder gele papiertjes.
Een handige aanpak is af te passen hoeveel papiertjes er vertikaal en hoeveel papiertjes er horizontaal op het vlak passen en dan het totaal benodigde aantal uit te rekenen via vermenigvuldigen. Bij het testen van de lessen bleek dit ook voor leerlingen van groep 7 nog een hele ontdekking, zie de tijdschriftartikelen uit de lijst onderaan.
Het is goed als leerlingen min of meer op eigen kracht ontdekken dat je het aantal keren dat een maat past op een grotere figuur kunt vinden via vermenigvuldigen. Dat schept de basis voor het begrijpen waarom een procedure als 'lengte maal breedte' een oppervlakte oplevert.
In deze taak is de opdracht steeds om uit te zoeken hoeveel keine gele rechthoekjes passen op de grote rechthoek (de bovenkant van een tafel). Bij alle opgaven is het vrij eenvoudig om de grote rechthoek vol te leggen, maar gehoopt wordt dat leerlingen ontdekken dat ze de vraag ook kunnen beantwoorden met minder gele papiertjes.
Een handige aanpak is af te passen hoeveel papiertjes er vertikaal en hoeveel papiertjes er horizontaal op het vlak passen en dan het totaal benodigde aantal uit te rekenen via vermenigvuldigen. Bij het testen van de lessen bleek dit ook voor leerlingen van groep 7 nog een hele ontdekking, zie de tijdschriftartikelen uit de lijst onderaan.
Het is goed als leerlingen min of meer op eigen kracht ontdekken dat je het aantal keren dat een maat past op een grotere figuur kunt vinden via vermenigvuldigen. Dat schept de basis voor het begrijpen waarom een procedure als 'lengte maal breedte' een oppervlakte oplevert.
Volleggen (2)
Bij deze taak gaat het om hetzelfde soort opdrachten als bij Volleggen 1, maar de opgaven hebben nu wat meer een puzzelkarakter, omdat je de grote rechthoek niet vol kunt krijgen door alle papiertjes in dezelfde richting te leggen.
Bij deze taak gaat het om hetzelfde soort opdrachten als bij Volleggen 1, maar de opgaven hebben nu wat meer een puzzelkarakter, omdat je de grote rechthoek niet vol kunt krijgen door alle papiertjes in dezelfde richting te leggen.
Het doel is de leerlingen te laten beseffen dat je alleen kunt vermenigvuldigen wanneer de papiertjes die als maat worden gebruikt allemaal in dezelfde richting liggen
Volleggen (3)
In deze taak is vergelijkbaar met de vorige twee, maar de maat is nu steeds een vierkantje in plaats van een rechthoek.
Gehoopt wordt dat leerlingen gaan beseffen dat ze de grote rechthoek niet helemaal vol hoeven te leggen, maar kunnen volstaan met het afpassen van de randen.
Een ander doel is dat leerlingen nadenken over het soort maat dat je kunt kiezen bij het bepalen van een oppervlakte. Een vierkante maat is handig omdat het dan geen verschil maakt hoe je de maat neerlegt.
In deze taak is vergelijkbaar met de vorige twee, maar de maat is nu steeds een vierkantje in plaats van een rechthoek.
Gehoopt wordt dat leerlingen gaan beseffen dat ze de grote rechthoek niet helemaal vol hoeven te leggen, maar kunnen volstaan met het afpassen van de randen.
Een ander doel is dat leerlingen nadenken over het soort maat dat je kunt kiezen bij het bepalen van een oppervlakte. Een vierkante maat is handig omdat het dan geen verschil maakt hoe je de maat neerlegt.
Oppervlakte Vergelijken (2)
Deze taak heeft opdrachten die vergelijkbaar zijn met die van Oppervlakte Vergelijken (1). De oppervlakte van de rode figuur moet vergeleken worden met de oppervlakte van de grijze figuur. Het doel van deze opgaven is leerlingen te laten beseffen dat het er uiteindelijk om gaat welke figuur meer vakjes bedekt op het rooster. De vakjes van het rooster kunnen daarbij gelden als oppervlaktemaat.
Deze taak heeft opdrachten die vergelijkbaar zijn met die van Oppervlakte Vergelijken(1). De oppervlakte van de rode figuur moet vergeleken worden met de oppervlakte van de grijze figuur. Het doel van deze opgaven is leerlingen te laten beseffen dat het er uiteindelijk om gaat welke figuur meer vakjes bedekt op het rooster. De vakjes van het rooster kunnen daarbij gelden als oppervlaktemaat.
Oppervlakte verknippen (1)
Bij deze opgaven wordt gevraagd de oppervlakte van een figuur te berekenen. Als maat functioneren in dit geval de vakjes van het rooster. De leerling kan eventueel de rode figuur in stukjes knippen en delen verplaatsen. De oorspronkelijke vorm blijft als een grijze figuur zichtbaar.
Bij deze opgaven wordt gevraagd de oppervlakte van een figuur te berekenen. Als maat functioneren in dit geval de vakjes van het rooster. De leerling kan eventueel de rode figuur in stukjes knippen en delen verplaatsen. De oorspronkelijke vorm blijft als een grijze figuur zichtbaar.
Oppervlakte verknippen (2)
Deze serie opgaven is vergelijkbaar met die van Oppervlakte Verknippen (1), maar in dit geval is het onderliggende rooster niet meer getekend.
Deze serie opgaven is vergelijkbaar met die van Oppervlakte Verknippen (1), maar in dit geval is het onderliggende rooster niet meer getekend.
