Jacob Bernoulli leefde van 1655 tot 1705 in Basel, Zwitserland. Hij kwam uit een familie van grote wiskundigen: in totaal heeft de Bernoulli familie twee generaties vooraanstaande Zwitserse wiskundigen voortgebracht.
Jacob was de eerste wiskundige in de Bernoulli familie. Hij was de zoon van een apotheker, en zijn vader wilde niets liever dan dat hij theologie ging studeren. Nadat Jacob zijn master in filosofie en theologie aan de universiteit van Basel had behaald, ging hij reizen naar Engeland, Frankrijk en Nederland. Tijdens zijn reizen kwam hij in contact met wiskundigen en de nieuwste ontdekkingen in wiskunde en natuurwetenschappen.
Toen Jacob terugkwam naar Basel kreeg hij een aanbod om daar voor de kerk te werken met zijn master theologie. Echter sloeg Jacob het aanbod af om zich te richten op wiskunde. In 1682 richtte hij een school op voor wiskunde en natuurwetenchappen. In 1687 werd hij hooglerar aan de Universiteit van Basel, waar hij tot het einde van zijn leven bleef werken.
Eén van de wiskundige ontdekkingen die Jacob Bernoulli heeft gedaan is het getal \(e\), toen hij onderzoek deed naar samengestelde rente. Hij ontdekte dat, als je de periode tussen de uitbetalingen van rente kleiner maakt, het totalbedrag uiteindelijk stopt met veranderen. Hij berekende dat die grenswaarde ergens tussen 2 en 3 ligt.
In opdracht 1 ga je zelf aan de slag met deze berekeningen van Jacob Bernoulli.
Opdracht 1
Stel je voor dat je €1 hebt en deze op je bankrekening zet. De bank keert rente uit, zo kun je geld “verdienen” door het op de bank te laten staan. Dat noem je ook wel interest. Je hebt gekozen voor een heel gunstige bank, die je 100% rente/interest geeft na één jaar.
De bijbehorende vermenigvuldigingsfactor is \({100 \% + 100 \% \over 100} = 2\).
Na één jaar heb je dan een bedrag van \(€1 \cdot 2 = €2 \) op je rekening staan.
Je ziet dat het bedrag na één jaar meer wordt als je akkoord gaat met interest die vaker uitbetaald wordt. Toch gaat het bedrag na één jaar niet naar oneindig; het heeft een bepaalde grenswaarde.
Om die grenswaarde te bepalen, is het makkelijker om een formule te gebruiken voor het bedrag op de bankrekening na één jaar.
\(B = 1 \cdot (1+ {1 \over n})^n\)
Hierin staatB voor het bedrag op de rekening na één jaar, en n voor het aantal keer dat de interest wordt uitgekeerd.
Continue interest
Het bedrag na één jaar bij een continue interest (dat wil zeggen dat je van de bank iedere seconde, of zelfs miliseconde en nanoseconde interest ontvangt) bereken je door \(\lim\limits_{n \to \infty} (1+{1 \over n})^n .\)
Je hebt in de tabel hierboven gezien dat \(\lim\limits_{n\to \infty} (1+{1 \over n})^n\) ongeveer 2,71828 is.
Misschien herinner je nog van het begin dat het getal \(e\) ook ongeveer 2,71828 is.
Je kunt dus zeggen dat \(\lim\limits_{n \to \infty} (1+{1 \over n})^n = e.\)
Gottfried Wilhem Leibniz was een belangrijke wiskundige in de 17e eeuw. Naast wiskundige was hij ook filosoof, logicus, natuurkundige, historicus, rechtsgeleerde en diplomaat. Hij ontwikkelde ongeveer tegelijk met Newton een tak van de wiskunde die we tegenwoordig de "analyse" noemen. Analyse bestaat onder andere uit limieten en afgeleiden, en is een groot onderdeel van wiskunde B.
Daarnaast is Leibniz ook van invloed geweest op de ontwikkeling van het getal \(e\), alleen heette het toen nog geen \(e\), maar \(b\).
Afkomstig uit: Raugh, M., & Probst, S. (2019). The Leibniz catenary and approximation of e—an analysis of his unpublished calculations. Historia Mathematica, 49, 1-19.
Leonhard Euler was een Zwitserse wiskundige en natuurkundige, geboren in 1707 in Basel, Zwitserland. Hij wordt beschouwd als een van de grootste wiskundigen allertijden en heeft een veel invloed gehad op verschillende takken van de wiskunde, maar ook natuurkunde, geneeskunde, geschiedenis, muziek, plant-en scheikunde.
Euler's vader was bevriend met de familie Bernoulli, met name Johann Bernoulli (neef van Jakob). Op de dertienjarige leeftijd begon Euler al aan de universiteit van Basel en twee jaar later behaalde hij zijn diploma in de filosofie. Euler is echter niet verder gegaan in de filosofie, omdat Johann Bernoulli het uitzonderlijke wiskundige talent van Euler ontdekte en Euler's vader overtuigde dat zijn zoon voorbestemd was om een groot wiskundige te worden.
Twee zonen van Johann Bernoulli werkten intussen aan de Russische Academie van Wetenschappen in Sint-Petersburg, en zo werd Euler uitgenodigd om naar Sint-Petersburg te vertrekken. Daar werd hij het hoofd van de afdeling wiskunde aan de Universiteit van Sint-Petersburg. Daarnaast heeft Euler ook nog in Pruisen en Berlijn gewoond.
Ondanks dat Euler de laatste jaren van zijn leven volledig blind was, bleef hij tot aan zijn dood in 1783 publiceren. Dit kon door zijn talent om ingewikkelde berekeningen in zijn hoofd uit te voeren, samen met zijn fotografisch geheugen en familieleden die dingen voor Euler opschreven. Euler heeft in zijn leven zo veel artikelen geschreven, dat het handmatig overschrijven van zijn werken naar schatting 50 jaar, 8 uur per dag, zal duren!
Het werk van Euler wordt nog steeds gebruikt in de wiskundige notaties van tegenwoordig. Zo bedacht Euler de notatie f(x) voor functies, en introduceerde het symbool voor π.
Opdracht 3
In de tijd van Euler was al bekend dat 2,71828.. een bijzonder getal is. Bekijk de bron van Euler over het getal \(e\), geschreven in het Latijn, hieronder.
Afkomstig uit: Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum (Vol. 1).
In de Latijnse tekst staat de zin "ponamus autem brevitatis gratio pro numero hoc 2,718281828459 constanter litteram e quae ergo". Een vertaling komt neer op 'maar laten we voor het gemak de letter \(e\) voor dit nummer 2.718281828459 gebruiken'. Hiermee zorgde Euler voor een benaming voor het getal wat al sinds Bernouilli bekend was, maar steeds met een andere letter werd aangeduid. Tegenwoordig wordt nog steeds de letter \(e\) gebruikt.
Verschillende representaties van e
Je hebt nu gezien dat we het getal \(e\) op verschillende manieren kunnen schrijven.
Ten eerste als \(\lim\limits_{n \to \infty} (1+{1 \over n})^n \)
Euler bewees dat deze formules aan elkaar gelijk zijn, en gaf het de naam \(e\). Ook bewees hij dat \(e\)irrationaal is, dus dat het niet als een breuk te schrijven is.
Er is nog een belangrijke eigenschap van de functie \(e^x\), en die ga je in de volgende opdracht zelf ontdekken.
De afgeleide
Bekijk de functie \(f(x)=2^x\)
Met behulp van de grafische rekenmachine (GR) kun je ook de afgeleide in een punt bepalen.
Voor de casio:
Ga naar het RUN-Matrix menu
Klik op OPTN, dan krijg je onderin de volgende opties:
Ga naar CALC, en klik op d/dx, het volgende verschijnt op je scherm.
Tussen de blauwe haakjes zet je de functie die je wilt differentiëren. Daarin typ je \(2^x\).
Rechts van de verticale streep komt de x-waarde van het punt waarin je differentieert.
Eigenlijk bereken je zo f'(x) voor een gegeven waarde voor x.
Typ in x=0.
Klik op EXE.
Vul op dezelfde manier de tabellen op de volgende pagina in.
Opdracht 4
We bekijken nu de functie \(f(x)=3^x\).
Op dezelfde manier als voor \(f(x)=2^x \)gaan we hiervoor de afgeleide functie in een paar punten bepalen.
Vul de tabel hieronder zelf in. Rond zo nodig af op 3 decimalen.
Dit roept de vraag op of er een functie \(f(x)=a^x\)bestaat, met a tussen 2 en 3, waarvoor \(f(x)=f'(x)\)
Bekijk enkele grafieken van \(f(x)=a^x\)om te ontdekken of zo een functie bestaat via de volgendelink.
Opdracht 5
Je hebt net als het goed is ontdekt dat de afgeleide van \(f(x)=e^x\) gelijk is aan zichzelf, dus \(f'(x)=e^x\).
Dit is een heel bijzondere eigenschap, en maakt veel berekeningen met differentiëren in de wiskunde makkelijker.
Even terug naar het getal \(e\) zelf, dat was namelijk te schrijven als \(e=1 + {1 \over 1} + {1 \over 1 \cdot 2} + {1 \over 1 \cdot 2 \cdot 3} + {1 \over 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+ ...\)
Nu bekijken we de functie \(f(x)=e^x\).
Deze is op een soortgelijke manier te schrijven als \(e^x= 1 + {x \over 1} + {x^2 \over 1 \cdot 2} + {x^3 \over 1 \cdot 2 \cdot 3} + {x^4 \over 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+ ...\)
Opdracht 6
(extra) Het bewijs van de afgeleide
Laten we de formule \(\lim\limits_{n \to \infty} (1+{1 \over n})^n = e \) uit opdracht 1d herschrijven.
Stel \({1 \over n}=h\)
Vul de ontbrekende waarden in de stappen hieronder in.
Je hebt nu laten zien dat \(\lim\limits_{n \to \infty} (1+{1 \over n})^n = \lim\limits_{h \to 0} (1+h)^{1 \over h}\)en dat dit dus in beide gevallen gelijk is aan \(e.\)
In hoofdstuk 2 heb je kennis gemaakt met de afgeleide functie.
Nu zijn we vooral bezig met het berekenen van de afgeleide van bijvoorbeeld \(f(x)=3x^2+5x\), wat gelijk is aan \(f'(x)=6x+5\). Maar waar kwam dat ook alweer vandaan?
We gaan terug naar de theorie uit hoofdstuk 2.
De afgeleide functie geeft voor ieder punt op de grafiek de richtingscoëfficient van de raaklijn, oftwel de helling van de grafiek in dat punt.
Zie hieronder een grafiek.
We bekijken de helling tussen twee punten, A en B.
De helling van de lijn tussen de punten A en B noemen we het differentiequotiënt op het interval [a,b].
De richtingscoëfficiënt van deze lijn, oftewel het differentieqoutiënt op [a,b] is gelijk aan \({\Delta y \over \Delta x}\)
en is ook wel gelijk aan \({y_B - y_A \over x_B - x_A}\)
Als we de groene grafiek f noemen, en we stellen dat \(x_A = a\) en \(x_B = b\)
dan krijg je: \({f(b)-f(a) \over b-a}\)
Nou is deze lijn nog niet de helling op de grafiek in één punt. Dat komt omdat het interval [a,b] daarvoor te groot is. We gaan het interval kleiner maken om daarmee de helling in één punt te kunnen berekenen.
Klik op de volgende link en kijk wat er gebeurt als je punt b steeds dichter naar punt a toe versleept.
Je hebt gezien dat je de helling voor elk punt op de grafiek kunt vinden, door het interval steeds kleiner te maken.
Als je de helling wilt weten voor x, dan neem je een tweede punt wat op afstand h van x ligt.
De differentiequotiënt op [x, x+h] is dan gelijk aan \({\Delta x \over \Delta y} = {f(x+h)-f(x) \over x+h - x}\)
Als we het verschil tussen de twee punten steeds kleiner maken, dan gaat de helling tussen de twee punten steeds meer lijken op de helling in één punt.
De afgeleide van de grafiek f is dus \(f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} {f(x+h) - f(h) \over h}\)
We gaan proberen om de afgeleide functie van \(f(x)=a^x \)op te stellen.
Uit de definitie van hiervoor weten we dat \( \lim\limits_{h \to 0} {f(x+h) - f(h) \over x}\)
Nu is \(f(x) = a^x\), dus \(f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} {a^{x+h} - a^x \over h} \)
Het arrangement Euler's getal is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Jorine Mol
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2024-06-08 15:13:41
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
