Loxodromische koers en verheid

Loxodromische koers en verheid

Inleiding

Iedereen weet dat de aarde een bol is.
Zelfs de Flat Earth Society erkent dat door in hun slogan te zette: "Members around the whole Globe"....

Maar onze kaart is plat.
En ook de elektronische kaart werkt met een platte kaart.

De kromming van de aarde is niet heel erg groot op een (relatief) klein oppervlak.
Daarom mogen we dat als een plat vlak beschouwen.
Hoewel de koers die we uit gaan zetten op de aardbol een kromme lijn is mogen we in die in de kaart daarom als een rechte lijn trekken.

Dat noemen we een loxodromische koers, of ook wel gewoon loxodroom.

Als we de definitie van loxodroom opzoeken vinden we:

Een lijn op het aardoppervlak die alle meridianen onder gelijke hoeken snijdt.

Om dit goed te begrijpen moeten we eerst kijken naar typen kaartpresentaties.

Kaartpresentaties

Navigatieglobe

In tijden van de Vikingen, Romeinen en Egyptenaren waren er in het geheel nog geen kaarten.
Men navigeerde op basis van hemellichamen, voornamelijk de zon en 's nachts Polaris (Poolster)


Even tussendoor:
De Poolster staat in het verlengde van de aardas.
Als je de aardas bij de Noordpool door zou trekken naar boven kom je in de Poolster uit, en dus staat deze ook altijd daar.

Het is niet een hele felle ster.
Maar hij is redelijk makkelijk te vinden.

 

Kaartpresentaties

Na de periode dat men zonder kaarten navigeerde én dat we ons realiseerden dat de aarde rond was (met dank aan Cristoffel Columbus) werd er lang op globes genavigeerd.

    

Ze waren  door de manier van samenstellen niet erg
accuraat en er was ook moeilijk een positie op
bij te houden.
Meer mogelijkheden dan een speld erin prikken waren er eigenlijk
niet, en dan waren ze in de omstandigheden (kou, vocht) ook nog eens erg kwetsbaar omdat ze gewoon geschilderd waren op papier. (De duurdere op leer.)

Dus piekerde men al tijdens het algemene gebruik van globes hoe men een natuurgetrouwe kaart op een plat vlak kon maken.
 

Gnomonische projectie

Een gnomonische kaart wordt gemaakt door vanuit het middelpunt van de aarde, de plek van de waarnemer op een plat vlak te projecteren>

Het resultaat is een kaart die uit parabolen en hyberbolen bestaat.
Wanneer men de lijnen van een land of werelddeel tussen die hyper- en parabolen verbindt krijg je een kaart die wel is waar heel betrouwbaar is, maar alleen herkenbaar voor de waarnemer.
 

cilindrische projectie

Bij een cilindrische projectie leg je een denkbeeldig rechtopstaande strook papier om de aardbol en trekt dan de lijnen van werelddelen dwars uit op het papier.
 


Het gevolg is een kaart die naarmate je dichter bij de polen komt de werkelijkheid steeds minder benaderd wordt.
Immers, de echte Noordpool, daar waar de aardas de aardbol verlaat en feitelijk een stip, loopt opeens vanaf de linkerkant van de kaart tot aan de rechterkant van de kaart.
Eigenlijk klopt deze kaart alleen op de equator.
 

stereografische projectie

Wikipedia:
Een stereografische projectie is een afbeelding van een boloppervlak op een plat vlak, waarbij de projectielijnen worden getrokken vanuit een punt op de bol lijnrecht tegenover het projectievlak.
Soms wordt het projectievlak zodanig gekozen dat het de bol niet raakt maar snijdt, met als doel de oppervlakvervormingen aan de randen te beperken.

 


De lijn gaat dan dus door de aardbol heen.
Zo komen de omlijningen van de werkelijkheid overeen met die op de projectie.
 

Mercatorprojectie.

Gerard De Kremer  was een Vlaamse cartograaf uit Rupelmonde, instrumentmaker, en graveur die leefde van 1512 - 1594.

Hij wist allang van al die projecties (er zijn er nog meer dan we nu besproken hebben) en besefte maar al te goed dat ze geen van allen, op de globe na, echt geschikt waren voor navigatie.

 


Hij peuterde feitelijk de tekening op zo'n ouderwetse globe los van de bol en ontdekte dat hij stroken kreeg die op de evenaar van de bol aan elkaar vast zaten en bij de polen los van elkaar waren en elke strook taps toeliep.

Om die stroken waar niks zit in te tekenen moest hij dat dus opvullen.
Hij had wiskundig berekend hoe hij de tekening op de globe zodanig moest vergroten dat de tekening op een platte kaart verhoudingsgewijs overeenkwam met de werkelijkheid.
Dus dat een meter op de kaart in werkelijkheid ook een meter op de aardbol was.

In die jaren was het chique om je naam in het Latijn te vertalen als je wetenschapper was.
Dus dat deed hij dan ook .
En in het Latijn is zijn naam Gerardus Mercator Rupelmundanus (Gerard Mercator uit Rupelmonde)
I
De hierboven omschreven projectie is naar  (en door) hem vernoemd en noemen we dus nog steeds Mercatorprojectie.


Dit is vandaag de dag nog steeds de gebruikte projectie voor navigatiedoeleinden.
Hij trok op de ronde tekening van de aarde horizontale lijnen op gelijke afstanden (paralellen) en trok die door naar een plat stuk papier.
We zien dat de afstanden van 0° tot 15° veel kleiner is dan van 75° tot 90°.

Het "nadeel" van de Mercatorprojectie is dus dat hij eigenlijk alleen conform de werkelijkheid is rondom de evenaar.


Hoe meer je naar het Noorden komt hoe meer alles uitgerekt wordt.
Het klopt nog wel in verhouding, maar het komt niet meer overeen me de werkelijkheid.
Landen als USA en Rusland zijn nog steeds enorme stukken land, maar niet zo groot als we in ons hoofd ze voorstellen.
 

Deze projectie heeft dus ook gevolgen voor onze navigatie.

 

Gall-Peters Projectie

Mercator wilde dat op zijn kaart de hoeken en afstanden klopten.
De heren Gall en Peters wilden dat de oppervlakten van een land klopten.
(Beide heren beweren dat zij dat uitgevonden hebben, dus het wordt de Gall-Peters projectie genoemd)


Het gevolg is een "langerekte" kaart terwijl we de "breed gerekte" van Mercator gewend zijn.
Voor de navigatie is deze projectie niet bruikbaar omdat de afstanden en hoeken niet klopten.

Vergrotende breedte


We hebben dus gezien dat de afstand tussen twee parallellen steeds groter wordt naarmate we noordelijke en zuidelijker op de kaart komen die Mercatorprojectie aanhoudt.
Om afstanden langs de parallel en de meridiaan gelijk te maken, moet de afstand tussen de parallellen toenemen.

Dit verschijnsel noemen we dan ook: vergrotende breedte. Afgekort met VB.

De meridianen hebben geen last van dit verschijnsel.
Zij lopen exact N/Z.
Die hebben we dus alleen "recht" gelegd op de kaart, en de tussenliggende gedeeltes ingevuld.


Met name voor het afpassen van de verheid op een papierenkaart, wat we op de staande rand, dus tussen parallellen doen, moeten we ervoor zorgen dat we dat doen op de breedte van waar we ongeveer zitten op de kaart.
Vooral op hogere breedtes lezen we anders teveel of juist te weinig mijlen af.
Deze afstand noemen we de loxodromische verheid. Afgekort met Vlox

Je voelt wel dat we langzaam naar een formule aan het toewerken zijn.


De rechtopstaande zijde is het verschil in breedte tussen positie A en positie B. (Vertrek en aankomst)
Verschil in de wiskunde heet Delta en wordt uitgedrukt met het symbool voor de

Griekse letter D: Δ
Verschil in breedte wordt dus Delta AB en wordt geschreven als ΔAB.
Waarbij de breedte uitgedrukt wordt met de Griekse letter Phi, φ
Verschil in breedte tussen A en B wordt dus: ΔφAB.
Je rekent het uit door simpelweg de breedte van A af te trekken van breedte van B.
Daar kan ook een negatief getal uitkomen, maar die + of - heb je straks gewoon nodig in je berekening.
En op zuidelijke breedtes zijn A én B negatief!
Let daar dus op bij het invullen van de formule, anders klopt er niets van.

Bij A zien we hoek K
En K is in de navigatie de afkorting voor de  koers.
Zodra we een hoek zien in de navigatie gaan we ook werken met Cos, Sin en Tan.

Veel mensen schrikken als ze Sin, Cos of Tan zien.
Want dat is wiskunde en dus moeilijk.
Maar met die drie reken je slechts een verhouding uit.

In een  rechthoekige(!) driehoek heb je twee zijden en een schuine zijde.
Wanneer één van die drie in lengte verandert, moeten de andere twee ook veranderen.
Doe je dat niet, dan is het geen rechthoekige driehoek meer en verandert de verhouding.
Die verhouding kan je uitrekenen door twee van die zijden door elkaar te delen.
En afhankelijk van met welke zijden je dat doet komt er een verhouding uit die we sinus, cosinus of tangens noemen.
En daarmee berekenen we dus de verhouding tussen de straal, de hoek en het stukje van de boog die beschreven wordt.
Als de verhouding optimaal is, op zijn grootst dus, is hij 1.
En op zijn kleinst is hij 0

Hocus pocus?

Kijk dit filmpjes eens:



En daarmee kunnen we van alles uitrekenen in de navigatie.
Bijvoorbeeld de koers. (Door de S, C, of T om te keren. (Inv) )
Of de Verheid.

Om uit te rekenen wat de Sinus, de Cosinus of de Tangens van een hoek is rekenen we met:


"Sos Cas Toa"weet je misschien nog wel.

sOS: Sinus= Overstaande zijde van de hoek / Schuine zijde
cAS: Cosinus= Aanliggende zijde van de hoek / Schuine zijde.
tOA: Tangens= Overstaande zijde van de hoek/ Aanliggende zijde.

Stukje p  is het verschil in lengte, dus het stuk tussen de lengte van A en de lengte van B.
Deze wordt uitgedrukt met de Griekse letter Lamda, L, λ

Bij koersen pal naar W of O (270° of 090°) volgen we een parallel, dus alleen de lengte verandert.

De formule om de Verheid over die parallel uit te rekenen wordt dan:

Vpar= 60 . Δ λAB . cosφ

Het lengteverschil Δ λAB kunnen we vinden door de formule om te bouwen naar:

Δ λAB= Vpar / (60 . cosφ)

 

Varen we koersen recht naar N of Z  (00/360° 0f 180°) dan varen we over de meridiaan en verandert alleen de breedte.
De formule daarvoor wordt:

Vmer=60 . ΔφAB

Daarvoor zullen we ΔφAB eerst moeten uitrekenen.
Dat kab door breedtes a en b van elkaar af te trekken, maar ook met de formule.
Door bovenstaande formule om te bouwen krijgen we dan:

ΔφAB = Vmer / 60

 

Voor andere koersen dan die langs een parallel of meridiaan kan de Mercator navigatie worden toegepast.
Dit is vergelijkbaar met onze eerste navmethode, maar maakt in plaats van het breedteverschil gebruik van het verschil   (Delta VB) in vergrotende breedte en in plaats van de vertrek van het lengteverschil .

Het verschil in VB tussen A en B wordt uitgerekend met een indrukwekkende formule, maar het is in stapje goed te doen.

De formule luidt:
ΔVB = 180°/π ln [ tan ( π/4 + φB/2) / tan ( π/4 + φA/2)]

Loxodromische Verheid, V

Zoals eerder gezegd:

Als een schip pal N of Z vaart, vaart het over een meridiaan.
Zijn lengte verandert dus niet, alleen zijn breedte.

Daarom geldt:

Bij K 000 en K180 gr

                                         Vmer=60 . ΔbAB

En de Δb van pos A naar pos B kun je berekenen met:
                                                              ΔbAB= V.cos Klox / 60

 Is de grondkoers 090 of 270 graden dan varen we over een parallel en verandert juist de lengte en niet de breedte.

Daarom geldt bij K 090 en K 270

                                        Vpar=60. ΔlAB . cos bA

En de Δl berekenen we dan met:
                                                         ΔlAB= V . sinK / 60 . cos bA

Koers

De koers langs een meridiaan is dus heel eenvoudig: die is 000 of 180.
Die langs een parallel is ook simpel: 270 of 090.

Maar hoe berekenen we dan de koersen die níet over een meridiaan of parallel gaan?
Om dat goed te begrijpen moeten we best wel diep in de wiskunde gaan, wat op deze opleiding te ver gaat.
Laten we gewoon de formules bekijken.

Onthoudt bij het invullen van de formules altijd E=+  W=-
(Oost is Op(tellen),  West is Less)
Dat is heel belangrijk.

Indien we met de formule werken dan komt er een tanK uit de berekening.
Die moet je met InvTan of ArcTan op de rekenmachine omzetten naar graden.
Het teken hiervoor is een K* in de formule.
Je vult hier dus de InvTan in die je elders uitgerekend hebt.

De formule die we nodig hebben luidt:

                           tanK = tanKlox = ΔlAB / ΔVB AB


En hier neem je dus de InvTan van om de K te krijgen.
Hier kan een negatief getal uit komen.

Daarom geldt:
 

Als K* > 0 én Δl > 0 dan GrKlox = K*
Als K* < 0 en Δl > 0 dan GrKlox = K* + 180
Als K* > 0 en Δl < 0 dan GrKlox = K* + 180
Als K* < 0 en Δl < 0 dan GrKlox = K* + 360

 

 

Verheid tussenliggende koersen

De verheid op O W koersen hebben we hiervoor besproken.
Op tussenliggende koersen berekenen we het met de formule:

 

                                 Vlox = 60 . Δb / cos GrKlox

Het voert voor deze opleiding weer te ver om de formule te herleiden.

Dead Reckoning

Als we weten hoe snel we varen en we weten daarmee min of meer de verheid in een bepaalde tijd, en we weten de GrK, dan kunnen we uitreken wat ons punt B wordt.
Dit noemen we Dead Reckoning.
(De ARPA en de ECDIS doen dit ook als de GPS uitvalt.)

In feite is het een simpele berekening: lB = lA + ΔlAB.
Hetzelfde geldt voor de breedte.

Maar we hebben ook nog met onze koers te maken.
Daarom luiden de formules als volgt:

                                     ΔbB = V . GrK / 60

 

                                                  Δl = ΔVB . tanGrK
Vervolgens dit bij de posA optellen (of aftrekken)

De invloed van stroom en wind

  • Het arrangement Loxodromische koers en verheid is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Menno Jacobs
    Laatst gewijzigd
    2025-07-24 17:00:12
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Bepalen van en (be)rekenen met (van) koers en verheid op een plat vlak.
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van