Vergrotende breedte


We hebben dus gezien dat de afstand tussen twee parallellen steeds groter wordt naarmate we noordelijke en zuidelijker op de kaart komen die Mercatorprojectie aanhoudt.
Om afstanden langs de parallel en de meridiaan gelijk te maken, moet de afstand tussen de parallellen toenemen.

Dit verschijnsel noemen we dan ook: vergrotende breedte. Afgekort met VB.

De meridianen hebben geen last van dit verschijnsel.
Zij lopen exact N/Z.
Die hebben we dus alleen "recht" gelegd op de kaart, en de tussenliggende gedeeltes ingevuld.


Met name voor het afpassen van de verheid op een papierenkaart, wat we op de staande rand, dus tussen parallellen doen, moeten we ervoor zorgen dat we dat doen op de breedte van waar we ongeveer zitten op de kaart.
Vooral op hogere breedtes lezen we anders teveel of juist te weinig mijlen af.
Deze afstand noemen we de loxodromische verheid. Afgekort met Vlox

Je voelt wel dat we langzaam naar een formule aan het toewerken zijn.


De rechtopstaande zijde is het verschil in breedte tussen positie A en positie B. (Vertrek en aankomst)
Verschil in de wiskunde heet Delta en wordt uitgedrukt met het symbool voor de

Griekse letter D: Δ
Verschil in breedte wordt dus Delta AB en wordt geschreven als ΔAB.
Waarbij de breedte uitgedrukt wordt met de Griekse letter Phi, φ
Verschil in breedte tussen A en B wordt dus: Δ
φAB.
Je rekent het uit door simpelweg de breedte van A af te trekken van breedte van B.
Daar kan ook een negatief getal uitkomen, maar die + of - heb je straks gewoon nodig in je berekening.
En op zuidelijke breedtes zijn A én B negatief!
Let daar dus op bij het invullen van de formule, anders klopt er niets van.

Bij A zien we hoek K
En K is in de navigatie de afkorting voor de  koers.
Zodra we een hoek zien in de navigatie gaan we ook werken met Cos, Sin en Tan.

Veel mensen schrikken als ze Sin, Cos of Tan zien.
Want dat is wiskunde en dus moeilijk.
Maar met die drie reken je slechts een verhouding uit.

In een  rechthoekige(!) driehoek heb je twee zijden en een schuine zijde.
Wanneer één van die drie in lengte verandert, moeten de andere twee ook veranderen.
Doe je dat niet, dan is het geen rechthoekige driehoek meer en verandert de verhouding.
Die verhouding kan je uitrekenen door twee van die zijden door elkaar te delen.
En afhankelijk van met welke zijden je dat doet komt er een verhouding uit die we sinus, cosinus of tangens noemen.
En daarmee berekenen we dus de verhouding tussen de straal, de hoek en het stukje van de boog die beschreven wordt.
Als de verhouding optimaal is, op zijn grootst dus, is hij 1.
En op zijn kleinst is hij 0

Hocus pocus?

Kijk dit filmpjes eens:



En daarmee kunnen we van alles uitrekenen in de navigatie.
Bijvoorbeeld de koers. (Door de S, C, of T om te keren. (Inv) )
Of de Verheid.

Om uit te rekenen wat de Sinus, de Cosinus of de Tangens van een hoek is rekenen we met:


"Sos Cas Toa"weet je misschien nog wel.

sOS: Sinus= Overstaande zijde van de hoek / Schuine zijde
cAS: Cosinus= Aanliggende zijde van de hoek / Schuine zijde.
tOA: Tangens= Overstaande zijde van de hoek/ Aanliggende zijde.

Stukje is het verschil in lengte, dus het stuk tussen de lengte van A en de lengte van B.
Deze wordt uitgedrukt met de Griekse letter Lamda, L, λ

Bij koersen pal naar W of O (270° of 090°) volgen we een parallel, dus alleen de lengte verandert.

De formule om de Verheid over die parallel uit te rekenen wordt dan:

Vpar= 60 . Δ λAB . cosφ

Het lengteverschil Δ λAB kunnen we vinden door de formule om te bouwen naar:

Δ λAB= Vpar / (60 . cosφ)

 

Varen we koersen recht naar N of Z  (00/360° 0f 180°) dan varen we over de meridiaan en verandert alleen de breedte.
De formule daarvoor wordt:

Vmer=60 . ΔφAB

Daarvoor zullen we ΔφAB eerst moeten uitrekenen.
Dat kab door breedtes a en b van elkaar af te trekken, maar ook met de formule.
Door bovenstaande formule om te bouwen krijgen we dan:

ΔφAB = Vmer / 60

 

Voor andere koersen dan die langs een parallel of meridiaan kan de Mercator navigatie worden toegepast.
Dit is vergelijkbaar met onze eerste navmethode, maar maakt in plaats van het breedteverschil gebruik van het verschil   (Delta VB) in vergrotende breedte en in plaats van de vertrek van het lengteverschil .

Het verschil in VB tussen A en B wordt uitgerekend met een indrukwekkende formule, maar het is in stapje goed te doen.

De formule luidt:

ΔVB = 180°/π ln [ tan ( π/4 + φB/2) / tan ( π/4 + φA/2)]