Thema 17 Pythagoras - havo2

Thema 17 Pythagoras - havo2

Pythagoras

Inleiding

Heb je wel eens van de stelling van Pythagoras gehoord?

Een bijzondere vorm van de stelling van Pythagoras, de 3-4-5 steek werd al door de oude Egyptenaren gebruikt bij het bouwen van hun pyramides. Ook nu wordt deze nog veel gebruikt in de bouw en bij het aanleggen van tuinen. Ook de apparatuur van Landmeters is voor een belangrijk deel op de stelling van Pythagoras gebaseerd.

In de onderstaande video zie je hoe de 3-4-5 steek gebruikt wordt om te bepalen of een hoek recht is.

Hoe dit precies werkt en wat je nog meer kunt doen met de stelling van Pythagoras leer je in dit thema.

Wat kan ik al?

Vorig jaar heb je al geleerd welke soorten hoeken er zijn en wat het kwadraat van een getal is.
In deze korte test checken we of je dit nog allemaal weet.

Wat kan ik straks?

Aan het eind van dit thema kan je:

  • uitleggen wat een rechthoekige driehoek is;
  • de stelling van Pythagoras uitleggen en gebruiken om een zijde van een driehoek te berekenen als de andere twee zijden gegeven zijn;
  • een irrationale wortel benaderen;
  • van een willekeurige driehoek bepalen of het een rechthoekige driehoek is;
  • de stelling van Pythagoras herhaald gebruiken om lichaamsdiagonalen in ruimtelijke figuren te berekenen.

 

Wat ga ik doen?

Het thema Pythagoras bestaat uit de volgende onderdelen:

Onderdeel Tijd in lesuren
Start Inleiding 0,5 uur
  Wat kan ik straks?
  Wat kan ik al?
  Wat ga ik doen?
Paragrafen Rechthoekige driehoeken 2 uur
  De stelling van Pythagoras 1 uur
  Scherp, recht of stomp 0,5 uur
  Wortels 1 uur
  Speciale driehoeken 0,5 uur
  De ruimte in 1 uur
  Gemengde opgaven 2 uur
Afsluiting Samenvatting  
  Thema-opdracht 2 uur
  Diagnostische toets 0,5 uur
  Extra opgaven 0,5 uur
  Terugblik  
Totaal 11,5 uur

Gewone opgaven en Super opgaven

Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker.
Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.

Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.

In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.

De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.

 

Paragrafen

In dit thema gaan we aan de slag met de stelling van Pythagoras.
In de volgende paragrafen leer je hoe je de waarde van een zijde van een rechthoekige driehoek kunt bepalen en hoe je kunt uitrekenen of een bepaalde driehoek rechthoekig is als je de lengtes van de zijden weet.

 

Paragraaf 1  Rechthoekige driehoeken
Paragraaf 2  De stelling van Pythagoras
Paragraaf 3  Scherp, recht of stomp
Paragraaf 4  Wortels
Paragraaf 5  Speciale driehoeken
Paragraaf 6  De ruimte in
Paragraaf 7  Gemengde opgaven

 

Afsluiting

Samenvatting

Rechthoekige driehoeken

Een driehoek met een rechte hoek heet een rechthoekige driehoek.

De zijden die samen de rechte hoek vormen, worden de rechthoekszijden genoemd. De zijde tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde van de rechthoekige driehoek. De schuine zijde wordt ook wel hypotenusa genoemd.

 

 

 

De stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek geldt: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden.

Deze eigenschap heet de stelling van Pythagoras.

 

 

recht of niet?

De lengten van de zijden van een driehoek noemen we \(a, b\) en \(c\).
Als \(a^2+b^2=c^2\), dan is de hoek tegenover de zijde van lengte \(c\) recht.
Als \(a^2+b^2<c^2\), dan is de hoek tegenover de zijde van lengte \(c\) stomp.
Als \(a^2+b^2>c^2\), dan is de hoek tegenover de zijde van lengte \(c\) scherp.

 

 

wortels

Het getal waarvan het kwadraat 19 is, is irrationaal. We noemen dit getal de wortel van 19 en noteren het met \(\sqrt{19}\).

Dus \((\sqrt{19})^2=19\).

Wortels kun je op je rekenmachine benaderen met de worteltoets. Meestal is het antwoord niet precies.

\(\sqrt{19}\) benader je door in te toetsen 19.
\(\sqrt{19}≈4,36\).

Je kunt wortels ook schatten.

Zo geldt: \(\sqrt{19}>\sqrt{16}\) en \(\sqrt{19}<\sqrt{25}\).

Dus \(\sqrt{19}\) ligt tussen de 4 en 5.

 

 

speciale driehoeken

In een \(30º-60º-90º-\)driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als \(1:\sqrt3:2\).

 

 

 

In een \(45º-45º-90º-\)driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als \(1:1:\sqrt2\).

 

 

 

 

 

 

de stelling van Pythagoras in de ruimte

Voor de lengte \(d\) van een lichaamsdiagonaal in een balk met ribben van lengte \(a,b\) en \(c\) geldt:

\(d^2=a^2+b^2+c^2\).

 

 

Eindopdracht

Bij dit thema kan je kiezen uit twee eindopdrachten. Beide eindopdrachten voer je uit in tweetallen.

In de eerste eindopdracht maak je een creatieve variant van de Pythagoras-boom.

Deze boom is opgebouwd uit steeds kleinere vierkanten en rechthoekige driehoeken.

In de tweede eindopdracht maak  je een computerprogramma in de programmeertaal Python om Pythagoreïsche drietallen te genereren. Een Pythagoreïsch drietal bestaat uit 3 positieve gehele getallen waarvoor geldt a2 + b2 = c2, zoals bijvoorbeeld (3, 4, 5) en (5, 12, 13).

 

Eindopdracht A  Pythagoras-boom ontwerpen

Eindopdracht B Pythagoreïsche drietallen programmeren

 

 

Diagnostische toets

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

 

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

  • Het arrangement Thema 17 Pythagoras - havo2 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2025-08-08 11:06:44
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Rearrangeerbare lessenserie wiskunde stercollectie VO-content wiskunde havo 2
    Leerniveau
    HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud; Rekenen in de meetkunde; Hoeken; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    11 uur 30 minuten
    Trefwoorden
    leerlijn, rearrangeerbare, vo-content

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Pythagoras

    Pythagoras

    Extra oefening Basis

    Extra oefening Plus

    Pythagoras

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van