Wiskunde vmbo-kgt12

Inleiding

Welkom bij de Kennisbank Wiskunde onderbouw vmbo.
Deze kennisbank bevat de leerstof van de Stercollecties Wiskunde vmbo-kgt voor leerjaar 1 en 2 van Stichting VO-content.

De verschillende onderdelen van de Kennisbank zijn ook steeds te raadplegen vanuit de thema’s van de Stercollecties.
De kennisbanken staan op alfabetische volgorde.

Veel succes.

Kennisbanken

Aanzichten

	\(\small{\text{bovenaanzicht}}\)


\(\small{\text{zijaanzicht}}\)	\(\small{\text{vooraanzicht}}\)

Om een goed beeld te krijgen van een ruimtelijke figuur, kijk je van verschillende kanten naar het figuur.
Een tekening van wat je ziet, heet een aanzicht.
Vaak teken je drie aanzichten. Dit heet een drie-aanzicht van het figuur:

Drie-aanzicht


\(\small{\text{zij}}\)	\(\small{\text{voor}}\)	\(\small{\text{boven}}\)

Van een kubushuisje is een drie-aanzicht getekend.

Het kubushuisje bestaat uit \(\small{9}\) kubusjes.

Als je van de voorkant naar het kubushuisje kijkt zie je \(\small{6}\) vierkantjes..

Het bovenaanzicht en het zijaanzicht bestaan ieder uit \(\small{5}\) vierkantjes.

Aanzichten - Voorbeeld

Je ziet een bouwwerk van kubussen.
In het bovenaanzicht staan getallen.
De getallen geven aan hoeveel kubussen op elkaar staan.

\(\small{\text{bovenaanzicht}}\)

\(\small3\)	\(\small4\)	\(\small3\)
\(\small3\)	\(\small2\)	\(\small2\)
\(\small1\)	\(\small0\)	\(\small1\)

Het bouwwerk bestaat uit \(\small{3 + 4 + 3 + 3 +2 + 2 + 1 + 0 + 1 = 19}\) kubusjes.

Afronden

Je wilt afronden op een geheel getal.
Wat is het dichtstbijzijnde gehele getal?

\(\small{5{,}4}\) wordt \(\small{5}\) (je rondt naar beneden af)

\(\small{5{,}7}\) wordt \(\small{6}\) (je rondt naar boven af)

\(\small{5{,}5}\) wordt \(\small{6}\)

\(\small{5{,}5}\) ligt precies midden tussen \(\small{5}\) en \(\small{6}\).
De afspraak is dat je naar boven afrondt.

\(\small{5{,}5}\) wordt \(\small{6}\)

Je wilt afronden op twee cijfers achter de komma.
Je kijkt dan naar de derde decimaal (het derde cijfer achter de komma):

\(\small{17{,}342}\) wordt \(\small{17{,}34}\) (\(\small{2}\) rond je naar beneden af)

\(\small{17{,}349}\) wordt \(\small{17{,}35}\) (\(\small{9}\) rond je naar boven af)

\(\small{17{,}345}\) wordt \(\small{17{,}35}\) (\(\small{5}\) rond je naar boven af)

Bij afronden van twee cijfers achter de komma geldt:

Is het derde decimaal een \(\small{0}\), \(\small{1}\), \(\small{2}\), \(\small{3}\), of \(\small{4}\), dan rond je af naar beneden.

Is het derde decimaal een \(\small{5}\), \(\small{6}\), \(\small{7}\), \(\small{8}\), of \(\small{9}\), dan rond je af naar boven.

Video: Afronden

Uitlegvideo: Afronden op een geheel getal

Uitlegvideo: Afronden op twee cijfers achter de komma.

Afronden - Voorbeeld 1

Emilie heeft drie proefwerken gehad voor wiskunde.
Ze heeft de volgende cijfers: \(\small{6{,}5}\) en \(\small{8}\) en \(\small{7}\).
Alle cijfers tellen even zwaar.
Op het rapport worden alleen gehele getallen gegeven.
Het gemiddelde van Emilie's cijfers reken je als volgt uit:

\(\small{6{,}5+8+7=21{,}5}\)

\(\small{21{,}5:3=\frac{21{,}5}{3}=7{,}167}\)

\(\small{7{,}167}\) wordt \(\small{7}\)

Emilie krijgt dus een \(\small{7}\) voor wiskunde op haar rapport.

Afronden - Voorbeeld 2

Jochem heeft een fles cola.
De inhoud van de fles is \(\small{1500}\) mL (\(\small{1{,}5}\) liter).

In één glas gaat \(\small{180}\) mL cola.
Hoeveel glazen cola kan Jochem ongeveer uit één fles halen?

\(\small{1500:180=\frac{1500}{180}=8{,}33333333}\)

\(\small{8{,}33333333}\) wordt \(\small{8}\)

Jochem kan dus ongeveer \(\small{8}\) glazen cola uit één fles halen.

Afstanden

In de wiskunde is de afstand altijd de lengte van de kortste verbinding.

De afstand tussen de twee punten \(\small{\text{A}}\) en \(\small{\text{B}}\) is de lengte van het lijnstuk \(\small{\text{AB}}\) tussen die punten.

De afstand van punt \(\small{\text{C}}\) tot lijn \(\small\text{n}\) is de lengte van lijnstuk \(\small{\text{CS}}\).
Dit is een loodrechte lijn. Dat zie je aan het loodrechtteken.

De afstand tussen de lijnen \(\small\text{p}\) en \(\small\text{q}\) is de lengte van lijnstuk \(\small{\text{DE}}\).
Dit is een loodrechte lijn. Dat zie je aan het loodrechtteken.

Afstanden voorbeeld 1

Afstand punt - lijn

Bekijk de applet.

Je ziet de punten \(\small{\text{C}}\) en \(\small{\text{S}}\) en lijn \(\small\text{l}\).
Bij het lijnstuk \(\small{\text{CS}}\) staat de afstand tussen de punten \(\small{\text{C}}\) en \(\small{\text{S}}\).
Beweeg punt \(\small{\text{S}}\) over lijn \(\small\text{l}\) .
Je ziet dat je de kortste verbinding tussen punt \(\small{\text{C}}\) en lijn \(\small\text{l}\) krijgt als lijnstuk \(\small{\text{CS}}\) loodrecht op lijn \(\small\text{l}\) staat.
De lengte van lijnstuk \(\small{\text{CS}}\) is dan de afstand van punt \(\small{\text{C}}\) tot lijn \(\small\text{l}\) .
Het lijnstuk \(\small{\text{CS}}\) is dan de loodlijn door punt \(\small{\text{C}}\) op lijn \(\small\text{l}\).

Afstanden - Voorbeeld 2

Hierboven zie je twee keer een plattegrond.

Eva staat in de Dijkmeesterweg (punt \(\small{\text{A}}\)).
Ze wil naar de schoolstraat (punt \(\small{\text{B}}\)).
De afstand van punt \(\small{\text{A}}\) naar \(\small{\text{B}}\) is de lengte van lijnstuk \(\small{\text{AB}}\) .
Eva kan niet in een rechte lijn van \(\small{\text{A}}\) naar \(\small{\text{B}}\) lopen.
De route die Eva loopt zie je aangegeven in de plattegrond.
De lengte van die route is langer dan de afstand \(\small{\text{AB}}\) .

Afstanden - Voorbeeld 3

Bekijk het verkeersbord.

De route naar Harfsen is \(\small{3}\) kilometer.
Dat betekent dat als je vanaf het punt waar het bord staat over de weg naar Harfsen gaat je \(\small{3}\) km aflegt.
De afstand tussen twee punten is vaak niet de route over de weg.
De afstand hemelsbreed zal minder zijn dan \(\small{3}\) kilometer.

Aftreksommen met grote getallen

Net als bij optelsommen, kun je aftreksommen met grote getallen het beste onder elkaar uitrekenen. Ook hiervoor hebben we weer een stappenplan.
Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze beter.

Voorbeeld: \(\small178 - 35 = \)

Zet de getallen onder elkaar.
Zorg ervoor dat de getallen – aan de rechterkant – goed onder elkaar staan.
Dus de eenheden onder de eenheden.
Noteer de waarde van de cijfers erbij:
D = duizendtallen,
H = honderdtallen,
T = tientallen en
E = eenheden.
In dit voorbeeld zijn er geen duizendtallen, dus zetten we ook geen D neer.

Trek nu eerst de eenheden van elkaar af.
In dit geval is \(\small8 - 5 = 3\).
De \(\small3\) zet je onder de streep bij de eenheden.

Trek daarna de tientallen van elkaar af.
In dit geval dus \(\small7 - 3 = 4\).
Omdat het tientallen zijn is het dus eigenlijk \(\small70 - 30 = 40\).
De \(\small4\) zet je weer onder de streep, maar nu dus bij de tientallen, want deze \(\small4\) is \(\small40\) waard.

Trek dan de honderdtallen van elkaar af.
In dit geval is het makkelijk want er maar \(\small1\) honderdtal en hoef je er niks van af te trekken. Dus de \(\small1\) zet je nu onder de streep bij de honderdtallen, want de \(\small1\) is honderd waard.

Trek dan de duizendtallen van elkaar af.
Er zijn geen duizendtallen, dus we zijn al klaar!
Het antwoord is \(\small43\).

Aftreksommen met grote getallen - 2

Nog een voorbeeld: \(\small2364 - 1435 = \)

Zet de getallen onder elkaar.

b.	Trek nu eerst de eenheden van elkaar af. In dit geval is \(\small4 - 5 =\) … Maar dat kan helemaal niet! \(\small5 - 4 = 1\). De 1 zet je onder de streep bij de eenheden. Omdat we toch willen gaan aftrekken, gaan we lenen bij de buren. Bij de tientallen dus. Je trekt \(\small1\) van de tientallen af, dus \(\small6 - 1 = 5\), dan streep je de \(\small6\) bij de tientallen door en zet er een kleine \(\small5\) boven.
	De \(\small1\) die je geleend hebt van de tientallen tel je dan op bij de eenheden. Maar let op, de geleende \(\small1\) is een tiental en is dus \(\small10\) waard. Dus \(\small10 + 4 = 14\). Je streept ook hier de \(\small4\) bij de eenheden door en zet er een kleine \(\small14\) boven.
	Nu kunnen we de eenheden echt gaan aftrekken. Dus \(\small14 – 5 = 9\) en we zetten de \(\small9\) onder de streep bij de eenheden.

Trek daarna de tientallen van elkaar af.
In dit geval dus \(\small5 - 3 = 2\)
Let op: we hadden de \(\small6\) doorgestreept en vervangen door de \(\small5\)!
We zetten de \(\small2\) dus weer onder de streep, maar nu bij de tientallen.

Trek dan de honderdtallen van elkaar af.
In dit geval dus \(\small3 - 4 =\) … maar dat kan weer niet. Dus we moeten weer gaan lenen bij de buren aan de linkerkant. In dit geval dus bij de duizendtallen.
We trekken weer \(\small1\) van de duizendtallen af, dus \(\small2 - 1 = 1\). We strepen de 2 bij de duizendtallen door en zetten er een kleine \(\small1\) boven.
De \(\small1\) die je geleend hebt bij de duizendtallen tel je weer bij de honderdtallen op. Deze \(\small1\) is een duizendtal en dus \(\small10\) keer zoveel waard als de honderdtallen.
Dus \(\small10 + 3 = 13\). We strepen de \(\small3\) bij de honderdtallen door en zetten er een kleine \(\small13\) boven. We kunnen nu weer gewoon de honderdtallen aftrekken. Dus \(\small13 – 4 = 9\).
We noteren de \(\small9\) onder de streep bij de honderdtallen.

Trek dan de duizendtallen van elkaar af.
In dit geval dus \(\small1 - 1 = 0\). Weet je nog, we hadden de \(\small2\) doorgestreept en vervangen door de \(\small1\). We hoeven de \(\small0\) niet te noteren, omdat deze helemaal aan de linkerkant staat.
Als je straks in een andere som een nul als antwoord krijgt, die NIET helemaal aan de linkerkant staat, dan noteer je die nul natuurlijk wel!

Aftreksommen met grote getallen - 3

Laatste voorbeeld: bijzondere situatie

In het vorige voorbeeld moest je twee keer lenen bij de linkerburen.
Maar wat als daar een \(\small0\) staat? Dan valt er dus niets te lenen bij de buren?

We willen onder elkaar uitrekenen \(\small1000 - 899 =\)

Zet de getallen onder elkaar.

Trek nu eerst de eenheden van elkaar af
\(\small0 - 9\) kan niet, dus we gaan lenen bij de buren, bij de tientallen dus. Maar daar staat ook een nul. Dan gaan we één deur verder naar de honderdtallen. Daar staat weer een nul. Dan gaan we weer een deur verder, naar de duizendtallen. Hèhè, daar staat eindelijk een \(\small1\). We willen dus van de duizendtallen, honderdtallen en tientallen samen lenen. Daar staat nu \(\small100\) en we lenen er \(\small1\) van. Dus \(\small100 - 1 = 99\).

We strepen bij de duizendtallen, honderdtallen en tientallen de \(\small100\) door en zetten er \(\small99\) boven.
Bij de \(\small0\) bij de eenheden tellen we \(\small10\) op (van de geleende \(\small1\)) en zetten dat klein boven de eenheden. De nul strepen we door.

Nu kunnen we gewoon de som maken zoals we gewend zijn.

Trek daarna de tientallen van elkaar af.

Trek dan de honderdtallen van elkaar af.

Trek dan de duizendtallen van elkaar af.
Er zijn geen duizendtallen meer, dus het antwoord is \(\small101\).

Aftrekken met negatieve getallen

Bij het aftrekken met negatieve getallen maak je gebruik van de regel:

─ - is hetzelfde als +

Dus \(\small{8-\text{-}3}\) is hetzelfde als \(\small{8+3}\).

Op de getallenlijn:

Voorbeelden:

\(\small{5-\text{-}3=5+3=8}\)
\(\small{4-\text{-}7=4+7=11}\)
\(\small{\text{-}9-\text{-}4=\text{-}9+4=\text{-}5}\)
\(\small\text{-3}-5=\small\text{-8}\)

Video: Aftrekken met negatieve getallen

Uitlegvideo: Aftrekken met negatieve getallen

Aftrekken met negatieve getallen - Voorbeeld

Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijg zij van de jury de volgende puntenaantallen.

De totaalscore voor Irma bereken je met de volgende som:

\(\small{5+\text{-}1+2+\text{-}4=2}\)

De totaalscore voor Irma is dus \(\small{2}\).

Irma mag de slechtste score laten vervallen.
De laagste score is \(\small{\text{-}4}\).
De score wordt dan \(\small{2-\text{-}4=6}\). Ga na of dit klopt!

Breuken

Breuken - 1

Je ziet drie poppetjes. Een van de drie poppetjes is gekleurd.

Dat is \(\small\frac{1}{3}\) deel van de poppetjes.

\(\small\frac{1}{3}\) is een breuk.
\(\small{1}\) is de teller en \(\small{3}\) is de noemer.

\(\small\frac{1}{3}\) deel is gekleurd, dus \(\small\frac{2}{3}\) is niet gekleurd.

\(\small\frac{2}{3}\) is ook een breuk.
Van deze breuk is \(\small{2}\) de teller en is \(\small{3}\) de noemer.

Breuken kun je zichtbaar maken in plaatjes.

Van deze rechthoek is \(\small\frac{1}{3}\) deel gekleurd.
Van deze rechthoek is \(\small\frac{2}{3}\) deel niet gekleurd.

Breuken kom je dagelijks tegen.
Bijvoorbeeld

De helft van alle leerlingen is goed in wiskunde.
De helft is \(\small\frac{1}{2}\) deel.

Twee van de vijf jongens spelen regelmatig voetbal.
Twee van de vijf is \(\small\frac{2}{5}\) deel.

Breuken - 2

Een breuk kun je als volgt in een decimaal getal omzetten. Je kunt dit controleren met je rekenmachine.

\(\small{\frac{1}{10} =1:10=0{,}1 }\)

Dus ook \(\small{\frac{2}{10} =0{,}2 }\) en \(\small{\frac{3}{10} =0{,}3 }\) en \(\small{\frac{4}{10} =0{,}4 }\) en \(\small{\frac{5}{10} =0{,}5 }\) enzovoorts.
\(\small{\frac{1}{2} =1:2=0{,}5}\)
\(\small{\frac{1}{4} =1:4=0{,}25}\) en \(\small{\frac{2}{4} =2:4=0{,}50}=0,5\) en \(\small{\frac{3}{4} =3:4=0{,}75}\)
\(\small{\frac{1}{5} =1:5=0{,}2}\) en \(\small{\frac{2}{5} =0{,}4 }\) en \(\small{\frac{3}{5} =0{,}6 }\) en \(\small{\frac{4}{5} =0{,}8 }\)

De breuk \(\small\frac{1}{3} \) is bijzonder, want deze breuk wordt nooit precies een decimaal getal.
\(\small{\frac{1}{3} =1:3\approx0{,}3333333333}\) (Het teken \(\approx\) betekent “is ongeveer”.)
Vaak rond je \(\small\frac{1}{3} \) af op \(\small0,33\) maar dat klopt dus niet precies!
Er geldt dan ook \(\small\frac{2}{3}=0,6666666666 \). Daarom rond je \(\small\frac{2}{3} \) vaak af op \(\small0,67 \). Maar ook dat klopt niet precies.

Video: Voorrangsregels in breuken

Uitlegvideo: Voorrangsregels in breuken

Breuken - Voorbeeld 1

In een klas zitten evenveel jongens als meisjes.
De helft van de klas bestaat uit meisjes.
De helft is hetzelfde als \(\small\frac{1}{2}\).
\(\small\frac{1}{2}\) is een breuk.
Bekijk de pizzapunt hiernaast.
De pizzapunt is één vierde deel van een hele pizza.
Één vierde is hetzelfde als \(\small\frac{1}{4}\).
\(\small\frac{1}{4}\) is een breuk.

Breuken - Voorbeeld 2

Bekijk de ketting hiernaast. De ketting heeft een vast patroon.
Na twee witte kralen komen steeds drie blauwe kralen.
Van iedere vijf kralen zijn er twee wit en drie blauw.

Van alle kralen is (twee vijfde) \(\small\frac{2}{5}\) deel wit.
\(\small\frac{2}{5}\) is een breuk.
Van alle kralen is (drie vijfde) \(\small\frac{3}{5}\) deel blauw.
\(\small\frac{3}{5}\) is een breuk.

Breuken - Voorbeeld 3

In een klas zitten \(\small{24}\) kinderen.
Één op de drie leerlingen vindt wiskunde leuk.
Één op de drie is \(\small\frac{1}{3}\) deel.
\(\small\frac{1}{3}\) deel van \(\small{24}\) is \(\small{24:3=8}\).
Dus \(\small8\) leerlingen vinden wiskunde leuk.

In het stadion van FC Utrecht kunnen \(\small{20000}\) mensen.
Voor de wedstrijd tegen NAC waren een kwart van de kaartjes niet verkocht.
Een kwart is \(\small\frac{1}{4}\).
Een kwart van \(\small{20000}\) is \(\small{20000:4=5000}\).
Dus \(\small{5000}\) kaartjes zijn niet verkocht.

Breuken delen

Breuken delen - 1

De pizza is eerst in \(\small4\) punten verdeeld. Iedere punt is dus \(\small\frac{1}{4}\) deel.
Hoe groot is het stuk dat je krijgt als je één van deze punten door \(\small2\) deelt?

Dat stuk is \(\small\frac{1}{8}\) deel van de hele pizza!

Dus \(\small\frac{1}{4}: 2 = \frac{1}{2}\times\frac{1}{4}= \frac{1}{4 \times 2}=\frac{1}{8}\)

Delen door 2 is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small\frac{1}{2}\).
En ook delen door 3 is hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small\frac{1}{3}\).
En delen door 4 is hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small\frac{1}{4}\).
En delen door 5 is hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small\frac{1}{5}\).
Enzovoort.

Breuken delen - 2

Je wil een \(\small3\) liter verfblik overgieten in blikken van \(\small\frac{1}{2}\) liter.
Hoeveel blikken van \(\small\frac{1}{2}\) liter kan je dan vullen?
Je kan met de verf uit een blik van \(\small3\) liter \(\small6\) blikken van\(\small\frac{1}{2}\) liter vullen!

Dus \(\small3:\frac{1}{2}=6\)

Delen door \(\small\frac{1}{2}\) is dus hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small2\).
En ook delen door \(\small\frac{1}{3}\) is hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small3\).
En delen door \(\small\frac{1}{4}\) is hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small4\).
En delen door \(\small\frac{1}{5}\) is hetzelfde als vermenigvuldigen met \(\small5\).
Enzovoort.

Breuken optellen en aftrekken

Breuken kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.
Dat kan alleen goed als de noemers van de breuken die je wil optellen of aftrekken hetzelfde zijn. De breuken zijn dan gelijknamig. In dit geval mag je gewoon de tellers van de breuken bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.

Bij pizzapunten geldt het volgende:

De noemers geven aan in hoeveel punten de pizza is verdeeld.
De pizza is bijvoorbeeld verdeeld in 5 punten.
De tellers geven aan hoeveel punten je bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt.
Bij voorbeeld 1 + 2 punten = 3 punten.

\(\frac{1}{5}\) + \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)

Maar wat nu als de noemers van de breuken niet gelijk zijn, dus als de breuken niet gelijknamig zijn? We moeten ze dan gelijknamig maken. Dat betekent dat je de onderkanten van de breuken, dus de noemers gelijk maakt.

Je wilt bij voorbeeld \(\small\frac{1}{3}\) en \(\small\frac{1}{5}\) bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.

Je vermenigvuldig eerst de noemers van beide breuken met elkaar.
Dit wordt de nieuwe noemer van beide breuken.

Dus: \(\small3 \times 5 = 15\). We gaan er dus “vijftienden” van maken.
Bij iedere breuk vermenigvuldig je de teller en de noemer met hetzelfde getal, zodat je bij beide breuken dezelfde noemer krijgt.

Dus bij \(\small\frac{1}{3}\) vermenigvuldig je de teller en de noemer (de bovenkant en de onderkant van de breuk) allebei met \(\small5\).
Dus \(\small\frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}\)
En bij \(\small\frac{1}{5}\) vermenigvuldig je de teller en de noemer allebei met \(\small3\).
Dus \(\small\frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}\)
Nu zijn de twee breuken gelijknamig en kun je ze dus bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken:
\(\small\frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}\) en \(\small\frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{2}{15}\)

Video: Optellen van breuken

Uitlegvideo: Optellen van breuken

Video: Aftrekken van breuken

Uitlegvideo: Aftrekken van breuken

Breuken optellen en aftrekken - Voorbeeld 1

Deze pizza is verdeeld in \(\small5\) gelijke stukken.

Arwa eet \(\small\frac{2}{5}\) deel van de pizza.

Anke eet ook \(\small\frac{2}{5}\) deel van de pizza.

Samen eten ze \(\small\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}\) deel van de pizza.

Dan is er nog \(\small1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\) deel van de pizza over.

Breuken optellen en aftrekken - Voorbeeld 2

Aan alle onderbouwleerlingen van een scholengemeenschap is gevraagd hoeveel zakgeld ze per maand krijgen.

\(\small\frac{1}{3}\) deel van de leerlingen krijgt minder dan € 20,-
\(\small\frac{2}{5}\) deel van de leerlingen krijgt tussen de € 20,- en € 30,-
De rest krijgt € 30,- of meer.

Welk deel van de kinderen krijgt € 30,- of meer zakgeld per maand?

\(\small\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}\) krijgt minder dan € 30,-

\(\small1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}\)

Dus \(\small\frac{4}{15}\) deel van de leerlingen krijgt € 30,- of meer.

Breuken vergelijken

Breuken vergelijken - 1

\(\small{\frac13}\)

\(\small\frac23\)

Breuken kun je met elkaar vergelijken.

\(\small\frac{1}{3}\) is kleiner dan \(\small\frac{2}{3}\)
Je schrijft \(\small\frac{1}{3}<\frac{2}{3}\)

Het teken \(\small<\) betekent: 'is kleiner dan'.

\(\small\frac{3}{4}\) is groter dan \(\small\frac{1}{4}\)
Je schrijft \(\small\frac{3}{4}>\frac{1}{4}\)

Het teken \(\small>\) betekent: 'is groter dan'.

Breuken vergelijken - 2

Soms helpt een plaatje bij het vergelijken van breuken.
Je ziet twee even grote rechthoeken.

Van de bovenste rechthoek \(\small\frac{1}{5}\) is deel gekleurd.

Van de onderste rechthoek is \(\small\frac{1}{3}\) deel gekleurd.

In de bovenste rechthoek is minder gekleurd dan in de onderste rechthoek:

\(\small\frac{1}{5}\) is kleiner dan \(\small\frac{1}{3}\)

\(\small\frac{1}{5}<\frac{1}{3}\)

In de onderste rechthoek is meer gekleurd dan in de bovenste.

\(\small\frac{1}{3}\) is groter dan \(\small\frac{1}{5}\)

\(\small\frac{1}{3}>\frac{1}{5}\)

Zie je in de rechthoeken ook dat \(\small\frac{4}{5}\) deel groter is dan \(\small\frac{2}{3}\) deel?

\(\small\frac{4}{5}\) is groter dan \(\small\frac{2}{3}\)

\(\small\frac{4}{5}>\frac{2}{3}\)

Breuken vergelijken - 3

Om twee breuken ook te kunnen vergelijken zonder eerst een plaatje te tekenen, kan je ze gelijknamig maken. Dat betekent dat je de onderkanten van de breuken, de noemers hetzelfde maakt.

Voordat je dit kan doen, moet je eerst weten dat een breuk hetzelfde blijft als je de bovenkant, de teller en de onderkant, de noemer allebei met hetzelfde getal vermenigvuldigt.

\(\small\frac{1}{3}\) \(=\) \(\small\frac{2}{6}\) \(=\) \(\small\frac{9}{12}\)

Je ziet dat \(\small\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}\)

Op dezelfde manier geldt ook \(\small\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10}\) enzovoort.

Breuken vergelijken - Voorbeeld 1

	\(\small{\text{Irma}}\)
	\(\small{\text{Ito}}\)

Irma en Ito eten pizza in een restaurant.

Irma eet \(\small\frac{2}{3}\)deel van haar pizza op.

Ito eet \(\small\frac{3}{5}\) deel van haar pizza op.

Wie heeft het meest van haar pizza gegeten?

Je kunt altijd gelijknamig maken door de volgende stappen toe te passen:

Vermenigvuldig de noemers van de twee breuken met elkaar.
Dus in dit geval \(\small3 \times 5 = 15\). Je gaat er dus ‘vijftienden’ van maken.
Maak van beide breuken ‘vijftienden’.
\(\small\frac{2}{3} = \frac{10}{15}\) en \(\small\frac{3}{5} = \frac{9}{15}\)
\(\small\frac{10}{15} > \frac{9}{15}\), dus \(\small\frac{2}{3} > \frac{3}{5}\) dus Irma heeft meer van haar pizza gegeten.

Breuken vergelijken - Voorbeeld 2

In de klas van Samir zitten \(\small20\) leerlingen.
Van die \(\small20\) leerlingen hebben er \(\small7\) een onvoldoende voor wiskunde.

Dat is \(\small\frac{7}{20}\) deel.

In de klas van George zitten \(\small24\) leerlingen.
Van die \(\small24\) leerlingen hebben er \(\small8\) een onvoldoende voor wiskunde.

Dat is \(\small\frac{8}{24}\) deel.

Vermenigvuldig de noemers met elkaar.
Dus in dit geval \(\small20 \times 24 = 480\).
Je gaat er dus ‘vierhonderdtachtigsten’ van maken.
Maak van beide breuken ‘vierhonderdtachtigsten’.
\(\small\frac{7}{20} = \frac{168}{480}\) en \(\small\frac{8}{24} = \frac{160}{480}\)
\(\small\frac{168}{480} > \frac{160}{480}\), dus \(\small\frac{7}{20} > \frac{8}{24}\) dus in de klas van Samir zitten in verhouding meer leerlingen met een onvoldoende.

Breuken vermenigvuldigen

Bekijk de rechthoek hieronder.

Het blauwe gedeelte aan de linkerkant van de rechthoek is \(\small\frac{1}{4}\) deel van de hele rechthoek.
Het lichtblauwe en lichtgele gedeelte aan de bovenkant van de rechthoek is \(\small\frac{1}{3}\) deel van de hele rechthoek.

Welk deel is lichtblauw?
Dat is \(\small\frac{1}{4}\) deel van \(\small\frac{1}{3}\) deel = \(\small\frac{1}{12}\) deel. We schrijven dat als \(\small\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\)

Welk deel is donkerblauw?
Dat is \(\small\frac{1}{4}\) deel van \(\small\frac{2}{3}\) deel = \(\small\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{2}{12}\) We kunnen dat vereemvoudigen tot \(\small\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\)

Welk deel is donkergeel? Dat is \(\small\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)

Als je 2 breuken met elkaar wil vermenigvuldigen, moet je dus de tellers met elkaar vermenigvuldigen, en de noemers met elkaar vermenigvuldigen. En daarna – als het kan – het antwoord vereenvoudigen.

\(\small\frac{teller1}{noemer1}\times\frac{teller2}{noemer2}=\frac{{teller1}\times{teller2}}{{noemer1}\times{noemer2}}\)

Dit werkt ook als je een breuk met een geheel getal wil vermenigvuldigen.
Je schrijft het gehele getal dan als breuk met een noemer van 1.

Dus \(\small\frac{1}{3}\times12\) wordt \(\small\frac{1}{3}\times\frac{12}{1}=\frac{{1}\times{12}}{{3}\times{1}}= \frac{12}{3} = 4\)

Of andersom: \(\small4\times\frac{1}{2}= \frac{4}{1} \times\frac{1}{2}=\frac{{4}\times{1}}{{1}\times{2}}= \frac{4}{2} = 2\)

Breuken vermenigvuldigen - Voorbeeld

De pizza is eerst in \(\small4\) gelijke stukken verdeeld.
Ieder stuk is dus \(\small\frac{1}{4}\) deel.
Sheila neemt de helft van één van de stukken.
\(\small\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)
Dus Sheila neemt \(\small\frac{1}{8}\) deel van de hele pizza.
In een klas zitten \(\small24\) kinderen.
Één op de drie leerlingen vindt wiskunde leuk.
Één op de drie is \(\small\frac{1}{3}\) deel.
\(\small\frac{1}{3}\) deel van \(\small24\) is \(\small\frac{1}{3}\times{24}=\frac{1}{3}\times\frac{24}{1}=\frac{{1}\times{24}}{{3}\times{1}}= \frac{24}{3} = 8\)
Dus \(\small8\) leerlingen vinden wiskunde leuk.
In het stadion van FC Utrecht kunnen \(\small20000\) mensen.
Voor de wedstrijd tegen NAC waren een kwart van de kaartjes niet verkocht.
Een kwart is \(\small\frac{1}{4}\).
\(\small\frac{1}{4}\) van \(\small20000\) is \(\small\frac{1}{4}\times\frac{20.000}{1}=\frac{{1}\times{20.000}}{{4}\times{1}}= \frac{20.000}{4} = 5.000\)
Dus \(\small5000\) kaartjes zijn niet verkocht.

Cirkel

Je ziet hier een cirkel met middelpunt \(\small{\text{M}}\).

De straal is een lijnstuk vanuit het middelpunt naar de cirkel, bijvoorbeeld lijnstuk \(\small{\text{MA}}\).

Lijnstuk \(\small{\text{AB}}\) deelt de cirkel in twee gelijke delen.
Lijnstuk \(\small{\text{AB}}\) heet de middellijn of diameter van de cirkel.

De middellijn is twee keer zo lang als de straal.
Dus als de straal \(\small3 \text{ cm}\) is, is de diameter het dubbele, dus \(\small6 \text{ cm}\).

Een cirkel kun je tekenen met een passer.

Cirkel - Voorbeeld

Je ziet de kaart van de stad waarin Joost woont.
Joost woont bij punt \(\small{\text{J}}\). Samir woont bij punt \(\small{\text{S}}\).
Joost heeft op de kaart een cirkel met een straal van \(\small{2}\) km getekend.

Het middelpunt van de cirkel is het huis van Joost.
Samir woont hemelsbreed dus \(\small{2}\) km van Joost af.

Marije woont bij punt \(\small{\text{M}}\). Punt \(\small{\text{M}}\) ligt buiten de cirkel.
Marije woont dus meer dan \(\small{2}\) km van Joost af.

Codes

Met een code schrijf je op een korte manier veel informatie op.
Voorbeelden van codes zijn:

Postcode in je adres

Pincode van je bankpas

Barcode op artikelen in winkels

Codes - Voorbeeld 1

Je ziet een schaakbord.
Op een schaakbord worden de velden met een code aangegeven.

	De zwarte koning staat op veld \(\small{\text{E}6}\).
	De pion staat op veld \(\small{\text{C}2}\).

Codes - Voorbeeld 2

Bekijk de codekaart.

\(\small{\text{G}5}\) wordt \(\small{\text{I}}\)

\(\small{\text{H}2}\) wordt \(\small{\text{K}}\)

\(\small{\text{F}3}\) wordt \(\small{\text{H}}\)

Met deze codekaart kun je berichten in geheimschrift schrijven.
Achmed heeft het volgende bericht aan Ito verstuurd.
Met de codekaart kun je het bericht ontcijferen.

Hieronder zie je wat het geheime bericht betekent.

IK HOU VAN JOYCE

Codes - Voorbeeld 3

Het programma Excel is een rekenprogramma.
Als je Excel opent zie je een blad met allemaal vakjes.
Die vakjes worden ook wel cellen genoemd.
In de cellen kun je getallen of tekst zetten.
De cellen worden aangegeven met een code.

Coördinaten

Coördinaten - 1

Een assenstelsel heeft een horizontale as en een verticale as.
Het snijpunt van de assen noem je de oorsprong \(\small0\).

De plaats van een punt kun je aangeven met twee getallen.
Je noemt die getallen coördinaten.
Van het punt \(\small\text{A}\) zijn de coördinaten \(\small4\) en \(\small2\).
Je schrijft \(\small\text{A(4 ; 2)}\).

Coördinaten - 2

Decimale getallen

Decimale getallen - 1

Je werkt met decimale getallen.

Je hebt gehele getallen.
Bijvoorbeeld: \(\small{2}\) of \(\small{34}\) of \(\small{111}\)
Je hebt getallen met een komma.
Bijvoorbeeld: \(\small{0{,}3}\) of \(\small{13\text{,}5}\) of \(\small{45\text{,}76}\)

Het getal \(\small{45\text{,}76}\) heeft twee cijfers achter de komma: \(\small{7}\) en \(\small{6}\).
Je zegt \(\small{45\text{,}76}\) heeft twee decimalen: \(\small{7}\) en \(\small{6}\).
\(\small{7}\) tienden
\(\small{6}\) honderdsten

Of als je het bedrag \(\small €45,76\) hebt dan heb je \(\small 45\) hele euro’s. De \(\small 7\) staat voor \(\small 70\) cent en de \(\small 6\) voor \(\small 6\) cent.

\(\small 46,4\) heeft \(\small 1\) decimaal (er staat \(\small 1\) getal rechts van de komma)
\(\small 46,43\) heeft \(\small 2\) decimalen (er staan \(\small 2\) getallen rechts van de komma)
\(\small 46,437\) heeft \(\small 3\) decimalen (er staan \(\small 3\) getallen rechts van de komma)

Zie ook het voorbeeld:

Decimale getallen - 2

Soms wil je decimale getallen met elkaar vergelijken. Dan is het gemakkelijk om een getallenlijn te gebruiken zoals je hier ziet.

\(\small{6}\) is kleiner dan \(\small{6\text{,}5}\)
\(\small{4}\) is groter dan \(\small{3\text{,}5}\)

\(\small{0\text{,}5}\) is groter dan \(\small{0\text{,}4}\)
\(\small{0\text{,}6}\) is kleiner dan \(\small{0\text{,}7}\)

\(\small{0\text{,}42}\) ligt tussen \(\small{0\text{,}4}\) en \(\small{0\text{,}5}\)
\(\small{0\text{,}42}\) is groter dan \(\small{0\text{,}4}\)
\(\small{0\text{,}42}\) is kleiner dan \(\small{0\text{,}5}\)

\(\small{0\text{,}125}\) ligt tussen \(\small{0\text{,}12}\) en \(\small{0\text{,}13}\)
\(\small{0\text{,}125}\) is groter dan \(\small{0\text{,}12}\)
\(\small{0\text{,}125}\) is kleiner dan \(\small{0\text{,}13}\)

Decimale getallen - Voorbeeld

Je hebt een Engelse overhoring.
Je moet van \(\small{20}\) Engelse woordjes de vertaling geven.
Heb je alles goed dan krijg je een \(\small{10}\).
Voor iedere twee fouten gaat er één punt van je cijfer af.

Heb je zes fouten dan krijg je een \(\small{7}\). (Immers \(\small 6 \times 0,5 = 3\) en \(\small 10 - 3 = 7\))
Heb je acht fouten dan krijg je een \(\small{6}\). (Immers \(\small 8 \times 0,5 = 4\) en \(\small 10 - 4 = 6\))
Heb je zeven fouten dan krijg je een \(\small{6\text{,}5}\). (Immers \(\small 7 \times 0,5 = 3,5\) en \(\small 10 - 3,5 = 6,5\))

\(\small{6\text{,}5}\) ligt in het midden tussen \(\small{6}\) en \(\small{7}\).
\(\small{6\text{,}5}\) is een kommagetal met één decimaal. De \(\small{6}\) is een geheel getal en de \(\small{5}\) staat voor \(\small{5}\) tienden.

Decimale getallen vermenigvuldigen

Soms wil je getallen vermenigvuldigen.
Het antwoord is het product van deze getallen.

\(4 \times 5 = 20\)
\(20\) is het product van \(4\) en \(5\)

Als je twee decimale getallen met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je goed opletten waar je in het antwoord de komma neerzet.

Het antwoord bevat net zoveel cijfers achter de komma als de twee getallen die je vermenigvuldigt samen.

Dus:
\(4 \times 5,6 =22,4\)
\(22,4\) is het product van \(4\) en \(5,6\) en heeft \(\small{\text{0 + 1 = 1}}\) cijfer achter de komma
\(4,5\times5,3=23,85\)
\(23,85\) is het product van \(4,5\) en \(5,3\) en heeft \(\small{\text{1 + 1 = 2}}\) cijfers achter de komma
Maar let op:
\(1,2 \times 1,5 = 1,80\)
\(1,80\) is het product van \(1,2\) en \(1,5\) en heeft \(\small{\text{1 + 1 = 2}}\) cijfers achter de komma, maar mag je daarna vereenvoudigen tot 1,8!

Bij het vermenigvuldigen zou je een rekenmachine kunnen gebruiken.

Vermenigvuldigen onder elkaar

Vermenigvuldigen, dus keersommen met decimalen getallen, kan je het beste onder elkaar uitrekenen met het volgende stappenplan. Dit stappenplan heb je eerder gebruikt in thema 1 voor grote getallen. Alleen gaat dit net op een iets andere manier.
Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze beter. 

Voorbeeld: \(\small{\text{12,3}\times4,9=}\)

Zet de getallen met de komma's onder elkaar.
Zorg ervoor dat de getallen bij de komma goed onder elkaar staan. Noteer de waarde van de cijfers erbij: T=tientallen en E=eenheden en t=tienden. Je noteert ook de h= honderdsten. Deze zul je ook gaan gebruiken, want de \(\small 2\) getallen hebben samen \(\small 2\) decimalen!
Let op: het grootste getal moet altijd bovenaan staan. 

Vermenigvuldig de eenheid van de onderste rij met de bovenste rij.  
Begin aan de rechterkant. Dus eigenlijk \(\small 9 \times 3 = 27\).  
Hiervoor moet je dus de tafels goed uit je hoofd kennen!  
Het getal \(\small 27\) bestaat uit \(\small 7\) honderdsten en \(\small 2\) tienden. Let op, dit is dus anders dan dat je gewend bent. Je noteert de \(\small 7\) bij de h van honderdsten (dus een stap naar rechts). Laat wat extra ruimte tussen de regel met T E t h en de getallen. 

Vermenigvuldig dan de tienden van de onderste rij met de eenheid van de bovenste rij. Dus \(\small 9 \times 2 = 18\). Bij de vorige berekening heb je een kleine 2 bij de eenheid genoteerd. Dus \(\small 18 + 2 = 20\). Dus je zet nu de \(\small 2\) onder de streep bij de tienden en de \(\small 2\) in het klein boven de tientallen. 

Vermenigvuldig tenslotte de tienden van de onderste rij met het tiental van de bovenste rij. Dus \(\small 9 \times 1 = 9\) en tel er weer de \(\small 2\) die erboven staat bij op.  
Dus \(\small 9 + 2 = 11\). De ene \(\small 1\) noteer je onder de streep bij de eenheden en de andere bij de tientallen. Omdat het de laatste is die je noteert, zet je ook die onder de streep en niet in het klein bovenaan. 

Vermenigvuldig de eenheid van de onderste rij met de bovenste rij. 

Je begint weer aan de rechterkant.

Je streept de kleine cijfertjes bovenaan door, want die heb je nu niet meer nodig en straks zet je er misschien weer nieuwe neer. Vandaar dat je extra ruimte moest nemen. 

Je zet eerst een \(\small 0\) neer bij de honderdsten. Dit deed je normaal ook al in het vorige thema. \(\small{\text{4}\times3= 12}\). Je zet weer de \(\small 2\) onder de streep bij de tienden. En de \(\small 1\) in het klein bovenaan bij de eenheden. 

Vermenigvuldig nu de eenheid van de onderste rij met de eenheid van de bovenste rij, dus \(\small{\text{4}\times2= 8}\) en tel er de \(\small 1\) bij op. Dus \(\small{\text{8 + 1 = 9}}\). 

Vermenigvuldig tenslotte de eenheid van de onderste rij met het tiental van de bovenste rij. Dus \(\small{\text{4}{ \times 1 = 4}}\). Deze keer hoeven we er niets bij op te tellen, dus de \(\small 4\) zetten we onder de streep bij de honderdtallen. 

Tel dan de antwoorden onder de streep bij elkaar op.    
Dit heb je al geleerd bij de paragraaf Optellen. Vergeet niet de kleine \(\small 1\) te noteren.  

Het antwoord is dus: \(\small 12,3 \times 4,9 = 60,27\).

Vermenigvuldigen - Voorbeeld 1

Als je \(5\) ijsjes van \(€1,25\) koopt, betaal je:

\(1,25+1,25+1,25+1,25+1,25=5\times1,25=6,25\)

Je ziet:
Vermenigvuldigen is herhaald optellen.

Vermenigvuldigen - Voorbeeld 2

Een pot witkalk kost \(€19,95\).
Je hebt vier potten witkalk nodig.
Hoe reken je uit hoeveel je moet betalen?

\(4 \times 19,95 = 79,80\)
Je betaalt dus \(€ 79,80\) voor vier potten witkalk.

\(19,95+19,95+19,95+19,95=79,80\)

Delen is precies het omgekeerde van vermenigvuldigen.

Dus als \(\small5 \times 7 = 35\), dan is \(\small35 : 5 = 7\) en ook \(\small35 : 7 = 5\).

Soms gebruiken we hierbij een aantal moeilijke woorden, namelijk deeltal, deler en quotiënt.

\(35\)	\(:\)	\(5\)	\(=\)	\(7\)
deeltal		deler		quotiënt

Het deeltal is \(\small35\), het getal wat je gaat delen
De deler is \(\small5\), het getal waardoor je gaat delen
Het quotiënt is \(\small7\), de uitkomst van de deling

Delen met rest

Stel je wil \(\small7\) snoepjes delen met z’n drieën.

De deelsom is dan \(\small7 : 3 =\)

Ieder van jullie krijgt \(\small2\) snoepjes. Maar er blijft er ook \(\small1\) over.
De \(\small1\) die overblijft noemen we de rest.

We schrijven \(\small7 : 3 = 2\) rest \(\small1\)

Maar als je nu \(\small14\) snoepjes deelt met vijf vrienden?
Wat is dan fout aan \(\small14 : 5 = 1\) rest \(\small9\)?

Precies: \(\small9\) is meer dan \(\small5\), dus je kunt iedereen nog een snoepje geven.
Je moet dus doorgaan met snoepjes delen totdat je niet meer genoeg snoepjes voor iedereen hebt.
Dus het goede antwoord is \(\small14 : 5 = 2\) rest \(\small4\).

Maar als je \(\small54\) snoepjes deelt met vijf vrienden?
Dan is het heel handig als je de tafel van \(\small5\) kent:

\(\small1 \times 5 = 5 \)
\(\small2 \times 5 = 10\)
\(\small3 \times 5 = 15 \)
\(\small4 \times 5 = 20\)
\(\small5 \times 5 = 25\)

\(\small6 \times 5 = 30\)
\(\small7 \times 5 = 35\)
\(\small8 \times 5 = 40\)
\(\small9 \times 5 = 45\)
\(\small10 \times 5 = 50\)

Je ziet dus dat als je \(\small50\) snoepjes hebt, ieder van de vijf vrienden \(\small10\) snoepjes krijgt.
Want \(\small10 \times 5 = 50\). Er blijven er dus \(\small54 - 50 = 4\) over.

\(\small54 : 5 = 10\) rest \(\small4\).

Delen door 10, 100, enzovoort

Net zoals bij vermenigvuldigen is delen door \(\small10\), \(\small100\) enzovoort heel makkelijk als je goed kan delen met de tafels van vermenigvuldiging.

Je haalt namelijk precies het goede aantal nullen weg aan de achterkant van het antwoord.

\(\small42.\mathbf{000} : 7 = 6.\mathbf{000} \)	hetzelfde als \(\small42 : 7\) met \(\small3\) nullen erachter
\(\small42.\mathbf{000} : 7\mathbf{0} = 6\mathbf{00}\)	als je door \(\small70\) deelt, moet er \(\small1\) nul weg in het antwoord.
\(\small42.\mathbf{000} : 7\mathbf{00} = 6\mathbf{00}\)	als je door \(\small700\) deelt, moeten er \(\small2\) nullen weg in het antwoord.
\(\small42.\mathbf{000} : 7.\mathbf{000} = 6\)	als je door \(\small7.000\) deelt, moeten er \(\small3\) nullen weg in het antwoord.

Delen met de hapmethode - 1

Deelsommen met grote getallen kan je op verschillende manieren uitrekenen. We gebruiken hiervoor de hapmethode. Dat werkt eigenlijk hetzelfde als het delen met de snoepjes. Maar dan met grote getallen.

Je neemt eigenlijk steeds een hap uit het grote getal en rekent dan uit wat er overblijft. Dan neem je weer een hap, net zolang tot je zo dicht mogelijk bij de nul bent.

Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze het beste.

Voorbeeld: \(\small425 : 5 = \)

Zet de getallen als volgt in een schema en maak een kladblaadje

Omdat je in deze som gaat delen door \(\small5\), schrijf je op een kladblaadje een aantal sommen uit de tafel van 5.

De volgende zijn in de praktijk vaak heel handig:

\(\small1 \times 5 = 5\)
\(\small5 \times 5 = 25\)
\(\small10 \times 5 = 50\) (de vijf met een nul erachter, weet je nog?)
\(\small50 \times 5 = 250\)
\(\small100 \times 5 = 500\) (de vijf met twee nullen erachter)

Zoek nu de grootste 'hap' die je vanaf het grote getal kan aftrekken op in je kladblaadje

Een hap van \(\small100 \times 5 = 500\) lukt niet, want dat is meer dan \(\small425\).
Maar een hap van \(\small50 \times 5 = 250\) lukt wel.

Verwerk de genomen hap in je schema

Eerst noteer je de genomen hap in je schema onder het grote getal en zet je er een minteken achter.

Dan zet je achter de genomen hap het aantal keer \(\small5\) waar het om gaat.
Op het kladblaadje zie je dat dat \(\small50 \times 5\) is.

Vervolgens trek je de hap van het grote getal af.
Let op: in dit geval moet je lenen, zoals je in de paragraaf Aftrekken hebt geleerd.

Herhaal de stappen b) en c) zolang het nodig is.

Je kunt nu een hap van \(\small50\) aftrekken.

En nog twee keer een hap van \(\small50\).

En als laatste nog een hap van \(\small25\).

Tel de rechterkolom op.

Je moet alleen nog de rechterkolom optellen en je hebt het antwoord van de deelsom.

Delen met de hapmethode - 2

Nog een voorbeeld: \(\small187 : 3 = \)

Zet de getallen in een schema en maak een kladblaadje

\(\small1 \times 3 = 3\)

\(\small5 \times 3 = 15\)

\(\small10 \times 3 = 30\)

\(\small50 \times 3 = 150\)

\(\small100 \times 3 = 300\)

Zoek nu de grootste 'hap' die je vanaf het grote getal kan aftrekken op in je kladblaadje

Een hap van \(\small50 \times 3 = 150\) lukt.

Verwerk de genomen hap in je schema.

Herhaal de stappen b) en c) zolang het nodig is.

Je kan een hap van \(\small30\) aftrekken en daarna een hap van \(\small6\). Die \(\small6\) staat niet op het kladblaadje, maar die weet je vast uit je hoofd, want \(\small6 : 3 = 2\).

Daarna kan je niet verder, want er is er nog maar \(\small1\) over en die kan je niet delen door \(\small3\).

Tel de rechterkolom op.

Je moet alleen nog de rechterkolom optellen en je hebt het antwoord van de deelsom.

Het antwoord is dus \(\small187 : 3 = 62\) rest \(\small1\) (want er blijft er \(\small1\) over).

Doorsnede

Doorsnede - 1

Van een ruimtelijk voorwerp kom je soms meer te weten als je het figuur doorsnijdt.
Het snijvlak dat je krijgt, noem je de doorsnede.

Je ziet hier een ei en de doorsnede van het ei.
De plaats waar het ei doorgesneden is, is aangegeven.
In de doorsnede zie je de dooier.

Doorsnede - 2

Verschillende doorsneden van dezelfde figuur kunnen heel verschillend zijn.
De vorm van de doorsnede zie je als je recht op het snijvlak kijkt.

Je kunt van een cilinder verschillende doorsneden maken.

Doorsnede - Voorbeeld 1

Hier zie je een doorsnede van een boom.
In de doorsnede zie je de jaarringen.
Het aantal jaarringen zegt iets over de leeftijd van de boom.

Doorsnede - Voorbeeld 2

Hieronder zie je twee kubussen. Iedere kubus wordt door het midden gezaagd langs het aangegeven vlak.
Zo'n vlak noem je een diagonaalvlak.

Een kubus heeft \(\small{6}\) diagonaalvlakken. Ga na of dat klopt.

Doorsnede - Voorbeeld 3

Bekijk de drie figuren hieronder.


\(\small{\text{Balk}}\)	\(\small{\text{Cilinder}}\)	\(\small{\text{Prisma}}\)

Voor deze ruimtelijke figuren geldt dat de voor iedere figuur getekende doorsneden dezelfde vorm hebben en even groot zijn.

Doorsnede - Voorbeeld 4

In het ziekenhuis kunnen artsen zonder te opereren in de binnenkant van je lichaam kijken.
Ze doen dit met moderne apparaten zoals een MRI scan.
Dit apparaat maakt heel veel foto's achter elkaar en elke foto is telkens een doorsnede van je lichaam.
Als de camera gedraaid wordt, zie je een andere doorsnede.
Op deze manier kunnen ze precies zien op welke plaats er iets mis is of niet natuurlijk.
Als er iets ontdekt wordt, willen ze vaak weten hoe groot het is en waar het precies zit.

Draaisymmetrie

Bekijk de figuren.

Als je de figuur \(\small{90°}\) draait om het draaicentrum \(\small\text{C}\) dan lijkt het of er niets veranderd is.
De figuur is een voorbeeld van een draaisymmetrisch figuur.
De kleinste draaihoek is \(\small{90°}\).

Video: Draaisymmetrie

Uitlegvideo: Draaisymmetrie

Draaisymmetrie - Voorbeeld 1

Bekijk de logo's hieronder.

Deze logo's zijn draaisymmetrisch.
Bij beide logo's is de draaihoek aangegeven.

De kleinste draaihoek is \(\small{360° : 3 = 120°}\)

De kleinste draaihoek is \(\small{360° : 2 = 180°}\)
Als de kleinste draaihoek \(\small{180°}\)is, dan noemen we de figuur ook puntsymmetrisch.

Draaisymmetrie - Voorbeeld 2

Als je naar buiten kijkt kom je regelmatig draaisymmetrische figuren tegen.
Kijk maar naar de voorbeelden hieronder.

De kleinste draaihoek is \(\small{360° : 4 = 90°}\)

De kleinste draaihoek is \(\small{360° : 5 = 72°}\)

Formules

Een verband kun je soms weergeven in een formule.

Een auto rijdt met één liter benzine \(\small12\) km.
Met twee liter benzine rijdt de auto \(\small24\) km.
Met drie liter benzine rijdt de auto \(\small36\) km.

Als je de \(\small\text{hoeveelheid benzine}\) weet, kun je de \(\small\text{afstand}\) uitrekenen:

\(\small\text{afstand}\) is \(\small12\) maal \(\small\text{hoeveelheid benzine}\)

Formule: \(\small\text{afstand}\)\(\small=12\times\) \(\small\text{hoeveelheid benzine}\)
Met \(\small10\) liter benzine kun je \(\small12\times10=120\) km rijden.

Een kaars is \(\small20\) cm lang, en wordt aangestoken.
Ieder uur dat de kaars brandt, wordt de kaars \(\small2\) cm korter.
Na \(\small1\) uur is de kaars \(\small18\) cm.
Na \(\small2\) uur is de kaars \(\small16\) cm.
Na \(\small3\) uur is de kaars \(\small14\) cm.

Als je het \(\small\text{aantal branduren}\) weet, kun je de \(\small\text{lengte}\) uitrekenen:

\(\small\text{lengte}\) is \(\small20\) min \(\small2\) maal \(\small\text{aantal branduren}\)

Formule: \(\small\text{lengte}\)\(\small=20-2\ \times\) \(\small\text{aantal branduren}\)
Na \(\small6\) branduren is de \(\small\text{lengte}\) van de kaars \(\small20-2\times6=20-12=8\) cm.

Formules - Voorbeeld 1

Bij alles wat je doet, verbruik je energie.
Energie krijg je door te eten en te drinken.
Als je het hebt over energie, heb je het over calorieën of Joules.

\(\small{1}\) calorie is hetzelfde als \(\small{4{,}2}\) Joules

\(\small{2}\) calorieën is hetzelfde als \(\small{8{,}4}\) Joules

\(\small{3}\) calorieën is hetzelfde als \(\small{12{,}6}\) Joules

Voor het omrekenen van \(\small{\text{aantal calorie} \ddot{\text{e}} \text{n}}\) naar \(\small{\text{aantal Joules}}\) kun je de volgende formule gebruiken:

\(\small{\text{aantal Joules}=4{,}2\times\text{aantal calorie} \ddot{\text{e}}\text{n}}\)

Formules - Voorbeeld 2

Met lucifers kun je driehoeken leggen.
Kijk maar naar de figuur.

Je ziet dat er met \(\small{9}\) lucifers \(\small{4}\) driehoeken zijn gemaakt.

Om \(\small{1}\) driehoek te maken heb je \(\small{3}\) lucifers nodig.

Om \(\small{2}\) driehoeken te maken heb je \(\small{5}\) lucifers nodig.

Om \(\small{3}\) driehoeken te maken heb je \(\small{7}\) lucifers nodig.

De formule waar mee je het \(\small{\text{aantal lucifers}}\) kunt uitrekenen als je het \(\small{\text{aantal driehoeken}}\) weet, is:

\(\small{\text{aantal lucifers} = 2 \times \text{aantal driehoeken} + 1}\)

Klopt het dat je voor \(\small{10}\) driehoeken \(\small{21}\) lucifers nodig hebt?

Formules - Voorbeeld 3

Je rijdt in een auto.
De \(\small{\text{afstand}}\) die je aflegt, hangt af van de \(\small{\text{snelheid}}\) waarmee je rijdt en van de \(\small{\text{tijd}}\) die je rijdt.

Formule: \(\small{\text{afstand = snelheid} \times \text{tijd}}\)

De \(\small{\text{afstand} }\) is bijvoorbeeld in kilometers.
De \(\small{\text{snelheid}}\) in kilometers per uur.
De \(\small{\text{tijd}}\) in uren.

Rijd je \(\small2\) uur met een snelheid van \(\small90\) km/uur, dan geldt:
\(\small{\text{afstand} = 90\times2=180}\) km

Rijd je een \(\small\frac{1}{2}\) uur met een snelheid van \(\small60\) km/uur, dan geldt:
\(\small{\text{afstand} =60\times\frac{1}{2}=30}\) km

Gemiddelde

Gemiddelde - 1

Het gemiddelde van een aantal getallen bereken je als volgt:

_{\(\text{gemiddelde}=\frac{\text{som van de getallen}}{\text{aantal getallen}}\)}

Voor wiskunde heb je de volgende cijfers gehaald: \(\small{4}\), \(\small{7}\), \(\small{7}\) en \(\small{6}\).

Het gemiddelde is dan:

\({\text{gemiddelde} = \frac{(4 + 7 + 7 + 6)}{4} = \frac{24}{4} = 6}\)

Je staat dus een \(\small{6}\) gemiddeld voor wiskunde.

Video: Gemiddelde

Bekijk de volgende videoclip.

De video gaat over het berekenen van het gemiddelde van een aantal getallen.

Gemiddelde - 2

Bij veel vakken tellen niet alle cijfers even zwaar.
Voor Nederlands heb je de volgende cijfers gehaald:
Overhoringen: \(\small{7}\) en \(\small{8}\)
Proefwerk: \(\small{5}\)
Een proefwerk telt drie keer zo zwaar als een overhoring.

Het gemiddelde is dan:

\({\text{gemiddelde}=\frac{(1\times7+1\times8+3\times5)}{5}=\frac{30}{5}=6}\)

Je staat dus een \(\small{6}\) gemiddeld voor Nederlands.

Als niet alle getallen even vaak meetellen, spreek je van een gewogen gemiddelde.

Video: Gewogen gemiddelde

Bekijk de volgende videoclip.

De video gaat over het gewogen gemiddelde.

Gemiddelde - Voorbeeld 1

Joost heeft drie proefwerken voor Engels gemaakt.
Hij heeft de volgende cijfers gehaald: \(\small{5}\), \(\small{5}\) en \(\small{6}\).
Vandaag heeft Joost weer een proefwerk voor Engels.
Hoeveel moet hij halen om precies een \(\small{6}\) gemiddeld te staan?

\(\text{gemiddelde} = \frac{(5 + 5 + 6 + ...)}{4} = \frac{24}{4} = 6\)

Als Joost een \(\small{8}\) haalt, staat hij precies een \(\small{6}\) gemiddeld.
Want \(\small{5+5+6+8=24}\) en \(\small{24:4=6}\)

Gemiddelde - Voorbeeld 2

Een klas heeft een repetitie gemaakt.
In de tabel zie je welke cijfers de leerlingen hebben gehaald.

\(\small{\text{Cijfer}}\)	\(\small5\)	\(\small6\)	\(\small7\)	\(\small8\)	\(\small9\)
\(\small{\text{Aantal leerlingen}}\)	\(\small7\)	\(\small9\)	\(\small8\)	\(\small4\)	\(\small2\)

In de klas zitten \(\small{30}\) leerlingen. Ga na of dat klopt!

Het gemiddelde van de klas is:

\(\text{gemiddelde} = \frac{(7\times5 + 9\times6 + 8\times7 + 4\times8 + 2\times9)}{30} = \frac{195}{30} = 6{,}5\)

Het gemiddelde van alle leerlingen is dus \(\small{6{,}5}\).

Grafiek aflezen

Grafiek aflezen - 1

Je ziet een grafiek van het temperatuurverloop.

Op de horizontale as zie je de tijd in uren staan. Op de verticale as staat de temperatuur in graden Celsius.
Wat is de temperatuur om \(\small{9}\) uur?

Zoek op de horizontale as \(\small{9}\) uur op.
Ga van \(\small{9}\) uur recht omhoog tot je bij de grafiek bent.
Ga naar de verticale as en lees daar de temperatuur af.
Je ziet dat het om \(\small{9}\) uur \(\small{8}\text{ °C}\) was.

Grafiek aflezen - 2

Je ziet nogmaals de grafiek van het temperatuurverloop.
Hoe laat was het \(\small{12}\) graden?

Zoek op de verticale as \(\small{12}\text{ °C}\) op.
Ga horizontaal naar rechts tot je bij de grafiek bent.
Ga nu verticaal naar beneden.
Lees op de horizontale as de tijd af.
Je ziet dat het \(\small{12}\text{ °C}\) was om \(\small{11}\) uur.

Grafiek aflezen - Voorbeeld 1

Bekijk het temperatuurverloop op een dag in februari.

Op de horizontale as zie je de tijd in uren staan. Op de verticale as staat de temperatuur in graden Celsius.

Wat was de temperatuur om \(\small{9{:}00}\) uur?
In de grafiek zie je dat het om \(\small{9{:}00}\) uur 's morgens \(\small{2}\text{ °C}\) was.
Hoe laat was het toen de temperatuur \(\small{5}\text{ °C}\) was?
In de grafiek zie je dat het op twee momenten \(\small{5}\text{ °C}\) was,
namelijk om \(\small{12{:}00}\) uur en om \(\small{16{:}00}\) uur.

Grafiek aflezen - Voorbeeld 2

Bekijk het temperatuurverloop op een dag in november.

Op de horizontale as zie je de tijd in uren staan. Op de verticale as staat de temperatuur in graden Celsius.

Van hoe laat tot hoe laat was de temperatuur boven de \(\small{4}\text{ °C}\)?

Om \(\small{11{:}00}\) uur 's morgens was de temperatuur \(\small{4}\text{ °C}\).
Om \(\small{17{:}00}\) uur 's middags was de temperatuur opnieuw \(\small{4}\text{ °C}\).
Tussen \(\small{11{:}00}\) uur en \(\small{17{:}00}\) uur is de temperatuur boven de \(\small{4}\text{ °C}\).

Grafiek tekenen

Grafiek tekenen - 1

Grafiek tekenen - 2

Om een duidelijke grafiek te krijgen, laat je soms een stukje van de verticale as weg.
Om aan te geven dat je een stukje van de as hebt weggelaten, teken je een zaagtand.

*\(\small{\text{week}}\)*	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)	\(\small{5}\)	\(\small{6}\)	\(\small{7}\)
*\(\small{\text{gewicht (kg)}}\)*	\(\small{61}\)	\(\small{60}\)	\(\small{59{,}5}\)	\(\small{60}\)	\(\small{61}\)	\(\small{61}\)	\(\small{60{,}5}\)

Grafieken tekenen - Voorbeeld

*\(\small{\text{jaar}}\)*	\(\small2009\)	\(\small2010\)	\(\small2011\)	\(\small2012\)	\(\small2013\)
*\(\small{\text{aantal zeehonden}}\)*	\(\small{3100}\)	\(\small{2800}\)	\(\small{3000}\)	\(\small{3100}\)	\(\small{3400}\)

Een aantal jaar is het \(\small{\text{aantal zeehonden}}\) in de Waddenzee geteld.
De aantallen staan in de tabel.

Kijk goed naar de verdeling langs de assen en hoe de punten in het assenstelsel verwerkt zijn.

Grensvlakken en ribben

Grensvlakken van ribben - 1

Hiernaast zie je een kubus.

\(\small\text{ABCD}\) noem je een grensvlak van de kubus.
Een kubus heeft \(\small{6}\) grensvlakken.
Lijnstuk \(\small\text{AB}\) noem je een ribbe van de kubus.
Een kubus heeft \(\small{12}\) ribben.
Let op: een ribbe is altijd een RECHT lijnstuk.
Punt \(\small\text{E}\) is een hoekpunt van de kubus.
Een kubus heeft \(\small{8}\) hoekpunten.

Grensvlakken en ribben - 2

Deze piramide heeft \(\small{5}\) platte grensvlakken. De piramide heeft \(\small{5}\) hoekpunten. De piramide heeft \(\small{8}\) ribben.
Een cilinder heeft \(\small{2}\) platte en \(\small{1}\) gebogen grensvlak. Een cilinder heeft geen hoekpunten. Een cilinder heeft ook geen ribben, want een ribbe is altijd een RECHT lijnstuk en dus NIET GEBOGEN.
Een bol heeft \(\small{1}\) gebogen grensvlak. Een bol heeft geen hoekpunten en geen ribben.

Grensvlakken en ribben - Voorbeeld 1

Je ziet balk \(\small\text{ABCD.EFGH}\).

In de balk geldt:

De ribben \(\small\text{AB}\), \(\small\text{CD}\), \(\small\text{EF}\) en \(\small\text{GH}\) zijn allemaal even lang.
Het voorvlak \(\small\text{ABFE}\) is even groot als het achtervlak \(\small\text{DCGH}\).

Grensvlakken en ribben - Voorbeeld 2

Van een kubus zijn alle ribben gelijk.
Als je een kubus tekent, teken je niet alle ribben even lang.

Stap 1 Teken de voorkant.

Stap 2 Teken één van de ribben schuin naar achter, ongeveer de helft van zijn echte lengte.

Stap 3 Teken het achtervlak.
Ribben die je niet kunt zien, moet je stippelen.

Stap 4 Teken de rest van de kubus.
Denk om het stippelen.

Stap 5 Zet de letters bij de hoekpunten.

Hoeken

Hoeken - 1

Iedere hoek heeft een hoekpunt en twee benen.
Bij het hoekpunt zet je een hoofdletter.
In de hoek zet je een boogje.
De naam van de hoek is: hoek \(\small{\text{A}}\).
In plaats van hoek \(\small{\text{A}}\) schrijf je ook wel \(\small{\angle{\text{A}}}\).

Hoeken - 2

Bekijk hoek \(\small{\text{A}}\) en hoek \(\small{\text{B}}\).

De benen van \(\small{\angle{\text{B}}}\) staan verder uit elkaar dan de benen van \(\small{\angle{\text{A}}}\).
\(\small{\angle{\text{B}}}\) is groter dan \(\small{\angle{\text{A}}}\).

Bekijk hoek \(\small{\text{P}}\) en hoek \(\small{\text{Q}}\).

De twee hoeken zijn even groot.
De lengte van de benen doet er niet toe. Let maar goed op!

Hoeken - 3

\(\small{\angle{\text{A}}}\) is een rechte hoek. Een rechte hoek geef je aan met een haakje in de hoek.
\(\small{\angle{\text{B}}}\) is groter dan een rechte hoek. \(\small{\angle{\text{B}}}\) is een stompe hoek.
\(\small{\angle{\text{C}}}\) is kleiner dan een rechte hoek. \(\small{\angle{\text{C}}}\) is een scherpe hoek.

Hoeken - Voorbeeld

Bekijk de klok.
De wijzers maken een hoek met elkaar.
Om \(\small{3}\) uur is de hoek tussen de wijzers een rechte hoek.

Om \(\small{2}\) uur is de hoek tussen de wijzers scherp.

En om \(\small{4}\) uur is de hoek tussen de wijzers stomp.

Hoeken berekenen

Hoeken berekenen - 1

Het is niet altijd nodig om een hoek te meten. Soms kun je de grootte van een hoek uitrekenen. Hoek \(\small{\text{A} = 90°}\) Hoek \(\small{\text{A}_1 = 33°}\) Hoek \(\small{\text{A}_2 = 90° – 33° = 57°}\)
Twee rechte hoeken vormen samen een gestrekte hoek. Een gestrekte hoek is 180°. Hoek \(\small{\text{C}}\) is een gestrekte hoek. Hoek \(\small{\text{C}_1 = 56°}\) Hoek \(\small{\text{C}_2 = 180° – 56° = 124°}\)

Hoeken berekenen - 2

In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen \(\small{180°}\) zijn.

Voorbeeld
Van driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is \(\small{\angle{\text{A}} = 132°}\) en \(\small{\angle{\text{B}} = 20°}\).
Hoe groot is \(\small{\angle{\text{C}}}\)?

\(\small{\angle{\text{C}} = 180° – 20° – 132° = 28°}\)

Hoeken berekenen - 3

F-hoeken en Z-hoeken komen voor in figuren met twee evenwijdige lijnen en een lijn die deze twee evenwijdige lijnen snijdt.

Kijk naar de figuur.
Lijn m en lijn n zijn parallel en worden beide gesneden door lijn p.

In de figuur kun je in het rood de letter F herkennen.

De hoeken bij de snijpunten van lijn p met lijn m en van lijn p met lijn n zijn hetzelfde.

Dus ∠A₁ = ∠B₁ en ∠A₂= ∠B₂

Hoeken berekenen - 4

Kijk naar de figuur.

Lijn m en lijn n zijn parallel en worden beide gesneden door lijn p.

In de figuur kun je in het rood de letter Z herkennen.

De hoek bij het snijpunt van lijn p met lijn m en de overliggende hoek (dus aan de andere kant) bij het snijpunt van lijn p met lijn n zijn hetzelfde.

Dus ∠A₁ = ∠B₂ en ∠A₂ = ∠B₁

Hoeken berekenen - Voorbeeld 1

\(\small{\angle{\text{B}} = 104°}\)

De lijn \(\small{m}\) is de deellijn van de hoek.

\(\small{\angle{\text{B}_1} = \angle{\text{B}_2} = 104° : 2 = 52°}\)

Hoeken berekenen - Voorbeeld 2

Je ziet driehoek \(\small{\text{PQR}}\) getekend.
In de driehoek geldt dat \(\small{\angle{\text{P}}}\) en \(\small{\angle\text{Q}}\) even groot zijn.
\(\small{\angle{\text{Q}} = 73°}\)
Hoe groot is \(\small{∠\text{R}}\)?

\(\small{∠\text{R} = 180° – 2 \times 73° = 180° – 146° = 34°}\)

Hoeken meten

Hoeken meten - 1

Een rechte hoek is verdeeld in \(\small{90}\) gelijke hoekjes.
Één zo'n hoekje is \(\small{1}\) graad.
Je schrijft: \(\small{1°}\).
De rechte hoek \(\small{\text{P}}\) is dus \(\small{90}\) graden.
Je schrijft \(\small{∠\text{P} = 90°}\)

Een stompe hoek is groter dan \(\small{90°}\)

Een scherpe hoek is kleiner dan \(\small{90°}\)

Hoeken meten - 2

Hoeken meten - Voorbeeld

Je ziet driehoek \(\small{\text{ABC}}\).

Met je geodriehoek kun je de hoeken meten.

Je vindt:

\(\small{\angle \text{A} = 35°}\)
\(\small{\angle \text{B} = 80°}\)
\(\small{\angle \text{C} = 65°}\)

De drie hoeken van een driehoek zijn samen altijd 180°.

In dit voorbeeld: 35° + 80° + 65° = 180°.

Hoeken tekenen

Lijnsymmetrie

Hoeken tekenen

Hoeken tekenen - Voorbeeld

De lijn die een hoek in twee gelijke hoeken verdeelt, heet de deellijn van die hoek.
Zo teken je de deellijn van een hoek

Meet hoe groot de hoek is.
\(\small{\angle \text{A} = 64°}\)

Deel het aantal graden door twee:
\(\small{64° : 2 = 32°}\)

Pas \(\small{32°}\) af en teken de deellijn.

Lijnsymmetrie - 1

Kijk eens naar de logo’s van de volgende automerken: Audi, Citroën en Mitsubishi:

Er is iets regelmatigs aan deze logo’s.
Als je het logo spiegelt in de groene stippellijn, dan ziet het er nog steeds hetzelfde uit.
De twee helften zijn elkaars spiegelbeeld.
Omdat je deze logo’s kan spiegelen in een lijn, noemen we ze lijnsymmetrisch.
De groene stippellijn noemen we de symmetrieas van een figuur.

Heeft ieder van deze automerken precies 1 symmetrieas?
Nee, het Audi logo heeft twee symmetrieassen en het Mitsubishi logo zelfs drie!

In de figuur hieronder is iedere groene stippellijn dus een symmetrieas van het logo.

Lijnsymmetrie - 2

Je kunt een wiskundig figuur ook spiegelen in een lijn.

Stel, je wil driehoek \(\text{ABC}\) spiegelen in lijn \(\text{m}\).

Je doet dat in de volgende stappen.

Eerst spiegel je punt \(\text{A}\) in lijn \(\text{m}\).
Gebruik hiervoor je geodriehoek en leg deze met het midden precies loodrecht op lijn \(\text{m}\).

Teken dan een punt \(\text{A'}\) (dit spreek je uit als A-accent) dat precies even ver van lijn \(\text{m}\) ligt als punt A, maar precies aan de andere kant van lijn \(\text{m}\).

Dan teken je punt \(\text{B'}\) dat precies even ver van lijn \(\text{m}\) ligt als punt \(\text{B}\), maar weer precies aan de andere kant van lijn\(\text{m}\).

Dan teken je punt \(\text{C'}\) dat precies even ver van lijn \(\text{m}\) ligt als punt \(\text{C}\), maar weer precies aan de andere kant van lijn \(\text{m}\).

Als laatste verbind je de punten \(\text{A', B' en C'}\) tot de driehoek \(\text{A'B'C'}\).

Driehoek \(\text{ABC}\) noem je het origineel.
Driehoek \(\text{A'B'C'}\) noem je het beeld.

Lijnsymmetrie - Voorbeeld 1

Bekijk de logo's hieronder.
Al deze logo's zijn lijnsymmetrisch.
Sommige hebben zelfs meerdere symmetrieassen.

Lijnsymmetrie - Voorbeeld 2

In de natuur kom je regelmatig lijnsymmetrische figuren tegen.
Zie onderstaande voorbeelden.

Inhoud

Lineair verband

Inhoud - 1

Een kubus van \(\small1\text { cm}\) bij \(\small1\text { cm}\) bij \(\small1\text { cm}\) heeft een inhoud van \(\small1\text { cm}^3\).

\(\small1\text { cm}^3\) spreek je uit als "één kubieke centimeter".

De inhoud van een kubus of een balk bepaal je door te tellen hoeveel kubusjes van \(\small1\text { cm}^3\) erin passen.

In de balk hierboven passen:

\(\small\text{4}\) kubusjes van \(\small1\text { cm}^3\) in de breedte,
\(\small\text{5}\) kubusjes van \(\small1\text { cm}^3\) in de lengte,
\(\small\text{3}\) kubusjes van \(\small1\text { cm}^3\) in de hoogte.

In totaal passen er dus \(\small\text{4}\times\small\text{5}\times\small\text{3}\times\small=\small\text{60}\) kubusjes van \(\small1\text { cm}^3\) in deze balk.

De balk heeft dus een inhoud van \(\small\text {60 cm}^3\).

Inhoud - 2

Hieronder staan de verschillende inhoudseenheden op volgorde van groot naar klein.
Elk stapje naar rechts betekent \(\small\times\ 1000\)
Elk stapje naar links betekent \(\small: \text{ } 1000\)

Soms is het handig om inhoudsmaten om te rekenen.

\(\small0{,}5\) km\(\small^3\) \(\small= 500.000.000\) m\(\small^3\)
\(\small1{,}5\) m\(\small^3\) \(\small= 1.500.000\) cm\(\small^3\)
\(\small24\) cm\(\small^3\) \(\small= 24.000\) mm\(\small^3\)

\(\small6.000.000.000\) m\(\small^3\) \(\small= 6\) km\(\small^3\)
\(\small3.500\) dm\(\small^3\) \(\small=3{,}5\) m\(\small^3\)
\(\small8.500.000\) cm\(\small^3\) \(\small=8{,}5\) m\(\small^3\)

Let op: gebruik de punt tussen de duizendtallen bij grote getallen. Zo vergis je je niet zo snel met het aantal nullen.

Inhoud - 3

Hiernaast zie je een literpak melk.
De inhoud is \(\small1\) L.

\(\small1\) L \(\small=\small1\text { dm}^3\small=\small1000\text { cm}^3\)

Dus ook:

\(\small3\) L \(\small=\small3\times\small1\text { dm}^3\small=\small3\text { dm}^3\small=\small3000\text { cm}^3\)

\(\small0{,}5\) L \(\small=\small0{,}5\times\small1\text { dm}^3\small=\small0{,}5\text { dm}^3\small=\small500\text { cm}^3\)

We kunnen dus de omrekentabel uitbreiden met liters:

Inhoud - Voorbeeld 1

De bodem van het pakje \(\small3\) cm bij \(\small5\) cm.

De hoogte van het pakje \(\small20\) cm.

De inhoud van het pakje is \(\small{3\times5\times20=300}\) cm\(\small{^3}\)

\(\small300\) cm\(\small{^3}\) \(\small=0{,}3\) dm\(\small{^3}\) \(\small=0{,}3\) L

Inhoud - Voorbeeld 2

Hiernaast zie je een tekening van het huis.
Het huis is \(\small8\) m lang, \(\small8\) m breed en in het totaal \(\small{7}\) m hoog.

De inhoud van het huis zonder dak is \(\small{8\times8\times5=320}\) m\(\small{^3}\).

Hoe groot schat jij de inhoud van het dak?

Lineair verband - 1

Lineair verband in een grafiek
In de grafiek is het verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) (uur) en de \(\small{\text{prijs}}\) (euro) weergegeven.
De grafiek is een rechte lijn.
Daarom noemen we het verband tussen de tijd en de prijs een lineair verband.

Lineair verband - 2

Lineair verband in een tabel
In de tabel is een verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) (uur) en de \(\small{\text{prijs}}\) (euro) weergegeven.

In de tabel zie je een regelmaat.

Steeds als de tijd met 1 uur toeneemt, neemt de prijs met 20 euro toe.

Als de tijd steeds met dezelfde waarde toeneemt en de prijs neemt tegelijkertijd ook steeds met dezelfde waarde toe, dan noemen we het verband tussen de tijd en de prijs een lineair verband.

Lineair verband - 3

Lineair verband in een formule
Bij een verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) (uur) en de \(\small{\text{prijs}}\) (euro) hoort de formule:

\(\small{\text{prijs}}\) \(\small=20\ \times\) \(\small{\text{tijd}}\) \(\small+\ 40\)

In de formule zie je dat de prijs een aantal (20) keer de tijd is plus een vast getal (40).
Als dat het geval is, dan noemen we het verband een lineair verband.
Je kan dat ook zien in de tabel en in de grafiek.

Lineair verband - Voorbeeld 1

Er zijn veel verschillende aanbieders van mobiele telefonie.
Op internet zijn er verschillende sites waar aanbieders met elkaar worden vergeleken.
Als Yorrick op internet zoekt, vindt hij de gegevens van Flexi-Bel.

\(\small{\textbf{Flexi-bel}}\)

\(\small{\text{Vast bedrag per maand}}\)

\(\small{\text{Prijs per minuut}}\)

\(\small{€\ 25{,}00}\)

\(\small{€\ \ \ 0{,}20}\)

Met deze gegevens kun je uitrekenen hoeveel je per maand betaalt als je \(\small{50}\) minuten belt:

\(\small{\text{belkosten}}\) \(\small{= 25 + 0{,}20 \times 50 = 25 + 10 = 35}\)

Per maand betaal je dan dus \(\small{\text{€ } 35}\).,-

Lineair verband - Voorbeeld 2

Bekijk opnieuw de gegevens van Flexi-bel.

\(\small{\textbf{Flexi-bel}}\)

\(\small{\text{Vast bedrag per maand}}\)

\(\small{\text{Prijs per minuut}}\)

\(\small{€\ 25{,}00}\)

\(\small{€\ \ \ 0{,}20}\)

Yorrick maakt de volgende tabel.

\(\small{\text{beltijd (minuten)}}\)	\(\small50\)	\(\small75\)	\(\small100\)	\(\small125\)	\(\small150\)
\(\small{\text{belkosten (euro)}}\)	\(\small35\)	\(\small40\)	\(\small45\)	\(\small50\)	\(\small55\)

In de tabel zie je een regelmaat.

Als de \(\small{\text{beltijd}}\) met \(\small25\) minuten toeneemt, nemen de \(\small{\text{belkosten}}\) met \(\small{\text{€ } 5}\),- toe.
Het verband tussen de \(\small{\text{beltijd}}\) en de \(\small{\text{belkosten}}\) is een lineair verband.

Kansen

Machten

Kansen

Iets kan wel of niet gebeuren.
De kans dat het wel gebeurt, geef je vaak aan met een percentage.
Als het zeker is dat iets gebeurt, is de kans \(\small{100\%}\).

Je luistert naar het weerbericht.
De kans dat het morgen gaat regenen is \(\small{70\%}\).
De kans dat het morgen niet gaan regenen is \(\small{30\%}\).

Je gooit een munt op. Dan kun je kop of munt gooien. Er zijn dus twee mogelijkheden.

De kans op ‘kop’ is 1 op de 2, dus \({1\over2}\) of als percentage 50%.

Voor de kans op ‘munt’ geldt hetzelfde.

Kansen

Een kans kun je weergeven met een breuk, een kommagetal of een percentage.

Je gooit met een dobbelsteen.
De kans dat je '\(\small{4}\)' gooit is \(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{6}\)\(\small{= 1 \div 6 = 0,166666... \approx 17\%}\)

In een vaas zitten \(\small{8}\) knikkers: \(\small{3}\) rode en \(\small{5}\) blauwe.
Je trekt één knikker uit de vaas.
De kans dat je een rode trekt is \(\frac{3}{8}\), want 3 van de 8 knikkers zijn rood.
\(\frac{3}{8} \small{= 3 \div 8 = 0,375 = 37,5\%}\)

Kansen - voorbeeld 1

Een volledig spel kaarten bestaat uit: 52 kaarten.
Dat zijn 13 klaveren, 13 ruiten, 13 harten en 13 schoppen.

Je trekt een kaart uit een volledig spel.

De kans op een schoppen kaart is
\({13 \over 52}\) = \({1 \over 4}\) = 0,25 = 25%

De kans op schoppen \(\small{8}\) is
\({1 \over 52} \approx\) 0,02 = 2%

Kansen - voorbeeld 2

Je hebt een toets.
De laatse twee vragen van de toets zijn drie-keuzevragen (A, B of C).
Je gokt beide antwoorden. Wat is de kans dat je beide vragen goed gokt?

Er zijn negen verschillende mogelijkheden:

AA AB AC

BA BB BC

CA CB CC

Ga na of dat klopt!
De kans dat je allebei de vragen goed beantwoord is \(\frac{1}{9} \small{\approx 0,11 = 11\%}\)

Machten

De ribben van de kubus zijn \(\small{6}\) lang.
De inhoud van de kubus is \(\small{6 \times 6 \times 6 = 216}\).

In plaats van \(\small{6 \times 6 \times 6 = 216}\) schrijf je ook \(\small{6^3}\).
Je spreekt dit uit als 'zes-tot-de-derde' of de 'derdemacht van \(\small{6} \)'.

Bij de inhoud van een figuur spreek je van kubieke centimeter.
Je schrijft m\(\small{^3}\).

Machten

In plaats van 7 × 7 × 7 × 7 × 7 schrijf je 7⁵.
Je spreekt dit uit als 'zeven-tot-de-vijfde' of de 'vijfdemacht van 7'.

Op de rekenmachine heb je een speciale toets voor machten.
Deze toets is rood omcirkeld in onderstaande afbeeldingen.
Je ziet ook dat er bij de middelste rekenmachine een speciale toets is (groen omcirkeld) voor ‘tot-de-derde’.

In plaats van 2×2×2×2×2×2×2×2×2×22×2×2×2×2×2×2×2×2×2 schrijf je 2¹⁰.
Je spreekt dit uit als 'twee-tot-de-tiende' of de 'tiendemacht van 22'.

Controleer met je rekenmachine of je als uitkomst 1024 krijgt.
Je typt achter elkaar in:

2
de toets op jouw rekenmachine voor macht
10
=

Let op:
Als je de middelste rekenmachine met ^ hebt voor machten, schrijf ^ dan nooit op als je de macht noteert. Dus niet 2^10 of 2^¹⁰ maar 2¹⁰.

Machten - voorbeeld 1

Grote getallen schrijf je vaak als machten van \(10\).

honderd \(\small{= 100}\) \(\small{= 10 \times 10 = 10^2}\)

duizend \(\small{= 1000}\) \(\small{= 10 \times 10 \times 10 = 10^3}\)

miljoen \(\small{= 1000000}\) \(\small{= 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6}\)

miljard \(\small{= 1000000000}\) \(\small{= 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^9}\)

Machten - voorbeeld 2

Bekijk de machten van \(\small2\) en \(5\).

twee	\(\small2^1\)	\(\small2\)	\(\small= 2\)
twee kwadraat	\(\small2^2\)	\(\small2 \times 2\)	\(\small= 4 \)
twee tot de derde macht	\(\small2^3\)	\(\small2 \times 2 \times 2\)	\(\small= 8\)
twee tot de vierde macht	\(\small2^4\)	\(\small2 \times 2 \times 2 \times 2\)	\(\small= 16\)
vijf	\(\small5^1\)	\(\small5\)	\(\small= 5 \)
vijf kwadraat	\(\small5^2\)	\(\small5 \times 5\)	\(\small= 25\)
vijf tot de derde macht	\(\small5^3\)	\(\small5 \times 5 \times 5\)	\(\small= 125\)
vijf tot de vierde macht	\(\small5^4\)	\(\small5 \times 5 \times 5 \times 5\)	\(\small= 625\)

Kijklijnen en kijkhoeken

Kijklijnen en kijkhoeken - 1

Wat zie je vanaf de plaats waar je staat?
Dat geef je aan met kijklijnen.
Een kijklijn is de lijn waarlangs je kijkt.

Je kijkt door een gat in de muur.
Met kijklijnen geef je aan wat je kunt zien.
Hoe dichter je bij de muur staat hoe meer je achter de muur kunt zien.

Kijklijnen en kijkhoeken - 2

Met twee kijklijnen geef je aan wat je kunt zien.
De twee kijklijnen vormen samen een hoek.
Die hoek heet de kijkhoek.
Kijk naar de onderstaande afbeeldingen en zie hoe de kijkhoek verandert.

Kijklijnen en kijkhoeken - Voorbeeld 1

Je ziet twee fietsers en een auto.
Op de hoeken staan hoge gebouwen.
Kan de automobilist de fietsers zien?

Teken de kijklijnen.

Je ziet dat de automobilist fietser \(\small{\text{A}}\) niet kan zien.
Fietser \(\small{\text{B}}\) kan hij wel zien.

Kijklijnen en kijkhoeken - Voorbeeld 2

Van twee vogels is hieronder de gezichtshoek getekend.
Let goed op de plaats van de ogen.

De gezichtshoek van de uil is ongeveer \(\small{150°}\).
De gezichtshoek van de valk is groter dan \(\small{180°}\).
De gezichtshoek van de valk is ongeveer \(\small{300°}\).

Probeer eens uit te zoeken hoe groot je eigen gezichtshoek is.

Kwadraten

\(\small4\)
	\(\small4\)

Kwadraten

De zijden van dit vierkant zijn \(\small{4}\).
De oppervlakte van het vierkant is \(\small{16}\)

In plaats van \(\small{4 \times 4}\) schrijf je ook wel \(\small{4 ^2}\)
Je spreekt dit uit als 'vier kwadraat' of 'vier-tot-de-tweede-macht' of ‘vier-tot-de-tweede’.

Kwadraten

Let op: bij het rekenen gaat kwadrateren voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Voorbeelden:

8 + 3² = 8 + 9 = 17
30 - 5² = 30 - 25 = 5
4 × 3² = 4 × 9 = 36

Reken wel altijd eerst uit wat tussen haakjes staat:

Voorbeeld:

(4 + 2)² = 6² = 36

Controleer de berekeningen hierboven met je rekenmachine.

Op je rekenmachine zit een speciale knop om kwadraten te berekenen.
Hoe die aangegeven wordt, verschilt per rekenmachine.
Hier zie je twee voorbeelden in het rood omcirkeld. De ene keer wordt een blokje gebruikt, de andere keer de letter x.

Vaak heb je ook haakjes nodig. Die zie je hier in het groen omcirkeld.
Let op dat je de geel omcirkelde knop niet gebruikt voor de haakjes!
Bij de laatste opgave typ je dus:

haakje openen
4 + 2
haakje sluiten
kwadraat
=

Het is goed om van tevoren al te bedenken wat het antwoord (ongeveer) moet zijn.
Als je dan een typefout maakt, merk je dat aan een vreemd antwoord.

Kwadraten - voorbeeld 1

Jelmer heeft een vierkant kamer.
Er passen precies \(\small{7}\) tapijttegels naast elkaar op de vloer.
Hij heeft dus \(\small{7 \times 7 = 7^2 = 49}\) tegels in zijn kamer.
Ga na of dat klopt.

De tegels zijn ook vierkant en hebben een zijde van \(\small{50}\) cm \(\small=\) \(\small{0{,}5}\) m.
De oppervlakte van één tegel is \(\small{0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25}\)m\(\small^2\).
(m\(\small^2\) spreek je uit als: vierkant meter)

De lengte van de kamer is \(\small{7}\) tegels, dus \(\small{7 \times 0{,}5}\) m \(\small=\) \(\small{3{,}5}\) m.
De oppervlakte van de kamer is \(\small{3{,}5 \times 3{,}5 = 3{,}5^2 = 12{,}25}\) m\(\small^2\)

Kwadraten - voorbeeld 2

\(\small a\)
	\(\small a\)	\(\small 2\)

Een rechthoek bestaat uit twee delen:
een vierkant en een rechthoek.

Het vierkant is a bij a.
De rechthoek is 2 bij a.

De totale oppervlakte van de rechthoek is a² +2 × a of a² + 2a.

Voor verschillende waarden van a kun je de oppervlakte uitrekenen.

Als a = 3 dan is de oppervlakte 3² + 2 × 3 = 9 + 6 = 15.

Als a = 4,5 dan is de oppervlakte 4,5² + 2 × 4,5 = 20,25 + 9 = 29,25.

Als a = 20 dan is de oppervlakte 20² + 2 × 20 = 400 + 40 = 440.

In dit geval zal je rekenmachine je niet altijd helpen.
Als je de totale oppervlakte in letters op moet schrijven heb je niks aan je rekenmachine.
Als je verschillende waarden in gaat vullen voor a kun je je rekenmachine natuurlijk wel als hulpmiddel gebruiken.

Lengtematen

Negatief in het assenstelsel

In het assenstelsel begon je tot nu toe steeds linksonder met \(\small{\text{(0, 0)}}\). We noemen dit punt de Oorsprong.

Er komen nu in het assenstelsel op de horizontale as negatieve getallen bij en er komen op de verticale as negatieve getallen bij.

Het assenstelsel ziet er dan uit zoals hiernaast.
Kijk in dit assenstelsel naar de punten \(\small\text{A}\), \(\small\text{B}\) en \(\small\text{C}\).

\(\small{\text{A(-2, 4)}}\) is vanuit de oorsprong \(\small{\text{(0, 0)}}\)
\(\small{2}\) naar links en \(\small{4}\) omhoog.

\(\small{\text{B(3, -4)}}\) is vanuit de oorsprong \(\small{\text{(0, 0)}}\)
\(\small{3}\) naar rechts en \(\small{4}\) omlaag.

\(\small{\text{C(-1, -3)}}\) is vanuit de oorsprong \(\small{\text{(0, 0)}}\)
\(\small{1}\) naar links en \(\small{3}\) omlaag.

Negatief in het assenstelsel - Voorbeeld

Hier zie je een temperatuur grafiek op een dag in januari.
Je ziet dat het de hele dag gevroren heeft.
Het koudst was het om ongeveer \(\small{6}\) uur 's morgens.
De temperatuur was toen \(\small{\text{-}5}\text{ °C}\).

Figuren tekenen in een assenstelsel - Voorbeeld

Bekijk het assenstelsel hieronder met daarin getekend de punten \(\small\text{A}\), \(\small\text{B}\) en \(\small\text{C}\).
\(\small\text{A}\), \(\small\text{B}\) en \(\small\text{C}\) zijn hoekpunten van het parallellogram \(\small\text{ABCD}\).

Wat zijn de coördinaten van punt \(\small\text{D}\)?

We tekenen stap voor stap het parallellogram.

Vanuit punt \(\small{\text{A(-2, -2)}}\) gaan we 4 vakjes naar rechts naar punt \(\small{\text{B(2, -2)}}\).
Vanuit punt \(\small{\text{B(2, -2)}}\) gaan we 1 vakje naar rechts en 3 vakjes omhoog om bij punt \(\small{\text{C(3, 1)}}\) te komen.
Omdat het een parallellogram is, weten we dat het lijnstuk \(\small\text{CD}\) parallel loopt aan het lijnstuk \(\small\text{AB}\) en dat de lijnstukken \(\small\text{AB}\) en \(\small\text{CD}\) even lang zijn.
We gaan dus vanuit punt \(\small{\text{C(3, 1)}}\) vier vakjes naar links om bij punt D te komen. De coördinaten van punt D zijn dus \(\small{\text{D(-1, 1)}}\).

We kunnen controleren of we het goed hebben gedaan door te bekijken of de lijnstukken \(\small\text{BC}\) en \(\small\text{AD}\) parallel lopen en even lang zijn.

Omtrek

Negatief in het assenstelsel

Nog meer procenten

Lengtematen - 1

Heb je het over lengte dan heb je het vaak over meters (m).
Maar ook over kilometers (km), decimeters (dm), centimeters (cm) of
millimeters (mm).

Kilometers, meters, decimeters, centimeters en millimeters zijn lengtematen.

Voor deze lengtematen geldt:

\(\small1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\)
\(\small1 \text{ m} = 10 \text{ dm}\)
\(\small1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}\)
\(\small1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}\)

Lengtematen - 2

Hieronder staan de verschillende lengte-eenheden op volgorde van groot naar klein.
Elk stapje naar rechts betekent \(\small\times10\) (of een 0 erbij)
Elk stapje naar links betekent \(\small:10\) (of een 0 eraf)

Soms is het handig om lengtematen om te rekenen.
Voorbeelden:

\(\small1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)
\(\small26,5\text{ m} = 2.650\text{ cm}\)
\(\small18\text{ dm} = 180\text{ cm}\)
\(\small2,5\small\text{ dm} = 25\small\text{ cm}\)
\(\small2\small\text{ km} = 2.000\small\text{ m}\)
\(\small64,5\small\text{ km} = 64.500\small\text{ m}\)

Omrekenen klein naar groot:

\(\small10\small\text{ mm} = 1\small\text{ cm}\)
\(\small100\small\text{ mm} = 10\small\text{ cm}\)
\(\small250\small\text{ cm} = 2,5\small\text{ m}\)
\(\small40,5\small\text{ cm} = 0,405\small\text{ m}\)
\(\small250\small\text{ mm} = 0,25\small\text{ m}\)
\(\small5\small\text{ mm} = 0,005\small\text{ m}\)
\(\small5.000\small\text{ m} = 5\small\text{ km}\)
\(\small25\small\text{ m} = 0,025\small\text{ km}\)

Lengtematen - 3

Je hebt in de vorige paragraaf de omtrek uitgerekend.
Nu ga je de omtrek uitrekenen en deze vervolgens omrekenen.

Van rechthoek \(\small \text {ABCD}\) is \(\small \text {AB} = 6 \small \text { cm}\) en \(\small \text {BC} = 4 \small \text { cm}\).

Bereken de omtrek in centimeter.

De omtrek is \(\small6 + 6 + 4 + 4 = 20 \small \text { cm}\)

Bereken nu de omtrek in millimeter.

\(\small20 \small \text{ cm} = 200 \small \text{ millimeter}\) of

\(\small6 \small \text{ cm} = 60\small \text{ mm}\) en dus \(\small60 + 60 + 40 + 40 = 200 \small \text{ mm}\)

Wat is de omtrek in decimeters?

\(\small20 \small \text{ cm} = 2 \small \text{ decimeter}\) of

\(\small6 \small \text{ cm} = 0,6 \small \text{ dm}\) en dus \(\small0,6 + 0,6 + 0,4 + 0,4 = 2 \small \text{ dm}\)

Lengtematen - 4

Van ruit \(\small\text{PQRS}\) is \(\small\text{PQ} = 10 \small\text{ cm}\)

Bereken de omtrek in decimeters.

\(\small10 \small\text{ cm} = 1 \small\text{ dm}\) en dus \(\small1 + 1 + 1 + 1 = 4 \small\text{ dm}\)

En wat is de omtrek in meters?

\(\small4 \small\text{ dm} = 0,4 \small\text{ meter}\) of

\(\small10 \small\text{ cm} = 0,1\small\text{ m}\) en dus \(\small0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4 \small\text{ meter}\)

Nog meer procenten

Hoeveel procent is erbij of eraf?

Met hoeveel procent iets toegenomen of afgenomen is, kun je berekenen in 2 stappen:

Deel de nieuwe hoeveelheid door de oude hoeveelheid. Dus:
\(\small\text{nieuwe percentage}\) \(\small=\) \(\frac{\text{nieuwe hoeveelheid}}{\text{oude hoeveelheid}}\)
Het oude percentage is \(\small100\% \). Trek het oude percentage van het nieuwe percentage af. Dus:
\(\small\text{percentage erbij of eraf}\) \(\small=\) \(\small\text{nieuwe percentage}\) \(\small-\) \(\small100\% \)

Voorbeeld:
Het ledenaantal van de voetbalvereniging is gestegen van \(\small{200}\) naar \(\small{230}\).
Met hoeveel procent is het ledenaantal gestegen?

\(\small{230 \div 200 = 1{,}15 = 115\%}\)
\(\small{115\% - 100\% = 15\%}\)
De stijging van het ledenaantal is dus \(\small{115\% - 100\% = 15\%}\)
Let op: positieve uitkomst is procenten erbij, negatieve uitkomst is procenten eraf!

Nog meer procenten

Hoeveel procent is erbij of eraf?

Voorbeeld:
In \(\small2016\) verbruikte de familie van Dijk \(\small{4100}\) kWh aan elektriciteit.
In \(\small2017\) was het energieverbruik \(\small{3650}\) kWh.

Met hoeveel procent is het verbruik afgenomen?

Geef het antwoord in hele procenten nauwkeurig.

\(\small{3650 \div 4100 \approx 0{,}89 = 89\%}\)
De daling van het energieverbruik in hele procenten nauwkeurig is dus \(\small{100\% - 89\% = 11\%}\)

Nog meer procenten

Berekeningen met BTW

BTW staat voor Belasting Toegevoegde Waarde.
Het is een belasting die je betaalt als je iets koopt.
De winkelier draagt de belasting af aan de overheid.
In Nederland is de BTW op veel artikelen \(\small{21\%}\).

Bij het omrekenen van een prijs zonder BTW naar een prijs met BTW of omgekeerd gebruik je dan de volgende rekenschema's:

\(\small\text{prijs zonder BTW} \to\)

\(\small \times\ 1{,}21\)

\(\small \to \text{prijs zonder BTW}\)

\(\small\text{prijs zonder BTW} \to\)

\(\small ÷\ 1{,}21\)

\(\small \gets \text{prijs met BTW}\)

Nog meer procenten

Berekeningen met BTW

Voorbeeld:
Een fiets staat in de winkel voor \(\small{\text{€ }395}\),-.
Dit is de prijs inclusief \(\small{21\%}\) BTW.

Hoeveel is de prijs exclusief BTW?

De prijs inclusief BTW is \(\small{\text{€ }395}\text{,-}\).
Om bij de prijs exclusief BTW te komen moeten we volgens het terugrekenschema werken: we delen het bedrag door \(\small 1{,}21\).
De prijs exclusief BTW is dus \(\small{\text{€ }395}\),- \(\small{: 1{,}21 \approx }\) \(\small{\text{€ }326\text{,}45}\)

Nog meer procenten - voorbeeld 1

Inge Voorthuizen heeft een winkel met cadeauartikelen.
Deze week is het uitverkoop. Hier zie je twee artikelen die in de uitverkoop zijn.

Bij de artikelen zie je de oude prijs en de nieuwe prijs.

Bereken van beide artikelen het kortingspercentage.

Zilveren kandelaar: \(\small{49 \div 60 \approx 0{,}82 = 82\%}\)
De korting is \(\small{100\% - 82\% = 18\%}\)

Fotolijstjes: \(\small{21{,}90 \div 25{,}90 \approx 0{,}85 = 85\%}\)
De korting is \(\small{100\% - 85\% = 15\%}\)

Nog meer procenten - voorbeeld 2

Inge Voorthuizen heeft een winkel met cadeauartikelen.
Hier zie je twee artikelen die ze verkoopt.

Bij de artikelen zie je de verkoopprijs inclusief \(\small{21}\)\(\small\%\) BTW.

Bereken van beide artikelen de verkoopprijs exclusief BTW.

Gebruik steeds het terugrekenschema.

\(\small\text{prijs zonder BTW} \gets\)

\(\small ÷\ 1{,}21\)

\(\small \gets \text{prijs zonder BTW}\)

Prijs vaas exclusief BTW is
\(\small{\text{€ }60 \div 1{,}21 \approx}\) \(\small{\text{€ }49,59}\)

Prijs sleutelhanger exclusief BTW is
\(\small{\text{€ }4{,}90 \div 1{,}21 \approx }\) \(\small{\text{€ }4{,}05}\)

Lettervariabelen

Lettervariabelen - 1

Bekijk de formule: \(\small{\text{afstand} = 12 \times \text{hoeveelheid benzine}}\)

Voor \(\small{\text{afstand}}\) en \(\small{\text{hoeveelheid benzine}}\) kun je verschillende getallen invullen.
In plaats van het hele woord \(\small{\text{afstand}}\) op te schrijven gebruik je vaak een letter. Bijvoorbeeld de letter \(\small a\).
Voor de \(\small{\text{hoeveelheid benzine}}\) bijvoorbeeld de letter \(\small b\).

De formule wordt dan \(a\) \(=12\times\) \(b\)

a en b noem je lettervariabelen.

De formule: \(\small{\text{afstand} = 12 \times \text{hoeveelheid benzine}}\)
Kun je korter schrijven als \(\small a\) \(\small =12\ \times\) \(\small b\)

Voor een lettervariabele kun je een getal invullen.
Als je voor \(\small b\) het getal \(\small{10}\) neemt, krijg je:
\(\small a\) \(\small{=12\times10}\) en dus \(\small a\) \(\small{=120}\)
Met \(\small{10}\) liter benzine kun je \(\small{120}\) km rijden.

Lettervariabelen - 2

In plaats van het \(\times\)-teken wordt vaak een \(\cdot\) gebruikt.
Soms wordt het \(\times\)-teken of de \(\cdot\) zelfs helemaal weggelaten.

\(\small{2\times a=2\cdot a=2a}\)

\(\small{7a=7\cdot a=7\times a}\)

Lettervariabelen - Voorbeeld 1

Hiernaast zie je een 'kruis' getekend.
Alle zijden van het kruis zijn even lang.
Er zijn \(\small{12}\) zijden.

Voor de lengte van één zijde gebruik je de lettervariabele \(a\).

Dan geldt:
\(\small{\text{omtrek} = 12 \times a}\)

Als \(a\) \(\small{=6}\) cm

Dan geldt: \(\small{\text{omtrek} = 12 \times 6 = 72}\) cm

Lettervariabelen - Voorbeeld 2

Een leraar berekent de cijfers voor een proefwerk met de formule:

\(\small{c = a : 5 +1}\)

In de formule staat \(\small a\) voor het aantal punten dat een leerling heeft gehaald en \(c\) voor het cijfer dat hoort bij dat aantal.

Bij de formule kun je een tabel maken.

*\(\small a\)*	\(\small 15\)	\(\small 25\)	\(\small 30\)	\(\small 40\)	\(\small 45\)
*\(\small c\)*	\(\small 4\)	\(\small 6\)	\(\small 7\)	\(\small 9\)	\(\small 10\)

Uit de tabel kun je aflezen dat je een \(\small{6}\) krijgt als je \(\small{25}\) punten hebt.

Ga met de formule na of dit klopt.

Omtrek

De \(\small{\text{omtrek}}\) van een figuur is lengte van de buitenrand.

Je bepaalt de \(\small{\text{omtrek}}\) door de figuur 'om te trekken'.
Je telt welke afstand je aflegt tot je weer bij het beginpunt uitkomt.

De \(\small{\text{omtrek}}\) van deze figuur:

\(\small{\text{AB + BC + CD + DA}=3+4+5+2=14}\)

Video: Omtrek berekenen

Uitlegvideo: Omtrek berekenen

Omtrek - Voorbeeld 1

Een boer heeft een rechthoekig stuk land van \(\small{150}\) m bij \(\small{300}\) m.
Dit kun je zien aan het blauwe gedeelte. In de figuur is elke zijde van een roostervierkant gelijk aan \(\small{100}\) m.

Hij wil zijn land afzetten met prikkeldraad.
Hoeveel meter prikkeldraad heeft hij nodig als hij op drie hoogtes prikkeldraad wil spannen?

De omtrek van het stuk land is \(\small{150+300+150+300=900}\) m.
Hij heeft dus \(\small{3\times900}\) m \(\small{=2700}\) m prikkeldraad nodig.

Omtrek - Voorbeeld 2

Je ziet hier vier vlakke figuren met de lengte van de zijden:
een vierkant, een rechthoek, een ruit en een vlieger.

De vier figuren hebben allemaal dezelfde omtrek.

Lijn, lijnstuk en punt

Omtrek cirkel

Om de omtrek van een cirkel te bepalen, moeten we eerst weten hoe groot de diameter van die cirkel is.

De diameter van een cirkel is:

de lengte van een lijnstuk van de rand van de cirkel, door het middelpunt van de cirkel naar de andere kant van de cirkel.

Voor de omtrek van een cirkel geldt dan:

\(\small{\text{omtrek cirkel} = \pi \times \text{diameter}}\)

\(\pi\) is een Griekse letter. Spreek uit: pi.
\(\pi\) is ongeveer \(\small{3{,}14}\). (\(\pi\ \small{\approx 3{,}14}\))

Voorbeeld
Een cirkel heeft een diameter van \(\small{6}\) cm.
De omtrek bereken je als volgt:

\(\small{\text{omtrek cirkel} = \pi \times \text{diameter}}\)

\(\small{\text{omtrek cirkel} \approx 3{,}14 \times 6}\)

\(\small{\text{omtrek cirkel} \approx 18{,}84}\) cm

Let op: je mag de diameter berekenen vanaf ieder punt op de rand van de cirkel. Als je maar door het middelpunt van de cirkel naar de andere kant van de cirkel gaat.

Een cirkel heeft dus heel veel diameters.

Straal

Een cirkel heeft ook een straal.
De straal is een lijnstuk dat loopt van de rand van de cirkel tot aan het middelpunt van de cirkel.
De straal is dus de helft van de diameter.

Video: Wat is pi?

Uitlegvideo: Wat is pi?

Wereldwijd wordt door wiskundigen ieder jaar op 14 maart pi-dag gevierd (in Amerika is 14 maart 3/14).
Ze eten dan vaak taart (in het Engels: pie). Misschien een leuk idee voor jullie Wiskundedocent om een pi-taart voor jullie te bakken?

Omtrek cirkel - Voorbeeld 1

Van een \(\small2\)-euromunt is de diameter ongeveer \(\small{25}\) mm.
De omtrek van een \(\small2\)-euromunt bereken je als volgt:

\(\small{\text{omtrek 2-euromunt}}\) \(\small{=\pi\cdot25}\)
\(\small{\text{omtrek 2-euromunt}}\) \(\small{\approx3{,}14\cdot25}\)
\(\small{\text{omtrek 2-euromunt}}\) \(\small{\approx 78{,}5}\) mm

Joost heeft met een touwtje de omtrek van een muntje van \(\small5\)-eurocent gemeten.
De omtrek was ongeveer \(\small{62{,}8}\) mm.
Joost berekent de diameter van het muntje als volgt:

\(\small{\text{omtrek cirkel} = \pi \times \text{diameter}}\)
\(\small{62{,}8=\pi\cdot\text{diameter}}\)

\(\small{62{,}8\approx 3{,}14\cdot\text{diameter}}\)
\(\small{\text{diameter}}\) \(\small{\approx62{,}8:3{,}14\approx20}\) mm

Omtrek cirkel - Voorbeeld 2

Ito wil de omtrek van de figuur hiernaast uitrekenen.
De figuur bestaat uit twee rechte lijnstukken en een kwart cirkel.

\(\small{\text{omtrek figuur = AB} + \text{cirkelboog BC + CA}}\)

\(\small{\text{AB = CA = 4}}\) cm

\(\small{\text{diameter cirkel} = 8}\) cm

\(\small{\text{omtrek hele cirkel} \approx 3{,}14 \cdot 8 = 25{,}12}\) cm

\(\small{\text{cirkelboog BC} \approx 25,{,}12 : 4 = 6{,}28}\) cm

\(\small{\text{omtrek figuur} \approx 4 + 6{,}28 + 4 = 14{,}28}\) cm

Oppervlakte

Lijn, lijnstuk en punt - 1

Een lijn is altijd recht en heeft geen beginpunt en geen eindpunt.
Een lijn geef je altijd aan met een kleine letter:
bijvoorbeeld lijn \(\small\text{m}\).

Een lijnstuk heeft wel een beginpunt en een eindpunt.
Lijnstuk \(\small{\text{AB}}\) loopt tussen de punten \(\small{\text{A}}\) en \(\small{\text{B}}\).

Bij een punt zet je altijd een hoofdletter.

Lijn, lijnstuk en punt - 2

De lijnen \(\small\text{m}\) en \(\small\text{n}\) snijden elkaar in punt \(\small{\text{A}}\).
Punt \(\small{\text{A}}\) is het snijpunt van \(\small\text{m}\) en \(\small\text{n}\).

Lijn \(\small\text{q}\) staat loodrecht op lijn \(\small\text{t}\).
Het teken betekent loodrecht, dit zul je vaak terug zien komen.

De lijnen \(\small\text{m}\) en \(\small\text{n}\) snijden elkaar niet.
Lijn \(\small\text{m}\) loopt evenwijdig aan lijn \(\small\text{n}\).
Dit wordt meestal aangegeven met het pijltje wat bij de lijn is getekend.
Dit betekent dat beide lijnen evenwijdig aan elkaar zijn.

Video: Lijn, lijnstuk, punt

Bekijk de video.

Lijn, lijnstuk en punt - Voorbeeld 1

De rails van een trein lopen evenwijdig.

Dat is maar goed ook, want anders zou de trein ontsporen.

Lijn, lijnstuk en punt - Voorbeeld 2

Voor het tekenen van twee evenwijdige lijnen \(\small\text{m}\) en \(\small\text{n}\) gebruik je je geodriehoek.

1 Teken eerst met je geodriehoek een rechte lijn \(\small\text{m}\).

2 Leg je geodriekhoek op lijn \(\small\text{m}\).
Zorg dat de lijn onder één van de lijnen van je geodriehoek komt.

3 Teken vervolgens de tweede lijn. Zet de letter \(\small\text{n}\) bij de lijn.
De afstand tussen de twee lijnen is op ieder punt even groot.

Lijn, lijnstuk en punt - Voorbeeld 3

Hoe teken je twee evenwijdige lijnen op 2,2 cm afstand van elkaar?

Teken de eerste lijn.
Leg je geodriehoek met de nullijn over de lijn.
Zet een streepje bij 2,2 cm.
Leg je geodriehoek met de evenwijdige hulplijnen over de lijn en de rand tot aan het streepje.
Teken de tweede lijn.
Je hebt nu twee evenwijdige lijnen getekend op 2,2 cm afstand van elkaar.

Lijn, lijnstuk en punt - Voorbeeld 4

Hoe teken je een lijn n door punt P die loodrecht op lijn m staat?

Leg je geodriehoek met de nullijn over lijn m.
Schuif de geodriehoek tot aan punt P.
Zorg dat de nullijn van de geodriehoek nog steeds over lijn m ligt.
Teken een lijn die door punt P en lijn m gaat.
Schrijf een n bij de getekende lijn en zet het loodrechtteken bij het snijpunt van beide lijnen.

Oppervlakte

Zeshoek \(\small{\text{ABCDEF}}\) is getekend op een rooster. De oppervlakte vind je door het aantal hokjes te tellen. De oppervlakte van \(\small{\text{ABCDEF}}\) is \(\small{7}\) hokjes.
Soms bestaat een figuur uit hele hokjes en halve hokjes. Twee halve hokjes hebben dezelfde oppervlakte als één heel hokje. De oppervlakte van \(\small{\text{PQRSTUVW}}\) hiernaast is \(\small{7}\) hokjes.
Je ziet rechthoek \(\small{\text{ABCD}}\) getekend. De oppervlakte van rechthoek \(\small{\text{ABCD}}\) is \(\small{8}\) hokjes.
Je ziet driehoek \(\small{\text{PQR}}\) getekend. De oppervlakte van \(\small{\text{PQR}}\) is de helft van de oppervlakte van \(\small{\text{ABCD}}\). De oppervlakte is \(\small{8: 2 = 4}\) hokjes

Video: Oppervlakte

Uitlegvideo: Oppervlakte

Correctie op de tekst in de video: De totale oppervlakte is 38 cm².

Oppervlakte - Voorbeeld 1

De oppervlakte reken je uit met lengte x breedte bij een rechthoekig figuur, zoals een vierkant of een rechthoek.
Bij het antwoord van oppervlakte gebruik je altijd een \(^2\), je hebt namelijk een vermenigvuldiging gedaan met \(\small2\) getallen.
Dit kan \(\small \text {mm}^2 \), \(\small \text {cm}^2 \), \(\small \text {dm}^2 \) of \(\small \text {m}^2 \) zijn.

De lengte van deze rechthoek is \(\small20 \small\text { m}\), de breedte is \(\small15 \small\text { m}\), dus de oppervlakte reken je uit met \(\small20 \times 15 = 300 \small\text{ m}^2\).

Oppervlakte - Voorbeeld 2

Wat is de totale oppervlakte van de figuur?

Je ziet \(\small2\) rechthoeken van \(\small8 \small\text{ m}\) bij \(\small4 \small\text{ m}\) en van \(\small8 \small\text{ m}\) bij \(\small12 \small\text{ m}\).

De oppervlakte van de linker rechthoek is \(\small8 \times 4 = 32 \small\text{ m}^2\)

De oppervlakte van de rechter rechthoek is \(\small8 \times 12 = 96 \small\text{ m}^2\)

De totale oppervlakte is dus \(\small32 + 96 = 128 \small\text{ m}^2\)

Oppervlakte - Voorbeeld 3

Je wilt de totale oppervlakte uitrekenen van figuur \(\small\text{ABCDEFGH}\). Het is niet mogelijk om dit in één keer te doen. Daarom splits je de figuur door het tekenen van lijn \(\small\text{TC}\) en \(\small\text{SD}\). Hierdoor krijg je 3 verschillende rechthoeken: \(\small\text{ABTH}\), \(\small\text{CDTS}\) en \(\small\text{EFGS}\).

\(\small\text{ABTH}\)
lengte: \(\small120 \small\text{ cm}\)
breedte: \(\small135 \small\text{ cm}\)
\(\small\text{oppervlakte} = \small\text{lengte} \times \small\text{breedte} = 120 \times 135 = 16.200 \small\text{ cm}^2\)

\(\small\text{CDTS}\)
lengte: \(\small110 \small\text{ cm}\)
breedte: \(\small135 - 65 = 70\small\text{ cm}\)
\(\small\text{oppervlakte} = \small\text{lengte} \times \small\text{breedte} = 110 \times 70 = 7.700\small\text{ cm}^2\)

\(\small\text{EFGS}\)
lengte: \(\small85 \small\text{ cm}\)
breedte: \(\small115\small\text{ cm}\)
\(\small\text{oppervlakte} = \small\text{lengte} \times \small\text{breedte} = 185 \times 115 = 9.775\small\text{ cm}^2\)

\(\small\text{totale oppervlakte} = 16.200 + 7.700 + 9.775 = 33.675\small\text{ cm}^2\)

Oppervlakte - Voorbeeld 4

Bekijk de figuur. De figuur is \(\small{5}\) delen verdeeld.
De oppervlakte van \(\small{\text{ABCDEF}}\) is gelijk aan de oppervlakte van de vijf delen.

de oppervlakte van \(\small{\text{I}}\) is: \(\small{3\times6=18}\) hokjes

de oppervlakte van \(\small{\text{II}}\) is: \(\small{2\times3=6}\) hokjes

de oppervlakte van \(\small{\text{III}}\) is: \(\small{2\times4:2=4}\) hokjes

de oppervlakte van \(\small{\text{IV}}\) is: \(\small{2\times1=2}\) hokjes

de oppervlakte van \(\small{\text{V}}\) is: \(\small{1\times1:2=0{,}5}\) hokjes

De totale oppervlakte van vijfhoek \(\small{\text{ABCDEF}}\) is dus:
\(\small{18+6+4+2+0{,}5=30{,}5}\) hokjes

Oppervlakte - Voorbeeld 5

Joost wil een muur in zijn kamer verven.
Hij koopt een pot verf van \(\small{3}\) liter.
Met één liter verf kun je \(\small{4}\) m\(\small^2\) verven.

Is de pot groot genoeg voor het verven van de muur?

de oppervlakte van de hele wand is \(\small{5\times3=15} \text{ m}^2\)
de oppervlakte van de deur is \(\small{1\times2=2}\text{ m}^2\)
de oppervlakte van het raam is \(\small{1{,}5\times1=1{,}5}\text{ m}^2\)
er moet geverfd worden: \(\small{15-2-1{,}5=11{,}5}\text{ m}^2 \)
met \(\small{3}\) liter kun je \(\small{3\times4=12} \text{ m}^2\) verven, dus de pot is net groot genoeg.

Oppervlakte cirkel

Om de oppervlakte van een cirkel te bepalen, moeten we eerst weten hoe groot de straal van die cirkel is.

De straal is een lijnstuk dat loopt van de rand van de cirkel tot aan het middelpunt van de cirkel.
De straal is dus de helft van de diameter.

Voor de oppervlakte van een cirkel geldt dan:

oppervlakte cirkel \(= \pi \) \(\times\) straal \(\times\) straal

\(\pi\) is een Griekse letter. Spreek uit pi.

\(\pi\) is ongeveer \(\small{3}{,}{14}\). (\(\pi\small{\approx 3{,}14}\))

Voorbeeld

Een cirkel heeft een straal van 3 \(\small{cm}\).
De oppervlakte bereken je als volgt:

oppervlakte cirkel \(= \pi \) \(\times\) straal \(\times\) straal
oppervlakte cirkel \(\small{\approx3{,}14} \) \(\times\) \(\small{3}\) \(\small {cm}\) \(\times\) \(\small{3}\) \(\small {cm}\)
oppervlakte cirkel \(\small{\approx28{,}26}\) \(\small\text{cm}^2\)

Oppervlakte cirkel - Voorbeeld 1

Bekijk de figuur.
Je ziet het Chinese yin-en-yang-teken.
Je wilt een yin-en-yang-teken met een straal van \(10\) cm tekenen.
Hoe groot wordt de oppervlakte van je yin-en-yang-teken?

oppervlakte cirkel \(=\pi\cdot10\cdot10\)

oppervlakte cirkel \(\approx3,14\cdot100\)

oppervlakte cirkel \(\approx3,14\) cm²

De oppervlakte van het zwarte deel is gelijk aan de oppervlakte van het witte deel.
Ieder deel is \(314:2=157\) cm²

Oppervlakte cirkel - Voorbeeld 2

De volgende figuur bestaat uit \(\frac{{3}}{{4}}\) cirkel met straal \(\small\text {6}\small\text{ cm}\).

De oppervlakte van de hele cirkel bereken je als volgt:

oppervlakte cirkel \(= \pi \) \(\times\) straal \(\times\) straal
oppervlakte cirkel \(\small{\approx3{,}14} \) \(\times\) \(\small{6}\) \(\small {cm}\) \(\times\) \(\small{6}\) \(\small {cm}\)
oppervlakte cirkel \(\small{\approx113{,}04}\) \(\small\text{cm}^2\)

De oppervlakte van \(\frac{{3}}{{4}}\) cirkel \(= \frac{{3}}{{4}}\times\small{113{,}04}=\small{84{,}78}\small\text{ cm}^2\)

Oppervlakte parallellogram en driehoek

Oppervlakte parallellogram en driehoek - 1

Voor de oppervlakte van een parallellogram geldt:

oppervlakte parallellogram = zijde × bijbehorende hoogte

De hoogte staat loodrecht op de zijde.

Oppervlakte parallellogram en driehoek - 2

Van ieder parallellogram kun je een rechthoek maken door er een stuk vanaf te knippen en ergens anders neer te leggen.

De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek.

Oppervlakte parallellogram en driehoek - Voorbeeld 1

Van ieder parallellogram kun je een rechthoek maken door er een stuk vanaf te knippen en ergens anders neer te leggen.
De oppervlakte van het parallellogram is gelijk aan de oppervlakte van het rechthoek.

Oppervlakte parallellogram en driehoek - Voorbeeld 2

Om iedere driehoek kun je een rechthoek tekenen.
Je ziet dan dat de oppervlakte van een driehoek altijd de helft is van de rechthoek die er omheen past.

Oppervlaktematen

Heb je het over oppervlakte dan heb je het vaak over vierkante meters (\(\small\text{m}^2\)).
Een vierkant van \(\small{1} \text{ m}\) m bij \(\small{1} \text{ m}\) heeft een oppervlakte van \(\small{1}\) \(\small\text{m}^2\) (\(\small1 \times 1 = 1\)).

Maar soms heb je het ook over vierkante kilometers (\(\small\text{km}^2\)), vierkante centimeters (\(\small\text{cm}^2\)) of vierkante millimeters (\(\small\text{mm}^2\)).

Vierkante meters, vierkante kilometers, vierkante centimeters en vierkante millimeters zijn oppervlaktematen.

Er geldt:

\(\small{1}\) \(\small\text{km}\) \(\small=\) \(\small{1000}\) \(\small\text{m}\)	en	\(\small1\) \(\small\text{km}^2\) \(\small=\) \(\small{1.000.000}\) \(\small\text{m}^2\)
\(\small{1}\) \(\small\text{m}\) \(\small=\) \(\small{100}\) \(\small\text{cm}\)	en	\(\small1\) \(\small\text{m}^2\) \(\small=\) \(\small{10.000}\) \(\small\text{cm}^2\)
\(\small{1}\) \(\small\text{cm}\) \(\small=\) \(\small{10}\) \(\small\text{mm}\)	en	\(\small1\) \(\small\text{cm}^2\) \(\small=\) \(\small{100}\) \(\small\text{mm}^2\)

Hieronder staan de verschillende oppervlakte-eenheden op volgorde van groot naar klein.
Elk stapje naar rechts betekent \(\small{\times100}\)
Elk stapje naar links betekent \(\small{:100}\)

Oppervlaktematen - 2

Van groot naar klein

\(\small0,5\text{ km}^2 = 500.000\text{ m}^2\)

Uitleg: Van \(\small\text{km}\) naar \(\small\text{m}\) zijn het 3 stappen de trap af.
Per stap doe je \(\small\times 100\), dus in totaal \(\small100 \times 100 \times 100 = \times 1.000.000\).
Oftewel de komma 6 plekken opschuiven naar rechts (of 6 nullen erbij) maakt \(\small5.000.000 \text{ m}^2\).

\(\small1,5\text{ m}^2 = 15.000\text{ cm}^2\)

Uitleg: Van \(\small\text{m}\) naar \(\small\text{cm}\) zijn het 2 stappen de trap af.
Per stap doe je \(\small\times 100\), dus in totaal \(\small100 \times 100 = \times 10.000\).
Oftewel de komma 4 plekken opschuiven naar rechts maakt \(\small15.000 \text{ cm}^2\).

\(\small24\text{ cm}^2 = 2.400\text{ mm}^2\)

Uitleg: Van \(\small\text{cm}\) naar \(\small\text{mm}\) is het 1 stap de trap af.
Per stap doe je \(\small\times 100\), oftewel de komma 2 plekken opschuiven naar rechts maakt \(\small2.400 \text{ cm}^2\).

Van klein naar groot

\(\small6.000.000 \text{m}^2 = 6 \text{km}^2\)

Uitleg: Van \(\small\text{m}\) naar \(\small\text{km}\) zijn het 3 stappen de trap op.
Per stap doe je \(: 100 : 100: 100\), dus in totaal \(: 1.000.000\).
Oftewel de komma 6 plekken opschuiven naar links maakt \(\small6 \text{ cm}^2\).

\(\small35.000 \text{dm}^2 = 350 \text{m}^2\)

Uitleg: Van \(\small\text{dm}\) naar \(\small\text{m}\) is het 1 stap de trap op.
Per stap doe je \(\small: 100\), oftewel de komma 2 plekken opschuiven naar links maakt \(\small350 \text{ dm}^2\).

\(\small850 \text{mm}^2 = 8,5 \text{cm}^2\)

Uitleg: Van \(\small\text{mm}\) naar \(\small\text{cm}\) is het 1 stap de trap op.
Per stap doe je \(\small: 100\), oftewel de komma 2 plekken opschuiven naar links maakt \(\small8,5 \text{ cm}^2\).

Soms is het handig om oppervlaktematen om te rekenen.

Oppervlaktematen - Voorbeeld 1

Hiernaast zie je een stukje millimeterpapier.

Het donkerblauwhokje is \(\small1\) millimeter bij \(\small1\) millimeter.
De oppervlakte van \(\small1\) donkerblauw hokje is dus \(\small1 \text{ mm}^2\) .

Op het millimeterpapier is ook een lichtblauw hokje getekend.
Het lichtblauwe hokje is \(\small1\) centimeter bij \(\small1\) centimeter.
De oppervlakte van \(\small1\) lichtblauw hokje is dus \(\small1 \text{ cm}^2\) .

Tel hoeveel donkerblauwe hokjes in de breedte van een lichtblauw hokje passen en hoeveel er in de lengte passen. Dat is \(\small10\) bij \(\small10\). Oftewel \(\small10 \times 10\) maakt \(\small100\).
Je ziet: \(\small1 \text{ cm}^2\) \(\small=100 \text{ mm}^2\) .

Oppervlaktematen - Voorbeeld 2

Hiernaast zie je een handbalveld getekend.
De oppervlakte van het handbalveld is \(\small5\times10=50\) hokjes.

Elk hokje is in werkelijkheid \(\small5 \text{ m}\) m bij \(\small5 \text{ m}\).
De oppervlakte van één hokje is dan \(\small25 \text{ m}^2\).

De oppervlakte van het handbalveld is dan
\(\small50\times25=1250 \text{ m}^2\).

Oppervlaktematen - Voorbeeld 3

Irma wil de vloer van haar kamer met vloertegels beleggen.
De oppervlakte van de kamer van Irma is \(\small10 \text{ m}^2\).
De tegels zijn \(\small30 \text{ m}\) cm bij \(\small30 \text{ m}\) .
Heeft Irma genoeg aan \(\small100\) tegels?

De oppervlakte van één tegel is \(\small30\times30=900\text{ cm}^2\)

De oppervlakte van \(\small100\) tegels is \(\small100\times900\text{ cm}^2\) \(\small=90.000\text{ cm}^2\)

Van \(\small\text{cm}\) naar \(\small\text{m}\) zijn het 2 stapjes, per stap deel je door \(\small100\), dus \(\small: 100 : 100 = : 10.000\)
Oftewel de komma 4 plekjes naar links opschuiven, maakt \(\small90.000\text{ cm}^2\) \(\small=9\text{ m}^2\)

De oppervlakte van de kamer is \(\small10 \text{ m}^2\), dus Irma heeft niet genoeg aan \(\small100\) tegels.

Optellen en aftrekken

Decimale getallen optellen - Voorbeeld 1

Optelsommen met decimale getallen kan je het beste onder elkaar uitrekenen met het stappenplan wat je eerder bij thema 1 Basisrekenen hebt gebruikt. Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze beter. 

Voorbeeld: \(\small123,32 + 39,44 =\)

Zet de getallen onder elkaar.
Zorg ervoor dat de getallen aan de rechterkant precies onder elkaar staan.
Noteer de waarde van de cijfers erbij: Voor de komma D = duizendtallen, H = honderdtallen, T = tientallen en E = eenheden en achter de komma t = tienden en h = honderdsten.

Werk van rechts naar links, dus begin met de honderdsten.
In dit geval is \(\small2 + 4 = 6\) (dus eigenlijk 6 honderdsten).
Deze noteer je onder de streep.

Tel dan de tienden bij elkaar op.
In dit geval \(\small3 + 4 = 7\). Deze noteer je weer onder de streep. Zet ook de komma voor de tienden!

Tel nu de eenheden bij elkaar op.
Nu volgen de stappen die je al kent. Dus de eenheden. Dat is \(\small3 + 9 = 12\). Het getal \(\small12 \) bestaat uit \(\small2 \) eenheden en \(\small1 \) tiental. De \(\small2 \) van de eenheden zet je onder de streep bij de eenheden en de \(\small1 \) van de tientallen zet je klein boven de tientallen, zodat je niet vergeet die straks mee op te tellen.
Dit noem je de \(\small1 \) onthouden

e.	Tel daarna de tientallen bij elkaar op. In dit geval dus \(\small1 + 2 + 3 = 6\). Omdat het tientallen zijn is het dus eigenlijk \(\small10 + 20 + 30 = 60\). De \(\small6\) zet je weer onder de streep, maar nu dus bij de tientallen, want deze \(\small6\) is \(\small60\) waard.
f.	Tel dan de honderdtallen bij elkaar op. In dit geval is het makkelijk, want er is maar \(\small1 \) honderdtal en hoef je er niks bij op te tellen. Dus de \(\small1 \) zet je nu onder de streep bij de honderdtallen, want de \(\small1 \) is honderd waard.
g.	Tel dan de duizendtallen bij elkaar op. Er zijn geen duizendtallen, dus we zijn al klaar! Het antwoord is \(\small162,76 \).

Decimale getallen optellen - Voorbeeld 2

Nog een voorbeeld: \(\small213,51 + 126,42 + 32,9 = \)

Zet de getallen met de komma's onder elkaar.

Tel nu de honderdsten bij elkaar op.
In dit geval is \(\small1 + 2 = 3\).

Tel dan de tienden bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small5 + 4 + 9 = 18\) . Het getal \(\small18\) bestaat uit \(\small8\) tienden en \(\small1\) eenheid. De \(\small8\) zet je onder de streep bij de tienden en de \(\small1\) zet je klein boven de eenheden, zodat je niet vergeet die straks ook op te tellen. Dus weer \(\small1\) onthouden. Zet ook de komma voor de tienden!

Tel dan de eenheden bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small1 + 3 + 6 + 2 = 12\). Je noteert dus de \(\small2\) onder de streep bij de eenheden en de \(\small1\) zet je klein boven de tientallen. Dus ook hier \(\small1\) onthouden.

Tel dan de tientallen bij elkaar op.

In dit geval dus \(\small1 + 1 + 2 + 3 = 7\). Je noteert dus de \(\small7\) onder de streep bij de tientallen.

Tel dan de honderdtallen bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small2 + 1 = 3\) (dus eigenlijk \(\small300\)). Je zet de \(\small3\) onder de streep bij de honderdtallen en we zijn klaar. Het antwoord is \(\small372,83\) .

Decimale getallen aftrekken - Voorbeeld 1

Net als bij optelsommen, kun je aftreksommen met decimale getallen het beste onder elkaar uitrekenen zoals je bij thema 1 hebt gedaan. Ook hiervoor hebben we weer een stappenplan.
Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze beter.

Voorbeeld: \(\small17,8 -3,5 =\)

Zet de getallen met de komma's onder elkaar.
Zorg ervoor dat de getallen weer met de komma’s precies onder elkaar staan. Noteer de waarde van de cijfers erbij: H = honderdtallen, T = tientallen en
E = eenheden en t = tienden. In dit voorbeeld zijn er geen honderdtallen, dus zetten we ook geen h neer.

Trek nu eerst de tienden van elkaar af.
In dit geval is \(\small8-5 =3\). De \(\small3\) zet je onder de streep bij de tienden.

Trek daarna de eenheden van elkaar af.
In dit geval dus \(\small7-3 =4\).
De \(\small4\) zet je weer onder de streep, maar nu dus bij de eenheden.

Trek dan de tientallen van elkaar af.

In dit geval is het makkelijk want er maar \(\small1\) tiental en hoef je er niks van af te trekken.
Dus de \(\small1\) zet je nu onder de streep bij de tientallen, want de \(\small1\) is \(\small10\) waard.
We zijn klaar! Het antwoord is \(\small14,3\).

Decimale getallen aftrekken - Voorbeeld 2

Nog een voorbeeld: \(\small236,44 -143,5 =\)

a.	Zet de getallen met de komma’s precies onder elkaar.
b.	Trek nu eerst de honderdsten van elkaar af. In dit geval \(\small4-\text{niks} = 4-0 = 4\). We noteren onder de streep de \(\small4\) bij de honderdsten.
c.	Trek nu de tienden van elkaar af. In dit geval is \(\small4-5 =\ldots\) Maar dat kan helemaal niet! Omdat we toch willen gaan aftrekken, gaan we lenen bij de buren. Bij de eenheden dus. Je trekt \(\small1\) van de eenheden af, dus \(\small6-1 =5\), dan streep je de \(\small6\) bij de eenheden door en zet er een kleine \(\small5\) boven.
	De \(\small1\) die je geleend hebt van de eenheden tel je dan op bij de tienden. Maar let op, de geleende \(\small1\) is een tiental en is dus \(\small10\) waard. Dus \(\small10 + 4 = 14\). Je streept ook hier de \(\small14\) bij de tienden door en zet er een kleine \(\small14\) boven.
	Nu kunnen we de tienden echt gaan aftrekken. Dus \(\small14 - 5 = 9\) en we zetten de \(\small9\) onder de streep bij de tienden. We zetten onder de streep ook alvast de komma op de juiste plek.
d.	Trek daarna de eenheden van elkaar af. In dit geval dus \(\small5 - 3 = 2\) Let op: we hadden de \(\small6\) doorgestreept en vervangen door de \(\small5\)! We zetten de \(\small2\) dus weer onder de streep, maar nu bij de eenheden.
e.	Trek daarna de tienden van elkaar af. In dit geval dus \(\small3-4 =\ldots\) maar dat kan weer niet. Dus we moeten weer gaan lenen bij de buren aan de linkerkant. In dit geval dus bij de honderdtallen. We trekken weer \(\small1\) van de honderdtallen af, dus \(\small2-1 =1\). We strepen de \(\small2\) bij de honderdtallen door en zetten er een kleine 1 boven. De \(\small1\) die je geleend hebt bij de honderdtallen tel je weer bij de tientallen op. Deze \(\small1\) is een honderdtal en dus \(\small10\) keer zoveel waard als de tientallen. Dus \(\small10+3 =13\). We strepen de \(\small3\) bij de tientallen door en zetten er een kleine \(\small13\) boven. We kunnen nu weer gewoon de tientallen aftrekken. Dus \(\small13-4 =9\). We noteren de \(\small9\) onder de streep bij de tientallen.
f.	Trek dan de honderdtallen van elkaar af. In dit geval dus \(\small1-1 =0\). Weet je nog, we hadden de \(\small2\) doorgestreept en vervangen door de \(\small1\). We hoeven de \(\small0\) niet te noteren, omdat deze helemaal aan de linkerkant staat. Als je straks in een andere som een nul als antwoord krijgt, die NIET helemaal aan de linkerkant staat, dan noteer je die nul natuurlijk wel!

Decimale getallen aftrekken - Voorbeeld 3

Laatste voorbeeld: bijzondere situatie

In het vorige voorbeeld moest je twee keer lenen bij de linkerburen. Maar wat als daar een \(\small0\) staat? Dan valt er dus niets te lenen bij de buren?

We willen onder elkaar uitrekenen \(\small100 - 89,9 = 100,0- 89,9 =\)

Je zet de twee getallen weer onder elkaar.

Trek nu eerst de tienden van elkaar af

\(\small0 -9\) kan niet, dus we gaan lenen bij de buren, bij de eenheden dus. Maar daar staat ook een nul. Dan gaan we één cijfer verder naar de tientallen. Daar staat weer een nul. Dan gaan we weer één getal verder, naar de honderdtallen. Daar staat een \(\small1\).
We willen dus van de honderdtallen, tientallen en eenheden samen lenen. Daar staat nu \(\small100\) en we lenen er \(\small1\) van. Dus \(\small100 -99\).
We strepen bij de honderdtallen, tientallen en eenheden de \(\small100\) door en zetten er \(\small99\) boven.
Bij de \(\small0\) bij de tienden tellen we \(\small10\) op (van de geleende \(\small1\)) en zetten dat klein boven de eenheden. De \(\small0\) strepen we door.

Nu kunnen we gewoon de som maken zoals we gewend zijn.

Trek daarna de eenheden van elkaar af.

Trek dan de tientallen van elkaar af.

Trek dan de honderdtallen van elkaar af.
Er zijn geen honderdtallen meer, dus het antwoord is \(\small10,1\).

Optellen met grote getallen

Optelsommen met grote getallen kun je het beste onder elkaar uitrekenen met het volgende stappenplan. Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze beter.

Voorbeeld: \(\small123 + 39 =\)

Zet de getallen onder elkaar.
Zorg er voor dat de getallen aan de rechterkant goed onder elkaar staan.
Dus de eenheden onder de eenheden. Noteer de waarde van de cijfers erbij:
D = duizendtallen,
H = honderdtallen,
T = tientallen en
E = eenheden.
In dit voorbeeld zijn er geen duizendtallen, dus zetten we ook geen D neer.

Tel nu eerst de eenheden bij elkaar op.
In dit geval is \(\small3 + 9 = 12\). Het getal \(\small12\) bestaat uit \(\small2\) eenheden en \(\small1\) tiental.
De \(\small2\) van de eenheden zet je onder de streep bij de eenheden en de \(\small1\) van de tientallen zet je klein boven de tientallen, zodat je niet vergeet die straks mee op te tellen.
Dit noem je de 1 onthouden.

Tel daarna de tientallen bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small1 + 2 + 3 = 6\).
Omdat het tientallen zijn is het dus eigenlijk \(\small10 + 20 + 30 = 60\).
De \(\small6\) zet je weer onder de streep, maar nu dus bij de tientallen, want deze \(\small6\) is \(\small60\) waard.

Tel dan de honderdtallen bij elkaar op.
In dit geval is het makkelijk want er is maar \(\small1\) honderdtal en je er niks bij op hoeft te tellen.
Dus de \(\small1\) zet je nu onder de streep bij de honderdtallen, want de \(\small1\) is honderd waard.

Tel dan de duizendtallen bij elkaar op.
Er zijn geen duizendtallen, dus we zijn al klaar!
Het antwoord is \(\small162\).

Optellen met grote getallen - 2

Nog een voorbeeld: \(\small2135 + 1264 + 329 = \)

Zet de getallen onder elkaar.

Tel nu de eenheden bij elkaar op.
In dit geval is \(\small5 + 4 + 9 = 18\). Het getal \(\small18\) bestaat uit \(\small8\) eenheden en \(\small1\) tiental.
De \(\small8\) zet je onder de streep bij de eenheden en de \(\small1\) zet je klein boven de tientallen, zodat je niet vergeet die straks ook op te tellen. Dus weer 1 onthouden.

Tel dan de tientallen bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small1 + 3 + 6 + 2 = 12\). Je noteert dus de \(\small2\) onder de streep bij de tientallen en de \(\small1\) zet je klein boven de honderdtallen. Dus ook hier 1 onthouden.

Tel dan de honderdtallen bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small1 + 1 + 2 + 3 = 7\). Je noteert dus de \(\small7\) onder de streep bij de honderdtallen.

Tel dan de duizendtallen bij elkaar op.
In dit geval dus \(\small2 + 1 = 3\) (dus eigenlijk \(\small3000\)). Je zet de \(\small3\) onder de streep bij de duizendtallen en we zijn klaar.

Optellen met negatieve getallen

Bij het optellen met negatieve getallen maak je gebruik van de regel:

\(+-\) is hetzelfde als \(-\)

Dus \(8+-3=8-3=5\)

Op de getallenlijn:

Voorbeelden:

\(5+-3=5-3=2\)
\(4+-7=4-7=-3\)
\(-2+-4=-2-4=-6\)
\(-3+5=2\)

Video: Optellen met negatieve getallen

Uitlegvideo: Optellen met negatieve getallen

Optellen met negatieve getallen - Voorbeeld 1

Als je schrijft zie je vaak geen verschil tussen de \(\text{-}\) voor 'negatief' en de \(-\) voor aftrekken.
Op je rekenmachine is er wel een aparte toets voor 'negatief'.
Weet jij waar die toets op jouw rekenmachine zit?

Optellen met negatieve getallen - Voorbeeld 2

Irma doet mee aan een danswedstrijd.
Na haar optreden krijg zij van de jury de volgende puntenaantallen.

De totaalscore voor Irma bereken je met de volgende som:

\(\small{4+\text{-}2+1+\text{-}2=1}\)

De totaalscore voor Irma is dus \(\small1\).

Passer en geodriehoek

Geodriehoek

Kijk eens goed naar je geodriehoek. Wat zie je?

Je ziet dat er een liniaal op staat, maar dan wel één met een 0 in het midden.
Je ziet een aantal lijnen precies recht onder de liniaal met de centimeters staan.
Je ziet dat er een gradenboog in zit met streepjes tot aan de zijkanten; hier kun je hoeken mee meten.
Je ziet dat de onderste punt precies een rechte hoek maakt; die rechte hoek zie je ook terug tussen de liniaal en de 90-graden hoek.

Geodriehoek - Rechte hoeken tekenen

Met een geodriehoek kan je goed een rechte hoek tekenen.
Hiervoor gebruik je de lijn in het midden van de geodriehoek.

Passer

Je tekent een cirkel met een passer.
Een passer heeft één scherpe punt en een potloodpunt.
Denk er wel om dat de beide punten even lang moeten zijn.

Een cirkel tekenen

Zet de scherpe punt op het papier.
Plaats daarna je de potloodpunt op het papier.
Houd de passer helemaal bovenaan vast.
Draai nu met je duim en wijsvinger de passer rond.
Druk niet te hard op de passer, anders druk je de passer uit elkaar en wordt de cirkel niet rond.

De lijn door het midden van de cirkel noem je de diameter.

Plaatsbepaling op de kaart

Om een plaats op een kaart aan te geven gebruik je vaknummers.

Joost woont bij punt \(\small{\text{J}}\). Joost woont in vak \(\small{\text{C2}}\).
De voetbalvelden liggen in de vakken \(\small{\text{A1}}\) en \(\small{\text{A2}}\).

Video: Plaatsbepalen

Uitlegvideo: Plaatsbepalen

Plaatsbepaling op de kaart - Voorbeeld 1

Om een plaats op een kaart aan te geven gebruik je vaknummers.
Bekijk de kaart hieronder. Op de kaart zie je \(\small{7}\) gebouwen aangegeven.

Schrijf de vakken op waarin je de gebouwen vindt.
Heb je hetzelfde antwoord als je buurman?

Plaatsbepaling op de kaart - Voorbeeld 2

Route op de kaart

Joost fietst naar de kerk.
De route die Joost fietst staat op de kaart.

Bij de eerste kruising gaat Joost rechtsaf.
Bij de tweede kruising gaat Joost linksaf.
Bij de derde kruising gaat Joost rechtdoor.
Bij de vierde kruising gaat Joost rechtsaf.
Bij de vijfde kruising gaat Joost linksaf.
Dan is hij bij de kerk.

Procenten

\(\small\%\) \(\small=\) Procent
Procent betekent per honderd.

\(\small{1\%=\frac{1}{100}=0{,}01}\)
\(\small{5\%=\frac{5}{100}=0{,}05}\)
\(\small{34\%=\frac{34}{100}=0{,}34}\)

Sommige percentages kom je vaak tegen.
Probeer ze te onthouden:

De helft is \(\small{\frac{1}{2}=50:100=50\%=0{,}5}\)
Een kwart is \(\small{\frac{1}{4}=25:100=25\%=0{,}25}\)
Een tiende is \(\small{\frac{1}{10}=10:100=10\%=0{,}1}\)

Een breuk kun je met je rekenmachine omzetten naar procenten.
Gebruik de \(\small \div\) toets.

\(\small{\frac{3}{5}=0{,}6=60\%}\)

\(\small{\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\%}\)

\(\small{\frac{1}{3}\approx 0{,}33=33\%}\)

Procenten - Voorbeeld 1

In het cirkeldiagram zie je hoe de leerlingen van het Hoge Zand college naar school komen.

De hele cirkel is \(\small100\%\).

\(\small60\%\) van de leerlingen komt op de fiets naar school.

\(\small20\%\) van de leerlingen komt op de brommer naar school.

\(\small12\%\) van de leerlingen komt met de bus naar school.

\(\small8\%\) van de leerlingen komt lopend naar school.

Procenten - Voorbeeld 2

Bekijk de verhoudingstabel.

Je ziet dat: \(\small{15:50=30:100}\).

Er geldt:
\(\small{\frac{15}{50}=\frac{30}{100}=0{,}3=30\%}\)

Procenten erbij of eraf

Aanbieding:
Je krijgt \(\small20\%\) korting op een televisie van \(\small{\text{€ }300}\),-.

oude verkoopprijs \(\small{=100\%}\)
korting \(\small{=20\%}\)
nieuwe verkoopprijs \(\small{=100\%-20\%=80\%}\)

\(\small{80\%=\frac{80}{100}=0{,}8}\)

\(\small{80\%}\) van \(\small{\text{€ }300}\),- \(\small{=0{,}8\times300=240}\)

De televisie kost nu dus \(\small{\text{€ }240}\),-

In \(\small 2018\) maakte schildersbedrijf Kamphuis \(\small{\text{€ }120.000}\),- winst.
In \(\small2019\) was de winst \(\small{25\%}\) hoger.

oude winst \(\small{=100\%}\)
extra winst \(\small{=25\%}\)
nieuwe winst \(\small{=100\%+25\%=125\%}\)

\(\small{125\%=\frac{125}{100}=1{,}25}\)

\(\small{125\%}\) van \(\small{\text{€ }120.000 =1{,}25\times\text{€ }120.000=\text{€ }150.000}\),-

De winst in \(\small2019\) is dus \(\small{\text{€ }150.000}\),-

Video: Procenten erbij

Uitlegvideo: Procenten erbij

Video: Procenten eraf

Uitlegvideo: Procenten eraf

Procenten erbij of eraf - Voorbeeld

Inge Voorthuizen heeft een winkel met cadeauartikelen.
Hier zie je enkele artikelen die ze verkoopt.
Bij de artikelen zie je de inkoopprijs.
Inge rekent de verkoopprijs uit door de inkoopprijs met \(\small{40\%}\) te verhogen.

inkoopprijs \(\small=\) \(\small{100\%}\)
winstopslag \(\small=\) \(\small{40\%}\)
verkoopprijs \(\small=\) \(\small{140\%}\)

\(\small{140\%=\frac{140}{100}=1{,}4}\)

verkoopprijs vaas is: \(\small{1{,}4\times60=\text{€ }84}\),-

verkoopprijs fotolijstjes is: \(\small{1{,}4\times25=\text{€ }35}\),-

Regelmaat

Rijen getallen met regelmaat

We gaan nu zoeken naar de regelmaat in rijen getallen.
Soms kom je dit soort vragen ook tegen in een quiz op televisie. Dus, als je goed oefent dan kan je je familie verbazen.

Kijk eens naar de volgende rij:

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

De vraag is dan: Wat zijn de volgende 2 getallen?

Om het antwoord te kunnen geven kijken we eerst naar de regelmaat bij de getallen die er al staan. In dit geval is het antwoord simpel. Iedere keer komt er eentje bij.
In de wiskunde noteren we dat als volgt:

We zetten deze regelmaat voort in de volgende 2 getallen. Dit zijn in dit geval dus 5 en 6.

Rekenen met lettervariabelen

Gelijke variabelen kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.

\(\small a+a=2\times a\)
\(\small 3 \times b + 2 \times b = 5 \times b\)
\(\small 6 \times p\ – 2 \times p = 4 \times p\)

Zijn variabelen ongelijk dan lukt het korter schrijven niet.

\(\small a+b\) blijft \(\small a+b\)

In plaats van het \(\times\)-teken wordt vaak een \(\cdot\) gebruikt.
Soms wordt het \(\times\)-teken of de \(\cdot\) zelfs helemaal weggelaten.

\(\small 2\times a=2\cdot a=2a\)

\(\small 3 \times a + 2 \times b = 2 \cdot a + 3 \cdot b = 2a + 3b\)

Rekenen met variabelen - Voorbeeld 1

Hiernaast zie je een 'kruis' getekend.
Alle zijden van het kruis zijn even lang.
Er zijn \(\small{12}\) zijden.

Gebruik de variabele \(\small a\) voor de lengte van één zijde.

De \(\small{\text{omtrek}}\) is dan
\(\small{a + a + a + a + a + a +\\ a + a + a + a + a + a = 12a}\)

Als \(\small{a = 6}\) cm

Dan geldt: \(\small{\text{omtrek} =}\) \(\small{12 \times 6 = 72}\) cm.

Rekenen met lettervariabelen - Voorbeeld 2

Voor de luciferfiguur zijn twee soorten lucifers gebruikt:
lange lucifers en korte lucifers.

De lengte van de korte lucifer noem je \(a\).
De lengte van de lange lucifer noem je \(b\).

De \(\small{\text{omtrek}}\) van de figuur is

\(\small{b + b + b + a + b + b + a + b =\\ 2 \cdot a + 6 \cdot b = 2a + 6b}\)

Als \(\small{a=6}\) cm en \(\small{b=8 \small\text{ cm}}\)
Dan geldt: \(\small{\text{omtrek}=}\) \(\small{2 \times 6 + 6 \times 8 = 12 + 48 = 60 \small\text{ cm}}\)

Rekenen met procenten

Je wilt uitrekenen hoeveel \(\small{20\%}\) van \(\small{\text{€ }300\text{,-}}\) is.

Schrijf het percentage eerst als een decimaal getal.
\(\small{20\%=0{,}2}\)

Voer dan de vermenigvuldiging uit:
\(\small{20\%}\) van \(\small{300=0{,}2\times 300=60}\)

Dus \(\small{20\%}\) van \(\small{\text{€ }300{,\text{-}}}\) is \(\small{\text{€ }60{,\text{-}}}\).

Video: Rekenen met procenten

Uitlegvideo: Rekenen met procenten

Rekenen met procenten - 2

Soms wil je aangeven hoeveel procent iets is.
Je krijgt \(\small{\text{€ }25}\text{,-}\) zakgeld per maand.
Daarvan geef je \(\small{\text{€ }15}\text{,-}\) uit aan beltegoed. Hoeveel procent is dat?

\(\small{\text{€ }15}\text{,-}\) van de \(\small{\text{€ }25}\text{,-}\) is \(\frac{15}{25}\) deel.

\(\small{\frac{15}{25}=15:25=0{,}6=60\%}\) (Gebruik de \(\small÷\) toets.)

Je geeft dus \(\small{60\%}\) van je zakgeld uit aan beltegoed.

Video: Rekenen met procenten - 2

Uitlegvideo: Rekenen met procenten - 2

Rekenen met procenten - Voorbeeld 1

In het cirkeldiagram zie je hoe de leerlingen van het Hoge Zand college naar school komen.
Op 'Het Hoge Zand' zitten in totaal \(\small{750}\) leerlingen.

\(\small{60\%}\) van de leerlingen komt op de fiets naar school.
\(\small{60\%}\) van \(\small{750=0{,}60\times750=450}\)
Dus \(\small{450}\) leerlingen komen op de fiets naar school.

\(\small{12\%}\) van de leerlingen komt met de bus naar school.
\(\small{12\%}\) van \(\small{750=0{,}12\times750=90}\)
Dus \(\small{90}\) leerlingen komen met de bus naar school.

Rekenen met procenten - Voorbeeld 2

George heeft \(\small{\text{€ }80\text{,-}}\) voor zijn verjaardag gekregen.
Hieronder zie je waar hij het geld aan heeft uitgegeven:

CD van Robbie Wiliams \(\small{\text{€ }20\text{,-}}\)
Nieuw T-shirt \(\small{\text{€ }16\text{,-}}\)
Computer spelletje \(\small{\text{€ }32\text{,-}}\)
Snoep \(\small{\text{€ }4\text{,-}}\)
Sparen \(\small{\text{€ }8\text{,-}}\)

Hoeveel procent van zijn geld heeft George uitgegeven aan de CD van Robbie Williams en hoeveel procent aan snoep?

\(\small{20}\) van de \(\small{80}\) is \(\small{\frac{20}{80}=0{,}25=25\%}\)
Dus George heeft \(\small25\%\) van zijn geld uitgegeven aan de CD van Robbie Williams.
\(\small{4}\) van de \(\small{80}\) is \(\small{\frac{4}{80}=0{,}05=5\%}\)
Dus George heeft \(\small{5\%}\) van zijn geld uitgegeven aan snoep.

Rekenstappen in schema

Rekenstappen in schema - 1

Bij veel formules kun je een rekenschema maken.
In een rekenschema staat van links naar rechts welke stappen je in welke volgorde moet uitvoeren.

Bekijk de formule: \(\small{\text{afstand}=12 \times \text{hoeveelheid benzine}}\)

Je gebruikt het rekenschema om de \(\small{\text{afstand}}\) uit te rekenen als je de \( \small\text{hoeveelheid benzine}\) weet.

In het rekenschema begin je met wat je hebt: de \(\small\text{hoeveelheid benzine}\)
Dat doe je \(\small\times\ 12\)
Je krijgt dan de \(\small{\text{afstand}}\)

Het rekenschema ziet er dan zo uit:

\(\small\text{hoeveelheid benzine} \to\)

\(\small\times\ 12\)

\(\small \to \text{afstand}\)

Je kunt ook een terugrekenschema maken bij het rekenschema.

Je kunt daarmee de \( \small\text{hoeveelheid benzine}\) uitrekenen als je de \(\small{\text{afstand}}\) weet.

In het terugrekenschema draai je de pijlen om. Je werkt dus van rechts naar links
Iedere bewerking vervang je door de omgekeerde bewerking.

Dus:
a. \(\times\) wordt vervangen door \(:\)
b. \(:\) wordt vervangen door \(\times\)
c. \(\small\text{+}\) wordt vervangen door \(-\)
d. \(- \) wordt vervangen door \(\small\text{+} \)

Het terugrekenschema ziet er dan zo uit:

\(\small\text{hoeveelheid benzine} \gets\)

\(\small: 12\)

\(\small \gets \text{afstand}\)

Je gebruikt het terugrekenschema om de \(\small\text{hoeveelheid benzine}\) uit te rekenen als je de \(\small{\text{afstand}}\) weet.

Rekenstappen in schema - 2

Bekijk de formule: \(\small{\text{afstand}=12 \times \small\text{hoeveelheid benzine}}\)

Bij deze formule hoort het volgende rekenschema:

\(\small\text{hoeveelheid benzine} \to\)

\(\small\times\ 12\)

\(\small \to \text{afstand}\)

en het volgende terugrekenschema:

\(\small\text{hoeveelheid benzine} \gets\)

\(\small: 12\)

\(\small \gets \text{afstand}\)

Je wilt weten hoeveel liter benzine je auto nodig heeft om \(\small\text{60}\) km te rijden.
Dus \(\small\text{afstand}=60\)

Je weet de \(\small\text{afstand}\), dus je gebruikt het terugrekenschema!

Vul de afstand in het terugrekenschema in:

\(\small\text{hoeveelheid benzine} \gets\)

\(\small: 12\)

\(\small \gets \text{60}\)

\(\small\text{60}\small:\small\text{12}=\small\text{5}\)

De \(\small\text{ hoeveelheid benzine}= \small\text{5}\).
Je hebt \(\small\text{5}\) liter benzine nodig om \(\small\text{60}\) kilometer te rijden.

Rekenstappen in schema - 3

Als er in een formule meerdere bewerkingen staan, dan kan je het rekenschema gebruiken om aan te geven in welke volgorde de bewerkingen gedaan moeten worden.

Bekijk de formule: \(\small{\text{prijs}=2 \times \text{aantal km }\small+4}\)

Als je \(\small \text{aantal km}\) weet, dan moet je die eerst \(\times \small\text{ 2}\) doen en dan \(\small+ \small\text{ 4}\) doen.
Want, zoals je weet gaat vermenigvuldigen voor delen!

Het rekenschema wordt dan:

\(\small\text{aantal km} \to\)

\(\small\times\ 2\)

\(\small \to\)

\(\small+\ 4\)

\(\small \to \text{prijs}\)

En voor het bijbehorende terugrekenschema draai je de pijlen om en vervang je en vervang je \(\times\) door \(\small:\) en vervang je \(\small+\) door \(\small-\)

Terugrekenen doe je nu met het volgende terugrekenschema:

\(\small\text{aantal km} \gets \)

\(\small: 2\)

\(\small \gets\)

\(\small-\ 4\)

\(\small \gets \text{prijs}\)

Dus als \(\small{\text{prijs}=22}\), dan \(\small{\text{aantal km}=}\) \(\small(22-4)\) \(\small : 2=9\)

Romeinse cijfers

Tot aan het begin van de 13e eeuw gebruikten we in heel Europa de Romeinse cijfers. Of eigenlijk is het beter om te spreken van Romeinse getallen.

Nu zie je die Romeinse getallen alleen nog op de gevels van oude of belangrijke gebouwen, zoals een stadhuis of een rechtbank. De cijfers en getallen die wij gebruiken noemen we het tientallig stelsel, of ook de Arabische cijfers. Deze komen trouwens oorspronkelijk uit India, maar de Arabieren namen die mee uit India en brachten ze naar Europa.

De Romeinen gebruikten \(\small7\) symbolen met de volgende waardes:

Symbool	Waarde
\(\small\text{I}\)	\(\small1\)
\(\small\text{V}\)	\(\small5\)
\(\small\text{X}\)	\(\small10\)
\(\small\text{L}\)	\(\small50\)
\(\small\text{C}\)	\(\small100\)
\(\small\text{D}\)	\(\small500\)
\(\small\text{M}\)	\(\small1000\)

Om hiermee toch alle getallen te kunnen maken, hadden de Romeinen een paar regels.

Je begint steeds met het grootste symbool te gebruiken en zet daar steeds kleinere symbolen achter. Die tel je dus bij elkaar op.
Je zet nooit meer dan \(\small3\) keer hetzelfde symbool achter elkaar neer.
Als je \(\small4\) keer hetzelfde symbool nodig zou hebben, dat zet je in plaats daarvan het cijfer met een lagere waarde vóór een cijfer met een hogere waarde. Maar dat mag je per situatie maar één keer doen, dus bijvoorbeeld geen \(\small\text{IIX}\) want dat schrijf je als \(\small\text{VIII}\).

Zo worden onze getallen \(\small1\) \(\small\text{t/m}\) \(\small10\) als volgt geschreven:

\(\small1\)	\(\small\text{I}\)
\(\small2\)	\(\small\text{II}\)
\(\small3\)	\(\small\text{III}\)	\(\small3\) keer de \(\small\text{I}\) achter elkaar
\(\small4\)	\(\small\text{IV}\)	\(\small4\) keer de \(\small\text{I}\) achter elkaar mag niet, dus de \(\small\text{I}\) voor de \(\small\text{V}\), dus \(\small1\) aftrekken van \(\small5\)
\(\small5\)	\(\small\text{V}\)
\(\small6\)	\(\small\text{VI}\)
\(\small7\)	\(\small\text{VII}\)
\(\small8\)	\(\small\text{VIII}\)	De \(\small\text{V}\) (de grootste) vooraan, met \(\small3\) keer de \(\small\text{I}\) erachter
\(\small9\)	\(\small\text{IX}\)	\(\small4\) keer de \(\small\text{I}\) achter elkaar mag niet,dus de \(\small\text{I}\) voor de \(\small\text{X}\), dus \(\small1\) aftrekken van \(\small10\).
\(\small10\)	\(\small\text{X}\)

Nog een paar voorbeelden:

\(\small\text{XXVII}\) is \(\small27\).

\(\small\text{XLV}\) is \(\small45\) (de \(\small\text{X}\) \(=\) \(\small10\) staat voor de \(\small\text{L}\) \(=\) \(\small50\) en wordt er afgetrokken, dus wordt het \(\small40\), daar achter staat de \(\small\text{V}\) \(=\) \(\small5\) en die wordt er weer bij opgeteld, dus \(\small45\).

\(\small\text{MMXXIII}\) is \(\small2023\).

De Romeinen gebruikten in hun getallen alleen hoofdletters, omdat de getallen vaak in steen werden gebeiteld. En beitelen van rechte lijnen die je vaak in hoofdletters ziet, gaat een stuk makkelijker dan beitelen van ronde vormen die je vaak in kleine letters ziet.

Ruimtelijk figuren

Ruimtelijke figuren

De belangrijkste ruimtelijke figuren zijn:


\(\small\text{Kubus}\)	\(\small\text{Balk}\)	\(\small\text{Piramide}\)


\(\small\text{Cilinder}\)	\(\small\text{Kegel}\)	\(\small\text{Bol}\)

\(\small\text{Prisma}\)

Ruimtelijke figuren - Voorbeeld

Hier zie je \(\small{6}\) artikelen die je in de winkel kunt kopen.
Op welke ruimtelijke figuren lijken de artikelen het meest?

Poef - kubus

Pak melk - balk

Voorraadbus - cilinder

Zak patat - kegel

Verpakking - piramide

Appel - bol

Chocoladereep - prisma

Schaallijnen

Schatten

Schaallijnen

Op veel kaarten staan schaallijnen.
Met een schaallijn kun je de werkelijke afstand op kaarten bepalen.

Bij deze schaallijn staat \(\small{10}\) km.
Iets wat op een kaart net zo lang is als de schaallijn is dus in werkelijkheid \(\small{10}\) km lang.
De schaallijn is in \(\small{4}\) stukjes verdeeld.
Ieder stukje is dus \(\small{2{,}5}\) km.

Bekijk de kaart.
Op de kaart staan de punten \(\small{\text{A}}\) en \(\small{\text{B}}\) getekend. Tussen de punten \(\small{\text{A}}\) en \(\small{\text{B}}\) is een schaallijntje getekend.
Je kunt aflezen dat de werkelijke afstand van \(\small{\text{A}}\) naar \(\small{\text{B}}\) \(\small{1{,}5}\) km is.

Schaallijnen - Voorbeeld 1

Bekijk de plattegrond. Bij de plattegrond zie je een schaallijn getekend.

De getallen bij de schaallijn zijn meters.

Wat is de oppervlakte van de gehele plattegrond, de badkamer en van de woonkamer?

Gehele plattegrond: \(\small10,5 \times 5 = 52,5\) m²
Badkamer: \(\small{2\times1{,}5= 3 }\) m\(\small^2\)

Woonkamer: \(\small{8\times5 - \text{badkamer}= 40 - 3=37}\) m\(\small^2\)

Schaallijnen - Voorbeeld 2

Je ziet de kaart van Nederland getekend.
Bij de kaart is een schaallijn getekend.
Bij de schaallijn staat alleen het getal \(\small{0}\).
De afstand van oost naar west in Nederland is ongeveer 200 km. Dat is ook de lengte van de schaallijn.
De schaallijn is in 5 vakjes opgedeeld. Dus je deelt 200 door 5 = 40. Oftewel elk streepje op de schaallijn komt overeen met 40 km.

Bedenk welke getallen op de schaallijn moeten staan.

Antwoord: \(\small{0-40-80-120-160-200}\)

Op schaal

Soms wordt de schaal op een kaart met een verhouding aangegeven.

Bijvoorbeeld de schaal op deze kaart is \(\small{1 : 50.000}\)

Dat betekent:

\(\small{1}\) cm op de kaart is in werkelijkheid \(\small{50.000}\) cm

\(\small{50.000}\) cm is \(\small{0{,}5}\) km

\(\small{1}\) cm op de kaart is dus in werkelijkheid \(\small{0{,}5}\) km.

Video: Op schaal

Bekijk de videoclip.

Video: Op schaal 2

Bekijk de videoclip.

Schatten

Schatten is afronden op getallen waarmee je gemakkelijk kunt rekenen.
Met \(\small{50}\) kun je gemakkelijker rekenen dan met \(\small{51{,}34}\)
Met \(\small{25}\) kun je gemakkelijker rekenen dan met \(\small{23{,}98}\)

\(\small{51{,}34+23{,}98\approx 50+25}\) en \(\small{50 + 25 =75}\)

\(\approx\) betekent 'is ongeveer gelijk aan'.

Hoe schat je de uitkomst van \(\small{103\times54}\)?
\(\small{103\times54\approx100\times54=5400}\)

Hoe schat je de uitkomst van \(\small{1030:251}\)?
\(\small{1030:251\approx1000:250}\) en \(\small{1000:250=4}\)

Video - Schatten

Uitlegvideo: Schatten

Schatten in de wereld

Schatten in je eigen omgeving en in de wereld.

Vaak is het handig om getallen zoals hoeveelheden en afstanden in je eigen omgeving te schatten.
Hoe pak je dat aan?

Je vergelijkt het getal wat je moet schatten met iets kleiners wat je wel weet.
Stel, je krijgt de vraag hoe lang jij doet over het wandelen van \(\small1000 \text{ meter}\).
Je test hoe lang je wandelt over \(\small10 \text{ meter}\). Dat is bijvoorbeeld \(\small7 \text{ seconden}\). Na \(\small1000 \text{ meter}\) ben je vast nog niet moe, dus je schat dat je er \(\small100 \times 7 \text{ seconden}=700 \text{ seconden}\) en dat is ongeveer \(\small12 \text{ minuten}\) over doet.

Je vergelijkt het met een getal wat eronder en een getal wat erboven ligt.
Je krijgt bijvoorbeeld de vraag hoe oud de gemiddelde Nederlander is.
De oudste Nederlander is \(\small110 \) jaar oud (2023). De jongste is net geboren, dus \(\small0 \) jaar oud.
Een acceptabele schatting zou dus \(\small54,5\) jaar oud zijn.
In werkelijkheid is dat trouwens \(\small42,4\) jaar. Er zijn dus in werkelijkheid minder hele oude mensen.
Je vergelijkt het getal wat je moet schatten met één of meer dingen die je al weet.
Stel je krijgt de vraag: ‘Hoeveel inwoners heeft Zuid-Holland ongeveer?’
Je weet dat Nederland bijna \(\small18 \text{ miljoen}\) inwoners heeft.
Je weet ook dat er \(\small12\) provincies zijn en dat Zuid-Holland en dat Zuid-Holland één van de meest dichtstbevolkte provincies is.
Het is dus minimaal \(\small1,5 \text{ miljoen}\) inwoners (\(\small18\) gedeeld door \(\small12\)).
Omdat het een dichtbevolkte provincie is schat je \(\small2 \times 1,5 \text{ miljoen} = 3 \text{ miljoen}\).
In werkelijkheid is het \(\small3,75 \text{ miljoen}\).

Schatten - voorbeeld 1

Bekijk de menukaart.

Aan een tafel zitten vier mensen te eten.
Ze hebben alle vier een voorgerecht van \(\small{\text{€ }2{,}40}\) en een pizza van \(\small{\text{€ }7{,}50}\) besteld.
Hebben ze genoeg aan \(\small{\text{€ }40{,}\text{-}}\)?

\(\small{\text{€ }2{,}40 + \text{€ }7{,}50}\) is iets minder dan \(\small{\text{€ }10{,}\text{-}}\)

\(\small{4}\) keer iets minder dan \(\small{\text{€ }10{,}\text{-}}\) is minder dan \(\small{\text{€ }40{,}\text{-}}\)

Dus ze hebben genoeg aan \(\small{\text{€ }40{,}\text{-}}\).

Schatten - voorbeeld 2

Je moet voor Nederlands een boek van \(\small{94}\) pagina's lezen.

Bedenk een manier om te schatten hoeveel tijd je nodig hebt voor het lezen van het boek.

Lees \(\small{10}\) bladzijden. Houd bij hoeveel tijd je nodig hebt gehad voor die \(\small{10}\) bladzijden.

Vermenigvuldig die tijd met \(\small{10}\).

Je weet dan hoeveel tijd je ongeveer nodig hebt voor het lezen van het boek.

Som- en verschilgrafiek

Somgrafiek

In een dorp is een aantal jaar het aantal mannen en vrouwen geteld.
De aantallen staan in een grafiek. Hier zie je een verband tussen het jaartal en het aantal inwoners.

*\(\small{\text{jaar}}\)*	\(\small{\text{2009}}\)	\(\small{\text{2010}}\)	\(\small{\text{2011}}\)	\(\small{\text{2012}}\)

*\(\small{\text{vrouwen}}\)*	\(\small{\text{200}}\)	\(\small{\text{250}}\)	\(\small{\text{250}}\)	\(\small{\text{250}}\)
*\(\small{\text{mannen}}\)*	\(\small{\text{150}}\)	\(\small{\text{150}}\)	\(\small{\text{200}}\)	\(\small{\text{250}}\)

*\(\small{\text{totaal}}\)*	\(\small{\text{350}}\)	\(\small{\text{400}}\)	\(\small{\text{450}}\)	\(\small{\text{500}}\)

Je kunt het aantal mannen en vrouwen bij elkaar optellen.
Dat geeft het totaal aantal inwoners van het dorp.
De grafiek van het totaal heet de somgrafiek. Het woord som betekent optellen.

Je ziet bijvoorbeeld in het jaar 2009 150 mannen (in het paars) en 200 vrouwen (in het rood). Als je 150 + 200 = 350 en dat aantal zie ik in het groen (totaal aantal inwoners).

Verschilgrafiek

Naast de somgrafiek kennen we ook de verschilgrafiek.
In een dorp is het aantal mannen en het aantal vrouwen geteld.
De aantallen staan in een tabel en in een grafiek.

*\(\small{\text{jaar}}\)*	\(\small2009 \)	\(\small2010\)	\(\small2011\)	\(\small2012\)

*\(\small{\text{vrouwen}}\)*	\(\small200\)	\(\small250 \)	\(\small250 \)	\(\small250 \)
*\(\small{\text{mannen}}\)*	\(\small150\)	\(\small150\)	\(\small200\)	\(\small250 \)

*\(\small{\text{verschil}}\)*	\(\small50\)	\(\small100\)	\(\small50\)	\(\small0\)

In de tabel en in de grafiek zie je dat er meer vrouwen dan mannen in het dorp wonen.
De grafiek van het verschil heet de verschilgrafiek.

Je ziet bijvoorbeeld in het jaar 2009 150 mannen (in het paars) en 200 vrouwen (in het rood). Als je 200 - 150 = 50 en dat aantal zie ik in het groen (totaal aantal inwoners).

Somgrafiek - Voorbeeld 1

In de grafiek zie je de lengtegroei van Eric.
Je ziet ook hoe het hoofd, de romp en de benen groeien.

Bij \(\small{6}\) jaar lees je af:

lengte hoofd \(\small{23}\) cm

lengte romp \(\small{32}\) cm

lengte benen \(\small{49}\) cm

De totale lengte is dan:
\(\small{23+32+49=104}\) cm

Ga na of dat klopt.

Verschilgrafiek - Voorbeeld 2

Een dorp heeft een aantal jaar bijgehouden hoeveel mensen naar het dorp verhuisd zijn (vestiging) en hoeveel mensen vanuit het dorp verhuisd zijn naar ergens anders (vertrek).

*\(\small{\text{jaar}}\)*	\(\small2009\)	\(\small2010\)	\(\small2011\)	\(\small2012\)

*\(\small{\text{vestiging}}\)*	\(\small40\)	\(\small35\)	\(\small35\)	\(\small30\)
*\(\small{\text{vertrek}}\)*	\(\small30\)	\(\small30\)	\(\small25\)	\(\small30\)

*\(\small{\text{verschil}}\)*	\(\small10\)	\(\small5\)	\(\small10\)	\(\small0\)

Bij de tabel is een grafiek getekend.

In \(\small2009\) is het aantal inwoners door de verhuizingen met \(\small10\) toegenomen.
In \(\small2010\) is het aantal inwoners door de verhuizingen met \(\small5\) toegenomen
In \(\small2012\) is het aantal inwoners door de verhuizingen gelijk gebleven.

Steel- en bladdiagram

Gegevens kun je weergeven in een diagram.
Een voorbeeld van zo'n diagram is een steel-bladdiagram.
In een steel-bladdiagram is ieder getal gesplitst.

In de steel staat het eerste deel van het getal.
In het blad staat het laatste deel van het getal.
In een blad staan de getallen altijd van klein naar groot

Bekijk de afbeelding.
Bij dit steel-bladdiagram horen de volgende getallen:
\(\small{23, 25, 25, 32, 34, 35}\) en \(\small{39}\).

Steel- en bladdiagram - Voorbeeld 1

Hieronder zie je de cijfers voor een proefwerk wiskunde.
De cijfers zijn nog niet afgerond.

\(\small{\ \begin{matrix} 2,6 & 3,7 & 4,8 & 4,9 & 5,6\\ 5,7 & 5,9 & 5,9 & 6,0 & 6,0\\ 6,0 & 6,6 & 6,6 & 6,6 & 6,7\\ 6,7 & 6,8 & 7,0 & 7,4 & 7,7\\ 7,7 & 7,7 & 7,9 & 8,2 & 8,4\\ 8,6 & 8,8 & 9,0 & 9,2 & 9,3 \end{matrix} \ }\)

Naast de cijfers zie je het steel- bladdiagram van de cijfers.

Het blad achter de \(\small{6}\) is het langst.

Veel cijfers liggen tussen de \(\small{6}\) en de \(\small{7}\).
Het steel- bladdiagram lijkt wel wat op een staafdiagram.

Steel- en bladdiagram - Voorbeeld 2

Hieronder zie je in één gecombineerd steel- bladdiagram de cijfers van de klassen \(\small{\text{2A}}\) en \(\small{\text{2B}}\).

\(\small{\text{Klas 2A}}\)	\(\small{\text{Klas 2B}}\)

Het voordeel van een dubbel steel- bladdiagram is dat je de klassen kunt vergelijken.

Je ziet bijvoorbeeld dat:

- In klas \(\small{\text{2B}}\) het laagste cijfer is gehaald, namelijk een \(\small{2{,}9}\).

- In klas \(\small{\text{2B}}\) meer leerlingen een hoog cijfer (hoger dan een \(\small{8}\)) hebben gehaald.

Steel- en bladdiagram - Voorbeeld 3

Er zijn verschillende pontverbindingen tussen Amsterdam Centrum en Amsterdam-Noord.
In bovenstaand schema zie je een deel van de vertrektijden van de pont vanaf het IJplein naar het Centraal Station (CS).
Het schema is een voorbeeld van een steel- bladdiagram.
In de blauwe balk (steel) staan de uren. Daar onder (in het het blad) staan de minuten.

Uit het schema kun je aflezen dat er van maandag tot en met vrijdag tussen 14:00 uur en 15:00 uur vijf boten vertrekken van het IJplein naar het Centraal Station.
Ga na of dat klopt!

Teller en noemer

Teller en noemer - 1

Je ziet drie poppetjes. Een van de drie poppetjes is gekleurd.

Dat is \(\small\frac{1}{3}\) deel van de poppetjes.

\(\small\frac{1}{3}\) is een breuk.
\(\small{1}\) is de teller en \(\small{3}\) is de noemer.

Van deze rechthoek is \(\small\frac{1}{3}\) deel gekleurd.
Van deze rechthoek is \(\small\frac{2}{3}\) deel niet gekleurd.

Breuken kom je dagelijks tegen.
Bijvoorbeeld

De helft van alle leerlingen is goed in wiskunde.
De helft is \(\small\frac{1}{2}\) deel.

Twee van de vijf jongens spelen regelmatig voetbal.
Twee van de vijf is \(\small\frac{2}{5}\) deel.

Teller en noemer - 2

Een breuk kun je als volgt in een decimaal getal omzetten.
Je kunt dit controleren met je rekenmachine.

\(\small\frac{1}{10}= 1 : 10 = 0,1\)

Dus ook \(\small\frac{2}{10} = 0,2\) en \(\small\frac{3}{10} = 0,3\) en \(\small\frac{4}{10} = 0,4\) en \(\small\frac{5}{10} = 0,5\) enzovoorts.

\(\small\frac{1}{2}= 1 : 2 = 0,5\)

\(\small\frac{1}{4}= 1 : 4 = 0,25\) en \(\small\frac{2}{4}= 2 : 4 = 0,50 = 0,5\) en \(\small\frac{3}{4}= 3 : 4 = 0,75\)

\(\small\frac{1}{5}= 1 : 5 = 0,2\) en \(\small\frac{2}{5}= 0,4\) en \(\small\frac{2}{5}= 0,4\) en \(\small\frac{3}{5}= 0,6\) en \(\small\frac{4}{5}= 0,8\)

De breuk \(\small\frac{1}{3}\) is bijzonder, want deze breuk wordt nooit precies een decimaal getal.
\(\small\frac{1}{3} = 1 : 3 \approx 0,333333333333\) (Het teken \(\small\approx\) betekent ‘is ongeveer’)

Vaak rond je \(\small\frac{1}{3}\) af op \(\small0,33\) maar dat klopt dus niet precies!

Er geldt dan ook \(\small\frac{2}{3} \approx 0,666666666\). Daarom rond je \(\small\frac{2}{3}\)vaak af op \(\small0,67\). Maar ook dat klopt weer niet precies.

Uitslagen

Je ziet een uitslag van een kubus. In een uitslag staan alle grensvlakken van de kubus.
De grensvlakken zijn aan elkaar getekend. Als je de uitslag uitknipt, kun je de kubus in elkaar zetten.

Om de animaties opnieuw te zien, kun je de pagina verversen (toets F5).

Uitslagen - Balk

Je ziet hieronder een uitslag van een balk.

Uitslagen - Cilinder

Je ziet hieronder een uitslag van een cilinder.

Uitslagen - Kegel

Je ziet hieronder een uitslag van een kegel.

Uitslagen - Piramide

Je ziet hieronder een uitslag van een piramide.

Uitslagen - Prisma

Je ziet hieronder een prisma met daaronder de uitslag van een prisma.

Uitslagen - Voorbeeld 1

Je ziet hier een uitslag van een dobbelsteen.
In de uitslag zijn de ogen getekend.
Ga na:

Als de \(\small{2}\) boven ligt, ligt de \(\small{5}\) onder.

Als de \(\small{1}\) boven ligt, ligt de \(\small{6}\) onder.

Als de \(\small{3}\) boven ligt, ligt de \(\small{4}\) onder.

Het aantal ogen van de bovenkant en de onderkant is opgeteld altijd \(\small{7}\).

Uitslagen - Voorbeeld 2

Hier zie je een bouwplaat van een auto.
Een bouwplaat is een soort uitslag. Toch zijn er wel verschillen.
Een bouwplaat heeft vaak plakrandjes.
Een bouwplaat kan uit losse stukken bestaan.

Bron: https://papelmaniadakar.blogspot.com/

Van formule naar grafiek

Bij een formule kun je een grafiek maken.

Formule: \(\small{\text{lengte} = 20 - 5 \times \text{brandrijd}}\)

Maak de grafiek volgens dit stappenplan:

1 Maak een tabel.

*\(\small{\text{brandtijd (uur)}}\)*	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
*\(\small{\text{lengte (cm)}}\)*	\(\small{20}\)	\(\small{15}\)	\(\small{10}\)	\(\small{5}\)	\(\small{0}\)

2 Teken een assenstelsel. Langs de horizontale as komt de \(\small{\text{brandtijd}}\).
Langs de verticale as de \(\small{\text{lengte}}\)

3 Teken in een assenstelsel de punten:
\(\small{(0, 20)}\), \(\small{(1,15)}\), \(\small{(2,10)}\), \(\small{(3,5)}\) en \(\small{(4,0)}\).

4 Teken een lijn door de punten.

Van formule naar grafiek - Voorbeeld 1

Auto \(\small{1}\) rijdt met een snelheid van \(\small{50}\) km/uur.
De afstand die de auto aflegt, kun je berekenen
met de formule: \(\small{\text{afstand}= 50 \times \text{tijd}}\)

\(\small{\text{tijd (uur)}}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
*\(\small{\text{afstand (km)}}\)*	\(\small{50}\)	\(\small{100}\)	\(\small{150}\)	\(\small{200}\)

Auto \(\small{2}\) rijdt met een snelheid van \(\small{75}\) km/uur.
De afstand die de auto aflegt, kun je berekenen
met de formule: \(\small{\text{afstand}= 75 \times \text{tijd}}\)

\(\small{\text{tijd (uur)}}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
*\(\small{\text{afstand (km)}}\)*	\(\small{75}\)	\(\small{150}\)	\(\small{225}\)	\(\small{300}\)

In het assenstelsel zijn twee grafieken getekend.
De paarse grafiek hoort bij auto \(\small{1}\). De rode grafiek hoort bij auto \(\small{2}\).
Hoe zie je aan de grafieken dat auto \(\small{2}\) harder rijdt dan auto \(\small{1}\)?

Van formule naar grafiek - Voorbeeld 2

Voor een proefwerk kun je \(\small{36}\) punten halen.
Je cijfer hangt af van het aantal gehaalde punten:

\(\small{\text{cijfer} = \frac{\text{aantal punten}\ +\ 4}{4}}\)

Bij een formule kun je een tabel maken.

*\(\small{\text{aantal punten}}\)*	\(\small{16}\)	\(\small{20}\)	\(\small{24}\)	\(\small{28}\)	\(\small{32}\)
*\(\small{\text{cijfer}}\)*	\(\small{5}\)	\(\small{6}\)	\(\small{7}\)	\(\small{8}\)	\(\small{9}\)

De tabel gebruik je om een grafiek te tekenen.
Als je \(\small{22}\) punten hebt gehaald, heb je een \(\small{6{,}5}\).

Gebruik je voor het vinden van het antwoord de formule, de tabel of de grafiek?

Verband en grafiek

Verband en grafiek - 1

Zinnen zoals hieronder kom je vaak tegen:

“Hoe harder je fietst, hoe eerder je thuis bent.”
“Hoe langer een kaars brandt, hoe korter de kaars is.”
“Hoe langer de taxirit, hoe hoger de prijs.”

Als twee dingen iets met elkaar te maken hebben,
is er een verband tussen die dingen.
Bij een verband kun je vaak een 'Hoe ....., hoe .....'-zin maken.

Een verband kun je weergeven in een grafiek.
In de grafiek hiernaast is het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) en de \(\small{\text{lengte}}\) van een kaars weergegeven.

De \(\small{\text{brandtijd}}\) staat bij de horizontale as.
De \(\small{\text{lengte}}\) staat bij de verticale as.

Je ziet: "Hoe groter de \(\small{\text{brandtijd}}\), hoe kleiner de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars."

Horizontaal en verticaal

Kijk naar de afbeeldingen.
De lijn waar de zee en de lucht elkaar raken, noem je de horizon.
Een horizontale lijn gaat van links naar rechts.
Een verticale lijn gaat van beneden naar boven.

Verband en grafiek - 2

Janine ligt in het ziekenhuis.
Twee keer per dag wordt haar temperatuur opgenomen.
Je ziet haar 'temperatuur'-grafiek.

De \(\small{\text{tijd}}\) staat bij de horizontale as.

De \(\small{\text{temperatuur}}\) staat bij de verticale as.

Kijk naar het verloop van de grafiek.
Je ziet:

dat de \(\small{\text{temperatuur}}\) eerst stijgt.' (de lijn loopt omhoog)
dat de \(\small{\text{temperatuur}}\) dan constant blijft. (de lijn is vlak, horizontaal)
en dat de \(\small{\text{temperatuur}}\) dan daalt. (de lijn loopt naar beneden)

De oorsprong

De oorsprong is de plek waar de horizontale en verticale as samenkomen.

Meneer Klaasens heeft een nieuwe auto gekocht.
Hij bekijkt de grafiek hiernaast over het optrekken van de auto.
Op de horizontale as zie je de tijd in seconden. Op de verticale as de snelheid in km/uur.
De grafiek gaat door de oorsprong, want als de auto stilstaat heeft hij ook geen snelheid.

Snel en langzaam dalen

Soms loopt een lijn steiler omhoog of naar beneden dan een andere lijn. Waar heeft dat mee te maken?

Bekijk de afbeelding. De rode lijn I start bovenaan en loopt naar beneden. De blauwe lijn II start op 25 en loopt ook naar beneden.
De rode lijn is harder gedaald, dus je ziet dat deze steiler naar beneden loopt. Denk aan een glijbaan. De rode glijbaan gaat sneller naar beneden dan de blauwe.

Verband en grafiek - voorbeeld 1

Hieronder zie je een voorbeeld van een grafiek waarin de lijn afwisselend stijgt, constant is en daalt.
Langs de horizontale as staat de tijd in jaren en op de verticale as de prijs in euro’s.
Je ziet dat de prijs eerst stijgt, dan even constant blijft, dan weer stijgt, dan iets daalt, dan voor langere tijd constant is en aan het eind van de grafiek daalt.

Verband en grafiek - voorbeeld 2

In de grafiek hieronder zie je de hoogste temperatuur gedurende een week in de maand juli. Op de horizontale as staan de dagen, op de verticale as de temperatuur.
Onderaan de verticale as zie je een zaagtand. Deze wordt gebruikt om de grafiek overzichtelijker te maken. De temperatuur in dit voorbeeld is namelijk nooit lager dan 18 graden Celsius.

Wat kun je uit de grafiek aflezen?

Op maandag is het 22 graden Celsius.
Op dinsdag is het 26 graden Celsius.
Op woensdag is het 28 graden Celsius.
De temperatuur tussen maandag en woensdag is dus gestegen (de lijn loopt omhoog).
Op donderdag is het 19 graden Celsius.
De temperatuur van woensdag op donderdag is dus gedaald (de lijn loopt omlaag).
Van donderdag op vrijdag loopt de grafiek omhoog, van vrijdag naar zaterdag naar beneden. Zondag is de temperatuur weer gestegen en dus is de lijn ook weer omhooggegaan.

Vergelijking en oplossing

Soms weet je de uitkomst van een formule. Je vult de uitkomst in. Als je deze uitkomst invult krijg je een vergelijking.

Een vergelijking bestaat uit 2 delen. Het ene deel staat links van het =-teken en het andere deel staat rechts van het =-teken.
Beide delen zijn gelijk. Daarom heet het een vergelijking!

Als je een getal invult in de formule en het klopt dat beide delen van de vergelijking gelijk zijn, dan noem je dat getal de oplossing.

Bijvoorbeeld:
Een auto rijdt met \(\small{1}\) liter benzine \(\small{12}\) km.
De formule is dan: \(\small{\text{afstand}=12\times\text{hoeveelheid benzine}}\)
Stel je wilt weten hoeveel benzine je nodig hebt om \(\small{60}\) km te rijden?

Je weet: \(\small{\text{afstand}=60}\)
Vul dat in de formule in.
Je krijgt de vergelijking: \(\small{60=12\times\text{hoeveelheid benzine}}\)
Of anders geschreven: \(\small{12\times \text{hoeveeheid benzine} = 60}\)
\(\small{60=12\times5}\) of \(\small{12\times5=60}\)

Je kunt dus met \(\small{5}\) liter benzine \(\small{60}\) km rijden.
\(\small{\text{hoeveelheid benzine}=5}\) is de oplossing van de vergelijking.

Vergelijking en oplossing - Voorbeeld 1

Bekijk de formule: \(\small{\text{lengte}=20-5\times\text{brandtijd}}\)
Bij de formule is een grafiek gemaakt.
Na hoeveel uur branden is de kaars \(\small{12{,}5}\) cm?

Vul in de formule \(\small{\text{lengte}=12,5}\) in.
Je krijgt de vergelijking:
\(\small{12{,}5=20-5\times\text{brandtijd}}\)

In de grafiek zie je dat bij een \(\small{\text{lengte}}\) van \(\small{12{,}5}\) cm een \(\small{\text{brandtijd}}\) van \(\small{1{,}5}\) uur hoort.
De oplossing is dus: \(\small{\text{brandtijd}=1{,}5}\)

Controleer de oplossing door het in te vullen in de vergelijking.
\(\small{12{,}5=20-5\times1{,}5}\)
\(\small{12{,}5=20-7{,}5}\)
\(\small{12{,}5=12{,}5}\) Klopt.

Vergelijking en oplossing - Voorbeeld 2

Bekijk de formule: \(\small{\text{spaargeld}=5\times \text{aantal weken} + 100}\)
Bij de formule is een tabel gemaakt.

*\(\small{\text{aantal weken}}\)*	\(0\)	\(10\)	\(20\)	\(30\)	\(40\)
\(\small{\text{spaargeld (€)}}\)	\(100\)	\(150\)	\(200\)	\(250\)	\(300\)

Na hoeveel weken heb je \(\small{\text{€ }235}\),- gespaard?

Vul in de formule \(\small{\text{spaargeld}=235}\) in.
Je krijgt de vergelijking: \(\small{235=5\times \text{aantal weken} + 100}\)

In de tabel zie je dat de oplossing tussen \(\small{20}\) en \(\small{30}\) zit.
De oplossing is \(\small{\text{aantal weken}=27}\)

Controleer de oplossing door het in te vullen in de vergelijking.
\(\small{235=5\times27+100}\)
\(\small{235=135+100}\)
\(\small{235=235}\) Klopt.

Verhoudingen vergelijken

Video: Verhoudingstabel gebruiken

Bekijk de videoclip.

In de video wordt uitgelegd hoe je verhoudingstabellen kunt gebruiken.

Verhoudingen vergelijken

Verhoudingen kun je vergelijken met verhoudingstabellen.
Het is dan handig om 'terug te rekenen naar \(\small1\)'.
In het winkelcentrum zijn twee supermarkten.

In supermarkt \(\small{\text{I}}\) koop je \(\small{14}\) appels voor \(\small{\text{€ }4{,}20}\).

\(\small{\text{prijs}}\) \(\small{4{,}20}\) \(\small{0{,}30}\)

\(\small{\text{aantal appels}}\) \(\small14\) \(\small1\)
In supermarkt \(\small{\text{II}}\) koop je \(\small{10}\) appels voor \(\small{\text{€ }2{,}90}\).

\(\small{\text{prijs}}\) \(\small{2{,}90}\) \(\small{0{,}29}\)

\(\small{\text{aantal appels}}\) \(\small10\) \(\small1\)

Je ziet dan in supermarkt \(\small{\text{II}}\) de appels per stuk goedkoper zijn.

Verhoudingen vergelijken - Voorbeeld

Eva en Alice hebben beide een kralenketting die bestaat uit witte en blauwe kralen.
De ketting van Eva bestaat uit \(\small{40}\) kralen.
De verhouding tussen witte en blauwe kralen is \(\small{2:3}\).

\(\small{\text{aantal witte kralen}}\)	\(\small2\)	\(\small16\)
\(\small{\text{aantal blauwe kralen}}\)	\(\small3\)	\(\small24\)
\(\small{\text{totaal aantal kralen}}\)	\(\small5\)	\(\small40 \)

Ook de ketting van Alice bestaat uit \(\small{40}\) kralen.
De verhouding tussen witte en blauwe kralen is \(\small{3:5}\).

\(\small{\text{aantal witte kralen}}\)	\(\small3\)	\(\small15\)
\(\small{\text{aantal blauwe kralen}}\)	\(\small5\)	\(\small25\)
\(\small{\text{totaal aantal kralen}}\)	\(\small8\)	\(\small40\)

Je ziet dat in de ketting van Alice meer blauwe kralen zitten dan in de ketting van Eva.

Verhoudingstabellen

Je hebt een baantje.
Je verdient € \(\small{4\text{,-}}\) per uur.
Hoeveel je verdient, hangt af van het aantal uur dat je werkt.

\(\small{\text{gewerkte uren}}\)	\(\small1\)	\(\small3 \)	\(\small4\)	\(\small6\)	\(\small8\)
\(\small{\text{verdiensten (€)}}\)	\(\small4\)	\(\small12\)	\(\small16\)	\(\small24\)	\(\small32\)

Je ziet dat de onderste getallen steeds \(\small{4}\) keer zo groot zijn dan de bovenste getallen.

De verhouding tussen het aantal \(\small{\text{gewerkte uren}}\) en de \(\small{\text{verdiensten}}\) is \(\small{1:4}\).

\(\small{1:4}\) spreek je uit als "één staat tot vier".

Je noemt zo'n tabel een verhoudingstabel.

Hier zie je een verhoudingstabel.

\(\small1\)	\(\small10\)	\(\small{5}\)
\(\small4 \)	\(\small40 \)	\(\small20\)

In een verhoudingstabel mag je het onderste en bovenste getal met hetzelfde getal vermenigvuldigen.
In een verhoudingstabel mag je het onderste en bovenste getal door hetzelfde getal delen.

De verhouding in de tabel blijft \(\small{1:4}\).

Video: Verhoudingstabel

Bekijk de videoclip.

Verhoudingstabellen - Voorbeeld 1

Bekijk de volgende aanbieding:

Je spaart \(\small{\text{€ }60\text{,-}}\) per maand.
In de aanbieding staat niet hoeveel geld je dan krijgt uitgekeerd.
Je zet de getallen uit de aanbieding in een tabel:

\(\small{\text{bedrag} \text{ per maand}}\)	\(\small{€\ 40}\)	\(\small{€\ 1}\)	\(\small{€\ 60}\)
\(\small{\text{uitkering} \text{ na 4 jaar}}\)	\(\small{€\ 2000}\)	\(\small{€\ \ldots}\)	\(\small{€\ \ldots}\)

Je gaat nu eerst terugrekenen naar \(\small 1\).

Dat betekent dat je bij “Bedrag per maand” in de bovenste rij van de tabel een \(\small 1\) zet.
(In dit geval \(\small{€\ 1}\)).

Om van \(\small 40\) naar \(\small 1\) te komen in de bovenste rij moet je delen door \(\small 40\).
Dus moet je in de onderste rij ook delen door \(\small 40\).
\(\small{€\ 2000}\) gedeeld door \(\small 40\) is \(\small{€\ 50}\).

Nu kun je uitrekenen hoeveel je na \(\small 4\) jaar krijgt uitgekeerd als je \(\small{€\ 60}\) per maand spaart.

Om van \(\small 1\) naar \(\small60\) te komen in de bovenste rij moet je vermenigvuldigen met \(\small60\).
Dus moet je de onderste rij ook vermenigvuldigen met \(\small60\).
\(\small{€\ 50} \times 60 = {€\ 3000}\)

Dat is dus \(\small{€\ 3000}\),-

Video: Verhoudingstabel gebruiken

Bekijk de videoclip.

Verhoudingstabellen - Voorbeeld 2

Bekijk de ketting.
De ketting heeft een vast patroon.
Na twee witte kralen komen steeds drie blauwe kralen.
Van iedere vijf kralen zijn er twee wit en drie blauw.
Je kunt de aantallen in een tabel zetten.

\(\small{\text{aantal witte kralen}}\)	\(\small2\)	\(\small4\)	\(\small6\)	\(\small8\)
\(\small{\text{aantal blauwe kralen}}\)	\(\small3\)	\(\small6\)	\(\small9\)	\(\small12\)
\(\small{\text{totaal aantal kralen}}\)	\(\small5\)	\(\small10\)	\(\small15\)	\(\small20\)

De tabel is een uitgebreide verhoudingstabel.

Vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen met 10,100, enzovoort

Als je de tafels al goed kent, dan is vermenigvuldigen met 10 x iets, 100 x iets enzovoort niet moeilijk. Kijk maar eens naar het volgende voorbeeld:

\(\small4 \times 6 =\)
\(\small4 \times 60 = \)
\(\small4 \times 600 = \)
\(\small4 \times 6000 =\)

Waarschijnlijk kan je de eerste som heel makkelijk uitrekenen als je de tafel van \(\small6\) kent. Je weet dat \(\small4 \times 6 = 24\). Je kan de sommen daaronder ook heel snel uitrekenen door net zoveel nullen achter het antwoord te plakken als er achter de \(6\) staan.

\(\small4 \times 6 = 24\)

\(\small4 \times 6\mathbf{0} = 24\mathbf{0}\)

\(\small4 \times 6\mathbf{00} = 24\mathbf{00}\)
\(\small4 \times 6\mathbf{000}= 24\mathbf{000}\)

Als een getal uit veel cijfers bestaat, dan kan je makkelijk de tel kwijtraken. Je mag dan voor de duidelijkheid het getal in groepjes van 3 cijfers verdelen, waar je een punt tussen zet. Je begint daarbij aan de rechterkant.

\(\small4 \times 6 = 24\)

\(\small4 \times 6\mathbf{0} = 24\mathbf{0}\)

\(\small4 \times 6\mathbf{00} = 2.4\mathbf{00}\)

\(\small4 \times 6.\mathbf{000} = 24.\mathbf{000}\)

En wat nu als er achter het eerste getal ook een nul staat, of zelfs meer nullen?

Dus bijvoorbeeld:

\(\small4\mathbf{0} \times 6 = \)

\(\small4\mathbf{0} \times 6\mathbf{0} = \)

\(\small4\mathbf{00} \times 6\mathbf{00} = \)

\(\small4\mathbf{00} \times 6.\mathbf{000} = \)

Je mag dan in het antwoord het aantal nullen aan het einde van het eerste getal en het aantal nullen achter het tweede getal bij elkaar optellen.

\(\small4\mathbf{0} \times 6 = 24\mathbf{0}\)

\(\small4\mathbf{0} \times 6\mathbf{0} = 2.4\mathbf{00}\)

\(\small4\mathbf{00} \times 6\mathbf{00} = 240.\mathbf{000}\) (let op: geen punt zetten aan het begin!)

\(\small4\mathbf{00} \times 6.\mathbf{000} = 2.4\mathbf{00}.\mathbf{000}\)

Nog één ding waar je op moet letten. Als de tafelsom zelf al op een nul eindigt, dan moet je die niet vergeten in het antwoord. Dus 40 x 50 = 20 met daarachter twee extra nullen.

Dus \(\small 4\mathbf{0} \times 5\mathbf{0} = 2.\mathbf{000}\)

Vermenigvuldigen onder elkaar

Vermenigvuldigen, dus keersommen met grote getallen, kan je het beste onder elkaar uitrekenen met het volgende stappenplan. Neem de voorbeeldsommen hieronder over in je schrift en voer de stappen hieronder ook zelf uit in je schrift. Dan onthoud je ze beter.

Voorbeeld: \(123 \times 49 = \)

Zet de getallen onder elkaar.
Zorg ervoor dat de getallen aan de rechterkant goed onder elkaar staan.
Dus de eenheden onder de eenheden. Noteer de waarde van de cijfers erbij:
D = duizendtallen,
H = honderdtallen,
T = tientallen en
E = eenheden.
Let op: het grootste getal moet altijd bovenaan staan.

b.	Vermenigvuldig de eenheid van de onderste rij met de bovenste rij. Begin aan de rechterkant. Dus \(9 \times 3 = 27\). Hiervoor moet je dus de tafels goed uit je hoofd kennen! Het getal \(27\) bestaat uit \(7\) eenheden en \(2\) tientallen. De \(7\) van de eenheden zet je onder de streep bij de eenheden en de \(2\) van de tientallen zet je klein boven de tientallen, zodat je niet vergeet die straks mee op te tellen. Laat wat extra ruimte tussen de regel met H T E en de getallen.
	Vermenigvuldig dan de eenheid van de onderste rij met het tiental van de bovenste rij. Dus \(9 \times 2 = 18\). Bij de vorige berekening heb je een kleine \(2\) bij het tiental genoteerd. Die \(2\) tel je erbij op. Dus \(18 + 2 = 20\). (Omdat je met een tiental vermenigvuldigd hebt, is het eigenlijk \(200\)). Dus je zet nu de \(0\) onder de streep bij de tientallen en de \(2\) in het klein boven de honderdtallen.
	Vermenigvuldig tenslotte de eenheid van de onderste rij met het honderdtal van de bovenste rij. Dus \(9 \times 1 = 9\) en tel er weer de \(2\) die erboven staat bij op. Dus \(9 + 2 = 11\). De ene \(1\) noteer je onder de streep bij de honderdtallen en de andere bij de duizendtallen. Omdat het de laatste is die je noteert, zet je ook die onder de streep en niet in het klein bovenaan.

c.	Vermenigvuldig het tiental van de onderste rij met de bovenste rij. Je begint weer aan de rechterkant. Omdat we nu met een tiental vermenigvuldigen, zet je eerst aan de rechterkant – op de tweede regel onder de streep – een nul. Verder streep je de kleine cijfertjes bovenaan door, want die heb je nu niet meer nodig en straks zet je er misschien weer nieuwe neer. Vandaar dat je extra ruimte moest nemen.
	\(4 \times 3 = 12\). Je zet weer de \(2\) onder de streep bij de tientallen. En de \(1\) in het klein bovenaan bij de honderdtallen.
	Vermenigvuldig nu het tiental van de onderste rij met het tiental van de bovenste rij, dus \(4 \times 2 = 8\) en tel er de \(1\) bij op. Dus \(8 + 1 = 9\).
	Vermenigvuldig tenslotte het tiental van de onderste rij met het honderdtal van de bovenste rij. Dus \(4 \times 1 = 4\). Deze keer hoeven we er niets bij op te tellen, dus de \(4\) zetten we onder de streep bij de duizendtallen.

d.	Vermenigvuldig nu de honderdtallen van de onderste rij met de honderdtallen van de bovenste rij. Er zijn geen honderdtallen op de onderste rij. Dus deze stap mogen we overslaan.

e.	Tel dan de antwoorden onder de streep bij elkaar op. Dit heb je al geleerd bij de paragraaf optellen. Vergeet niet de kleine 1 te noteren.
	Het antwoord is dus: \(123 \times 49 = 6027\).

Vermenigvuldigen met negatieve getallen

Vermenigvuldigen met negatieve getallen - 1

Een positief getal met een negatief getal vermenigvuldigen
Je weet al hoe je negatieve getallen moet optellen.
En je weet ook dat vermenigvuldigen hetzelfde is als herhaald optellen.

Dus:
\(\small\text{2}\times\text{-}{3}=\text{-}{6}\)
\(\small\text{3}\times\text{-}{3}=\text{-}{9}\)
\(\small\text{4}\times\text{-}{3}=\text{-}{12}\) enzovoort.

Dus als je een positief getal met een negatief getal vermenigvuldigt,
dan is het antwoord negatief.

Vermenigvuldigen met negatieve getallen - 2

Een negatief getal met een positief getal vermenigvuldigen

Je weet al dat als je twee getallen met elkaar vermenigvuldigt en je wisselt deze twee getallen om, dan blijft het antwoord hetzelfde.

Bijvoorbeeld: \(\small\text{3}\times\small\text{7}={21}\) en ook \(\small\text{7}\times\small\text{3}={21}\)

Dus geldt als \(\small\text{2}\times\small\text{-}{3}=\small\text{-}{6}\) dan is ook   \(\small\text{-}{3}\times\small\text{2}=\small\text{-}{6}\)
en als \(\small\text{3}\times\small\text{-}{3}=\small\text{-}{9}\) dan is ook   \(\small\text{-}{3}\times\small\text{3}=\small\text{-}{9}\)
en als \(\small\text{4}\times\small\text{-}{3}=\small\text{-}{12}\) dan is ook   \(\small\text{-}{3}\times\small\text{4}=\small\text{-}{12}\) enzovoort.

Dus als je een negatief getal met een positief getal vermenigvuldigt,
dan is het antwoord negatief.

Vermenigvuldigen met negatieve getallen - 3

Een negatief getal met een negatief getal vermenigvuldigen

Kijk eens naar \(\small\text{2}\times\small\text{3}={6}\) en \(\small\text{2}\times\small\text{-}{3}=\small\text{-}{6}\)

Je ziet dat als één van de twee getallen die je vermenigvuldigt, een minteken heeft, dan heeft het antwoord ook een minteken. Het antwoord is dus negatief.

We spreken af, dat als allebei de getallen die je vermenigvuldigt een minteken hebben, dan is het antwoord positief.

Dus \(\small\text{-}{2}\times\small\text{-}{3}=\small\text{6}\)

Dus als je een negatief getal met een negatief getal vermenigvuldigt,
dan is het antwoord positief.

Vermenigvuldigen met negatieve getallen - 4

Samenvatting:

Voorbeelden	Onthoud
\(\small\text{2}\times\small\text{3}=\small\text{6}\)	\(\small\text{positief }\times\small\text{ positief}=\small\text{positief}\)
\(\small\text{2}\times\small\text{-}{3}=\small\text{-}{6}\)	\(\small\text{positief }\times\small\text{ negatief}=\small\text{negatief}\)
\(\small\text{-}{2}\times\small\text{3}=\small\text{-}{6}\)	\(\small\text{negatief }\times\small\text{ positief}=\small\text{negatief}\)
\(\small\text{-}{2}\times\small\text{-}{3}=\small\text{6}\)	\(\small\text{negatief }\times\small\text{ negatief}=\small\text{positief}\)

Vlakke figuren

Vlakke figuren - Inleiding 1

Een vlak figuur is tweedimensionaal (2D). Het is dus plat (vlak).
Sommige figuren hebben een bijzondere naam.
Zoals een driehoek, vierhoek, vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram en vlieger.
Een figuur heeft hoekpunten en zijden. In een hoekpunt komen twee zijden bij elkaar.
De hoekpunten geef je aan met een hoofdletter.

Hierboven zie je vierhoek. Dit is een figuur met vier hoeken.
Er zijn ook speciale vierhoeken.
Dit zijn: vierkant, ruit, rechthoek, parallellogram en vlieger.
Wat dat betekent lees je verderop.

Ook zie je twee stippellijnen in de figuur. Deze lijnen noem je diagonalen.
Deze lijnen lopen dwars door de figuur heen naar een ander hoekpunt.
Meestal zijn deze lijnen gestippeld. Ze worden namelijk niet echt getekend.

Vlakke figuren - Inleiding 2

Om aan te geven dat lijnen dezelfde lengte hebben, plaats je een dwarsstreepje door de betreffende lijn.
Zo zie je hieronder dat \(\small\text{AD}\) dezelfde lengte heeft als \(\small\text{AB}\). Dit geldt ook voor \(\small\text{CD}\) en \(\small\text{BC}\) etc.

Ook zijn er driehoeken. Een driehoek is een figuur met drie hoeken.
Speciale driehoeken zijn een rechthoekige driehoek, gelijkbenige driehoek en een gelijkzijdige driehoek.
Een driehoek kan nooit diagonalen hebben.

Vlakke figuren - Driehoek

Een driehoek heeft drie hoekpunten en drie zijden.
Hier zie je driehoek \(\small{\text{ABC}}\). Je schrijf ook wel: \(\small{\triangle{\text{ABC}}}\).

Vlakke figuren - Vierkant

Hieronder zie je een vierkant \(\small{\text{ABCD}}\).
De zijden van een vierkant staan loodrecht op elkaar.
Alle zijden zijn even lang.

De twee diagonalen van een vierkant zijn even lang.
De twee diagonalen staan loodrecht op elkaar.
De twee diagonalen delen elkaar middendoor.

Vlakke figuren - Rechthoek

Hier zie je twee keer rechthoek \(\small{\text{ABCD}}\).
De zijden van een rechthoek staan loodrecht op elkaar.
De zijden die tegenover elkaar liggen zijn even lang.

De twee diagonalen van een rechthoek zijn even lang.
De twee diagonalen delen elkaar middendoor.

Vlakke figuren - Parallellogram

Hier zie je twee keer parallellogram \(\small{\text{ABCD}}\).
De zijden die tegenover elkaar liggen lopen evenwijdig.
De zijden die tegenover elkaar liggen zijn even lang.

De twee diagonalen delen elkaar middendoor.

Vlakke figuren - Ruit

Hier zie je twee keer ruit \(\small{\text{ABCD}}\).
De vier zijden van een ruit zijn even lang.

De twee diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar.
De twee diagonalen delen elkaar middendoor.

Vlakke figuren - Vlieger

Hier zie je twee keer vlieger \(\small{\text{ABCD}}\).
Zijde \(\small{\text{AB}}\) is even lang als zijde \(\small{\text{BC}}\).
Zijde \(\small{\text{CD}}\) is even lang als zijde \(\small{\text{AD}}\).

De twee diagonalen van een vlieger staan loodrecht op elkaar.

Vlakke figuren - Voorbeeld

De vlakvulling wordt vaak gebruik gemaakt van vlakke figuren.
Deze vlakvulling bestaat uit allemaal ruiten.

Vierhoeken: Hoe zijn ze met elkaar verbonden?

Je hebt al eerder gelezen dat een vierhoek een figuur is met vier hoeken.
Zo zijn er speciale vierhoeken, zoals de vierkant, ruit, rechthoek, parallellogram en vlieger.
Het lijkt misschien of ze niets met elkaar te maken hebben, maar is dat ook zo?
Laten we kijken hoe dat zit.

We beginnen met de parallellogram. Het is een vierhoek waarbij de zijden die tegenover elkaar liggen altijd evenwijdig lopen en even lang zijn. Het is de basis van veel andere vierhoeken.
Als de hoeken van een parallellogram allemaal 90 graden zijn, oftewel een rechte hoek maken, dan krijg je een rechthoek.
Dus een rechthoek is een bijzondere parallellogram.
Maar.. er is meer!!

Als je vierhoek niet alleen maar rechte hoeken heeft, maar ook alle vier de zijden zijn allemaal even lang, dan krijg je een vierkant! Een vierkant is dus eigenlijk een bijzondere rechthoek én een ruit tegelijk. Hoe tof is dat?

Maar.. als je vier gelijke zijden hebt, maar de hoeken zijn niet recht (90 graden), dan heb je te maken met een ruit.
Een ruit en een vierkant lijken heel erg op elkaar, alleen heeft een ruit geen rechte hoeken.

Tenslotte hebben we ook nog de vlieger. Een vlieger is een vierhoek met twee paar gelijke zijden en waarbij de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

Zoals je ziet, hebben al deze vierhoeken iets gemeenschappelijks.
Ze zijn eigenlijk familie van elkaar. Door veel te oefenen, kun je deze figuren steeds beter uit elkaar houden.

Soms kan je twijfelen aan de naam van de vierhoek. Een stroomdiagram kan dan soms helpen. Hieronder zie je een voorbeeld van een stroomdiagram. Deze kun je gebruiken als je wilt uitzoeken met welk vlak figuur je te maken hebt.
Aan de hand van een aantal vragen, ga je kijken met welk figuur je te maken hebt.

Vlakke figuren en symmetrie

Hieronder zie je de bekendste vlakke figuren.
Klik op de figuren voor extra informatie over de figuren.

Gelijkzijdige driehoek

AB = AC = BC

Een gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen.

Een gelijkzijdige driehoek is draaisymmetrisch, de kleinste draaihoek is 120°.

Vierkant

AB = BC = CD = DA

Een vierkant heeft vier symmetrieassen.

Een vierkant is draaisymmetrisch, de kleinste draaihoek is 90°.

Rechthoek

AB = CD en BC = AD

Een rechthoek heeft twee symmetrieassen.

Een rechthoek is draaisymmetrisch, de kleinste draaihoek is 180°.

Vlieger

AB = AD en BC = CD

Een vlieger heeft één symmetrieas.

Een vlieger is niet draaisymmetrisch.

Ruit

\(\small\text{AB = AD = BC = CD}\)

Een ruit heeft twee symmetrieassen.
Een ruit is draaisymmetrisch, de kleinste draaihoek is \(\small{180°}\).

Parallellogram

AB = CD en AD = BC

Een parallellogram is niet lijnsymmetrisch.

Een parallellogram is draaisymmetrisch, de kleinste draaihoek is 180°.

Gelijkbenige driehoek

AC = BC

Een gelijkbenige driehoek heeft één symmetrieas.

Een gelijkbenige driehoek is niet draaisymmetrisch.

Vlakke figuren en symmetrie - Voorbeeld

Bekijk de vlakvulling.

Welke vlakke figuren herken je in de vlakvulling?
Is de vlakvulling lijnsymmetrisch?
Is de vlakvulling draaisymmetrisch?

Voorrangsregels

Je weet natuurlijk al dat er voorrangsregels zijn in het verkeer.
Ook bij rekenen zijn er voorrangsregels waar je je aan moet houden:

Eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat.
Dan vermenigvuldigen en delen. Dit doe je in de volgorde waarin het in de som voorkomt van links naar rechts.
En dan optellen en aftrekken. Ook dit doe je in de volgorde waarin het in de som voorkomt van links naar rechts.

Voorbeelden

12 − (3 + 2) = 12 – 5 = 7

5 + 2 × 6 = 5 + 12 = 17

4 : 2 x 3 + 1 = 2 x 3 + 1 = 6 + 1 = 7

4 – 3 + 2 – 1 = 1 + 2 – 1 = 3 – 1 = 2

Video: Voorrangsregels

Uitlegvideo: voorrangsregels

Voorrangsregels - Voorbeeld 1

Evert krijgt iedere maand \(\small{\text{€ }5\text{,-}}\) zakgeld.

Met allerlei klusjes verdient Evert per maand \(\small{\text{€ }2{,}50}\).
Evert spaart al zijn zakgeld en het geld dat hij verdient met klusjes.

Je kunt uitrekenen hoeveel Evert per jaar spaart:

Een jaar heeft \(\small{12}\) maanden.

In een jaar spaart Evert dus:
\(\small{12\times(5+2{,}50)=12\times7{,}50= \text{€ }90\text{,-}}\)

Wat is negatief?

Bekijk de getallenlijn.

Getallen groter dan 0 heten positieve getallen.
Op de getallen lijn liggen ze rechts van de 0.

Getallen kleiner dan 0 heten negatieve getallen.
Op de getallen lijn liggen ze links van de 0.

\(\small1\frac{1}{2}\) en \(\small2,6\) zijn voorbeelden van positieve getallen.
\(\small1\frac{1}{2}\) \(\small<\) \(\small2,6\) dus \(\small1\frac{1}{2}\) is kleiner dan \(\small2,6\).
\(\small-3\) en \(\small-4,5\) zijn voorbeelden van negatieve getallen.
\(\small-4,5\) \(\small<\) \(\small-3\) dus \(\small-4,5\) is kleiner dan \(\small-3\).

Je ziet deze voorbeelden ook staan op de getallenlijn.

Voor een negatief getal gebruik je het \(\small-\) teken.
\(\small-3\) spreek je uit als “min drie”.

Wat is negatief? - Voorbeeld 1

's Zomers is het in Nederland meestal lekker warm. De temperatuur kan dan wel oplopen tot \(\small30^{\circ}\) \(\small\text{Celsius}\). We zeggen dan ook wel \(\small30\) graden boven nul.

In de winter is het veel kouder en kan het zelfs gaan vriezen. Soms wordt het dan in de nacht wel \(\small-10^{\circ}\) \(\small\text{Celsius}\). We zeggen dan ook wel \(\small10\) graden onder nul.

Hieronder zie je twee thermometers. Op de linker thermometer is het \(\small30\) graden boven nul en op de rechter thermometer is het \(\small10\) graden onder nul.

Door op de balkjes van de thermometer te tellen, kun je het verschil tussen de zomertemperatuur en de wintertemperatuur bepalen.
Het verschil tussen de zomertemperatuur en de wintertemperatuur is \(\small40^{\circ}\) \(\small\text{Celsius}\).

Wat is negatief? - Voorbeeld 2

Meneer van der Heyden heeft \(\small€\) \(\small{60\text{,-}}\) op zijn rekening.
Hij koopt een broek van \(\small€\) \(\small{90\text{,-}}\).
Hij betaalt met zijn pinpas. Het bedrag wordt van zijn rekening afgeschreven.
Het nieuwe saldo op de rekening is \(\small€\) \(\small{30\text{,-}}\) negatief.
Meneer van der Heyden staat rood.

Wortels

Wat is een wortel?

Een wortel is een getal dat te maken heeft met de oppervlakte van een vierkant en een zijde van dat vierkant.

Als je weet wat de oppervlakte van een vierkant is, dan is de wortel de lengte van een zijde van dat vierkant.

Voorbeeld

Het vierkant heeft een oppervlakte van 16.

De zijde van het vierkant is 4, want 4 × 4 = 16

Je zegt de wortel van 16 is 4.

Je schrijft \(\small{\sqrt{16} = 4}\).

De volgende wortels moet je uit je hoofd kunnen uitrekenen:
\(\small{\sqrt1= 1}\) \(\small{\sqrt9 = 3}\) \(\small{\sqrt{25} = 5}\) \(\small{\sqrt{49} = 7}\) \(\small{\sqrt{81} = 9}\)
\(\small{\sqrt4 = 2}\) \(\small{\sqrt{16} = 4}\) \(\small{\sqrt{36} = 6}\) \(\small{\sqrt{64} = 8}\) \(\small{\sqrt{100} = 10}\)

Hieronder zie je de verschillende soorten knoppen om de wortel te berekenen op je rekenmachine.

Maak altijd eerst een schatting van het antwoord. Zo ontdek je weer sneller of je een typefout hebt gemaakt!

Wortels

Dit vierkant heeft een oppervlakte van \(\small{5}\) cm\(\small^2\)
De zijde van het vierkant is \(\small{\sqrt5}\).
\(\small{\sqrt5}\) is geen geheel getal.
Het antwoord ligt tussen \(\small{2}\) en \(\small{3}\).
Met je rekenmachine vind je hoe groot \(\small{\sqrt5}\) ongeveer is.
Je vindt: \(\small{\sqrt5 \approx 2{,}24}\)

Wortels - voorbeeld 1

Hieronder zie je twee vijvers getend.
De zijden van de linker vijver zijn \(\small{2}\) m.
De oppervlakte is dus \(\small{2 \times 2 = 2^2 = 4}\) m\(\small^2\)

De rechter vijver is \(\small{2\ \times}\) zo groot. De oppervlakte is \(\small{8}\) m\(\small{^2}\)

De lengte van de zijden van de rechter vijver zijn \(\small{\sqrt{8} \approx 2{,}83}\) m.

Wortels - voorbeeld 2

De bewerkingen 'kwadrateren' en 'worteltrekken' werken na elkaar:

\(\small\text{startgetal}\to\)

\(\small\ldots^2\)

\(\small \to\)

\(\small \ ...\)

\(\small \to\)

\(\small\sqrt{x}\)

\(\small\to \text{uitkomst}\)

Met welk getal je ook begint, de uitkomst is steeds hetzelfde als het startgetal.

Ga na of dat klopt.

Begin bijvoorbeeld maar met het getal \(\small{9}\). Wat is de uitkomst?
Begin ook eens met het getal \(\small{17}\). Wat is nu de uitkomst?

De bewerkingen 'kwadrateren' en 'worteltrekken' zijn tegenovergestelde bewerkingen.

Colofon
Het arrangement Kennisbanken Wiskunde vmbo-kgt12 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

VO-content

Laatst gewijzigd

2025-10-04 20:37:32

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting

In dit arrangement vind je alle kennisbanken bij elkaar die gebruikt zijn voor de leerlijn Wiskunde vmbo-b12.

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Studiebelasting

4 uur 0 minuten

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Aanzichten

https://maken.wikiwijs.nl/198343/Aanzichten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Afronden

https://maken.wikiwijs.nl/198982/Afronden

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Afstanden

https://maken.wikiwijs.nl/197933/Afstanden

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Aftrekken met negatieve getallen

https://maken.wikiwijs.nl/107332/Aftrekken_met_negatieve_getallen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Aftreksommen met grote getallen

https://maken.wikiwijs.nl/197915/Aftreksommen_met_grote_getallen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Breuken

https://maken.wikiwijs.nl/198004/Breuken

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Breuken delen

https://maken.wikiwijs.nl/197957/Breuken_delen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Breuken optellen en aftrekken

https://maken.wikiwijs.nl/197916/Breuken_optellen_en_aftrekken

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Breuken vergelijken

https://maken.wikiwijs.nl/197917/Breuken_vergelijken

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Breuken vermenigvuldigen

https://maken.wikiwijs.nl/198069/Breuken_vermenigvuldigen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Cirkel

https://maken.wikiwijs.nl/197934/Cirkel

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Codes

https://maken.wikiwijs.nl/197935/Codes

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Coördinaten

https://maken.wikiwijs.nl/197936/Co_rdinaten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Decimale getallen

https://maken.wikiwijs.nl/198936/Decimale_getallen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Delen

https://maken.wikiwijs.nl/197926/Delen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Doorsnede

https://maken.wikiwijs.nl/107353/Doorsnede

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Draaisymmetrie

https://maken.wikiwijs.nl/204891/Draaisymmetrie

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Formules

https://maken.wikiwijs.nl/204946/Formules

VO-content - Kennisbanken. (2017).

Gemiddelde

https://maken.wikiwijs.nl/107382/Gemiddelde

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Grafiek aflezen

https://maken.wikiwijs.nl/197950/Grafiek_aflezen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Grafiek tekenen

https://maken.wikiwijs.nl/197951/Grafiek_tekenen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Grensvlakken en ribben

https://maken.wikiwijs.nl/198338/Grensvlakken_en_ribben

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Hoeken

https://maken.wikiwijs.nl/198273/Hoeken

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Hoeken berekenen

https://maken.wikiwijs.nl/198137/Hoeken_berekenen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Hoeken meten

https://maken.wikiwijs.nl/198130/Hoeken_meten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Hoeken tekenen

https://maken.wikiwijs.nl/198274/Hoeken_tekenen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Inhoud kubus en balk

https://maken.wikiwijs.nl/107365/Inhoud_kubus_en_balk

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Kansen

https://maken.wikiwijs.nl/108023/Kansen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Kijklijnen en kijkhoeken

https://maken.wikiwijs.nl/204948/Kijklijnen_en_kijkhoeken

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Kwadraten

https://maken.wikiwijs.nl/204977/Kwadraten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Lengtematen

https://maken.wikiwijs.nl/197941/Lengtematen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Lettervariabelen

https://maken.wikiwijs.nl/107321/Lettervariabelen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Lijn, lijnstuk, punt

https://maken.wikiwijs.nl/197939/Lijn__lijnstuk__punt

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Lijnsymmetrie

https://maken.wikiwijs.nl/204965/Lijnsymmetrie

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Lineair verband

https://maken.wikiwijs.nl/204938/Lineair_verband

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Machten

https://maken.wikiwijs.nl/204994/Machten

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Negatief in het assenstelsel

https://maken.wikiwijs.nl/107334/Negatief_in_het_assenstelsel

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Nog meer procenten

https://maken.wikiwijs.nl/108033/Nog_meer_procenten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Omtrek

https://maken.wikiwijs.nl/197947/Omtrek

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Omtrek cirkel

https://maken.wikiwijs.nl/204895/Omtrek_cirkel

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Oppervlakte

https://maken.wikiwijs.nl/197946/Oppervlakte

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Oppervlakte cirkel

https://maken.wikiwijs.nl/205002/Oppervlakte_cirkel

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Oppervlakte parallellogram en driehoek

https://maken.wikiwijs.nl/204894/Oppervlakte_parallellogram_en_driehoek

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Oppervlaktematen

https://maken.wikiwijs.nl/197945/Oppervlaktematen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Optellen en aftrekken

https://maken.wikiwijs.nl/198938/Optellen_en_aftrekken

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Optellen met grote getallen

https://maken.wikiwijs.nl/197919/Optellen_met_grote_getallen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Optellen met negatieve getallen

https://maken.wikiwijs.nl/107333/Optellen_met_negatieve_getallen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Passer en geodriehoek

https://maken.wikiwijs.nl/197944/Passer_en_geodriehoek

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Plaatsbepaling op de kaart

https://maken.wikiwijs.nl/197943/Plaatsbepaling_op_de_kaart

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Procenten

https://maken.wikiwijs.nl/198278/Procenten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Procenten erbij of eraf

https://maken.wikiwijs.nl/198285/Procenten_erbij_of_eraf

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Regelmaat

https://maken.wikiwijs.nl/197920/Regelmaat

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Rekenen met lettervariabelen

https://maken.wikiwijs.nl/107317/Rekenen_met_lettervariabelen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Rekenen met procenten

https://maken.wikiwijs.nl/198281/Rekenen_met_procenten

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Rekenstappen in schema

https://maken.wikiwijs.nl/204941/Rekenstappen_in_schema

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Romeinse cijfers

https://maken.wikiwijs.nl/198165/Romeinse_cijfers

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Ruimtelijke figuren

https://maken.wikiwijs.nl/198337/Ruimtelijke_figuren

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Schaallijnen

https://maken.wikiwijs.nl/197942/Schaallijnen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Schatten

https://maken.wikiwijs.nl/197921/Schatten

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Som- en verschilgrafiek

https://maken.wikiwijs.nl/198553/Som__en_verschilgrafiek

VO-content - Kennisbanken. (2017).

Steel- en bladdiagram

https://maken.wikiwijs.nl/107381/Steel__en_bladdiagram

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Teller en noemer

https://maken.wikiwijs.nl/197922/Teller_en_noemer

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Uitslagen

https://maken.wikiwijs.nl/198342/Uitslagen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Van formule naar grafiek

https://maken.wikiwijs.nl/107319/Van_formule_naar_grafiek

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Verband en grafiek

https://maken.wikiwijs.nl/197952/Verband_en_grafiek

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Vergelijking en oplossing

https://maken.wikiwijs.nl/107326/Vergelijking_en_oplossing

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Verhoudingen vergelijken

https://maken.wikiwijs.nl/197923/Verhoudingen_vergelijken

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Verhoudingstabellen

https://maken.wikiwijs.nl/197924/Verhoudingstabellen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Vermenigvuldigen

https://maken.wikiwijs.nl/198978/Vermenigvuldigen

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Vermenigvuldigen

https://maken.wikiwijs.nl/197927/Vermenigvuldigen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Vermenigvuldigen met negatieve getallen

https://maken.wikiwijs.nl/107331/Vermenigvuldigen_met_negatieve_getallen

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Vlakke figuren

https://maken.wikiwijs.nl/197938/Vlakke_figuren

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Vlakke figuren en symmetrie

https://maken.wikiwijs.nl/204973/Vlakke_figuren_en_symmetrie

VO-content - Kennisbanken. (2023).

Voorrangsregels

https://maken.wikiwijs.nl/197918/Voorrangsregels

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Wat is negatief?

https://maken.wikiwijs.nl/107335/Wat_is_negatief_

VO-content - Kennisbanken. (2025).

Wortels

https://maken.wikiwijs.nl/204993/Wortels

Kennisbanken Wiskunde vmbo-kgt12

nl

VO-content

2025-10-04 20:37:32

In dit arrangement vind je alle kennisbanken bij elkaar die gebruikt zijn voor de leerlijn Wiskunde vmbo-b12.

leerling/student

PT4H
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van