Meetkunde

Meetkunde

Introductie

In deze module hebben we het over verschillende veelvlakken waarmee we gaan berekenen. Voornamelijk regelmatige veelhoeken en de zeshoek. De punten van een figuur geef je aan met een hoofdletter en voor de ribben/lijnen gebruik je de kleine letters. Hieronder staan de veelhoeken en hoe de oppervlakte wordt berekend.

Voorkennis

Driehoeken

 

Vierhoeken

 

Parralelogram

 

Pythagoras

Hoofdstuk 1: Cirkels

1.1 Cirkel oppervlakte en omtrek

Het middelpunt van de cirkel duiden we meestal aan met de letter M. Verder onderscheiden we de begrippen diameter en de straal. De diameter wordt ook middellijn genoemd en je kort de diameter af met de letter Het is de afstand van cirkel tot cirkel door het middelpunt. De straal is de afstand van het middelpunt tot de cirkel, de straal kort je af met de letter

Bij het berekenen van de omtrek en de oppervlakte komen we verder het getal pi (π) tegen. π = 3,14159.... (afgerond 3,14).

1.1 Cirkel Oppervlakte van een cirkel: 

- Met straal (r): A = π x r2

- Met diameter (d): A = \( {1\over 3}\)x π x d2

 

Omtrek van een cirkel: 

- Met straal (r): O = 2 x r x π

- Met diameter (d): O = d x π

1.2 Cirkel/Cirkelboog

Cirkelboog 1.2 Een cirkelboog is een gedeelte van de omtrek   van de cirkel en een cirkelsector is het gebied.   Een cirkelboog op een middelpuntshoek α in een   cirkel heeft als lengte:

 \({α \over360} \) x omtrek cirkel.

Formule:  \({α \over 360} * d * π\)

 

Een cirkelsector is een deel van het cirkeloppervlak ingesloten door een cirkelboog. Een cirkelsector van een cirkel op een middelpuntshoek α heeft als oppervlakte: 

\({α \over 360} \)x oppervlakte cirkel 

Formule: \({α \over 360} * r^2 * π\)

1.3 Cirkelringen

Een ring is een geometrische figuur met een buitenradius R en een binnen radius r met een gemeenschappelijk midden. Dit wordt ook een kroon genoemd, hieronder in blauw gegeven.

Cirkelring 

De berekening van de oppervlakte van een kroon (ring) is: Oppervlakte grote cirkel (R) - oppervlakte kleine cirkel (r)

 

Formule: \((R^2 * π) - (r^2 * π)\)

1.4 Bol

BolIs een cirkel een tweedimensionaal figuur, een bol is een driedimensionaal lichaam waarvan alle punten op het oppervlak van de bol op eenzelfde afstand tot het middelpunt van de bol liggen. Alle resterende punten van de bol liggen binnen dit oppervlak. Het oppervlak wordt ook sfeer genoemd. Veel voorwerpen uit de praktijk zijn een bol, denk aan een voetbal of tennisbal. Ook planeten zijn een bol, weliswaar zijn de polen van planeten wat afgeplat.

De oppervlakte van een bol kun je zien als een uitslag van de bol. Zo’n figuur wordt een ellips genoemd, denk dus aan een wereldkaart. 

Earth

 

Formule om de oppervlakte van een bol te kunnen berekenen is: \(A = 4 * r^2 * π\)

De inhoud of volume van een bol bereken je met de formule: \(V = {3 \over 4} * r^2 * π\)

1.5 Opdrachten cirkels

Opdracht 1. Bereken de omtrek van de cirkel als:

a. \(d = 45dm \)

b. \(r = 13mm\)

 

Opdracht 2. Bereken de oppervlakte van de cirkel als: 

a. \(d = 49mm\)

b. \(r = 123m\)

 

Opdracht 3. De oppervlakte van een cirkel is \(2123,72cm^2\)

a. Bereken de straal. 

b. Bereken de omtrek.

 

Opdracht 4. De omtrek van een cirkel is \(392,70m\)

a. Bereken de diameter van de cirkel. 

b. Bereken de oppervlakte van de cirkel. 

 

Opdracht 5. Bereken de oppervlakte van de cirkelring als:

a. r1 = \(120mm\)  en r2 = \(15cm\)

b. r1 = \(150dm\)  en r2 = \(23,5m\)

Opdracht 6. De oppervlakte van een ring is \(2133,14m^2 \). De diameter van de buitencirkel is \(104m\) 

Bereken de straal van de binnencirkel. 

 

Opdracht 7. Bereken de lengte van de cirkelbogen als: 

a. \(d = 39m, α= 23°\)

b. \(d = 122,5mm, α = 133°\)

 

Opdracht 8. Bereken de oppervlakte van de cirkelsector als: 

a. \(r = 41,23dm, α = 23°\)

b. \(r = 725mm, α = 217°\)

 

Opdracht 9. 

a. Bereken de oppervlakte en inhoud van een bol met een straal van \(55cm.\)

b. Bereken de oppevlakte en inhoud van een bol met een middellijn van \(5m.\)

 

Opdracht 10. 

a. Een bol heeft een oppervlakte van \(200cm^2.\) Bereken de inhoud van de bol. 

b. Een bol heeft een inhoud van \(500m^3.\) Bereken de oppervlakte van de bol. 

Hoofdstuk 2: Ruimtelijke figuren

2.1 Balk en kubus

Balk Een balk of rechthoekig blok is een veelvlak met 6 rechthoekige zijvlakken, 8 hoekpunten. De zijvlakken van een balk zijn twee aan twee congruent. Een balk kan een ongelijke lengte, breedte en hoogte hebben.

De oppervlakte van een balk bereken je door:
oppervlakte voor en achtervlak + 2 x oppervlakte zijvlak + oppervlakte grond en bovenvlak. Dat zijn 6 vlakken in totaal.

Formule: \(A = 2 * l * b + 2 * l * h + 2 * b * h \)

Kort: \(A = 2 * (l*b + l*h + b*h)\)

 

Kubus

 

Een kubus of hexaëder is een regelmatig veelvlak, een zesvlak, waarvan de 6 zijvlakken even grote vierkanten zijn.

De oppervlakte van een kubus bereken je door:
oppervlakte van de 6 vlakken bij elkaar op tellen.

Dus \(oppervlakte = lengte zijde * lengte zijde * 6 \)

Formule: \(A = z * z * 6 \)           Verkort: \(z^2 * 6 \)

 

 

 

 

De inhoud van een balk en kubus kun je berekenen door: inhoud = oppervlakte grondvlak x hoogte

Inhoud balk: \(V = l * b * h\)

Inhoud kubus: \(V = z * z * z\)      Verkort: \(V = z^3 \)
 

Een kubus is een balk, maar niet elke balk is een kubus! Je kunt ook zeggen dat een kubus een bijzondere balk is. 

2.2 Prisma

Een prisma is een figuur dat twee gelijke en evenwijdige vlakken heeft en een aantal andere vlakken. Hoeveel andere vlakken dat zijn maakt bij een prisma niet uit. Een kubus of een balk wordt in de wiskunde ook als prisma gezien, maar het kan dus ook andere vormen hebben. Op het plaatje hieronder zie je verschillende voorbeelden van prisma’s.

Prisma

Een prisma bestaat uit een grondvlak en een bovenvlak die exact dezelfde vorm hebben en evenveel hoeken hebben. Tussen deze grondvlakken zijn de hoekpunten verbonden met evenwijdige ribben. Wij hebben nu over prisma’s met een grond- en bovenvlak in de vorm van een regelmatig veelhoek.

Oppervlakte van een prisma berekenen:
De oppervlakte van een prisma kun je berekenen door de oppervlakken van de vlakken bij elkaar op te tellen. Dus oppervlakte = 2 x grondvlak + som van de oppervlakte van de zijkanten.

De formule kun je anders schrijven:
Aprisma = 2 x Agrondvlak + n x Azijvlakken
Hier is A = oppervlakte en n = aantal zijvlakken

Inhoud van een prisma berekenen:

De inhoud van een prisma bereken je door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte. In formule vorm is dat:

V = Agrondvlak x h

We kunnen verschillende soorten grondvlakken hebben zoals een driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek en zo gaat het door. Wij hebben het nu over prisma’s met een grond- en bovenvlak in de vorm van een regelmatig veelhoek.

2.3 Cilinder

Een cilinder is een bekende meetkundige figuur en bestaat uit drie onderdelen. Een boven- en ondervlak. Deze zijn beide een cirkel. En een mantel.

CilinderOm de oppervlakte van een cilinder te berekenen tel je de oppervlakte van de grondvlak, bovenvlak en de mantel van de cilinder bij elkaar op. De grond- en bovenvlak van een cilinder zijn cirkels. De oppervlakte van de cilindermantel bereken je door de breedte van de kegelmantel te vermenigvuldigen met de hoogte van de cilinder. Een kegelmantel heeft als breedte de omtrek van het grondvlak.

Oppervlakte cilinder: 

\(A = 2 * Oppervlakte _ {grondvlak} + Oppervlakte _{kegelmantel}\)

In formulevorm: \(A = (2 * r^2 * \pi) + (d * \pi * h)\)

 

Cili

Om de inhoud van een cilinder te berekenen, bepalen we eerst de oppervlakte van het grondvlak (cirkel) en vermenigvuldigen deze met de hoogte van de cilinder.

Inhoud cilinder is dus grondvlak keer de hoogte van de cilinder. 
In formule vorm: \(V = r^2 * \pi * h\)

2.4 Piramide

Een piramide is namelijk een ruimtelijke figuur bestaande uit een veelhoek als grondvlak en driehoekige zijvlakken vanuit elk van de zijden van de veelhoek naar een gemeenschappelijke punt, de top.

Voorbeelden van piramides zijn:

      Viervlak:                           Vierkante piramide:                    Vijfhoekige pirmamide:

direpirmaid                              vierpiram                                vijfhoekigepir

 

De oppervlakte van een piramide bereken we door de oppervlakte van de grensvlakken bij elkaar op te tellen. Voor de oppervlakte van een vierkante piramide geldt: 
oppervlakte piramide = 4 x oppervlakte zijdriehoek + oppervlakte grondvlak
In formulevorm: \(A = 4 * {1\over 2} * z * h_z + z^2\)

De hoogte van de zijvlakken te kunnen berekenen gebruiken we de stelling van Pythagoras.
De inhoud of volume van een piramide berekenen we met: 

Volume = \(1 \over 3\)x oppervlakte grondvlak x hoogte piramide          Formulevorm: \(V = {1 \over 3} * G * h\)

Primadedoorsnede

2.5 Kegel en afgeknotte kegel

Kegel 

Een kegel bestaat uit een plat vlak en een gekromd vlak. Het platte vlak is de bodem. Deze bodem is een cirkel. Het gekromde vlak is de mantel van de kegel.

De kegel heeft als grondvlak een cirkel. De hoogte h is de afstand tussen de top T en het middelpunt van het grondvlak, rg is de lengte van de straal van het grondvlak. De uitslag van de mantel is een cirkelsector. De straal van de cirkelsector is rm =TB

Kegel1Kegelopen

 

Voor de oppervlakte van een kegel geldt:
oppervlakte kegel = oppervlakte grondvlak + oppervlakte cirkelsector 
Als formule is het: \(A = \pi * r_{g}^2 + { \alpha \over 360} * \pi * r_{m}^2\)  dit kun je herleider tot: \(A = \pi * r_{g}^2 + \pi * r_g * r_m\)

De lengte van \(r_m = \sqrt {h^2 +r_{g}^2} \)

De inhoud of het volume van een kegel reken we uit op de volgende manier: 

\(Inhoud kegel = {1 \over 3} * oppervlakte grondvlak * hoogte\)
Dit kun je als formule schrijven: \(V = {1 \over 3} * \pi * r_{g}^2 * h \)

 

Afgeknotte kegel

Een afgeknotte kegel is een lichaam dat ontstaat uit een kegel door tussen de top en het grondvlak een gelijkvormig deel ervan "af te snijden" met een vlak evenwijdig aan het grondvlak.

Smoething               Something

De oppervlakte van een afgeknotte kegel rekenen we uit door: 
oppervlakte afgeknotte kegel = oppervlakte hele kegel - oppervlakte kegeltop
Als formule schrijf je het op als: \(A = ( \pi * R^2 + \pi * R * A) - (\pi * r^2 + \pi * r * a)\)

De inhoud van een afgeknotte kegel rekenen we uit op dezelfde manier: 
Inhoud afgeknotte kegel = inhoud hele kegel - inhoud kegeltop
Als formule schrijf je het op als: \(V = {1 \over 3} * \pi * R^2 * H - {1 \over 3} * \pi * r^2 * h\)

2.6 Opdrachten ruimtelijke figuren

Opdracht 1. Een balk heeft de volgende afmetingen: \(l = 25cm, \ b=3m \ en \ h=1,5dm\)
a. Bereken de oppervlakte van de balk.
b. Bereken de inhoud van de balk in liters.


Opdracht 2. Een kubus heeft een ribbe met de lengte 125mm.
a. Bereken de oppervlakte van de kubus.
b. Bereken de inhoud van de kubus.
 

Opdracht 3. De oppervlakte van een kubus \(726hm^2\). De breedte in \(12m\) en de hoogte is \(57m^2\)
a. Bereken de lengte van de kubus.
b. Bereken de inhoud.
 

Opdracht 4. De inhoud van een kubus is \(12167m^2\).
a. Bereken de lengte van zijde.
b. Bereken de totale oppervlakte.
 

Opdracht 5. Een prisma heeft als grondvlak een rechthoekige driehoek met rechthoekzijden van 12cm en 13cm. De inhoud is 3,12 liter.  
a. Bereken de hoogte van het prisma.
b. Bereken de oppervlakte van het prisma.
 

Opdracht 6. Een zijde van een vierkant grondvlak van een piramide is 32cm. De hoogte bedraagt 41cm. 
a. Bereken de oppervlakte van de piramide.
b. Bereken de inhoud van de piramide.
 

Opdracht 7. Een zijde van het rechthoekige grondvlak is 4,1dm. De inhoud is 39L.
a. Bereken de hoogte van de piramide.
b. Bereken de oppervlakte dan de piramide.
 

Opdracht 8. Een blik cola heeft een diameter van 6mm en is 11mm hoog.
a. Bereken de oppervlakte.
b. Bereken de inhoud.
 

Opdracht 9. Een kaars heeft een inhoud van \(549,78cm^3\) en is \(7cm\) hoog.
a. Bereken de hoogte.
b. Bereken de totale oppervlakte.
 

Opdracht 10. Het grondvlak van een kegel heeft een straal van 97mm en de hoogte is 142mm.
a. Bereken de oppervlakte.
b. Bereken de inhoud.
 

Opdracht 11. Een kegel heeft een inhoud van \(2750cm^3\). De hoogte is 21cm.
a. Bereken de straal van het grondvlak.
b. Bereken de oppervlakte van deze kegel.
 

Opdracht 12. We hebben een afgeknotte kegel. De hoogte is \(51cm\). De straal van het bovenvlak is \(12cm\) en de straal van het ondervlak is 47cm.
a. Bereken de oppervlakte.
b. Bereken de inhoud

Hoofdstuk 3: Verhoudingen en Goniometrie

3.1 Vergrotingsfactor

Schaal

Om aan te geven hoeveel keer groter de werkelijkheid is wordt een schaal gebruikt. 

Bijvoorbeeld:
Schaal is 1:10. De schaal is dus 1 staat tot 10. Dus één centimeter op de tekenening is 10 cm in werkelijkheid.

Vergrotingsfactor 

De vergrotingsfactor van een meting wordt aangegeven met de letter \(k\). Dus als \(k = 3\), dan is de vergrotingsfactor 3. Dat betekent dat het 3 keer groter is. 

Bij oppervlakte is de vergrotingsfactor \(k^2\), omdat de lengteen de breedte met \(k\) vermenigvuldigd worden.  

kegel1

Bij inhoud is de vergrotingsfactor \(k^3\) omdat de lengte, breedte en hoogte met \(k\) vemenigvuldigd worden. 

kegel2

Meer toepassing vergrotingsfactor

Als je alleen een afgeknotte kegel of piramide hebt dan weet je niet wat de hoogte is van dat kegel of piramide. Aan de hand van de vergrotingsfactor kun je dit berekenen.

kegel3

Voorbeeld:

Hieronder het vooraanzicht van een afgeknotte kegel met de hoogte en de stralen gegeven. Om de inhoud van deze afgeknotte kegel te kunnen berkenen hebben we de hoogte van de hele kegel nodig. 

kegel5

kegel4

3.2 Sinusregel

Als van een driehoek alle hoeken bekend zijn en de lengte van één zijde, dan kunnen we de lengtes van de andere zjides ook berekenen.

sinus1

 

Sinusregel:

\({a \over sin(\alpha)} = {b \over sin(\beta)} = {c \over sin(\gamma)}\)

sinus2

sinus3

3.3 Cosinusregel

cos1

cos2

3.4 Opdrachten

Opdracht 1. Van een rechthoek ABCD zijn de zijden 7 en 11cm. Rechthoek KLMN is een vergroting van rechthoek ABCD met factor 1,5.
a. Bereken de zijden van rechthoek KLMN.
b. Hoeveel keer zo groot wordt de oppervlakte?
 

Opdracht 2. Een rechthoek is 24 bij 32cm. Van een vergroting van deze rechthoek is één van de zijden 56cm.
a. Hoe groot kan de vergrotingsfactor geweest zijn? Let op: er zijn twee mogelijkheden.
b. Welke afmetingen kan de vergroting hebben? Geef beide mogelijkheden.
 

Opdracht 3. Vierhoek ABCD heeft een oppervlakte van \(8cm^2\) en een omtrek van 12cm. Van deze vierhoek wordt een vergroting gemaakt met factor 7.
a. Bereken de omtrek van de vergroting.
b. Bereken de oppervlakte van de vergroting.
c. De omtrek van een andere vergroting van vierhoek ABCD is 432 cm. Bereken de oppervlakte van deze vergroting.
 

Opdracht 4. Van een balk is de oppervlakte \(48cm^2\) en de inhoud is \(64cm^3\).
a. Bereken de oppervlakte en de inhoud van de vergroting, als je de balk vergroot met factor 5.
b. Bereken de oppervlakte en de inhoud van de vergroting, als je de balk vergroot met factor \(1 \over 4\).
c. Als de oppervlakte van een vergroting \(3072cm^2\) wordt, hoe groot wordt dan de inhoud van deze vergroting.

Opdracht 5. Hieronder het vooraanzicht van een afgeknotte kegel. Bereken de inhoud van de kegel, geef je antwoord in liters. 

5

Opdracht 6. Bereken de lengte van de lijnstukken d & f van de driehoek hieronder. 

6

Opdracht 7. Bereken de lengte van het lijnstuk a. (Bereken eerst de hoek \(\gamma\)). 

7

Opdracht 8. Bereken hoek \(\beta\) en de lengte van de zijde a. 

8

Opdracht 9. Gebruik de cosinusregel om de hoeken \(\alpha, \beta, \gamma\) van het onderstaande figuur te berekenen. 

9

  • Het arrangement Meetkunde is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Guido Dania
    Laatst gewijzigd
    2023-07-04 01:34:34
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Het onderdeel van wiskunde dat zich bezighoudt met de eigenschappen van punten, lijnen en lichaam.
    Leerniveau
    MBO, Niveau 4: Middenkaderopleiding;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen/wiskunde; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van