In dit hoofdstuk heb je heel wat geleerd over het tellen van aantallen mogelijkheden. We vatten de drie basis telmethoden nog eens samen. Bij veel telproblemen moet je verschillende telmethoden combineren om tot een oplossing te komen.
Rangschikken zonder herhalingen
Aan een wedstrijd doen vier deelnemers mee (zeg: A, B, C en D). De deelnemers kunnen in verschillende volgorden de finish passeren. Eén mogelijke einduitslag is BCAD. Zo’n rijtje-van-vier waarbij de volgorde van belang is, noem je een permutatie (of een rangschikking zonder herhaling). Het aantal mogelijke einduitslagen (permutaties) kun je op verschillende manieren vinden.
Door de mogelijkheden systematisch uit te schrijven.
Door een boomdiagram te tekenen.
Vier deelnemers (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op \(4⋅3⋅2⋅1=24\) manieren in volgorde zetten.
Voor het product \(4⋅3⋅2⋅1\) bestaat een afkorting: \(4!\).
Dit spreek je uit als \(\bf 4\)faculteit.
Er geldt: \(4!=4⋅3⋅2⋅1=24\).
\(4!\) kun je ook met de optie \(x!\) op je rekenmachine berekenen.
We bekijken ook nog een wedstrijd waar \(7\) deelnemers aan meedoen (zeg: A, B, C, D, E, F en G). Het aantal mogelijke erepodia (zoals BCA, ACB, FAD en FGE) is: \(7⋅6⋅5=7!:4!=210\).
Rangschikken met herhalingen
Een meerkeuzetoets bestaat uit \(5\) vragen. Bij iedere vraag staan drie antwoorden, waarvan er één moet worden aangekruist. Er is altijd maar één antwoord goed. We vragen ons af op hoeveel manieren je de toets kunt maken.
Dit telprobleem kun je oplossen door een wegendiagram te tekenen.
Het aantal mogelijkheden (of het aantal rangschikkingen met herhaling) is \(3^5=243\).
Combinaties
We bekijken drie telproblemen:
alle rijtjes van lengte \(7\) met \(3\) enen en \(4\) nullen;
alle kortste routes van \((0,0)\) naar \((4,3)\);
alle selecties (of combinaties) van \(3\) dingen uit \(7\) verschillende dingen. (Bij een combinatie letten we niet op de volgorde.)
Hiernaast zie je van elk van de drie telproblemen een mogelijke uitkomst.
Er zijn evenveel rijtjes als routes als selecties. Immers, je kunt bij alle drie de telproblemen een rijtje maken, bijvoorbeeld:
\(0100011\)
RBRRRBB
- B - - - F G
Deze rijtjes komen op hetzelfde neer.
Het aantal routes van \((0,0)\) naar \((4,3)\) noteren we met het combinatiegetal \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right)\).
Dus \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right) = ...\)
... het aantal \(0\)-\(1\)-rijtjes van lengte \(7\) met \(3\) enen,
... het aantal routes van lengte \(7\) met \(3\) stappen naar boven,
... het aantal combinaties van \(3\) elementen uit \(7\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Telproblemen - 4H Wiskunde A is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde A voor havo leerjaar 4. In dit thema gaan we aan de slag met het tellen van aantallen mogelijkheden in allerlei situaties.
Leerniveau
VWO 4;
Leerinhoud en doelen
Wiskunde A;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
arrangeerbaar, havo 4, stercollectie, tellen, telproblemen, wiskunde a
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde A voor havo leerjaar 4. In dit thema gaan we aan de slag met het tellen van aantallen mogelijkheden in allerlei situaties.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
H1 Telproblemen
Terugblik
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
In dit thema gaan we aan de slag met het tellen van aantallen mogelijkheden in allerlei situaties.
We bekijken drie telproblemen:
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
