Startpagina

In deze site kun je op je eigen tempo en op je eigen niveau oefenen. Maar let op: dit vraagt wel verantwoordelijkheid! Zorg ervoor dat je genoeg oefent, dat je zeker weet dat je de stof beheerst en bovenal dat je het aangeeft wanneer je ergens tegenaan loopt.

Als je hulpt nodig hebt met de stof of met het plannen, ga dan naar je docent, kijk op internet voor tips of stel je vraag aan de persoon naast je. Stel altijd vragen! Maak na ieder onderwerp ook een paar oefeningen uit je boek van datzelfde onderwerp.

Deze wikiwjs gaat je helpen om letterrekenen beter te begrijpen en begrip te ontwikkelen rondom algebra en variabele (letters)
De uitlegvideo's die jullie tijdens de eerste lessenreeks hebben gehad met een aantal extra staan op edpuzzle in een andere klas, de link hiervoor hebben jullie ontvangen via teams.
Na elk onderwerp kan je de video die bij dat onderwerp hoort bekijken. De vragen zal ik nakijken en zo wordt voor mij en jou duidelijk hoe je ervoor staat. Dit is geen verplichting! Als jij het zonder de video's kan dan hoef je deze niet te kijken

Een goede plek om veel met de basis te oefenen is https://math4all.algebrakit.nl/math4all/overview
Hier klik je onder basiswiskunde op letterekenen en kies je een van de onderwerpen. Het programma geeft je een oefening die je uitwerkt op papier en vervolgens kijk je hem na.

Letters in de wiskunde

In de wiskunde leer je dat rekenen niet alleen met cijfers kan, maar ook met letters.

Maar wat zijn die letters nou precies?
We gebruiken soms in de wiskunde letters (variabele) op plaatsen waar we niet weten welk cijfer er komt te staan of als het cijfer kan varieren.

We kunnen dezelfde berekeningen met letters uitvoeren als met cijfers, wanneer je echter met verschillende letters te maken hebt dan ziet het antwoord er minder "opgelost" uit dan met alleen cijfers.
We kunnen ook cijfers en letters door elkaar gebruiken en dit doen we ook.
Het belangrijkste om te onthouden is dat we in de wiskunde alles zo kort mogelijk willen opschrijven, maar het moet nog wel kloppen. Daarom ga je principes die je al bij cijfers zonder erover na te denken toepast ook toepassen bij letters.

In deze wikiwijs ga je leren en opnieuw zien hoe letterrekenen werkt, dit zal ook aan de hand van getallen voorbeelden zijn.

Optellen en aftellen met letters

In de bovenstaande oefeningen heb je de optellen korter geschreven. Er geldt namelijk dat als ik hetzelfde getal bij elkaar optel ik het ook kan schrijven als een vermenigvuldiging.
3+3+3+3+3 = 5 • 3

Dit principe kun je ook toepassen bij het optellen van dezelfde letter.
b+b+b+b+b = 5 • b

Let op!

3+3+3+4+4 kun je niet schrijven als 5•4•3
3+3+3+4+4 = 17 en 5•4•3 = 60 het is dus niet gelijk aan elkaar en dat is heel belangrijk!
Je zou het wel kunnen schrijven als 3•3+2•4 (De rekenregels zeggen eerst vermingvuldigen) want dat is 17
Daarom kun je b+b+b+f+f niet schrijven als 5•b•f.
Maar kun je het wel schrijven als 3•b+2•f

Als je even niet zeker weet of een opgave goed is gemaakt, vervang dan de letters voor cijfers en reken het na. Zorg er wel voor dat je dezelfde letter voor het zelfde getal vervangt en dat je de rekenvolgorde goed aanhoudt!

Zorg dat je altijd eerst het cijfer van de vermingvuldiging opschrijft en daarna de letter. Als er meerdere letters worden vermenigvuldigd schrijf je ze in alfabetische volgorde.

Tot slot we willen alles zo kort mogelijk schrijven en daarom hebben wij gezegd in de wiskunde dat we vermenigvuldigen en delen door 1 niet opschrijven (want er verandert niks aan de uitkomst).
En dat we de • tussen letters en cijfers niet opschrijven. In het bovenstaande voorbeeld wordt het dan: 3b+2f

Nu moet je altijd goed opletten wanneer je bepaald of termen (zo noemen we de getallen met letters) echt gelijk zijn. Soms lijkt het namelijk dat 2 termen hetzelfde zijn maar zijn ze het niet, hieronder enkele voorbeelden:
a² is niet hetzelfde als a³ of a

b²c is niet hetzelfde als bc² of b²c²

Probeer de kennis die je nu hebt te gebruiken om de onderstaande aftel opgaven te maken.

Het aftellen gaat precies hetzelfde als het optellen van termen. Let altijd op bij het optellen en aftellen, dat het teken dat voor de term staat bij die term hoort (net zoals je dit bij alleen cijfers hebt)! Hieronder is een voorbeeld in met kleurtjes weergegeven:

-3a+5b-7a-8b
Je mag de volgorde veranderen wanneer je alleen optellingen of aftellingen hebt, maar let dus goed op dat je het juiste teken meeneemt!
Het bovenstaande zou je dus kunnen schrijven als volgt:
-3a-7a+5b-8b
Voor sommige leerlingen geeft dit meer overzicht, maar let dus goed op dat je dit alleen doet als je alleen nog maar optellingen en aftellingen in de som hebt staan en je het teken voor de term meeneemt! Heb je dit niet nodig doe het dan ook vooral niet.

Als je nu het optellen en aftellen met letterrekenen onder de knie hebt ga dan snel door naar vermenigvuldigen. Wil je liever nog iets meer oefenen ga naar https://math4all.algebrakit.nl/math4all/overview en klik op de geelomcirkelde onderdelen:

Vermenigvuldigen met letters

Met het vemenigvuldigen van letters gebeurt hetzelfde als bij cijfers.

Zoals je net hebt gezien kun je 3*3*3*3 schrijven als 3⁴.
Dit zelfde heb je zien gebeuren bij letters. Namelijk:
a*a*a*a kun je schrijven als a⁴
Let op! ga dus niet neerzetten a*a*a*a = 4a want als we de a vervangen voor 3. Dan staat er dit: 3*3*3*3 = 4*3 dus eigenlijk 81 = 12 en dat klopt natuurlijk niet.

Wanneer is een vermenigvuldigings teken tussen een cijfer en een letter heb staan, of tussen twee cijfers dan kunnen we die weg laten. (zoals altijd willen we het in de wiskunde zo kort mogelijk houden).
De reden dat we dit niet bij cijfers doen is omdat we dan niet zeker weten of we te maken hebben met een vervenigvuldiging of een groot getal bijv. 4*5 > 45. Bij letters kunnen we wel dat onderscheid maken omdat iedere verschillende letter voor een ander getal staat.

Om deze reden kunnen we ook niet-gelijke termen met elkaar vermenigculdigen. bijv. a*c =ac.
We weten dat er een vermenigvuldigingsteken staat maar deze schrijven wij niet op.

Nu we vermenigvuldigen erbij hebben is het goed dat je let op de rekenvolgorde bij complexere sommen! En onthoudt, bij optellen en aftellen kan je wel alleen gelijke termen bij elkaar optellen.

Zoals je in de opgave hierboven zag kan het voorkomen dat je doordat je eerst moet vermenigvuldigen je een gelijke term creeërt omdat er een macht ontstaat.

Als je nu het vermenigvuldigen bij letterrekenen onder de knie hebt ga dan snel door naar breuken met letters. Wil je liever nog iets meer oefenen ga naar https://math4all.algebrakit.nl/math4all/overview > letterrekenen > algebra vermenigvuldigen

Letters en machten

Zoals je hier boven hebt kunnen zien kan je als je machten met letters hebt deze bij elkaar optellen en aftellen wanneer deze gelijk soortig zijn.
We kunnen machten met letters ook vermenigvuldigen.

Wanneer we te maken hebben met een vermenigvuldiging van maken die niet hetzelfde grondgetal hebben is het weer een kwestie van het weghalen van het vemenigvuldigingsteken.

Wanneer je wel hetzelfde grondgetal hebt, dan mag je de exponenten bij elkaar optellen

\(a^3*a^4 =\)\( a*a*a \) \( * \) \(a*a*a*a\) \(= a^7\)

Ofterwijl:

\(a^3*a^4 = a^ {3+4}=a^7\)

Als je te maken hebt met een macht van een macht gebeurt er iets bijzonders met de exponenten

Kijk maar:
\((f^2)^4\) = \(f^2*f^2*f^2*f^2\)
We hebben net geleerd wanneer een macht met hetzelfde grondgetal vermenigvuldigd wordt je de exponenten bij elkaar op mag tellen.
\((f^2)^4\) = \(f^2*f^2*f^2*f^2\)= \(f^{2+2+2+2}\)
En als je hetzelfde getal meerdere keren bij elkaar optelt dan kan je het schrijven als een vermenigvuldiging.

\((f^2)^4\) = \(f^2*f^2*f^2*f^2\)= \(f^{2+2+2+2}\) = \(f^{2*4}\) = \(f^8\)

Dus geldt:
\((f^2)^4\) = \(f^{2*4} \) = \(f^8\)

Zo geldt dus dat bij een macht van een macht de exponenten vermenigvuldigd worden.

Wanneer je te maken hebt met een product tot een macht is het belangrijk alle factoren van dat product te verheffen tot die macht.

\((p^3r)^5\)

Wat zou hier gebeuren? Denk daar eerst over na voor je verder leest

Zoals je kon zien in de vorige opgave gebeurt er het volgende:

\((p^3r)^5 = p^3r *p^3r *p^3r *p^3r *p^3r \)
Nu ziet het er al iets bekender uit. Maar misschien nog niet helemaal duidelijk, laten we het nog eens verder uitsplitsen:
\(p^3*r*p^3*r*p^3*r*p^3*r*p^3*r\)
Wanneer ik alleen vermenigvuldigingen heb mag ik de factoren verplaatsen zonder dat dit de som veranderd Kijk maar naar \(2*3*5\) dit is hetzelfde als \(5*2*3\)
Dus dan krijg ik:
\(p^3*p^3*p^3*p^3*p^3\) \(*\) \(r*r*r*r*r\)
Dan krijg ik dus weel vermenigvuldigingen met machten die hetzelfde grondgetal hebben en mag ik de exponenten bij elkaar optellen Let op! in de wiskunde schrijven we keer en gedeeld door 1 nooit op maar ook tot de macht 1 niet. Als er geen exponent staat is de exponent standaard 1.
Ik krijg dus
\(p^{3*5}*r^{1*5}=p^{15}r^5\)

Als we dus de regel van macht van een macht en product van een macht samen nemen kunnen we snel een uitkomst zien.

\((p^3r)^5=(p^3)^5*(r)^5=p^{3*5}*r^{1*5}=p^{15}r^5\)

Oefenen hiermee op https://math4all.algebrakit.nl/math4all/overview > letterrekenen > algebra machten

Breuken vereenvoudigen

We willen breuken altijd zo ver mogelijk vereenvoudigen. Dat wil zeggen, zo klein mogelijk maken.

Om breuken te vereenvoudigen moeten we elke term in een breuk kunnen delen door hetzelfde getal/letter.

\({3 \over 21} = {1 \over 7}\) Want zowel de teller als de noemer kunnen in dit geval gedeeld worden door 3. Vervolgens kunnen de teller en de noemer niet meer gedeeld worden door hetzelfde getal.

Bij letters werkt dit precies hetzelfde:
\( {4a \over 9a} = {4 \over 9}\) Hier kan de a weggedeeld worden omdat hij zowel in de teller als de noemer staat. Vervolgens moet er gekeken worden of er nog andere cijfers of letters gedeeld kunnen worden en hier is dat niet het geval.

Let op het kan voorkomen dat je in de teller of noemer 2 of meerdere termen hebt staan. bijv.

\( { 3b+6xb\over 6abx}\) In dit geval kan ik alleen vereenvoudigen wanneer er in alle termen hetzelfde weggedeeld kan worden!
Nu geldt dus dat ik in de twee termen in de teller en in de noemer een b heb. Deze kan dus weggedeeld worden.

\( { 3+6x\over 6ax}\)Maar er staan ook nog veelvouden van 3 in elke term. Deze kan dus ook nog verder vereenvoudigd worden.
\( { 1+2x\over 2ax}\)Let op ondanks dat zowel ergens in de teller als de noemer 2x staat kan deze niet weggedeeld worden omdat de teller ook een term heeft waar deze niet in voorkomt.

Breuken met letters optellen en aftellen

We gaan eerst kijken wat er gebeurt als ik breuken met elkaar vermenigvuldig. Dit is namelijk makkelijker dan optellen en aftellen.

Want als ik breuken vermenigvuldig, neem ik dus een deel van een deel, dan hoef ik niet te zorgen dat de breuken gelijknamenig (noemers gelijk) zijn.

Het kan voorkomen dat je niet direct ziet dat je met breuken vermenigvuldigen te maken hebt. als getallenvoorbeeld:

\(2 * {3\over 4}\) wat hier gebeurt is dat ik dus \({3\over 4} + {3\over 4} \)doe want als je hetzelfde getal bij elkaar telt kun je dat ook schrijven als een vermenigvuldiging. \({3\over 4} + {3\over 4} = {6\over 4}\)wat hier dus is gebeurt is dat de twee eigenlijk alleen met de bovenkant is vermenigvuldigd. Om te kijken wat er gebeurt als je breuken vermenigvuldigd kan je 2 ook als een breuk schrijven \(2 = {2 \over 1}\)ik mag namelijk altijd delen door 1 want dan verandert er niks aan het getal.

Als ik de twee vervangen voor de breuk krijg ik \({2\over 1} * {3\over 4}\)zoals we net zagen vermenigvuldig ik de 2 met de 3. Maar nu zie je ook dat ik de 1 met de 4 vermenigvuldig.

Dus bij het vermenigvuldigen van breuken doe ik teller * teller en noemer * noemer

Met letters werkt dit precies hetzelfde:

\( 3c * {2a\over 5f}= {3c\over 1} * {2a\over 5f} = {3c*2a \over 1*5f} = {6ac \over 5f}\)

Maar wat als ik wel direct zie dat ik met een breuk te maken heb?
Stel ik wil een twee derde hebben van vier vijfde. Dan moet ik de breuken met elkaar vermenigvuldigen. _{*als je niet weet waarom ga dan naar de docent}
\({2 \over 3}*{4 \over 5}\)\(= {2*4 \over 3*5} = {8 \over 15}\)

De regel is altijd teller*teller en noemer*noemer.

Dit kun je ook toepassen met letters
\({c \over a}*{x\over y}={c*x\over a*y}={cx\over ay}\)

Heb je dit al goed onder de knie scroll dan door naar het volgende tekst blokje. Zo niet maak eventjes de oefeningen hieronder voor je doorscrollt.

Om te kunnen reken met breuken met letters moet je dit eerst goed met breuken met cijfers kunnen.

We gaan daarom eerst kijken hoe het werkt met cijfers. Hiervoor moet je eventjes alle trucjes vergeten die je aangeleerd hebt en goed opletten wat er precies gebeurt.

We hebben net gezien dat breuken vermenigvuldigen niet heel ingewikkeld in elkaar steekt. En dit kunnen we ook gaan toepassen om breuken gelijknamig te maken om ze te kunnen optellen en aftellen. Een andere eigenschap in de wiskunde die we kunnen gebruiken is dat we altijd mogen vermenigvuldigen met 1.

Zorg dat je deze twee boven genoemde uitleg van breuken goed in je achterhoofd houdt.

Laten we eens gaan kijken naar de volgende som:
\({3\over 5} + {6\over 7}\)

Ik wil graag weten als ik deze twee delen samenneem hoeveel ik dan in totaal heb.
Nu weten we dat we alleen breuken kunnen optellen en aftellen die gelijknamig zijn (noemers moeten gelijk zijn).
Denk eens na over het volgende:
Waarom moeten de breuken eigenlijk gelijknamig zijn?

De noemer geeft aan in hoeveel delen het geheel is gedeeld. Als ik 2 cirkels verdeel en de ene in 5 stukken en de andere in 7 dan zijn de stukken verschillend van maat en moeilijk te vergelijken met elkaar, laat staan bij elkaar optellen. kijk maar:

Ik moet dus zorgen dat de stukken even groot zijn.

Ik moet dus iets doen met de breuken zodat de noemers gelijk worden. En ik heb net geleerd dat ik altijd elk getal, dus ook een breuk, mag vermenigvuldigen met een 1. Maar als ik nu eens niet zomaar een 1 kies maar een "slimme" 1.
\({3\over 5} + {6\over 7}\)
Ik weet dat ik beide noemers naar 35 kan brengen. De 5 door deze met 7 te vermenigvuldigen en de 7 door deze met 5 te vermenigvuldigen. Maar hoe zorg ik nu dat ik beide breuken met een 1 vermenigvuldig?
Door het op deze manier te doen
\({3\over 5}*{7\over 7} en {6\over 7} *{5\over 5} \)
De \({7\over 7}\) en \({5\over 5} \) staan beide gelijk aan 1, reken maar na. Maar ik heb een "slimme" gekozen.
Nu kan ik de vermenigvuldig uitrekenen zoals dit normaal ook gaat.
\({3\over 5}*{7\over 7}={21\over 35}\) en \({6\over 7} *{5\over 5} ={30\over 35} \) en dat betekent dat ik kan nu de breuken bij elkaar kan optellen.
\({21\over 35} + {30\over 35} = {51\over 35}\) en zoals jullie weten willen we altijd breuken zover mogelijk vereenvoudigen. en het uiteindelijke antwoord wordt dus \(1{16\over 35}\)

Dit zelfde kunnen we toepassen bij breuken met letters. Let op! de moeilijkheid daarbij is dat je de regels van letterrekenen aan moet houden. Maar houdt ook altijd in je achterhoofd dat letters eigenlijk hetzelfde zijn als cijfers, we weten alleen nog niet welke.

Probeer dit eens:

Zoals je in de vraag hierboven hebt gezien kun je met letters dus precies dezelfde regel gebruiken. Alleen moet je zelf bedenken dat \({2n\over 2n}\) ook gelijk is aan 1.

Het is dus niet erg als er nog een optelling of aftelling in je teller staat, dit is met letters helaas vaak niet te voorkomen omdat je alleen letters weg mag delen wanneer ze in alle termen in de teller en noemer voorkomen.

Ging de vorige opgave goed en snap je het, kijk deze uitleg dan vluchtig door en ga verder. Zo niet kijk dan goed naar deze uitleg:

\({3a\over5b}+{4\over x} \)De noemers zijn niet gelijk dus ik moet ze gelijk maken. Dit doe ik door de vorige uitleg toe te passen, namelijk beide breuken te vermenigvuldigen met een slimme 1 zodat ze gelijk zijn. Let op soms hoef je maar 1 breuk te vermenigvuldigen om de noemers gelijk te maken, dit scheelt een hoop stappen!
In dit geval moet 5b worde 5bx en x moet worden 5bx. Ik moet dus 5b met x vermenigvuldigen en x met 5b. Mijn slimme eenen zullen dus zijn: \({x\over x} \)en \({5b\over5b}\)dit wordt dus
\({3a\over 5b} * {x\over x}={3ax\over 5bx}\)en \({4\over x} * {5b\over 5b}={20b\over 5bx}\)
Mijn som is nu dus \({3ax\over 5bx} +{20b\over 5bx}\)de noemers zijn gelijk dus nu is het een kwestie van de teller bij elkaar optellen en vereenvoudigen als dit mogelijk is. \({3a\over5b}+{4\over x} ={3ax+20b\over 5bx}\)Let op dat je altijd de tussenstappen opschrijft, die zijn nog belangrijker dan het antwoord!

Wanneer je deelt of een breuk opschrijft kun je deze vaak vereenvoudigen. Dit doe je door zowel boven de deelstreep als onder de deelstreep hetzelfde getal weg te delen.

Let er dus op dat je zowel onder als boven de deelstreep het getal weg moet kunnen delen anders mag je dit niet doen.

Als we kijken naar het volgende:

\({15 \over 5}\) hier kan ik zowel boven als onder de deelstreep delen door 5. ik krijg dan: \({5 \over 1}\) oftwerwijl 5.

Dit werkt bij letters hetzelfde.

\({5ab \over 3bx}\) zowel boven de deelstreep als onder de deelstreep kan ik b wegdelen (let op je deelt dus echt door b in beide gevallen)
Ik krijg dus \({5a \over 3x}\)

Het word wat ingewikkelder wanneer je boven of onder de deelstreep en optellen of aftelling hebt.
\({5dp+6cd \over 9dp}\) Nu zul je misschien denken ik kan de 6cd en de 9dp delen door 3, en ik kan de 5dp en 9dp delen door p. Maar je hebt hier met 3 verschillende termen te maken. Je mag alleen in een deling cijfers of letters wegdelen wanneer ze in alle termen voorkomen.
In dit geval is dat dus alleen de d die in alle termen voorkomt. Zo geldt dus:
\({5dp+6cd \over 9dp} = {5p+6c \over 9p}\) verder dan dit kan en mag ik het niet vereenvoudigen.

Oefen hier nog mee op https://math4all.algebrakit.nl/math4all/overview > letterrekenen > algebra delen

Colofon
Het arrangement Letterrekenen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

Denise Norton

Laatst gewijzigd

2022-01-10 14:04:50

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Studiebelasting

4 uur 0 minuten

Letterrekenen

nl

Denise Norton

Denise Norton

2022-01-10 14:04:50

leerling/student

PT4H
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van