Op deze website vind je alle informatie voor het vak wiskunde voor de klas 2 mavo (gemengd)theoretische leerweg)voor leerlingen van 't R@velijn.
Deze onlinemethode is gebaseerd op de stercolletie* van VO content, maar aangepast en verrijkt door de docenten van 't Ravelijn. Voor vragen of opmerkingen kunt u contact opnemen met Dhr. Vriends of Dhr. van der Giessen
* De stercollectie is ontwikkeld op basis van de kerndoelen basisvorming en de door de SLO ontwikkelde inhoud- enleerdoelspecificaties voor het vak wiskunde.
‘t Ravelijn is een middelbare school in Steenbergen voor mavo en voorbereidend MBO
Een nieuw jaar, een nieuwe start en weer heel wat wiskundige onderwerpen om te ontdekken. Want, na één jaar wiskunde heb je pas het topje van de ijsberg ontdekt, er is nog veel meer wiskunde in de wereld om je heen. Zoals je inmiddels wel weet is wiskunde helaas niet altijd meteen zichtbaar. Door de wiskundelessen leer jij langzaam steeds meer wiskunde in de wereld om je heen te ontdekken.
introductie - opgave 1
introductie - opgave 2
bekijk het filmpje
introductie - opgave 3
introductie - opgave 4
In de leertaak komen de antwoorden en uitwerkingen.
Elke ochtend kijk je vast even in de spiegel. Je bent dan met symmetrie bezig zonder dat je het door hebt. Of knipt jou vader of moeder de heg in de tuin ook altijd zo netjes? Ook dan ben je met symmetrie bezig.
In de kunst of in de mode wereld kom je ook heel veel symmetrie tegen, maar ook iemand die de glazen van je bril maakt werkt veel met symmetrie. Symmetrie kom je dus heel veel tegen. Had je dat zelf ook al ontdekt?
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Ik kan in een figuur lijnsymmetrie herkennen.
Ik kan t de symmetrieas aanwijzenen tekenen in een figuur.
Ik kan een figuur spiegelen in een lijn.
Ik herken een draaisymmetrische figuur.
Ik kan de kleinste draaihoek van een draaisymmetrische figuur berekenen.
Ik weet dat overstaande hoeken even groot zijn.
Ik kan hoeken berekenen met overstaande hoeken.
Ik kan een puntsymmetrische figuur tekenen.
Ik kan uitleggen wat schuifsymmetrie is.
Ik kan een patroon en een motief herkennen.
Ik kan een patroon doortekenen.
Ik kan de eigenschappen van een gelijkbenige driehoek benoemen.
Ik kan de tophoek en basishoeken van een gelijkbenige driehoek aanwijzen.
Ik kan symmetrieassen tekenen in gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.
Ik kan de eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek benoemen.
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
1.1 Voorkennis
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Hoeken in je zichtsveld
H1.1 Opdracht 1
H1.1 Opdracht 2
H1.1 Opdracht 3
H1.1 Opdracht 4
Kennisbank
Hoeken meten
H1.1 Opdracht 5
H1.1 Opdracht 6
H1.1 Opdracht 7
H1.1 Opdracht 8
Kennisbank
Hoeken tekenen
H1.1 Opdracht 9
H1.1 Opdracht 10
H1.1 Opdracht 11
H1.1 Opdracht 12
Kennisbank
Hoeken berekenen in een driehoek
H1.1 Opdracht 13
H1.1 Opdracht 14
H1.1 Opdracht 15
H1.1 Opdracht 16
1.2 Lijnsymmetrie
Inleiding.
De tweede paragraaf van hoofdstuk 1 gaat over (lijn)symmetrie. We behandelen de volgende leerdoelen.
Leerdoelen bij paragraaf 1.
Je kunt lijnsymmetrie herkennen.
Je kunt de symmetrieas aanwijzen.
Je kunt een figuur spiegelen in een lijn.
Kennisbank
Wat is symmetrie?
Een symmetrische figuur bestaat uit twee helften die precies op elkaar passen. Kijk maar naar de vlinder hieronder.
Je kunt ook zeggen dat je de twee helften op elkaar kunt vouwen.
De lijn waarom je vouwt heet de spiegelas of symmetrieas. We noemen dit ook wel spiegelsymmetrie of lijnsymmetrie.
Je krijgt hetzelfde effect als je de ene helft tegen de spiegel houdt; in de spiegel krijg je dan de andere helft te zien.
Soms kun je een figuur op verschillende manieren dubbelvouwen, kijk maar eens naar de afbeelding hieronder.
Symmetrie wil dus zeggen aan beide kanten gelijk.
H2.1 opdracht 1
Teken in iedere figuur de spiegelassen; De lijn waarlangs je de figuur kunt dubbelvouwen.Op je werkblad staat de volgende afbeelding.
Let op! Het kan zo zijn dat de figuur geen spiegelassen heeft.
H2.1 opdracht 2
Op je werkblad staat de volgende afbeelding.
Welke figuren hebben precies twee symmetrieassen? Noteer de nummers van de figuren in je schrift. Teken met rood kleurpotlood beide symmetrieassen in de figuren. .
Welke figuur heeft geen symmetrieassen? .
Welke figuur heeft precies één symmetrieas? Teken met groen kleurpotlood de symmetrieas. .
Welke figuur heeft 5 symmetrieassen? Teken met blauw kleurpotlood de symmetrieassen.
H2.1 opdracht 3
Bekijk de afbeelding hiernaast. Geef daarna van iedere figuur het aantal symmetieassen aan (spiegellijnen)
Maak een schema in je schrift:
Figuur
Aantal symmetrieassen
A
B
C
D
* heeft een figuur geen symetrieassen schrijf dan nul op (0)
H2.1 opdracht 4
Schrijf in je schrift de definitie (betekenis) op van het begrip symmetrie.
Vindt je lijnsymmetrie nog lastig? oefen dan verder door op de knop applet te klikken.
H2.1 opdracht 5
Bekijk de afbeelding hieronder. Je ziet een trapezium, een kruis en een plus.
Geef van iedere figuur het aantal symmetrieassen aan.
H2.1 opdracht 6
H2.1 opdracht 7
Veel logo’s zijn lijnsymmetrisch.
Het logo hiernaast is opgebouwd uit rechthoekjes en vierkantjes.
Is het logo lijnsymmetrisch?
Zo ja, teken alle symmetrieassen.
H2.1 opdracht 8
Je ziet de 26 hoofdletters uit het alfabet.
Welke hoofdletters zijn lijnsymmetrisch?
Welke hoofdletters hebben twee of meer symmetrieassen?
Teken op je werkblad de symmetrieassen in de letters.
Kennisbank
Spiegelen door een lijn.
Figuren kun je spiegelen in een lijn. Het figuur dat gespiegeld wordt noem je het origineel. Het figuur dat je erbij tekent wordt het spiegelbeeld of het beeld genoemd.
Het spiegelbeeld van het punt Z schrijf je als Z '.
Spiegelen doe je als volgt: het lijnstuk tussen Z en Z ' staat loodrecht op de spiegelas en het origineel en het beeld liggen even ver van de spiegelas af.
In het filmpje hieronder wordt goed voorgedaan hoe je een figuur kunt spiegelen door een lijn.
Een figuur spiegelen door een lijn is een vaardigheid. Iets dat je moet kunnen voordoen. Je kunt het helaas niet helemaal uit je hoofd leren, je moet het vooral doen, oefenen, foutjes maken en verbeteren.
Wat wel handig is, schrijf voor jezelf een stappenplan op zodat je stapje voor stapje te werk gaat.
H2.1 opdracht 9
Spiegel de volgende figuren in de rode symmetrieas
:
H2.1 opdracht 10
Op je werkblad zie je de afbeelding zoals die hiernaast staat.
Spiegel driehoek ABC door de rode lijn s.
Zet ook letter bij je spiegelbeeld.
H2.1 opdracht 11
Hiernaast zie je driehoek PQR. De driehoek wordt gespiegeld in lijn m.
Teken op het werkblad het beeld P’Q’R’. Gebruik je potlood en geodriehoek.
H2.1 opdracht 12
Hiernaast zie je vierhoek PQRS. Vierhoek PQRS wordt gespiegeld in de spiegelas. Maak op je werkblad het spiegelbeeld van de vierhoek. Noem het spiegelbeeld P'Q'R'S'.
H2.1 opdracht 13
Bekijk de afbeelding hieronder.
Het voorbeeld wordt gespiegeld door de rode lijn. Welk van de figuren is het spiegelbeeld?
Noteer de letter van het juiste antwoord in je schrift.
H2.1 opdracht 14
H2.1 opdracht 15
Teken zelf een driehoek of vierhoek in je schrift.
Teken er een spiegelas naast.
Spiegel je figuur door de spiegel as.
Zet er ook letter bij.
1.3 Draai- en puntsymmetrie
Leerdoelen bij H1.3
Ik herken een draaisymmetrische figuur.
Ik kan de kleinste draaihoek van een draaisymmetrische figuur berekenen.
Ik weet dat overstaande hoeken even groot zijn.
Ik kan hoeken berekenen met overstaande hoeken.
Ik kan een puntsymmetrische figuur tekenen.
Kennisbank
Draaisymmetrie
Als je een figuur zo kunt draaien dat deze bij draaiïng meer dan één keer op zichzelf past, dan spreek je over een draaisymmetrische figuur.
De vierhoek hiernaast past bij draaiing vier keer op zichzelf.
De kleinste draaihoek is dan: 360o : 4 = 90o
We spreken altijd over de kleinste draaihoek.
Je kunt de figuur natuurlijk ook na 180o en na 270o op zichzelf draaien.
De figuur die je hiernaast ziet heeft als kleinste draaihoek 120o
Kijk maar.
Bij draaiing past de figuur 3 keer op zichzelf. De kleinste draaihoek is dan: 360o : 3 = 180o
H1.3 opdracht 1
Hieronder zie je een aantal verkeersborden.
Noteer de letters van de verkeersborden die draaisymmetrisch zijn in je schrift.
H1.3 opdracht 2
Hiernaast zie je een aantal draaisymmetrische figuren.
Bereken van iedere figuur de kleinste draaihoek. Schrijf de berekeningen met daarachter het antwoord in je schrift.
H1.3 opdracht 3
Hiernaast zien we vier logo's van vier verschillende auto merken. De logo's zijn draaisymmetrisch. Bereken van ieder logo de kleinste draaihoek. Schrijf de berekeningen netjes in je schrift.
H1.3 opdracht 4
Op het werkblad zie je het begin van twee draaisymmetrische figuren. Onder de figuur staat de kleinste draaihoek vermeld in graden. Teken de figuren af op je werkblad.
H1.3 opdracht 5
Op het werkblad zie je het begin van twee draaisymmetrische figuren. Onder de figuren staat de kleinste draaihoek vermeld in graden. Teken de figuren af op je werkblad.
Kennisbank
Draaisymmetrie en hoeken.
Als twee rechte lijnen elkaar snijden ontstaan overstaande hoeken.
Overstaande hoeken zijn even groot, want wanneer je de figuur draait over 180o, je legt de figuur precies op zijn kop, dan passen de hoekje op elkaar.
Voorbeeld
Leg je de figuur op zijn kop, dan zie je dat \(\angle\)A2 = \(\angle\)A4 = 120°
en dat \(\angle\) A1 = \(\angle\) A3
Gelijke hoeken
Overstaande hoeken zijn dus gelijk.
We bedoelen hiermee dat beide hoeken even veel graden zijn
Berekeningen maken met behulp van gestrekte hoeken en overstaande hoeken.
H1.3 opdracht 6
Bekijk de figuur hiernaast.
Welke paren overstaande hoeken zie jij?
Noteer het zo in je schrift: \(\angle \)R1 = \(\angle\)...
\(\angle \)R2 = \(\angle\)...
H1.3 opdracht 7
Bekijk de figuur hiernaast.
Welke paren overstaande hoeken zie jij?
Noteer het in je schrift.
H1.3 opdracht 8
Bekijk de afbeelding hiernaast. Je ziet hier de hoeken N, P en Q. Alle hoeken zijn onderverdeelt in vier stukken.
Geef antwoord op de vragen hieronder, noteer de antwoorden in je schrift.
Noteer de overstaande hoek van \(\angle\)P2
\(\angle\)N4 is de overstaande hoek van ....
Noteer de paren overstaande hoeken die je ziet bij \(\angle\)Q
H1.3 opdracht 9
Hiernaast zie je hoek G. Hoek G is verdeeld in 5 stukken.
Wat is de overstaande hoek van \(\angle\)G5 ?
Wat is de overstaande hoek van \(\angle\)G12
Heeft \(\angle\) G1 ook een overstaande hoek?
Noteer de overstaande hoek van \(\angle\)G4
H1.3 opdracht 10
Bekijk de figuur hiernaast.
We zien \(\angle\)A. Deze hoek wordt in 5 stukken gedeeld.
Wat voor bijzondere hoek is \(\angle\)A3 ?
\(\angle\)A1 en \(\angle\)A5 samen vormen een gestrekte hoek.
- Welke hoeken vormen samen ook een gestrekte
hoek?
\(\angle\)A2 is 30o. Welke hoek is dan ook 30o groot?
Bereken \(\angle\)A4. Maak gebruik van de gestrekte hoek waar \(\angle\)A4 onderdeel van is
H1.3 opdracht 11
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Je ziet dat \(\angle\)S in 5 stukken is gedeeld.
llWat zouden die blauwe kruisjes in \(\angle\)S1 en \(\angle\)S5 betekenen?
Wat is de overstaande hoek van \(\angle\)S4 ?
Bereken hoeveel graden \(\angle\)S5 groot is. Schrijf je berekening op.
H1.3 opdracht 12
Bekijk de figuur hiernaast.
Wat voor soort hoek vormen \(\angle \)T2 en \(\angle \)T3 samen?
Hoeveel graden is \(\angle \)T3?
Wat is de overstaande hoek van \(\angle \)T4 ?
Hoeveel graden is \(\angle \)T4 ?
Bereken nu ook \(\angle \)T1
H1.3 opdracht 13
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bereken \(\angle\)B1
Bereken \(\angle\)B3
Bereken \(\angle\)B5
Kennisbank
Puntsymmetrie
Als een figuur draaisymmetrisch is over een hoek van 180° dan is de figuur ook puntsymmetrisch. De rechter figuren hierboven zijn dus puntsymmetrisch, want na een draai van 180° is de figuur weer hetzelfde. Voor de linkerfiguren is dat niet zo, die zijn dus niet puntsymmetrisch.
H1.3 opdracht 14
Bekijk de acht afbeeldingen hiernaast.
Noteer de nummers van de figuren die puntsymmetrisch zijn in je schrift.
H1.3 opdracht 15
Teken een assenstelsel met een x-as van -5 t/m 5 en een y-as van -5 t/m 5
Teken de punten A(2 , 0), B(4 , 0), C(2 , 5) en D(0 , 4)
Verbind punt A met B, punt B met C, punt C met D en punt D met A. Zo ontstaat vlieger ABCD.
We willen dat de vlieger een puntsymmetrische figuur maakt, dus als je de figuur op zijn kop legt, je de vorm nog een keer ziet. Probeer dit eens te tekenen.
Verbind de overstaande hoekpunten met elkaar. Als je heel precies werkt, dan gaan alle verbindingslijnen door één punt in het midden van je figuur. We noemen dat het symmetrisch centrum van je figuur
In een assenstelsel staan de punten A(3 , −2), B(5 , 0) en C(1 , 4). Je gaat nu ΔABC spiegelen. Het beeld van ΔABC noem je ΔA'B'C'.
Spiegel ΔABC in de oorsprong O van het assenstelsel.
H1.3 opdracht 22
In een assenstelsel staan de punten A(3 , −2), B(5 , 0) en C(1 , 3). Je gaat nu ΔABC spiegelen in punt P(3 , 1).
Teken ΔABC en de beeldfiguur ΔA′B′C′.
H1.3 opdracht 23
Gegeven zijn de roosterpunten A(−2 , 2), B(4 , 4), C(−3 , 5), A′(2 , 0) en B′(0 , 6). Verder is ΔA′B′C′ het spiegelbeeld van ΔABC bij spiegelen in punt P.
Teken beide driehoeken en punt P.
1.4 Schuifsymmetrie
Inleiding
Leerdoelen:
Kennisbank
Schuifsymmetrie.
Als een figuur bestaat uit een herhaling van steeds dezelfde stukjes, dan is er sprake van schuifsymmetrie.
De figuur heeft dan een patroon dat is opgebouwd uit een aantal herhalingen van een motief.
In de figuur hieronder zie je een voorbeeld van een patroon en een bijbehorend motief:
Met andere woorden:
Het motief is een zo klein mogelijk stukje waarmee je het hele patroon kunt maken. (het stukje dat telkens herhaald wordt)
H1.4 opdracht 1
Vul op je werkblad de hele figuur met het gegeven motief.
H1.4 opdracht 2
Bekijk op het werkblad de figuur die je hiernaast ziet.
Kleur in het patroon op je werkblad één motief. .
Hoe vaak past dit motief in zijn geheel in het patroon?
H1.4 opdracht 3
Kleur in het patroon op je werkblad één motief.
Hoe vaak past dit motief in zijn geheel in het patroon?
H1.4 opdracht 4
Kleur op je werkblad in beide stukken metselwerk één heel motief.
H1.4 opdracht 5
In de figuur zie je een deel van een (schuifsymmetrisch) patroon. De figuur staat ook op je werkblad.
Zet met rood kleurpotlood een rechthoek om het motief van dit patroon.
Maak het patroon groter, zodat het motief er drie keer in voorkomt.
H1.4 opdracht 6
Je ziet hier een plaatje van een kralenketting. De ketting is ook afgedrukt op je werkblad.
Teken het motief van deze ketting.
H1.4 opdracht 7
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Wat is het motief in de ketting die hiernaast is afgebeeld?
Zet met een groen kleurpotlood er een hok omheen
H1.4 opdracht 8
Je ziet hier een deel van een kralenketting.
Kleur de overgebleven witte kralen in met de juiste kleuren op je werkblad. Werk netjes en gebruik kleurpotloden
Kennisbank
F- en Z- hoeken
Bij evenwijdige lijnen kun je soms ook schuifsymmetrie gebruiken.
In de tekening hieronder zijn l en m evenwijdige lijnen en lijn n snijdt deze twee lijnen.
Als je de hoeken bij punt A verschuift langs lijn n, dan passen ze precies op de hoeken bij punt B.
De hoeken passen precies op elkaar. Dat betekend dat deze hoeken dus even groot zijn: / A1 = / B1 en / A2 = / B2 enzovoort.
Je weet al dat, bij snijdende lijnen, de overstaande hoeken gelijk zijn,
dus is / A1 = / A3 en / A2 = / A4 en ook / B1 = / B3 en / B2 = / B4
In de figuur zijn dus maar twee verschillende hoeken.
Je ziet dit ook aan de twee tekentjes in de hoeken, en .
Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan kun je in de figuur altijd F-hoeken en/of Z-hoeken ontdekken.
Bekijk voor de uitleg hiervan:
Evenwijdige lijnen: F- en Z- hoeken.
F- en Z- hoeken herkennen in figuren
H1.4 opdracht 9
Geef in de tekening op je werkblad met 4 verschillende kleuren de F-hoeken aan.
In de tekening is / S1 = 40o. .
Geef met een duidelijke uitleg/berekening aan hoe groot alle andere hoeken in de tekening zijn.
H1.4 opdracht 10
Zet sterretjes in alle hoeken die even groot zijn als de hoek met het sterretje *.
Zet ook in alle andere hoeken die even groot zijn gelijke tekentjes.
Hoeveel verschillende hoeken zijn er in de figuur?
H1.4 opdracht 11
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Wat voor soort symmetrie hoort er bij de afbeelding?
∠B3 is onderdeel van een F-hoek. Welke hoek hoort er bij ∠B3
∠A1 = 120o. Welke hoeken zijn dan ook allemaal 120o?
Noteer de hoeken in je schrift.
1.5 Bijzondere driehoeken
Inleiding.
We hebben al heel wat kennis opgedaan over vlakke figuren. Zo hebben we de eigenschappen van een vierkant of een ruit al eens geleerd. Ook hebben we iets over symmetrie en over rechte hoeken geleerd. Een onderwerp waar we nog niet zo veel mee gewerkt hebben zijn driehoeken. We weten hoe we de oppervlakte berekenen van een driehoek (Opp Δ = zijde x bijb. hoogte : 2) Maar we hebben nog niet gekeken naar kenmerken van verschillende driehoeken. In deze paragraaf leer je daar meer over.
Leerdoelen
Ik kan de eigenschappen van een gelijkbenige driehoek benoemen.
Ik kan de tophoek en basishoeken van een gelijkbenige driehoek aanwijzen.
Ik kan symmetrieassen tekenen in gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.
Ik kan de eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek benoemen.
Kennisbank
Soorten driehoeken
Er zijn allerlei driehoeken. De grootste groep zijn de onregelmatige driehoeken. Zij hebben geen bijzondere eigenschappen zoals een rechte hoek of gelijke zijden. Deze onregelmatige driehoeken zijn wel onder te verdelen in scherphoekige driehoeken en in stomphoekige driehoeken.
Vandaag behandelen we drie soorten bijzondere driehoeken. De eigenschappen van deze driehoeken moet je uit het hoofdleren en aan de hand van de eigenschappen leer je de driehoeken herkennen.
Rechthoekige driehoek
Een driehoek met een rechte hoek.
Heel eenvoudig dus, heeft je driehoek een rechte hoek (zie tekentje) dan hoort deze tot de rechthoekige driehoeken.
Gelijkbenige driehoek
Een driehoek met twee gelijke zijden. Deze driehoek heeft één symmetrieas.
De hoek waar de symmetrieas doorheen gaat is de tophoek.
De andere twee hoeken, basishoeken. De basishoeken kun je langs de symmetrieas op elkaar vouwen.
De twee basishoeken hebben dezelfde grootte. We zetten er dan dus ook dezelfde tekentjes in.
Gelijkzijdige driehoek
Een driehoek met drie gelijke zijden. Alle zijden van deze driehoek zijn even lang.
Je kunt deze driehoek op drie verschillende manieren dubbelvouwen. Deze driehoek heeft dan ook drie symmetrieassen.
De hoeken van deze driehoek zijn altijd alle drie 60°.
H1.5 opdracht 1
Bekijk de driehoeken op je werkblad. Gebruik je geodriehoek om eventueel de zijden op te meten.
Zet onder de gelijkbenige driehoeken de letter A.
Zet over gelijkzijdige driehoeken de letter B.
Zet onder rechthoekige driehoeken de letter C.
H1.5 opdracht 2
Teken in je schrift een gelijkbenige driehoek. Noem de driehoek ABC.
Zet tekentjes in de benen die even lang zijn.
Teken met een rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
Zet twee X in de basishoeken.
Meet de tophoek van je driehoek op en noteer het aantal graden in je schrift.
H1.5 opdracht 3
Neem de tabel hieronder over in je schrift en vul aan.
Schets in het onderste vak een plaatje van de gevraagde driehoek. Laat hierin duidelijk de eigenschappen zien.
Rechthoekige driehoek
Gelijkbenige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
één rechte hoek
één symmetrie as
drie even lange zijden
Tophoek
drie ....
twee .....
alle hoeken ....
....
Schets
Schets
Schets
H1.5 opdracht 4
Teken in je schrift een gelijkzijdige driehoek. Noem de driehoek KLM.
Zet tekentjes in de zijden die even lang zijn.
Teken met een groen kleurpotlood de symmetrieasse in je driehoek.
Zet twee O in hoeken die even groot zijn.
Kennisbank
Samenvatting van de eigenschappen van bijzondere driehoeken.
H1.5 opdracht 5
Bekijk de driehoek op het plaatje. Deze staat ook op je werkblad. Gebruik je geodriehoek om de zijden eventueel op te meten.
Hoe noemen we deze driehoek?
Teken de symmetrieassen in de driehoek.
Noteer in je schrift de eigenschappen die bij deze driehoek horen.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
H1.5 opdracht 6
Teken in een passend assenstelsel de punten: A(1 , 1), B(5 , 1) en C(3 , 4).
Maak van de punten A, B en C driehoek ABC.
Meet de zijden van je driehoek, zijn zijden even lang, zet daar dan tekentjes in.
Hoe noemen we ΔABC?
Zet twee kruisjes in de basishoeken.
Zet met een pijltje bij de tophoek het woordje tophoek.
H1.5 opdracht 7
Wat voor soort driehoek zie je op het plaatje.
Bereken de oppervlakte van deze driehoek. Gebruik daarvoor de formule: Opp Δ = zijde x bijb. hoogte : 2
Neem de formule over in je schrift en vul daaronder de juiste eenheden in.
H1.5 opdracht 8
Teken in een passend assenstelsel de punten P( -2, -2), R( 3 , 0)
Punt P en punt Q zijn onderdeel van een gelijkzijdige driehoek. Teken deze gelijkzijdigedriehoek. Noem het ontbrekende punt R.
Is punt R een roosterpunt?
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken met roodkleurpotlood de drie symmetrieassen in je figuur
Kennisbank
Samenvatting symmetrie en driehoeken.
H1.5 opdracht 9
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Zet het woordje tophoek bij de tophoek.
H1.5 opdracht 10
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Zet met blauw kleurpotlood een dikke stip in de tophoek.
H1.5 opdracht 11
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
H1.5 opdracht 12
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
1.6 Gemengde opgaven
H1.6 opdracht 1
Bekijk de afbeelding hieronder.
Neem onderstaand schema over in je schrift en vul het verder in:
bord
lijnsymmetrisch
draaisymmetrisch en draaihoek
puntsymmetrisch
1
Ja
ja: 360o : 4 = 90o
Ja
2
Ja
Nee
Nee
3
...
...
4
...
...
5
...
...
6
...
...
H1.6 opdracht 2
Bekijk de afbeelding. Deze staat ook op je werkblad.
Teken met rood kleurpotlood in ieder logo de symmetrieassen.
H1.6 opdracht 3
Bekijk de afbeelding hieronder.
Welk van de gespiegelde figuren is fout getekend? Noteer de letter in je schrift.
H1.6 opdracht 4
Teken de punten A(6, 6), B(2, 3), C(1, 5) en D(4, 6).
Teken de lijn s door O en A en teken Δ BCD.
Spiegel ΔBCD in lijn s. Wat zijn de coördinaten van de hoekpunten van de gespiegelde driehoek?
H1.6 opdracht 5
Schuifsymmetrie
H1.6 opdracht 6
Teken in je schrift een gelijkzijdige driehoek. Noem de driehoek PQR.
Zet tekentjes in de benen die even lang zijn.
Teken met een rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
H1.6 opdracht 7
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
H1.6 opdracht 8
Bekijk de figuur hiernaast.
We zien ∠A. Deze hoek wordt in 5 stukken gedeeld.
Wat voor bijzondere hoek is ∠A3 ?
∠A1 en ∠A5 samen vormen een gestrekte hoek.
- Welke hoeken vormen samen ook een gestrekte
hoek?
∠A2 is 30o. Welke hoek is dan ook 30o groot?
Bereken ∠A4. Maak gebruik van de gestrekte hoek waar ∠A4 onderdeel van is
H1.6 opdracht 9
Teken in een passend assenstelsel de punten P( -2, -2), R( 3 , 0)
Punt P en punt Q zijn onderdeel van een gelijkzijdige driehoek. Teken deze gelijkzijdigedriehoek. Noem het ontbrekende punt R.
Is punt R een roosterpunt?
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken met roodkleurpotlood de drie symmetrieassen in je figuur
H1.6 opdracht 10
Schuifsymmetrie.
H1.6 opdracht 11
Teken in je schrift een gelijkbenige driehoek. Noem de driehoek ABC.
Zet tekentjes in de benen die even lang zijn.
Teken met een rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
Zet twee X in de basishoeken.
Meet de tophoek van je driehoek op en noteer het aantal graden in je schrift.
H1.6 opdracht 12
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Wat voor soort hoek is ∠B2 ?
Bereken ∠B1
Bereken ∠B3
Bereken ∠B5
D-toets
Herhaling
§1 (Lijn)symmetrie
§1 Spiegelen door een lijn
Herhaling opdracht 1
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staat ook op je werkblad.
Spiegel de figuren steeds in de spiegelas s:
Herhaling opdracht 2
De driehoek die je hiernaast getekend ziet staat ook op je werkblad.
Spiegel driehoek ABC in lijn l. Noem de beeldfiguur A’B’C’.
Herhaling opdracht 3
Spiegel rechthoek ABCD in lijn m. Noem de beeldfiguur A’B’C’D’.
Herhaling opdracht 4
Teken in een assenstelsel de punten A(-6, 0), B(-3, -4), C(2, -4) en D(5,0).
Teken vierhoek ABCD
Wat voor soort vierhoek is ABCD?
Teken in vierhoek ABCD met rood de symmetrieas.
Spiegel vierhoek ABCD in de x-as
§2 draaisymmetrie en puntsymmetrie.
§2 Overstaande hoeken
Herhaling opdracht 5
Bekijk de verkeersborden hiernaast. Deze staan ook op je werkblad.
Teken met rood kleurpotlood de symmetrieassen in de verkeersborden die lijnsymmetrisch zijn.
Bereken van verkeersbord 6 en 11 de kleinste draaihoek.
Schrijf de berekening op in je schrift.
Herhaling opdracht 6
Draaisymmetrie
Herhaling opdracht 7
Overstaande hoeken
Herhaling opdracht 8
Overstaande hoeken
Bijzondere driehoeken.
Herhaling opdracht 9
Teken in een assenstelsel de punten A(-3, -2), B(3, -2) en C(0, 4).
Teken ∆ABC.
Wat voor soort driehoek is ∆ABC?
Geef met tekentjes aan welke onderdelen van de driehoek gelijk zijn.
Spiegel de driehoek in de x-as. Noem de beeldfiguur A’B’C’.
Herhaling opdracht 10
Bekijk de driehoek op je werkblad. Gebruik je geodriehoek gebruiken om bijvoorbeeld de zijden op te meten.
Teken de symmetrieas(sen) in de driehoek.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Herhaling opdracht 11
Teken in je schrift een gelijkzijdige driehoek. Noem de driehoek KLM.
Zet tekentjes in de zijden die even lang zijn.
Teken met een groen kleurpotlood de symmetrieasse in je driehoek.
Zet twee O in hoeken die even groot zijn.
Extra
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Middelloodlijn
Een middelloodlijn is een bijzondere lijn. Met een middelloodlijn kun je het midden tussen twee punten aangeven.
In de video hiernaast wordt voorgedaan hoe je een middelloodlijn kunt tekenen met behulp van je geodriehoek.
De vraag bij de video zou kunnen zijn:
Geef alle punten die even ver van punt A liggen als van punt B.
Binnen de cirkel, op de cirkelrand, of buiten de cirkel
Hieronder vind je twee filmpje over het werken met cirkels. Kijk beide filmpjes eerst goed door voordat je aan de vragen begint
Cirkels binnen en buiten gebied
Voorbeeld werken met cirkels
Extra stof opdracht 1
Extra stof opdracht 2
Extra stof opdracht 3
Extra stof opdracht 4
Extra stof opdracht 5
Extra stof opdracht 6
Extra stof opdracht 7
Kennisbank
Lijnen in driehoeken
Bissectrice
Een bissectrice is een deellijn van een hoek. Anders gezegd: Een bissectrice deelt een hoek in twee gelijke stukken.
Met een bissectrice kun je dus het midden van een hoek aangeven.
Alle punten op die lijn liggen even ver van het ene als van het andere been van de hoek.
Kijk maar eens naar het filmpje hiernaast.
Zwaartelijn
Een zwaartelijn teken je vanuit een hoek door het midden van de overstaande zijde.
Je zoekt eerst het midden van de zijde op, zet daar een stipje. Teken daarna vanuit het midden een lijn naar het hoekpunt dat tegen over die zijde ligt.
In het filmpje wordt het voorgedaan.
Hoogtelijn
Een hoogtelijn teken je vanuit een hoekpunt loodrecht op de zijde die daar tegenover staat.
anders gezegd:
Een hoogtelijn staat loodrecht op de zijde en gaat door het overliggende hoekpunt.
Het filmpje hiernaast maakt het nog beter duidelijk.
Extra stof opdracht 8
Extra stof opdracht 9
Extra stof opdracht 10
Extra stof opdracht 11
Extra stof opdracht 12
Extra stof opdracht 13
Extra stof opdracht 14
Kennisbank
De ingeschreven cirkel tekenen:
De naam zegt het al. Een ingeschreven cirkel zit ergens in. Om precies te zijn in een driehoek.
Om de ingeschreven cirkel te kunnen tekenen moet je eerst de bissectrices van die driehoek tekenen.
Daarna kun je met je passer de ingeschreven cirkel tekenen.
De omgeschreven cirkel tekenen:
Teken eerst alle middelloodlijnen in je figuur. Zo kun je het middelpunt vinden.
Zodra je het middelpunt hebt gevonden ga je met je passer een cirkel tekenen die precies om je figuur heen past.
Bekijk het filmpje hiernaast maar.
Extra stof opdracht 15
Extra stof opdracht 16
Extra stof opdracht 17
Extra stof opdracht 18
Extra stof opdracht 19
Kennisbank
Construeren met je passer
Een middelloodlijn construeren
Een bissectrice construeren
Extra stof opdracht 20
Extra stof opdracht 21
Extra stof opdracht 22
Extra stof opdracht 23
Extra stof opdracht 24
Coöperatieve opdrachten
H2 Figuren
Inleiding.
Het tweede onderwerp van leerjaar 2 is de wereld van de figuren. We gaan het hebben over vlakke figuren (2d) en over ruimtefiguren (3d). De kennis die je vorig jaar al hebt opgedaan komt meteen mooi van pas. Je weet namelijk al het één en ander over vierhoeken en driehoeken. Ook komen de termen loodrecht en evenwijdig weer terug. Kun jij nog uitleggen wat loodrecht ook al weer was? En hoe teken je twee evenwijdige lijnen? Allemaal kennis en vaardigheden die je snel weer beheerst.
Leerdoelen:
Leer je de eigenschappen van de vlakke figuren opnieuw herkennen.
Leer je wat ruimtefiguren zijn en welke eigenschappen deze hebben.
Leer je ruimtefiguren tekenen.
Leer je de oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren berekenen.
Maak je kennis met \(\pi\).
Leer je wat de uitslag van een ruimtefiguur is.
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H2.1 Voorkennis
Inleiding.
Het afgelopen schooljaar heb je al veel onderwerpen van wiskunde behandeld. Je komt dus niet helemaal nieuw binnen. Je bent geen onbeschreven blad, maar beschikt al over wiskundige kennis en vaardigheden.
Wiskunde is een vak dat een combinatie maakt tussen kennis (denk aan begrippen en formules uit je hoofd leren) en vaardigheden (iets kunnen voor doen, het tekenen van evenwijdige lijnen bijvoorbeeld). Dit betekent dus dat je niet alleen moet lezen en leren, maar vooral veel moet doen en oefenen.
In deze paragraaf frissen we je kennis en vaardigheden over vierhoeken en driehoeken op. Voordat we weer aan de slag gaan met deze vlakke figuren herhalen we eerst nog even loodrecht en evenwijdig. Dit zijn namelijk twee kenmerken die je moet weten voordat we met de vlakke figuren verder aan de slag kunnen.
Kennisbank.
Loodrecht.
Wanneer je twee lijnen tekent, dan kunnen deze lijnen elkaar raken. Er onstaat dan een snijpunt.
Snijpunt
De lijnen m en n snijden elkaar in punt A.
Punt A is het snijpunt van m en n.
Loodrecht
Wanneer twee lijnen elkaar raken dan kan dit onder een hoek van 90o gebeuren. We noemen dat loodrecht
Teken de punten: A(4 , 3), B(-2 , 1) en C(-1 , 5) in een passend assenstelsel. Geen idee meer hoe je een assenstelsel tekent? Klik op de link.
Verbind punt A met punt B zodat lijnstuk AB ontstaat.
Teken door punt C de lijn s loodrecht op lijnstuk AB.
Kennisbank
evenwijdig.
Twee getekende lijnen hoeven elkaar natuurlijk niet te raken. Je kunt ze ook beide in dezelfde richting tekenen.
De lijnen r en s snijden elkaar niet.
Lijn r ligt evenwijdig aan lijn s.
een ander woord voor evenwijdig is parallel.
Kijk je naar Lijn r en lijn s dan zijn deze lijnen overal even ver van elkaar af. Of je dit nu aan het begin, in het midden of aan het einde meet. De afstand tussen de lijnen is overal gelijk. De lijnen gaan niet naar elkaar toe, niet van elkaar af maar gaan dezelfde richting op.
Teken door N de lijn b evenwijdig aan lijn d. Denk je ook aan de tekentjes?
H2.1 Opdracht 6
a. Teken D(1 , 4) E(6 , 2) en F(8 , 7) in een passend assenstelsel
b. Teken door punt E de lijn r evenwijdig aan lijnstuk DF. (vergeet de tekentjes er niet bij te zetten)
c. Teken door punt F de lijn v evenwijdig aan de y-as.
H2.1 Opdracht 7
Teken een assenstelsel met een x-as van -2 tot 5 en een y-as van -3 tot 3.
Teken de volgende punten P(-2 , 3), Q(3 , -1) R(5 , 3), S(-1 , -2) en T(2 , 2).
Teken met groenpotlood lijnstuk PQ.
Teken met blauwpotlood een lijn a evenwijdig aan de x-as door punt T.
Teken door R de lijn b loodrecht op lijnstuk PQ
Kennisbank
Vlakke figuren
In de wiskunde heb je te maken met vlakke figuren. Vlakke figuren zijn figuren die bestaan in een plat vlak. In 2D (twee dimensionaal).
Hieronder zie je een aantal vlakke figuren. Je ziet bijvoorbeeld een driehoek en een cirkel. De overige vlakke figuren zijn bijzondere vierhoeken: een vierkant, een rechthoek, een ruit, een parallellogram, een trapezium en een vlieger.
De tekentjes in de figuren hebben natuurlijk een doel; dezelfde pijltjes in de zijden betekent dat die evenwijdig zijn; evenveel streepjes of v-tjes betekent dat de zijden even lang zijn.
Onder een diagonaal versta je een lijnstuk dat twee hoekpunten verbindt die niet op dezelfde zijde liggen. Bijvoorbeeld lijnstuk BE.
Zorg er voor dat alle zijden even lang zijn en de hoeken netjes recht.
Kennisbank
Driehoeken en cirkel.
Twee andere vlakke figuren waar je al veel over geleerd hebt zijn de driehoek en de cirkel.
.
De driehoek met de hoekpunten , en wordt genoteerd als .
Als je letters bij een driehoek zet, begin dan altijd links onder.
Een cirkel heeft een diameter en een straal. Bekijk het plaatje hieronder maar eens.
Om de omtrek of oppervlakte van een cirkel te kunnen berekenen moet je iets weten van \(\pi\) (pi). Zoek dit knopje maar eens op je rekenmachine op.
Een cirkel teken je met een passer
H2.2 opdracht 7
Teken een cirkel met een diameter van 6 cm in je schrift.
Hoe lang is de straal van je getekende cirkel nu?
H2.2 opdracht 8
Teken een cirkel met een straal van 4 cm in je schrift.
Hoe lang is de diameter van je getekende cirkel nu?
Omtrek en oppervlakte.
De oppervlakte van een rechthoek of vierkant bereken je met de volgende formule:
Oppervlakte rechthoek = lengte x breedte.
De oppervlakte van een parallellogram berekenen we net iets anders.
Oppervlakte parallellogram: zijde x bijb. hoogte
Voor de omtrek geldt: Tel alle zijde van het figuur bij elkaar op.
Ook voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek hebben we een formule geleerd:
Oppervlakte driehoek = zijde x bijb. hoogte : 2
Voor de omtrek van een driehoek tel je de lengte van de zijden bij elkaar op.
De oppervlakte van een cirkel bereken je met de formule:
Opp cirkel = \(\pi \) x straal2
Voor de omtrek gebruiken we de formule
Omtrek cirkel = diameter x \(\pi\)
Een samenvatting vind je in je werkboek. Plak deze in je schrift.
H2.2 Opdracht 9
Bekijk de groene driehoek hiernaast.
Schrijf de formule die we gebruiken om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in je schrift.
Bereken nu de oppervlakte van de driehoek hiernaast.
Rond je antwoord af op één decimaal (één cijfer achter de komma).
H2.2 opdracht 10
Bekijk de rechthoek hiernaast.
Bereken de oppervlakte van de rechthoek.
H2.2 Opdracht 11
Hier rechts zien we een plattegrond van de oppervlakte van de kamer van Jaqueline.
Jaqueline wil graag nieuwe vloerbedekking. Daarvoor moet zij weten hoe groot de oppervlakte van haar kamer in totaal is.
Bereken de oppervlakte van de kamer van Jaqueline, schrijf natuurlijk netjes je berekening op.
.
De vloerbedekking die Jaqueline heeft uitgezocht kost €11,- per m2. Bereken wat de vloerbedekking in totaal gaat kosten.
H2.2 opdracht 12
Bekijk de driehoek hiernaast.
Schrijf de formule waarmee je de oppervlakte van een driehoek kunt berekenen in je schriftt.
Vul de lengte van de zijde en de bijbehorende hoogte in je formule in en schrijf op.
Bereken nu de oppervlakte van de driehoek. Rond je antwoord af op 1 decimaal.
H2.2 opdracht 13
Bekijk de vier parallellogrammen hiernaast.
Rond de antwoorden op de vragen hieronder telkens af op 1 decimaal.
Noteer de formule die je gebruikt voor het berekenen van een parallellogram in je schrift.
Bereken van figuur 1 de oppervlakte, schrijf de berekening netjes in je schrift.
Bereken van figuur 2 de oppervlakte, schrijf de berekening netjes in je schrift.
Bereken van figuur 3 de oppervlakte, schrijf de berekening netjes in je schrift.
Bereken van figuur 4 de oppervlakte, schrijf de berekening netjes in je schrift.
H2.2 opdracht 14
Bekijk de cirkels hiernaast.
Noteer de formule die we gebruiken om de oppervlakte van een cirkel te berekenen in je schrift
Bereken van beide cirkels de oppervlakte. Rond je antwoord af op 2 decimalen
Noteer de formule die we gebruiken om de omtrek van een cirkel te berekenen in je schrift.
Bereken van beide cirkels de omtrek. Rond je antwoord af op 1 decimaal.
H2.2 opdracht 15
Over het zwembad hiernaast moet een zeil komen dat het zwembad beschermt tegen regen en het water schoon houdt. Ook de rand met tegels komt onder het zeil te liggen.
Bereken de oppervlakte van het zeil dat nodig is om het zwembad af te dekken. Rond je antwoord af op 2 decimalen
Kennisbank
Hoe herken je de hoogte van een driehoek
Dit is niet zo heel moeilijk. De hoogte van een driehoek staat altijd loodrecht op de zijde waar deze bij hoort. Het loodrechttekentje laat goed welke zijde en hoogte lijn bij elkaar horen.
H1.2 opdracht 16
Op je werkblad zie je drie driehoeken getekend.
Teken bij de aangegeven zijde de bijbehorende hoogtelijn.
Meet de zijden en zet de maten er bij. Doe hetzelfde met je getekende hoogtelijnen.
Bereken van iedere driehoek de oppervlakte. Noteer de berekeningen netjes in je schrift.
Rond je antwoord af op 1 decimaal.
H2.2 opdracht 17
Teken lijnstuk AB van 6 cm lang.
Teken \(\angle\) A = 42o en \(\angle\) B = 68o
Vorm ΔABC.
Teken een hoogtelijn op zijde AB.
Meet de hoogtelijn op en zet de lengte van de hoogtelijn erbij.
Bereken nu de oppervlakte van de driehoek, rond je antwoord af op 1 decimaal
H2.2 opdracht 18
Bekijk de figuur hiernaast. De maten van deze figuur zijn in centimeter.
Teken de figuur na in je schrift.
Verdeel de figuur nu in stukjes. Kleur de stukjes met kleurpotlood in.
Schrijf de namen van de verschillende figuren op, zet er ook de formule voor oppervlakte onder.
Vul de maten in de formule voor oppervlakte in en reken uit. Rond je antwoord af op 1 decimaal.
Tel vervolgens de oppervlakte van losse figuren bij elkaar op.
H2.2 opdracht 19
Hiernaast zie je een blauwe rechthoek waar een stukje uit gesneden is. We willen alleen de oppervlakte van het blauwe stuk weten.
Bereken de oppervlakte van de blauwe figuur, voer zelf de stappen van het stappenplan uit.
H2.2 Opdracht 20
Bekijk de figuur hiernaast.
Teken de figuur na in je schrift. (maak dan gebruik van de hokjes!)
Verdeel de figuur nu in stukjes. Kleur de stukjes met kleurpotlood in.
Schrijf de namen van de verschillende figuren op, zet er ook de formule voor oppervlakte onder.
Vul de maten in de formule voor oppervlakte in en reken uit.
Tel vervolgens de oppervlakte van losse figuren bij elkaar op.
H2.3 Balk, kubus, cilinder en prisma
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank.
Eigenschappen van een balk, kubus, cilinder en prisma.
In de afbeelding hierboven zien we een kubus en een balk. Beide ruimtefiguren hebben 8 hoekpunten. Bij de hoekpunten staan HOOFDLETTERS. Behalve dat beide ruimtefiguren 8 hoekpunten hebben, hebben zij nog meer overeenkomende eigenschappen.
De lijntjes of stokjes waaruit je ruimtefiguur bestaat noemen we de ribben. Een balk en een kubus hebben 12 ribben. Bij een kubus zijn alle ribben even lang.
Bij een balk zijn de overstaande ribben even lang.
De vlakken noemen we zijvlakken of grensvlakken. Ook de bovenkant en de onderkant noemen we zijvlakken. Een balk en een kubus hebben beide 6 zijvlakken.
Bij een kubus zijn alle zijvlakken vierkant. Bij een balk zijn de zijvlakken rechthoeken en/of vierkanten.
Door de eigenschappen van een figuur te benoemen kun je ze in categorieën indelen.
Hieronder zie je een overzicht van de eigenschappen van de volgende vier ruimtefiguren:
H2.3 opgave 1
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Zet bij de hoekpunten de hoofdletters PQRS TUVW
Kleur zijvlak PSWT met groen kleurpotlood in.
Kleur ribbe QR met rood kleurpotlood.
Maak hoekpunt V blauw met kleurpotlood.
Noteer alle ribben die even lang zijn als PQ in je schrift. Doe het zo:
PQ = .. = .. = ..
Welk zijvlak ligt tegenover vlak SRVW? Noteer de naam van het vlak in je schrift.
H2.3 opgave 2
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Zet bij de hoekpunten de hoofdletters ABCD EFGH
Kleur zijvlak EFGH met groen kleurpotlood in.
Kleur ribbe BF met rood kleurpotlood.
Maak hoekpunt H blauw met kleurpotlood.
Noteer alle ribben die even lang zijn als BF in je schrift. Doe het zo:
BF = .. = .. = ..
Welk zijvlak ligt tegenover vlak ABCD? Noteer de naam van het vlak in je schrift.
H2.3 opgave 3
Welke overeenkomende eigenschappen hebben een kubus en een balk. Noteer er 2 in je schrift.
Welke verschillende eigenschappen hebben een kubus en een balk. Noteer er één in je schrift.
H2.3 opgave 4
Noteer de eigenschappen van een prisma in je schrift.
Zoek op internet een plaatje van een wiskundig prisma en plak dat bij de eigenschappen. Je mag het ook zelf natekenen.
Kleur het grondvlak van je prisma met kleur rood potlood in.
H2.3 opgave 5
Bekijk de prisma's op je werkblad.
Kleur van de prisma's de grondvlakken met kleurpotlood groen.
Kleur van de prisma's de opstaande ribben met rood kleurpotlood.
Kennisbank
Inhoud van een balk, kubus, cilinder en prisma.
Voor deze ruimtelijke figuren geldt:
Inhoud = oppervlakte grondvlak × hoogte
Kijk maar naar de afbeelding hieronder.
Instructievideo inhoud balk,kubus en prisma:
H2.3 opgave 6
Bekijk het prisma hiernaast.
Het grondvlak van dit prisma heeft een oppervlakte van 25 cm². De hoogte is 5 cm.
Bereken de inhoud van dit prisma.
H2.3 opgave 7
De voorkant van deze 'tent' is een gelijkbenige driehoek.
De onderste zijde is 1,4 m, de hoogte is 2 m.
De diepte van de tent is 2,5 m.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak van dit prisma (hier dus de voorkant van de tent)
Bereken de inhoud van de tent.
H2.3 opgave 8
Bekijk het plaatje hiernaast.
Het grondvlak van een cilinder heeft een oppervlakte van 16 cm². De hoogte is 5 cm.
Bereken de inhoud van de cilinder.
H2.3 opgave 9
Het grondvlak van een cilinder heeft een straal van van 5 cm.
De hoogte van de cilinder is 12 cm.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak (dus de oppervlakte van een cirkel), rond af op één decimaal.
Bereken de inhoud van de cilinder.
H2.3 opgave 10
Bereken de inhoud van deze balk.
H2.3 opgave 11
Dit aquarium heeft de volgende afmetingen: 35 x 120 x 60 cm (lxbxh)
Bereken hoeveel liter water er in dit aqarium past?
Weet je nog? Bereken je liter, dan moeten alle maten in dm staan.
H2.3 opgave 12
De jacuzzi is 1,2 meter hoog en heeft een diameter van 1,6 m.
Bereken hoeveel liter water er in de jacuzzi past?
Het water staat 0,5 m hoog. Bereken hoeveel liter water er nog bij kan?
H2.3 opgave 13
Een houten balk heeft de volgende afmetingen:
2800 x 120 x 40 (maten in mm) De prijs van dit hout is €400 per m3.
Bereken de inhoud van de balk in m3.
Bereken de prijs van de houten balk.
H2.4 Piramide en kegel
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Een piramide en een kegel.
Hieronder zie je de eigenschappen van een piramide en een kegel.
Deze twee ruimtefiguren hebben één gemeenschappelijke eigenschap namelijk;
Ze hebben beide een top. De opstaande ribben komen samen in één punt.
Inhoud van een piramide en een kegel berekenen
Om de inhoud van een piramide of een kegel te berekenen gebruiken we de volgende formule:
Inhoud piramide of kegel = oppervlakte grondvlak x hoogte : 3
Net als bij de overige ruimtefiguren bereken je eerst zelf de oppervlakte van het grondvlak. Daarna kun je pas de inhoud berekenen
Makkelijk om te onthouden; heeft je ruimtefiguur een top? Dan weet je dat je de inhoud moet delen door drie
Oppervlakte grondvlak x hoogte : 3 = inhoud van ruimtefiguur met top
H2.4 Opdracht 1
Het grondvlak van de piramide hieronder is een vierkant met zijde van 4 cm. De hoogte van de piramide is 3,5 cm.
Bereken eerst de oppervlakte van het grondvlak. Rond je antwoord af op 1 decimaal
Bereken vervolgens de inhoud van de piramide. Rond je antwoord af op 1 decimaal
H2.4 Opdracht 2
Hetgrondvlak van de kegel hieronder is een cirkel met een straal van 3 cm.
Het grondvlak heeft dus een oppervlakte van 32 x \(\pi\) = 28,274 ≈ 28,3 cm2
De hoogte van de kegel is 12 cm.
Bereken de inhoud van de kegel.
H2.4 Opdracht 3
De piramide hieronder heeft een grondvlak met een oppervlakte van 25 cm². De hoogte is 6,3 cm.
Bereken de inhoud van de piramide.
H2.4 Opdracht 4
Hiernaast zie je een piramide en een kegel. Laat door middel van
berekeningen zien welke figuur de grootste inhoud heeft.
H2.4 Opdracht 5
Sanne is jarig en wil in haar klas een kleine tractatie uitdelen. Ze besluit feesthoedjes te vullen met popcorn.
Ze moet dan natuurlijk wel de inhoud van een feesthoedje weten zodat ze genoeg popcorn kan maken.
Bereken voor Sanne de inhoud van één feesthoedje.
H2.4 Opdracht 6
Niet iedere piramide heeft een rechthoek of een vierkant als grondvlak. Kijk maar eens naar de dobbelsteen hiernaast. Je ziet daar een piramide met een gelijkzijdige driehoek als grondvlak.
a. Bereken de oppervlakte van het grondvlak. Rond je
antwoord af op 1 decimaal.
b. De dobbelsteen is 3,6 cm hoog. Bereken de inhoud
van de dobbelsteen
H2.4 Opdracht 7
Bekijk de cornetto chocolade hiernaast.
In een doos zitten 12 van deze ijsjes.
Bereken de inhoud van deze ijs, rond af op hele cm3.
Bereken of er meer of minder ijs dan 0,5 liter in de doos zit?
H2.4 Opdracht 8
Jasmina wil voor haar lippenbalsem een ander potje dan een standaard potje gaan gebruiken. Ze besluit om een kegelvormig potje te gaan ontwerken. Ze haalt het bovenste puntje van het kegeltje af zodat er een dekseltje van gemaakt kan worden.
Voordat ze het potje uiteindelijk kan gaan gebruiken moet ze wel eerst de inhoud weten.
Bereken voor Jasmina de inhoud van het potje zonder dekseltje.
H2.4 Opdracht 9
Het theezakje hieronder bestaat uit allemaal gelijkzijdige driehoeken met zijden van 3 cm. De hoogte van het zakje is ook 3cm.
Bereken de inhoud van dit piramide vormig theezakje.
H2.5 Samengestelde figuren
Inleiding.
We hebben inmiddels de namen van de verschillende ruimtefiguren geleerd. We hebben onze kennis over de zijvlakken, hoekpunten en ribben van de ruimtefiguren herhaald en we kunnen de inhoud van een aantal ruimtefiguren berekenen. Maar in de wereld om je heen zie je ook vaak lichamen (ruimtefiguren) die samengesteld zijn uit 2 of meer losse figuren. Er zijn er als het ware 2 of 3 aan elkaar geplakt. Hoe je de inhoud van die figuren moet berekenen leer je in deze paragraaf.
Leerdoelen:
Aan het eind van deze paragraaf kan ik:
De inhoud van een samengestelde ruimtefiguur berekenen d.m.v opvullen.
De inhoud van een samengestelde ruimtefiguur berekenen dm.v. splitsen.
Uitleg.
De inhoud van een samengestelde figuur berekenen
De wereld om ons heen bestaat niet enkel uit losse ruimtefiguren (lichamen). Heel veel objecten zijn opgebouwd uit twee of meer ruimtefiguren samen. Kijk maar naar het huis hiernaast. Dit huis bestaat uit twee balken en een prisma als dak.
Hoe je de inhoud van een samengestelde figuur het gemakkelijkst kunt berekenen zie je in de video hier onder.
In deze video komen twee manieren aan bod.
Opvullen, je stopt er een stukje extra bij en haalt dat er later vanaf.
Splitsen, je deelt de figuur in 2 of meer losse figuren en rekent die afzondelijk uit, daarna tel je de stukken bij elkaar op
2.5 opdracht 1
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Gebruik het roosterpapier om de maten van de figuur te tellen.
Bereken de inhoud van de totale figuur.
2.5 opdracht 2
Hiernaast zie je twee samengestelde ruimtefiguren.
Bereken van iedere samengestelde ruimtefiguur de inhoud.
Schrijf natuurlijk je berekeningen op, rond je antwoord telkens af op 1 decimaal. (Eén cijfer achter de komma).
2.5 opdracht 3
Hiernaast zien we de contouren van een huisje.
Bereken de inhoud van het totale huisje.
Rond je antwoord af op één decimaal.
Uitleg.
In het filmpje hieronder wordt nog eens voorgedaan hoe je de inhoud van een samengestelde ruimtefiguur berekend.
2.5 opdracht 4
Hiernaast zien we een afgeknotte kegel. Voor het gemak is ernaast gezet welk stukje er afgesneden is.
Bereken de inhoud van de afgeknotte kegel. Rond je eindantwoord af op één decimaal. En schrijf natuurlijk de berekening weer in je schrift.
2.5 opdracht 5
Bereken de inhoud van het huis hiernaast.
Je mag de ruimte van de ramen en deuren vergeten.
Rond je antwoord af op één decimaal en laat duidelijk zien welke berekeningen je gemaakt hebt.
2.5 opdracht 6
Hiernaast zien we een kaarsenhouder. Deze balkvormige houder heeft in het midden een cilindervormig gat waar de kaars precies in past.
Bereken de totale inhoud van de kaarsenhouder. Rond indien nodig je antwoord af op één decimaal.
2.5 opdracht 7
Hiernaast zie je hou handdoekrollen worden vervoert. Op het plaatje kun je zien dat er zes rollen in één doos passen, twee naast elkaar en drie achter elkaar.
Wanneer je zes rollen in een doos stopt blijft er natuurlijk nog wat ruimte tussen de rollen over.
Bereken hoeveel liter ruimte er nog over is in de doos. Rond je antwoord af op twee decimalen.
H2.6 Ruimtefiguren tekenen
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Een ruimtefiguur tekenen.
Van een kubus zijn alle ribben gelijk.
De afbeelding hiernaast zou dus een ruimtelijke tekening van een kubus moeten zijn. Alle ribben zijn echt even lang getekend! Toch lijkt hij niet op een kubus.
Dat komt omdat lijnstukken die "naar achteren lopen" korter lijken. Daar moet je bij het tekenen van ruimtelijke figuren rekening mee houden:
lijnstukken die "naar achteren lopen" teken je een beetje schuin;
lijnstukken die "naar achteren lopen" teken je korter dan ze in werkelijkheid zijn.
De ribben die 'achter in je figuur' liggen stippel je zodat het lijkt of er ruimte in je platte tekening is.
De tweede figuur lijkt wel op een kubus.
H2.6 Opdracht 1
Op je werkblad is het begin van een balk ABCD EFGH getekend.
Teken de figuur op je werkblad af.
Zet de letters op de juiste plaats bij de balk.
Welke ribben zijn even lang als ribbe BC?
Waarom zijn ribbe BC en alle ribben die even lang zijn niet op ware grootte getekend?
H2.6 Opdracht 2
Teken op je werkblad de figuren 'af'.
Zet bij de kubus de letters KLMN PQRS
Zet bij de piramide de letters ABCD T
Kennisbank
In de video hiernaast wordt voorgedaan hoe we een kubus of een balk kunnen tekenen. Daar zijn namelijk een aantal afspraken voor:
teken eerst het voorvlak.
teken de ribben schuin naar achter. (2 naar rechts, 1 omhoog)
Verbind de losse hoekpunten met elkaar
Zet HOOFDLETTERS bij de hoekpunten
H2.6 Opdracht 3
Voor een balk ABCD.EFGH geldt, dat AB=5 cm, BC=4 cm en AE=3 cm.
Teken deze balk op roosterpapier in je schrift. Denk aan de afspraken uit het filmpje.
H2.6 Opdracht 4
Teken op roosterpapier een kubus PQRS.TUVW met ribben van 4 cm. Zet er op de juiste manier de letters bij.
H2.6 Opdracht 5
Gegeven is een balk ABCD.EFGH met AB=BC=4 cm en AE=6 cm.
Teken deze balk op roosterpapier.
Teken in het bovenvlak EFGH de twee diagonalen.
Noem het snijpunt van de diagonalen T
Teken nu piramide ABCD T
Kennisbank
Uitslag van een ruimtefiguur
Een uitslag is een opengeklapte ruimte figuur (zonder plakrandjes). In een uitslag kun je heel goed zien uit hoeveel zijvlakken een ruimte figuur bestaat.
Bekijk de uitslagen van de ruimtefiguren hieronder maar eens.
Wat wel eens lastig kan zijn is dat je van ruimtefiguren vaak verschillende uitslagen kan maken. let daarbij wel op de uitslag moet met terugvouwen altijd weer het oorspronkelijke ruimtelijke figuur opleveren.
Goed kunnen inschatten of je een uitslag ook daadwerkelijk kunt vouwen tot een ruimtefiguur is daarom best wel eens lastig.
Oefen maar eens met de uitslagen van een kubus klik op de link
H2.6 opgave 6
Bekijk de vier uitslagen van ruimtefiguren hiernaast.
Nummer I en nummer IV zijn niet goed getekend.
Leg uit wat er niet goed is aan nummer I
Leg uit wat er niet goed getekend is bij nummer IV
H2.6 opgave 7
Bekijk de afbeelding met daarop verschillende uitslagen van een piramide.
Helaas zijn niet alle uitslagen goed gelukt. Van welke uitslag kun je geen piramide vouwen? Noteer die letter in je schrift.
H2.6 opgave 8
Maaike heeft geprobeerd de uitslag van een cilinder te tekenen.
Helaas heeft Maaike een foutje gemaakt. Bekijk de uitslag die Maaike tekende hiernaast goed en schrijf daarna in je schrift op wat Maaike fout heeft gedaan.
H2.6 opgave 9
Teken zelf de uitslag van een kubus met ribbe van 3 cm in je schrift.
Teken nu een tweede uitslag van een kubus met 3 cm in je schrift. Let er op dat je deze anders maakt dan de uitslag die je bij vraag a hebt getekend.
H2.6 opgave 10
Hiernaast zie je een balk. Teken een mogelijke uitslag van de balk op ware grootte. Zet in je uitslag ook de woordjes onderkant, bovenkant, voorkant, achterkant, rechts en links.
H2.7 Aanzichten en doorsnede
Om een goed beeld te krijgen van een ruimtelijke figuur, kijk je van verschillende kanten naar het figuur. Een tekening van wat je ziet, heet een aanzicht.
Vaak teken je drie aanzichten. Dit heet een drieaanzicht van het figuur:
vooraanzicht
zijaanzicht
bovenaanzicht
Je ziet een bouwwerk van kubussen.
In het bovenaanzicht staan getallen.
De getallen geven aan hoeveel kubussen op elkaar staan.
Het bouwwerk bestaat uit 3 + 4 + 3 + 3 +2 + 2 + 1 + 0 + 1 = 19 kubusjes.
Opgaven
1
Van een huis is een drieaanzicht getekend.
Het drieaanzicht bestaat uit een:
Vooraanzicht
Zijaanzicht
Bovenaanzicht
Schrijf deze drie woorden bij de tekening op het werkblad.
2 Je ziet hieronder een vogelhuisje.
Teken een drieaanzicht van het vogelhuisje.
3
Je ziet een bouwwerk van kubussen.
In het bovenaanzicht wordt met getallen aangegeven hoeveel kubussen er op elkaar staan.
Vul de getallen in het bovenaanzicht op het werkblad verder in.
Van een ruimtelijk figuur kun je soms meer te weten
komen als je het figuur doorsnijdt.
Het vlak waarlangs je snijdt, noem je de doorsnede.
Doorsneden van dezelfde ruimtelijke figuur kunnen heel verschillend zijn.
De vorm van de doorsnede zie je als je recht op het snijvlak kijkt.
Van bijvoorbeeld een cilinder kun je verschillende doorsneden maken.
Pythagoras
Bekijk balk ABCD·EFGH met AB = 6, BC = 3 en CG = 4.
Teken doorsnede ABGH op ware grootte.
Bereken eerst BG.
Vlak BGHA is een rechthoek van 6 bij 5.
De rechthoek BGHA kun je nu op ware grootte tekenen.
Video Pythagoras schuine zijde berekenen:
Opgaven
1 Een ruimtelijk figuur kun je op verschillende manieren doorsnijden.
Het snijvlak dat je krijgt noem je de doorsnede.
Een cilinder wordt op drie verschillende manieren doorgesneden.
Teken van iedere cilinder het snijvlak.
2 Je ziet hieronder balk ABCD·EFGH getekend. Op de ribben liggen de punten P, Q, R en S.
Er geldt PB = QC en ER = HS. De rechthoek wordt doorgesneden langs vlak PQRS. Teken de doorsnede.
Wat voor soort vierhoek is de doorsnede?
3 Je ziet hieronder opnieuw balk ABCD·EFGH getekend. Op ribben liggen de punten P, Q en R.
Er geldt BP = BQ = BR. De rechthoek wordt doorgesneden langs vlak PQR. Teken de doorsnede.
Wat voor soort driehoek is de doorsnede?
4 Teken de doorsnede ABGH op ware grootte.
5 Teken de doorsnede PQRS op ware grootte.
H2.8 Gemengde opgaven
H2.7 opdracht 1
Bereken, schrijf de antwoorden in je schrift.
a 67 m3 = ........................... dm3c 480 ml = ........................... l
b 2650 dal = ………………….. dl d 963412 cc = …………………. hl
c 9,25 dm3 = ........................... l d 502 cl = ........................dm3
H2.7 opdracht 2
Hierboven zie je 5 figuren.
Bereken van alle 5 de figuren de inhoud.
H2.7 opdracht 3
Op een pak gezeefde tomaten staat: Inhoud 500 ml.
De maten van het pak zijn: L : B : H
9,5 cm bij 6 cm bij 8,9 cm.
Ga met een berekening na of de inhoud van dit pak gezeefde tomaten klopt. Schrijf je berekening in je schrift.
H2.7 opdracht 4
Sanne schetst het bouwwerk dat je hiernaast ziet.
Hoeveel kubusjes heb je nodig om dit bouwwerk te kunnen bouwen?
Teken het vooraanzicht van dit bouwwerk in je schrift. Gebruik de ruitjes van het papier en teken met potlood en geodriehoek.
Teken het linkerzijaanzicht van dit bouwwerk in je schrift. Werk weer netjes met geo en potlood.
H2.7 opdracht 5
Teken volgens de afspraken de volgende figuur:
Een balk KLMN PQRS met: KL = 6cm, NS = 4 cm en QR= 6 cm.
H2.7 opdracht 6
In de figuur hiernaast zie je het bovenaanzicht van een blokkenbouwwerk. De getallen geven de hoeveelheid blokjes aan die gestapeld zijn.
Teken het vooraanzicht van het bouwwerk in je schrift. Maak gebruik van de ruitjes van je papier. Teken netjes met potlood en geodriehoek.
Teken ook het rechtzijaanzicht. Ook weer met potlood en geodriehoek.
H2.7 opdracht 7
Hiernaast zie je eens schets van een kubus met daarin 2 gekleurde vlakken.
Maak een schets van het paarse vlak.
Bereken de ontbrekende maten van het paarse vlak.
Teken het paarse vlak op ware grootte.
Teken het groene vlak ook op ware grootte in je schrift.
H2.7 opdracht 8
Bereken de oppervlakte van het zwembad hiernaast.
H2.7 opdracht 9
De figuur hiernaast is samengesteld uit twee ruimtefiguren.
Schrijf de namen van de ruimtefiguren op die je op het plaatje ziet.
Bereken de inhoud van de totale ruimtefiguur.
Rond je antwoord af op 1 decimaal.
Hiernaast zien we een draadmodel van een huisje. De architect wil graag weten wat de inhoud van dit modelhuis is.
bereken de inhoud van het modelhuis. Rond je antwoord af op hele cm3.
D-toets
Een diagnostische toets is een onderzoek naar eventuele gaten in jouw kennis of vaardigheden. Het doel van de diagnostische toets is het vaststellen wat je al kan, en waar je de komende tijd nog wat extra aandacht aan moet besteden.
Wanneer je een diagnostische toets maakt is het dus goed om je fouten bij te houden. Met deze fouten ga je de komende dagen extra aan de slag. Je herhaalt de uitleg, vraagt aan andere of ze je kunnen helpen als je de opgaven niet begrijpt of je vraagt aan je docent nog eens extra uitleg.
Op deze manier kom je voorbereid naar een toets. Je weet wat je kan, dit heb je voor de zekerheid nog één keer herhaald, de d-toets heeft je laten zien welke onderdelen je nog niet goed beheerst en deze heb je dan ook extra geoefend en extra uitleg gevraagd. Je weet nu dat je alles beheerst en je de toets goed kunt maken.
Zet in zijden die even lang zijn de even lang tekentjes. Doe dit met blauw kleurpotlood.
Zet in zijden die evenwijdig zijn evenwijdig tekentjes. Doe dit met groen kleurpotlood.
Teken met rood kleurpotlood de diagonalen in de figuren.
Staan diagonalen loodrecht op elkaar, zet er dan een tekentjes bij.
Herhaling opdracht 3
Teken in je schrift een lijnstuk PQ. Het lijnstuk moet 5 cm lang zijn.
Teken ∠P = 60o en ∠Q = 120o
Maak er nu een parallellogram van.
Zet bij de hoekpunten van je parallellogram de hoofdletters PQRS.
Herhaling opdracht 4
Teken een cirkel met een diameter van 8 cm
Hoe ver moest jij je passerbenen uit elkaar zetten om deze cirkel te kunnen tekenen?
Herhaling opdracht 5
Hiernaast zie je een tent met een hoogte van 2,4 m.
De breedte van de tent is 3 meter en de lengte is 3,8 meter.
Bereken de inhoud van de tent. Rond af op twee decimalen.
Herhaling opdracht 6
Bekijk de balk hiernaast.
Bereken de inhoud van de balk, schrijf je berekening op.
Herhaling opdracht 7
Bereken de inhoud van de piramide.
Schrijf je berekening op en rond je antwoord af op een heel getal.
Herhaling opdracht 8
Een regenton heeft een diameter van 90 cm en een hoogte van 130 cm.
Bereken de inhoud van de regenton in cm³
Het water in de ton staat 40 cm hoog.
Bereken de inhoud van het water in de regenton (in cm³).
Hoeveel water (in cm³) kan nog in de regenton erbij?
Tijdens een regenbui komt er 4 liter per minuut bij.
Na hoeveel minuten is de regenton vol?
Herhaling opdracht 9
Hierbnaast zie je de voortent van een caravan met een breedte van 2,6 meter en een lengte van 5,2 meter.
De tent heeft de vorm van een prisma.
Maak een schets van het 'grondvlak' van deze tent. Zet de maten erbij.
Het grondvlak kun je verdelen in een rechthoek en een driehoek. Teken deze 'scheidingslijn' in je schets van opdracht a.
Bereken de oppervlakte van het grondvlak.
Bereken de inhoud van de tent.
Herhaling opdracht 10 Hiernaast zien we een samengestelde ruimtefiguur.
Uit welke twee ruimtefiguur is dit figuur samengesteld? Noteer de namen in je schrift.
Welke formules voor inhoud gebruiken we bij deze twee figuren. Noteer beide formules in je schrift.
Bereken de inhoud van de onderkant van deze samengestelde figuur.
Bereken de inhoud van de bovenkant van deze samengestelde figuur.
Bereken de totale inhoud van de samengestelde ruimtefiguur.
Herhaling opdracht 11
Teken in je schrift een balk ABCD EFGH met AB = 5cm, BC = 4 cm en AE = 3 cm.
Zet ook de hoekpunten bij je balk.
Herhaling opdracht 12
Bereken de lengte van BG in de balk
Teken doorsnede BGHA op ware grootte.
Herhaling opdracht 13
Hiernaast zie je een tekening van een balk. HR = EP en RG = 2 cm.
Je weet dat RG = 2cm, hoe lang is HR dan?
Neem de tekening met geodriehoek en potlood over in je schrift.
Verbind punt P met punt R, Punt R met punt D, punt D met punt A en punt A met punt P
Schets doorsnede APRD in je schrift.
Bereken de ontbrekende maten van APRD.
Teken APRD op ware grootte.
Herhaling opdracht 14
Bekijk het bouwwerkje hiernaast.
Teken het bovenaanzicht. Zet in de stapels het aantal blokjes
Teken het zij aanzicht in je schrift. Maak gebruik van de ruitjes van je schrift en teken met potlood en geodriehoek.
Extra moeilijke opdracht
Herhaling opdracht 15
Wanneer je een grote hoeveelheid posters besteld worden deze in apparte kokers naar je toegezonden. Een koker heeft een diameter van 20 cm en is net zo hoog als de doos.
De kokers worden in een grote kartonnendoos gestopt. In de ruimte tussen de kokers wordt opvulmateriaal zoals piepschuimbolletjes gestopt.
De fabrikant van de posters wil graag weten hoeveel liter piepschuimbolletjes hij nog in de ruimte tussen de kokers moet stoppen.
Bereken voor de fabrikant de inhoud van de ruimte tussen de kokers. Rond je antwoord af op 1 decimaal. Denk er aan, je antwoord moet in liters gegeven worden.
Extra stof
Het laatste ruimtefiguur waar we de inhoud van leren berekenen is de bol.
Een bol is een driedimensionale figuur waarvan alle punten even ver van een punt, het middelpunt, liggen. Hieronder staat een bol getekend; de rode lijnen zijn diameters.
Eigenschappen
De Bol is een ruimtefiguur. De bol heeft geen hoeken of ribben. Het heeft alleen één gebogen vlak. De bol is aan alle kanten rond. Voorbeelden van bolvormige dingen zijn, een voetbal en een globe. In het midden heeft de bol een middelpunt. Vanaf het middelpunt lopen oneindig veel diameters en stralen.
Oppervlakte
De oppervlakte van de bol is eenvoudig te berekenen. Voor de oppervlakte heb je alleen de lengte van de straal nodig. Hiervoor gebruiken we de volgende formule:
4 x \(\pi\) x straal² = oppervlakte.
De straal loopt van het middelpunt in een bol naar de buitenkant. Het ²-tekentje staat voor kwadraat.
Inhoud
Een bol heeft net als elk ander ruimtefiguur een inhoud. Net als bij de oppervlakte moet je eerst het middelpunt weten. vervolgens teken je twee diameters. Een van boven naar beneden en een van links naar rechts. De diameters moeten loodrecht op elk staan. Je meet nu de lengte van één diameter en deelt het door twee. Nu heb je de lengte van de straal. Vervolgens doe je deze formule:
\(4\over 3\) x \(\pi\) x straal³ = inhoud.
De \(\pi\) is een Pi, dit is een getal dat nooit op lijkt te houden. Op de plaats van het woordje straal vul je de lengte van de straal in. Het ³-tekentje betekend derde macht.
Coöperatieve opdrachten
H3 Vergelijkingen
Inleiding.
Het derde hoofdstuk gaat over het onderwerp vergelijkingen. Misschien is de titel lineaire formules eigenlijk wel een betere titel. In klas 1 hebben we hier ook al kennis mee gemaakt. We halen onze kennis over lineaire formules dus weer helemaal op. Regelmaat, een vast invulschema en het tekenen van grafieken komt opnieuw aan bod.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
Het hoofdstuk vergelijkingen hoort bij het onderwerp algebra. Algebra houdt zich bij wiskunde bezig met verbanden ook wel formules genoemd. In bijna alle beroepen kom je wel formules tegen. Mensen die werken met logistiek (vervoer over de weg, door de lucht of over het water maar ook telefoonverbindingen, wifi netwerken en elektriciteitskabels aanleggen), accountants (boekhouders), de lucht en ruimtevaart, civiele techniek (ontwerpen en bouwen van wegen, bruggen, dammen, dijken) werken dagelijks met verbanden. Eigenlijk werkt bijna iedereen wel eens een keer in de week met een verband. Al is het maar om je loon of de winst van je eigen bedrijf te kunnen berekenen
H3.1 Voorkennis
Als voorkennis bij het hoofdstuk lineaire formules herhalen we onze kennis over het maken en invullen van een tabel en het tekenen van een grafiek bij de tabel.
Het tekenen van een tabel.
Een tabel bestaat uit twee onderdelen: invoer en uitvoer.
Voor invoer wordt er binnen wiskunde vaak de letter X gebruikt, voor de uitvoer de letter Y. Deze letters zie je dan ook vaak in tabellen of formules terug komen.
Hierboven zie je een tabel getekend. De invoer zet je op de bovenste regel van je tabel, De uitvoer komt op de onderste regel. Je ziet dat er voor invoer al 4 getallen zijn ingevuld. Om een uitvoer in te kunnen vullen moeten we eerst wat te berekenen hebben.
Een voorbeeld:
In het machientje hieronder zie je dat wanneer je iets invoert, je dat eerst vermenigvuldigd met 3 en daarna er nog 4 bij op telt.
Vul je voor invoer (x) het getal 2 in dan krijg je: Vul je voor invoer (x) het getal 7 in dan krijg je
2\( \times 3 + 4 =\)10 7\( \times 3 + 4 =\)25
In plaats van allerlei losse berekeningen opschrijven kun je dit ook netjes in een tabel invullen. Je krijgt dan de volgende tabel.
Het fijne aan werken met een tabel is dus dat je niet al je berekeningen hoeft op te schrijven, het is overzichtelijk en je kunt vaak gebruik maken van je tabel om verder te rekenen.
Grafiek tekenen bij een tabel.
Het tekenen van een grafiek bij een tabel is een handeling, iets dat je moet kunnen laten zien. Dit leer je vooral door te oefenen en te doen. Kijk maar eens naar de twee fimpjes onder aan deze uitleg. Hierin worden de stapjes voor het tekenen van een grafiek bij een tabel uitgelegd en voorgedaan. Teken ook de grafiek met het filmpje mee. Je kunt dus aan je docent de door jou getekende grafiek laten zien.
Hoe teken je een grafiek bij een tabel (1)
Hoe teken je een grafiek bij een tabel (2)
.1.
Machientje
Bekijk het machientje hieronder. Schrijf daarna netjes jeberekeningenop.
Voer het getal 5 in, bereken de uitkomst.
Voer het getal 9 in, bereken de uitkomst.
Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.
.2.
Machientje 2
Bekijk het machientje hieronder. Schrijf daarna netjes je berekeningen op.
Voer het getal 8 in, bereken de uitkomst.
Voer het getal 12 in, bereken de uitkomst.
Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.
.3.
Tabel invullen
Je kunt natuurlijk ook tabellen invullen wanneer je niet werkt met een machientje maar bijvoorbeeld met een formule
Ook bij een verhaaltje kun je natuurlijk een tabel invullen.
Mikail heeft voor zijn verjaardag een schildpad gekregen. Elke maand weegt en meet Mikail zijn schildpad om de groei van het diertje bij te houden.
Toen Mikail de schildpad kreeg woog het diertje 320 gram. Elke maand wordt de schildpad 40 gram zwaarder.
Houdt voor Mikail een tabel bij met daarin de groei van zijn schildpad gedurende het eerste jaar.
Maak handige stapjes zodat je tabel niet te lang wordt.
Denk ook goed na over de woordjes die je voor invoer en uitvoer wilt gebruiken.
.6.
Teken de grafiek bij de tabel
Hieronder zie je een ingevulde tabel en een leeg assenstelsel.
Neem het assenstelsel over in je schrift.
Denk na over de verdeling van de y-as. Maak handige stapjes en vul bij de y-as deze stapjes in.
Vul ook de stapjes op de x-as in.
Teken de punten uit je tabel in je assenstelsel.
Verbind de punten met een lijn, zo ontstaat er een grafiek.
.7.
Scheurlijntje
Hieronder zie je de grafiek van het aantal woningen dat in rotterdam per jaar is bijgebouwd.
In de grafiek is een scheurlijntje (zaagtand) getekend. Waarom zou de maker dit gedaan hebben?
Lees uit de grafiek af welke informatie er bij de x-as is verwerkt.
Lees in de grafiek af hoeveel woningen er in het jaar 1995 zijn bijgebouwd.
Teken een tabel bij de grafiek.
.8.
Een persoonlijke trainer inhuren
Hieronder zie je de tabel die hoort bij de prijs van het huren van een persoonlijke trainer.
Kijk goed naar de gegevens van de y-as. Hoe groot ga je de stapjes op de y-as maken? Kun je ook een scheurlijntje gebruiken?
Teken een assenstelsel in je schrift die pas bij de tabel hierboven. Maak je assen niet langer dan 10 cm.
Teken de punten die volgen uit de tabel in je assenstelsel. Verbind de punten met een lijn zodat er een grafiek ontstaat.
.9.
grafiek bij tabel tekenen
Hieronder zie je wederom een tabel.
Kijk goed naar de gegevens van de y-as. Hoe groot ga je de stapjes op de y-as maken? Kun je ook een scheurlijntje gebruiken?
Teken een assenstelsel in je schrift die pas bij de tabel hierboven. Maak je assen niet langer dan 10 cm.
Teken de punten die volgen uit de tabel in je assenstelsel. Verbind de punten met een lijn zodat er een grafiek ontstaat.
H3.2 Wat is een lineaire verband
Een formule is een wiskundige zin met variabelen.
Variabele zijn woordjes of letters in je verband (formule).
Bijvoorbeeld: Kosten = 18 + 6 x aantal personenof R = 3k - 4
Kijk je naar het verband tussen het aantal personen en de kosten: Kosten = 18 + 6 x aantal personen
Dan kun je er het volgende over zeggen:
'Ben je met meer personen, dan moet je ook meer betalen'.
'Neemt het aantal personen af of toe, dan nemen de kosten ook af of toe'.
De kosten en het aantal personen hebben een verband met elkaar. Veranderd de ene, dan veranderd de andere mee.
Je gebruikt een formule om het verband tussen variabelen te beschrijven of om een rekenregel kort op te schrijven.
Wat is nu een lineair verband?
Als er sprake is van een lineair verband, dan heb je een gelijke toename of afname. Je spreekt van regelmaat, een soort herhaling.
Hoe herken je een lineair verband?
In een grafiek
De grafiek van een lineair verband is een rechte lijn of losse punten die op een rechte lijn liggen.
In een tabel.
In een tabel van een lineair verband is er sprake van gelijke stappen. Van regelmaat, herhaling. Er komt telkens even veel bij of gaat telkens even veel af.
Aan de formule zelf.
Een lineaire verband heeft een vaste opbouw:
y = a x + b
Elke letter in deze vaste opbouw heeft een eigen functie. Dat zie je in het plaatje hieronder.
Het is handig om bovenstaande schema uit het hoofd te leren, je gaat het nog vaak gebruiken.
.1.
Benzine verbruik
In de grafiek hieronder zie je het verband tussen het bezineverbruik en de afgelegde afstand in km.
Hoe zie je aan de grafiek dat het verband tussen het bezine verbruik en de afgelegde afstand een lineair verband is?
Lees uit de grafiek af hoeveel kilometer je kunt rijden met 15 liter benzine. Noteer je antwoord in je schrift.
Vul in: De auto rijdt 1 : ....
Hoeveel kilometer kun je rijden met 7 liter benzine?
.2.
Een kaars branden
Een kaart wordt aangestoken. In de grafiek zie je het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars weergegeven.
Is het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars een lineair verband? Hoe zie je dat aan de grafiek. Noteer je antwoord in je schrift.
Lees uit de grafiek af hoeveel hoe lang de kaars nog is na 4 uur branden
Hoe denk je dat de kaars er uitzag toen deze werd aangestoken. Maak een schets met potlood.
Bij welke vorm van de kaars zal het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars wel een lineair verband zijn?
.3.
Gat in ton.
Joachim vult twee grote tonnen met water. Helaas heeft Joachim niet gezien dat deze twee tonnen lek zijn. Daarom stroomt er langzaam water uit de ton. De grafiek geeft het verband tussen de inhoud van de tonnen en de tijd in minuten weer
Hoe kun je aan beide grafieken zien dat we hier te maken hebben met een lineair verband?
Welke ton is het eerste leeg?
Welke ton heeft de grootste inhoud nadat deze gevuld zijn?
Na hoeveel tijd zit er in beide tonnen even veel water?
.4.
Folders bezorgen
Mirac bezorgt iedere week voor het bedrijf van zijn vader folders in de wijk rond. Mirac krijgt van zijn vader 7,5 cent per folder die hij rondbrengt. Bekijk de tabel die hoort bij de verdiensten van Mirac.
Tussen welke variabele is er in de tabel een verband weergegeven?
Neem de tabel over in je schrift. Vul de tabel verder in.
Is het verband lineair? Leg je antwoord uit.
.5.
Reeks met lucifers.
Met lucifers kun je allerlei figuurtje leggen. Het verband tussen het aantal lucifers en het aantal driehoeken kun je weergeven in een tabel
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Geef met boogjes de regelmaat in je tabel weer.
Maak de zinnen af: Als je een extra driehoek aan de figuur legt, dan komen er ..... lucifers bij.
Is het verband tussen het aantal lucifers en de driehoeken lineair? Hoe zie je dat aan de tabel?
.6.
Oppervlakte vierkant.
Als je van een vierkant de zijden weet, dan kun je de oppervlakte uitrekenen. Bekijk de tabel.
Tussen welke variabele is in de tabel een verband weergegeven?
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Is het verband een lineair? Waarom wel of waarom niet?
.7.
Spelcomputer huren.
Bij Gamespot kun je spelcomputers huren. Gamespot berekent het huur bedrag met de volgende formule: huurprijs = 12,50 + 2,50 x aantal dagen
de huurprijs is in euro.
Je wilt de spelcomputer 6 dagen huren. Bereken de huurprijs voor zes dagen. Noteer je berekening in je schrift.
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Teken de boogjes bij je tabel.
Teken een grafiek bij de tabel.
Is het verband tussen het aantal dagen en de huurprijs lineair?
.8.
Cijfers voor de wiskundetoets.
Bij een wiskundetoets kon je maximaal 45 punten halen.
De docent berekent jouw cijfer dan met de volgende formule: \(cijfer = {1\over 5} \times aantal \space punten + 1\)
Het cijfer rond je af op 1 decimaal.
Bereken het cijfer dat je haalt wanneer je 28 punten hebt behaald.
Nizar beweert dat wanneer je het dubbele aantal punten hebt behaald je ook een twee keer zo hoog cijfer hebt. Laat met een berekening zien of Nizar gelijk heeft.
Neem de tabel over en vul hem in.
Teken de boogjes bij je tabel.
Is hier sprake van een lineair verband?
.9.
Stippenfiguur.
Bij de reeks met stippenfiguren hieronder.
Als je het nummer van de figuur weet kun je met behulp van een formule uitrekenen hoeveel stippen deze figuur groot is.
\(S = n \times n + n\)
Hierin is S het aantal stippen en N het nummer van de figuur
Wat denk je, hoort de formule bij een lineair verband?
Bereken het aantal stippen dat figuur nummer 6 heeft. Schrijf je berekening op.
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Teken de boogjes bij je tabel..
Kijk nu nog eens naar je antwoord bij vraag a. Had jij deze vraag goed?
H3.3 begingetal en stapgrootte
Het begingetal.
Het begingetal geeft de begin hoeveelheid aan. Dit wordt ook wel het vaste bedrag of het startgetal genoemd.
Je vindt het begingetal door het getal nul in je formule in te vullen.
voorbeeld: \(y = 3 + 2\space x\)
Vul je voor X het getal nul in dan krijg je \(y = 3 + 2 \times 0 = 3\)
Het begingetal in deze formule is 3.
In een lineaire formule is het losse getal (het getal zonder letter) het begingetal.
In het laatste voorbeeld is het begingetal een keer vooraan in de formule gezet.
De stapgrootte
De stapgrootte geeft aan hoeveel er per eenheid bijkomt of afgaat.
Je kunt dit vooral goed in de tabel of in de grafiek zien
De stapgrootte heeft in de tabel te maken met de stapjes die zich telkens herhalen.
Maak je een stapje van 1 op de bovenste rij, dan komt er in de onderste rij een stapje van 20 bij.
Er is sprake van regelmatige toename
In de tabel hierboven zie je dat wanneer er één uur bij komt de prijs met 20 toeneemt.
de stapgrootte is dus +20 euro per uur.
Maak je in de tabel hierboven een stapje van +1 in de bovenste rij, dan neemt de hoeveelheid in de onderste rij met 4 af. Er is sprake van regelmatige afname.
*Belangrijk is dat je de stapgrootte altijd in stapjes van 1 berekend.
In de grafiek kun je de stapgrootte ook goed zien. Vaak wordt er in plaats van het begrip stapgrootte het begrip hellingsgetal gebruikt. Als je naar de grafieken kijkt dan heb je snel door waarom we de stapgrootte ook wel het hellingsgetal noemen.
Ga je een stapje van één naar rechts (x-as) dan gaat de grafiek twee omhoog( y-as).
Het hellingsgetal is +2 Bij een stijgende lijn hoort een positief hellingsgetal.
Ga je een stapje van één naar rechts (x-as) dan gaat de grafiek twintig omlaag( y-as).
Het hellingsgetal is -20 Bij een dalende lijn hoort een negatief hellingsgetal.
Een kaars met een lengte van 30 cm, brandt in 6 uur helemaal op.
Er is sprake van een lineaire verband.
In de tabel zie je dat bij gelijke stappen van tijd, gelijke stappen van lengte horen. Er is sprake van regelmatige afname.
Per uur neemt de lengte met 5 af. In de tabel kun je ook het begingetal aflezen, kijk maar onder nul. Het begingetal = 30 cm.
De grafiek die bij de tabel hoort is een rechte lijn.
Neemt de tijd met één uur toe, dan daalt de lijn met 5 cm. Je kunt in de grafiek ook het begingetal aflezen. Kijk maar bij x=0 de grafiek is daar 30 cm hoog. Het begingetal =30 (op een hoogte van 30 snijdt de grafiek de y-as)
.1.
Huurprijs berekenen
Shariq wil graag een scooterhuren.
Verhuurbedrijf Go-Fast rekent hiervoor de volgende prijs:
Verzekeringskosten = €50, prijs per dag = €25. Bekijk ook de tabel
Neem de tabel over en geef daarbij de stapjes aan.
Is hier sprake van een lineair verband?
Noteer de stapgrootte/hellingsgetal.
.2.
Stapgrootte / hellingsgetal uitrekenen.
Hieronder zie je 2 tabellen. Bij beide tabellen hoort een lineair verband (er is sprake van regelmaat in de tabellen).
Reken bij beide tabellen de stapgrootte/hellingsgetal uit.
.3.
Stapgrootte / hellingsgetal uitrekenen.
Hieronder zie je 2 tabellen. Bij beide tabellen hoort een lineair verband (er is sprake van regelmaat in de tabellen).
Reken bij beide tabellen de stapgrootte/hellingsgetal uit.
.4.
Huurprijs berekenen
Dunja heeft een aantal uur achter elkaar de temperatuur 's middags gemeten. De resultaten zie je in de tabel.
Teken de grafiek bij de tabel.
Bereken de stapgrootte/hellingsgetal
Teken met potlood de stapgrootte/hellingsgetal net als in de uitleg in je grafiek.
.5.
Hellingsgetal/stapgrootte berekenen.
De grafiek hieronder geeft het verband tussen de tijd en de temperatuur weer.
Hoort er bij deze grafiek een positief of een negatief hellingsgetal/stapgrootte?
Bereken het hellingsgetal/stapgrootte bij de grafiek.
Lees het begingetal af.
.6.
Huurprijs berekenen
Matthijs huurt een quad in de grafiek zie je wat dit gaat kosten per kilometer. De rode grafiek hoort bij verhuurbedrijf Quadcore, de blauwe grafiek bij bedrijf Q-wheels
Van welke grafiek is het hellingsgetal negatief? Hoe zie je dat aan de grafiek?
Lees het begingetal van grafiek C af.
Is het hellingsgetal van grafiek B groter of kleiner dan het hellingsgetal van grafiek A. Laat dit met een berekening zien.
H3.4 Een formule maken
Wanneer je het begingetal en de stapgrootte/hellingsgetal in een verhaaltje, tabel of grafiek herkent of kunt vinden. Dan kun je een lineaire formule maken.
Een lineaire formule heeft namelijk een vast voorschrift (een vast invulschema).
Elke lineaire formule ziet er hetzelfde uit.
Dit is handig, want dan kun je lineaire formules makkelijk herkennen en je kunt als je het voorschrift (het invulschema) kent ook zelf een lineaire formule maken bij een verhaaltje, tabel of formule.
Leer het vaste voorschrift van een lineaire formule uit het hoofd.
Zodra je dit schema kent, dan moet het nog leren invullen.
Hieronder volgen drie voorbeelden.
Voorbeeld 1. Formule bij een context (verhaaltje)
Shanna werkt voor een pizzabakker.
De pizzabakker betaalt Shanna iedere week loon.
Per gewerkt uur krijgt Shanna € 2,50. Aan het eind van de week krijgt Shanna uit de fooienpot nog eens € 6,-.
hanna werkt deze week 8 uur.
Volgende week werkt zij 6 uur en in de vakantieweek werk Shanna wel 21 uur.
Herken jij in het verhaaltje een vorm van regelmaat (herhaling), er komt iedere keer hetzelfde bij, dan hoort er een lineaire formule bij die context (verhaaltje).
Shanna werkt voor een pizzabakker.
De pizzabakker betaalt Shanna iedere week loon. Per gewerkt uur krijgt Shanna €2,50. Aan het eind van de week krijgt Shanna uit de fooienpot nogeens€6,-.
In het voorbeeld krijgt Shanna per uur €2,50 (dit herhaalt zich dus elk uur)
en aan het eind van de week €6,- (eenmalig, een vast bedrag)
De formule wordt dan dus:
y = ax + b Verdiensten = .... x aantal uren + ....
Verdiensten = 2,50 x aantal uren + 6
Voorbeeld 2. Formule bij een tabel.
Bij een tabel werkt het net zo als bij het verhaaltje. Herken je regelmaat (herhaling) in de tabel, dan hoort er een lineaire formule bij.
Bij de verdiensten van Waïs hoort onderstaande tabel.
Deze tabel lijkt niet meteen regelmatig. Maar wanneer je de boogjes bij de tabel tekent zie je het misschien al iets duidelijker.
Als nog, het lijkt niet echt regelmatig. Maar wanneer je de stapjes boven allemaal even groot maakt, dan worden de stapjes onder ook allemaal even groot. Kijk maar.
\({3 euro \over 1 uur} = 3\) en \( {9 euro \over 3 uur} = 3\) en \({6 euro \over 2 uur} = 3\) en \({12 euro \over 4 uur} = 3\)
Wanneer je het getal bij het onderste boogje deelt door het getal bij het bovenste boogje krijg je telkens dezelfde uitkomst. Elk stapje (van 1 uur) is 3 euro waard.
De stapgrootte is dus 3 (per uur krijgt hij 3 euro)
Het begingetal kon je al vinden in een tabel. Deze staat onder nul in je tabel.
Je hebt het begingetal afgelezen (onder nul in je tabel) en je stapgrootte/hellingsgetal berekend, dan kun je nu de formule gaan maken.
Noteer het vaste formulevoorschrift in je schrift. y = stapgrootte • x + begingetal
Vul voor de y en voor de x de woordjes van de y-as en x-as in.
Lees het begingetal af en vul dit op de goede plek in.
Bereken de stapgrootte en vul deze in.
- Teken de boogjes bij de tabel.
- Noteer de verschillen per boogje.
- Maak de deelsom \(onderste \space boogje \space(y-as) \over bovenste \space boogje \space (x-as)\) en noteer het antwoord.
Controlleer je formule door er 2 punten uit je tabel me na te rekenen.
Voorbeeld 3. Formule bij een grafiek.
Bekijk eerst het filmpje bij deze uitleg. Daarna kun je de uitleg hieronder gebruiken als samenvatting. (neem de 5 stappen over in je schrift!)
Hoe maak je een formule bij een grafiek.
Schrijf je vaste formule voorschrift op.
y = hellingsgetal • x + begingetal
Noteer op de plek van de y de woordjes van de y-as en op de plek
van de x de woordjes van de x-as.
Lees het begingetal af uit je grafiek en vul dit in.
Bereken het hellingsgetal:
- zoek 2 roosterpuntjes.
- kijk wat er gebeurt (hoeveel horizontaal / hoeveel verticaal)
- Maak de deelsom \(verticaal \over horizontaal\)
- vul nu je hellingsgetal op de juiste plek in je formule in.
Controleer of je formule klopt door 2 punten uit je grafiek na te rekenen.
. 1.
Taxibedrijf
Een taxibedrijf laat de prijs voor een rit afhangen van het aan kilometers van de rit. In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de afstand in km en de ritprijs in euro
Hoe kun je aan de grafiek zien dat het verband tussen de afstand en de ritprijs een lineaire verband is?
Neem de tabel over en vul hem verder in.
Vul in:
Telkens als de afstand met 1km toeneemt, neemt de ritprijs met
1. ... ... euro toe. Het hellingsgetal van de grafiek is 2. ... ...
In welk punt snijdt de grafiek de y-as (verticale as) noteer het coördinaat in je schrift.
Maak de formule bij dit verband.
. 2.
Roosterpunten uit de grafiek
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen het aantal fouten en het cijfer.
De grafiek is een rechte lijn. Bij de grafiek hoort een lineaire formule.
Vul in: De grafiek gaat door de punten (0 , ...) en (... , ...)
Noteer twee roosterpunten die je in de grafiek kunt vinden.
Bereken het hellingsgetal (stapgrootte) van de grafiek.
Hoe kun je aan het hellingsgetal zien dat de grafiek dalend is?
Maak een passende formule bij de grafiek.
. 3.
Regelmaat herkennen.
Jolijn fietst elke dag naar school. Zonder verkeerslichten doet Jolijn 10 minuten over de route naar school. Helaas komt Jolijn heel veel verkeerlichten tegen op haar weg van school naar huis. Per rood verkeerslicht moet zij gemiddeld 45 seconden wachten. Als Jolijn weet hoeveel rode verkeerslichten zij onderweg tegen zal komen dan kan zij berekenen hoe lang ze onderweg is naar school.
Op maandag komt Jolijn 2 rode verkeerslichten tegen. Hoelang duurt de reis nu van huis naar school? Noteer een berekening in je schrift.
Op dinsdag komt ze 5 rode verkeerslichten tegen. Hoe lang duurt de reis van huis naar school nu? Noteer een berekening in je schrift.
Welk getal in het verhaaltje is het vaste getal (het begingetal?)
Wel getal in het verhaaltje is de stapgrootte?
Maak een formule waarmee Jolijn kan uitrekenen hoe lang zij onderweg is van huis naar school.
Op vrijdag heeft Jolijn er 16 minuten en 45 seconden over. Hoeveel rode verkeerslichten is Jolijn nu tegen gekomen?
. 4.
Scheikundeproef
Tijdens een scheikundeproef houden de leerlingen hun metingen bij. Bij elke meting noteren zij het aantal ml dat van de stof overblijf.
In de tabel hieronder zie je de uitkomsten van de metingen.
Wanneer je de grafiek zou gaan tekenen, dan gaat de grafiek door
het punt (0, ...)
Vul in:
Telkens als je een nieuwe meting doet, neemt de inhoud met .... af.
Maak een formule bij de tabel.
Controleer je formule door twee waarden uit de tabel na te rekenen.
Noteer de berekeningen in je schrift.
. 5.
Folders
Redouan brengt iedere woensdag folders rond. Hoeveel hij verdient, hangt af van het aantal folders dat hij rondbrengt.
Bij het verband tussen het aantal folders en de verdiensten is een grafiek getekend. In de grafiek zie je dat Redouan €7,50 verdient als hij 100 folders rondbrengt.
Noteer het begingetal van de grafiek in je schrift.
Lees in de uitleg de stapjes voor het berekenen van het hellingsgetal nog eens door en noteer de stappen in je schrift.
Bereken het hellingsgetal van deze grafiek.
Maak voor Redouan een formule bij het verband tussen het aantal folders en zijn verdiensten.
. 6.
Festival
Maya organiseert een groot feest. Ze heeft voor 1200 euro een grote zaal gehuurd, een Dj gehuurd voor 500 euro en voor 600 euro aan drankjes en hapjes ingekocht. In totaal heeft zij dus 2300 euro uitgegeven.
Daarom vraag Maya entree geld voor het feest. Per bezoeker vraagt Maya €12,50.
Maya wil graag uitrekenen hoeveel bezoekers er minimaal moeten komen om uit de kosten te komen. Ook zou Maya het leuk vinden winst te maken zodat ze vaker feesten kan organiseren
Wat is het bedrag dat Maya uitgeeft voor de organisatie voor het feest?
Welk bedrag rekent Maya voor een kaartje voor het feest?
Noteer het vaste formulevoorschrift van een lineaire formule in je schrift.
Maak voor Maya een formule waarmee zij kan berekenen hoeveel winst/verlies zij maakt.
Maakt Maya winst als er 200 bezoekers naar het feest komen? Noteer de berekening in je schrift.
Hoeveel bezoekers moeten er minimaal naar Maya's feest komen om geen verlies te maken? Noteer de berekening in je schrift.
. 7.
Reparatie kosten
De scooter van Rhama is stuk. Er moet een onderdeel vervangen worden. Voor het repareren van de scooter moet je naast een nieuw onderdeel ook nog de arbeidskosten betalen.
In de tabel zie je wat de kosten zijn als de reparatie twee kwartieren duurt
en wat de reparatie kost als het 4 kwartieren duurt.
Op het werkblad staat de tabel. Vul de ontrekende waarden in.
Zet boogjes bij de tabel en bereken de verschillen.
Bereken de stapgrootte die bij de tabel hoort, noteer het in je schrift.
Lees het begingetal af en noteer het in je schrift.
Schrijf het vaste formulevoorschrift op in je schrift.
Maak de formule die hoort bij de tabel.
Controleer je formule door 2 waarden uit de tabel na te rekenen. Noteer de berekeningen in je schrift.
. 8.
In de krant.
Lees het krantenartikel hieronder en bekijk de grafiek die in het krantenartikel staat.
Als we voor de lengte als begin het jaar 1900 nemen. Welke waarde voor lengte hoort er voor de gemiddelde Nederlanders dan bij? (noteer het begingetal)
In 1996 was de gemiddelde Nederlander al 1,75. Hoeveel centimeter is de gemiddelde lengte van de Nederlander vanaf 1900 toegenomen? Hoeveel millimeter is dat?
Bereken hoeveel millimeter de gemiddelde lengte van de Nederlanders per jaar is toegenomen.
Maak een formule die bij het krantenartikel past.
Reken de gemiddelde lengte van de Nederlander in het jaar 1950 uit.
Bereken met de formule hoe lang de gemiddelde Nederlander in het jaar 2020 volgens de formule zal zijn.
H3.5 Oplossen met grafieken
2H05.3 Uitleg .............................................................................................................................
In plaats van geschreven teksten en een koppeling naar de uitleg,
vandaag 2 filmpjes.
Bekijk eerst dit filmpje. Hierin wordt uitgelegd wat een vergelijking is.
Heb je het eerste filmpje gezien, misschien zelfs een aantekening
gemaakt die je makkelijk kunt leren, dan is het tijd voor de tweede uitlegvideo.
Je besluit voor komend schooljaar zelf ook je schoolspullen online te kopen. Voor een pen betaal je € = 0,30. Behalve de prijs per pen betaal je ook nog €5,- aan verzendkosten.
Bij het bestellen van de pennen hoort de woordformule:
Kosten in € = 5+ 0,30 x aantal pennen.
Maak van de woordformule een formule met letters. Laat ook het keerteken uit je formule weg.
Teken een tabel bij de grafiek. Maak voor het aantal pennen
stapjes van 2. Ga door tot je 10 pennen hebt berekend.
Teken de grafiek bij de tabel.
Je hebt voor je pennen €6,50 te besteden. Lees uit de grafiek af hoeveel pennen je nu kunt kopen. (teken ook de lijnen hiervoor in je grafiek zoals in het filmpje is voorgedaan).
2
Grafiek aflezen
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen het aantal gewerkte uren (x-as) en de verdiensten in euro (y-as)
Bij de grafiek hoort de lineaire formule
Verdiensten = 10 + 5 x aantal uren
Je hebt 20 euro verdient. Lees in de grafiek af hoeveel uur je daarvoor hebt gewerkt. Noteer het antwoord in je schrift.
Je hebt 40 euro verdient. Lees in de grafiek af hoeveel uur je daarvoor hebt gewerkt. Noteer het antwoord in je schrift.
Teken een tabel bij de grafiek. Maak op de x-as stapjes van 2, ga door tot je 10 werkuren in je tabel hebt staan.
Je hebt 60 euro verdient. Dit bedrag kun je niet aflezen in de grafiek. Gelukkig kun je met de tabel wel laten zien hoeveel uur je daar voor moet werken. Omcirkel dit antwoord met potlood in je tabel.
Je hebt 100 euro verdient, maak met behulp van de formule een berekening waarmee je kunt uitrekenen hoeveel uur je hebt gewerkt om 100 euro te verdienen.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag 2a heb je verdiensten vergeleken met het aantal gewerkte uren.
3
Het snijpunt van de grafiek
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de lengte van een kaars en het aantal branduren
Bij de grafiek hoort de volgend lineaire formule:
L = 22 - 2B
L = Lengte in cm
B = aantal branduren
In de formule zie je 2B staan. Wat betekend dit?
Hoe lang was de kaars toen deze werd aangestoken?
Na hoeveel branduren is de kaars nog 14 cm lang?
Na hoeveel branduren is de kaars op?
Het is lastig aflezen na hoeveel branduren de kaars nog maar 11 cm lang is.
Reken met behulp van de formule uit na hoeveelbrand uren de kaars 11 cm lang is.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag 3c heb je de lengte van de kaars vergeleken met het aantal branduren.
4
Het snijpunt van de grafiek en een lijn.
Bij het verkopen van pennen via internet hoort de volgende formule:
Aantal pennen in voorraad = 150- 15 x aantal dagen.
Maak van de woordformule een formule met letters. Laat ook het keerteken weg. Noteer je formule in je schrift.
Teken een tabel bij de grafiek. Ga door tot je voorraad op is. *denk na over handige stapjes.
Teken de grafiek bij de tabel.
Lees uit je grafiek af na hoeveel dagen je nog 90 pennen over hebt op voorraad. Teken ook de bijbehorende lijnen zoals in het filmpje is voorgedaan.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag 4 heb je de voorraad vergeleken met het aantal dagen.
5
Het snijpunt van twee lijnen
Je kunt ook grafieken met elkaar vergelijken. Hoe je dat doet zie je in dit filmpje
Bekijk eerst het filmpje. Daarna kun je onderstaande vragen beantwoorden.
Erdem en Jennifer werken beide bij DOMINO'S pizza. Erdem als bezorger en Jennifer achter de toonbank. Ze krijgen beiden anders betaald.
Erdem \(\longrightarrow\)V = 2 + 4,5u
Jennifer \(\longrightarrow\)V = 8 + 2,50u
Hierin is V de verdiensten in euro en U het aantal gewerkte uren.
Maak voor Erdem en Jennifer passende tabellen.
Teken de grafieken die horen bij de formules/tabellen in één assenstelsel (net als in het filmpje)
Lees het snijpunt van beide grafieken af.
Wat betekend dit snijpunt (wat heb je nu eigenlijk afgelezen?)
Wanneer je een snijpunt van twee grafieken afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag 5c heb je verdiensten vergeleken met het aantal gewerkte uren.
6
Vergelijking van twee lijnen
In het assenstelsel hiernaast zijn de grafieken getekend van:
y = 6 + 6x en y= 12 + 4x
Bij het snijpunt hoort de vergelijking:
6 + 6x = 12 + 4x
Volgens Ayoub is de oplossing x = 4.
Vul het getal 4 in beide formules in en noteer je berekening.
Wat valt je op aan de antwoorden?
Noteer de coördinaten van het snijpunt in je schrift. ( ... , ... )
Leg uit wat de coördinaten betekenen.
Laat met een berekening zien (zoals bij opgave a) welke oplossing er bij de vergelijking hoort.
7
Installatiebedrijven
Twee installatiebedrijven berekenen hun prijzen met de volgende formules:
Bedrijf A: p = 25 + 25 t
Bedrijf B: p = 50 + 20 t
t is de tijd in uren en p is de prijs in euro’s.
Neem de tabel over en vul de tabel verder in:
t
0
2
4
6
8
Bedrijf A p
Bedrijf B p
Teken in één assenstelsel beide grafieken.
Wanneer je twee grafieken (lijnen) elkaar laat snijden, los je een vergelijking op.
Welke lineaire vergelijking hoort bij het snijpunt?
Wat is de oplossing van deze vergelijking?
Wat is de betekenis van de oplossing?
8
Grafieken en formules
Bij de grafieken hieronder horen de formules:
I: belkosten = 22,5 + 0,1 × beltijd
II: belkosten = 10 + 0,15 × beltijd
beltijd in minuten, belkosten in euro’s.
Maak van de woordformules formules met letters.
Laat ook het keerteken weg.
Het snijpunt van de twee grafieken vindt je bij:
( ... , ...) Noteer de coördinaten.
Wat is de betekenins van deze coördinaten?
Wanneer je twee grafieken(lijnen) met elkaar laat snijden los je ook een vergelijking op.
Welke vergelijking hoort er bij het snijpunt van de twee grafieken?
.... = .... (vul de twee formules in)
Wat is de oplossing van deze vergelijking.
Laat met een berekening zien dat je gevonden oplossing klopt.
9
Grafieken
In het assenstelsel zie je twee grafieken.
Bij de grafieken horen de volgende formules:
I: u = 4 + 2 x g of korter geschreven U = 4 + 2G
II: u = 10 -2 × g of korter geschreven U = 10 - 2G
Vul in:
Het snijpunt van de twee lijnen vind je bij:
( .... ; .... ) vul het coördinaat in.
Wat betekend dit coördinaat?
Wanneer je twee lijnen met elkaar laat snijden los je ook een vergelijking op.
4 + 2G = 10 - 2G
Welk getal moet je nu voor voor G invullen zodat de grafieken elkaar raken?
Controle: Je kunt altijd je antwoord narekenen.
Vul nu in beide formules het getal dat jij afgelezen hebt op de plek van de G in. Als je het goed gedaan hebt heb je in beide formules hetzelfde antwoord gekregen.
I: u = 4 + 2 x ... =
II: u = 10 - 2 x ... =
Schrijf de berekening die bij het controleren van de vergelijking hoort op.
Laat ook duidelijk zien dat je nu twee keer hetzelfde antwoord hebt gekregen.
10
Vergelijkingen en oplossingen
Je ziet drie lineaire vergelijkingen en drie oplossingen.
Welke oplossing hoort bij welke vergelijking?
Vergelijkingen:
-6 + 6x = 2 + 4x
0 +6 x = 2+ 4 x
6 + 6 x = 4 x + 2
Oplossingen:
x = -2
x = 4
x = 1
Noteer het antwoord in je schrift:
A = .... (vul het juiste antwoord in)
B = ...
Hier rechts zie je de balans uit het filmpje. Links van de steen zie je 2 zakken en 1 losse knikker. Rechts van de steen zie je 7 losse knikkers.
Wanneer we een vergelijking oplossen willen we de onbekende uitrekenen. We willen dus weten hoeveel 1 zak waard is.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort.
... + 2 zakken = ....
Wanneer we aan beide kanten 1 losse weg halen dan krijg je de volgende vergelijking:
2 zakken = ....
We willen niet weten wat 2 zakken waard is, maar we willen weten wat 1 zak waard is.
daarom delen we beide kanten van de steen door 2. De oplossing is dan:
1 zak = ...
2
Balans
In plaats van een wipwap (de steen uit het filmpje) kun je ook een ouderwetse weegschaal gebruiken om de balansmethode voor je te zien.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:
2 + 4x = 12
Neem de vergelijking over in je schrift.
2 + 4x = 12
Haal aan beide kanten losse blokjes weg
*let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.
3
Balans
Hiernaast zie je een balans getekend.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
Los de vergelijking op.
Welke waarde van x heb je gevonden?
4
Waar zit de fout?
Hierboven zie je de balans getekend die hoort bij de vergelijking
2x + 1 = 9
Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking. Ergens gaat het fout.
2x + 1
=
9
-1x
-1x
1x + 1
=
8
-1
-1
1x
=
7
Bij welke stap zit de fout?
Welke fout wordt er gemaakt?
Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)
Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit nog even voordat je verder gaat met vraag vijf.
5
Balans
Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.
Neem over en vul in. Aan de linkerkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
Aan de rechterkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
De vergelijking die bij de balans hoort is: 4 + ...x = ... + 3x
Los de vergelijking op.
4 + 5x
=
10 + 3x
...
...
5x
=
6 + 3x
...
...
...
=
6
...
...
x
=
.....
Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........
Lukt het je niet om de balans op te lossen? Bekijk dan even dit
6
Teken zelf de balans
Teken zelf een balans bij:
8x + 6 = 2x + 24
Los de vergelijking op:
8x + 6
=
2x + 24
...
...
..... + 6
=
24
...
...
.....
=
.....
...
...
x
=
.....
7
Twee vergelijkingen
Los deze vergelijkingen op met de balansmethode.
5x + 6 = 2x + 24
8x + 36 = x + 1
8
Taxibedrijf
Een taxibedrijf gebruikt bij het berekenen van de ritprijs de volgende formule:
prijs = 2 + 3 × afstand of korter genoteerd: p = 2 + 3a
De prijs is in euro’s en de afstand in kilometers.
Meneer Harmsen heeft een rit gemaakt met dit taxibedrijf.
Hij moet € 17,- afrekenen.
Meneer Harmsen wil weten hoeveel kilometer de rit was.
Hij moet de vergelijking: 2 + 3a = 17 oplossen.
Los de vergelijking op met een (terug-)rekenschema
Los de vergelijking op met de balansmethode
Welke manier heeft jouw voorkeur?
9
Kaarsen
Twee kaarsen worden tegelijk aangestoken. De eerste kaars is 20 cm lang per branduur wordt de kaars 2 cm korter. De tweede kaars is 30 cm lang wordt per branduur 4 cm korter.
Neem je t voor brandtijd in uren en L voor de lengte van de kaars, wat zijn dan de twee formules die bij de lengtes van deze kaarsen horen?
Je wilt weten na hoeveel uur branden beide kaarsen even lang zijn.
Met welke vergelijking kun je dit berekenen? Noteer de vergelijking in je schrift
Los die vergelijking op.
Na hoeveel uren branden zijn beide kaarsen even lang?
Hoe lang zijn de kaarsen dan?
10
Vergelijkingen oplossen
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
4x = 16 + 2x
14a + 9 = 7a + 86
8 - 6y = 3y - 28
11
Omtrek
Bekijk deze twee figuren.
Wat kun je schrijven voor de omtrek van het linker figuur?
Wat kun je schrijven voor de omtrek van het rechter figuur?
Welke vergelijking moet je oplossen om uit te zoeken voor welke a de omtrek van beide figuren gelijk is?
Los die vergelijking ook op.
12
Toetscijfer
Voor een toets kun je maximaal 36 punten halen. De docent berekent bij deze toets het cijfer door bij het behaalde aantal punten vier op te tellen en dan de uitkomst daarvan te delen door vier.
Stel het behaalde aantal punten voor door p en het cijfer door c .
Maak het rekenschema dat de docent hierbij gebruikt.
Stel een bijpassende formule op: c = .....
Je wilt weten hoeveel punten je moet halen voor een 7,5.
Stel de vergelijking op die hier bij hoort en bepaal de oplossing.
13
Oplossen met de balansmethode
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
13 = 1 + 2x
23 + 3a = 38
28 + 4x = 40 + 1x
3 + 3x = x – 5
6x + 11 = –2x + 9
–3x – 11 = 1 + 3x
H3.7 Gemengde opgaven
In de gemengde opgaven oefen je met het toepassen van de uitleg uit de voorgaande paragrafen.
Kale opgaven en opgaven met een verhaaltje (een context) worden met elkaar afgewisseld.
.1.
Grafiek
Bekijk de grafiek hieronder.
Welke woordjes horen bij de y-as?
Welke woordjes horen bij de x-as?
Lees het begingetal van de grafiek af.
Bereken de stapgrootte (hellingsgetal) van de grafiek.
Maak een formule die bij de grafiek past.
Laat met 2 berekeningen zien dat je gemaakte formule bij
vraag e klopt.
.2.
Tabellen.
Bekijk de drie tabellen hieronder.
Bereken de stapgrootte van tabel 1.
Hoort er bij tabel 1 een lineaire formule?
Schrijf de formule die hoort bij tabel 1 op.
Bij welke tabel hoort er nog meer een lineaire formule?
. 3.
Machientjes schema
Bekijk het machientjes schema hiernaast. Schrijf daarna netjes je berekening op.
Voer het getal -2 in, bereken de uitvoer.
Voer het getal 2 in, bereken de uitvoer.
Maak bij bovenstaand machientjes schema een tabel met
invoer van van -3 tot 3. Vul ook de antwoorden die daarbij
horen in.
. 4.
Balansmethode
Hiernaast zie je een ouderwetse balans met daaronder de bijbehorende vergelijking:
4x + 1 = x + 10
Neem de vergelijking over in je schrift.
Los de vergelijking op.
Laat met een berekeningen zien dat jou gevonden oplossing bij deze vergelijking klopt.
. 5.
Fietskoerier
Mitchell wil graag wat bijverdienen in de vakanties. Hij geeft zich op om fietskoerier te worden. Als fietskoerier bezorg je allerlei pakketten in de stad met je fiets.
Van de baas krijgt Mitchell elke maand €4 vergoeding voor het onderhoud van zijn fiets.
Per uur verdient Mitchell € 3,20
Mitchell heeft in mei 21 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten.
In de maand juli werkt Mitchell 28 uur. Bereken zijn verdiensten.
Maak een formule die bij de verdiensten van Mitchell past.
In december verdient Mitchell €32,80.
Welke vergelijking hoort er bij deze verdiensten?
Los de vergelijking van vraag d op met de balansmethode.
.6.
Ondernemen
Iedereen die een eigen bedrijf start wil natuurlijk zo snel mogelijk er iets aan verdienen. Je wilt meer geld binnen krijgen dan dat je moet uitgeven, dan maak je namelijk winst.
Bekijk de grafiek hieronder, deze gaat over inkomsten en uitgaven van een bedrijf
Lees het begingetal van de uitgaven af en noteer het in je schrift.
Noteer de coördinaten van het snijpunt van de grafieken.
Leg uit wat dit snijpunt van de grafieken betekend.
. 7.
Balansmethode
Bekijk de vergelijking en los deze op met de balansmethode
Lees, vóórdat je aan de opgaven begint,eerst §2 de uitleg nog eens door.
1
Reeks ballen
Hieronder zie je reeks met een aantal ballen.
Hoeveel ballen komen er telkens bij?
Uit hoeveel ballen bestaat reeksnummer 5?
Neem de tabel over en vul hem in.
Reeksnummer
0
1
2
3
4
5
6
Aantal ballen
3
5
Wat is het begingetal? Schrijf ook op hoe je dit gevonden hebt.
Welke woordformule past er bij de reeks met ballen? A Aantal ballen = 5 + 3 x reeksnummer B Reeksnummer = 3 + 2 x aantal ballen C Aantal ballen = 3 + 2 x reeksnummer D Reeksnummer = 5 x aantal ballen.
Controleer je gekozen formule door het aantal ballen van reeksnummer 4 en
reeksnummer 6 te berekenen. Noteer ook de twee berekeningen.
2
Gameconsole
Joachim spaart voor een nieuwe gameconsole.
Hij heeft een bijbaantje en verdient daar iedere week €15,- mee. Voor zijn verjaardag heeft hij in totaal al 120 euro gekregen.
Hoeveel euro heeft Joachim in totaal als hij twee weken heeft gewerkt?
En hoeveel euro heeft hij als hij 4 weken werkt?
Neem de tabel over en vul hem in.
Aantal weken
0
1
2
3
4
5
6
Totaal bedrag (€)
120
135
Welke formule past er bij de tabel? A Totaal bedrag = 120 + 15 x aantal weken B Totaal bedrag = 120 + 15 + aantal weken C Aantal weken = 120 + 15 x aantal weken.
Controleer je antwoord door het bedrag voor 4 weken na te rekenen.
Schrijf ook je berekening op.
De gameconsole kost € 255. Hoeveel weken moet Joachim hier voor sparen?
3
Blokjes bouwwerken
Hieronder zie je verschillende bouwwerkjes met blokjes.
Hoeveel blokjes komen er per figuur bij?
Bepaal het aantal blokjes van figuurnummer 0.
Neem de tabel over en maak hem af.
Figuurnummer
0
1
2
3
4
5
6
Aantal blokjes
5
8
Welke formule hoort er bij de tabel? A Figuurnummer = 2 + 3 x aantal blokjes B Aantal blokjes = 2 + 3 x figuurnummer
Controleer je formule door het aantal blokjes van figuur nummer 1 en 4 na te rekenen.
Schrijf ook je berekeningen op.
Zoek uit welk figuurnummer er hoort bij een totaal van 32 blokjes.
Lees eerst de uitleg van § 4 door voordat je aan onderstaande opgaven begint
4
Blokjes figuren
Gegeven is de volgende tabel:
Figuurnummer
0
1
2
3
4
5
6
Aantal blokjes
5
11
17
Neem de tabel over en maak vul hem verder in.
Noteer de volgende gegevens bij de tabel:
Het begingetal = …
De stapgrootte = …
Woordjes van de x-as = …
Woordjes van de y-as = …
Maak de lineaire formule die bij de tabel past.
Controleer je antwoord door het aantal blokjes van figuur nummer 2 en figuur nummer 5 na te rekenen.
Noteer ook je berekeningen.
5
Fietsen
Zehra fiets graag. Op haar e-bike heeft zij een kilometertellertje.
Op het tellertje kun je aflezen dat zij in totaal al 5203 kilometer heeft gefietst. Elke week fietst Zehra in totaal 50 kilometer van en naar school.
Noteer de volgende gegevens:
Het begingetal = …
De stapgrootte = …
Neem de formule over vul de ontbrekende gegevens in: Totaal aantal kilometer = … + … ·aantal weken
Bereken het aantal kilometer dat Zahra gefietst heeft na 5 weken.
Hoeveel weken moet Zahra van en naar school fietsen om aan een totaal van 5803 kilometer te komen?
6
Sieraden
Ammara maakt sieraden. De inkoopkosten van dematerialen zijn afhankelijk van het aantal pareltjes dat zijgebruikt. Voor het zilver betaalt zijn € 25. Elk pareltje dat zij gebruik kost nog eens € 7,50 extra.
Ammara maakt in opdracht een paar oorbellen met in totaal 4 pareltjes. Bereken de kosten voor het maken van dit paar oorbellen.
Noteer de volgende gegevens:
Het begingetal = …
De stapgrootte = …
Neem de tabel over en vul deze in:
Aantal parels
0
1
2
3
4
5
6
Totale kosten (€)
40
47,5
Maak een passende formule voor Ammara.
Controleer je formule door het na te rekenen hoeveel je moet betalen voor een sieraad met 2 parels en voor een sieraad met 3 parels. Noteer ook je berekeningen
Bekijk de uitleg van §1 nog eens over machientjes.
7
Rekenschema's
Maak de pijlenschema’s hieronder af. Schrijf ze even netjes over op je papier!
Lengte in cm = 140 + 20 x aantal jaren
aantal jaren → → → lengte in cm
Verdiensten in € = 12 + 2,50 x aantal uren
aantal uren → → → verdiensten in €
Inkomsten = 3 x aantal rondes + 7
aantal rondes → → → inkomsten
Aantal borden = 12 + 4 x aantal tafels
…… → → → ……
8
Van rekenschema naar formule
Gegevens is het volgende rekenschema.
aantal liter benzine → → → aantal kilometer
Noteer de volgende gegevens:
De woordjes voor de x-as (invoer)
De woordjes voor de y-as (uitvoer)
De stapgrootte
Het begingetal
Maak de formule bij het rekenschema. Gebruik daarvoor je aangeleerde invulschema:
y (uitvoer) = begingetal + stapgrootte · x (invoer)
Bereken het aantal kilometer wanneer je 10 liter benzine hebt.
Noteer je berekening.
Je hebt in totaal 350 kilometer afgelegd.
Hoeveel liter benzine heb je dan gebruikt?
Noteer je berekening.
9
Lucifer figuren
In de reeks figuren hieronder zie je regelmaat. We kunnen hier dus een formule en
een rekenschema bij maken.
Bereken de stapgrootte.
Bereken eerst het begingetal.
Bedenk welke woordjes je voor de invoer (x-as) wilt gebruiken
Bedenk de woordjes voor de uitvoer (y-as).
Maak het bijbehorende rekenschema
…… → → → ……
Schrijf de bijbehorende formule bij de reeks figuren op.
Welk figuurnummer kun je leggen met 37 lucifers?
10
Te snel rijden
Gegeven is de volgende tabel:
aantal km/h te snel
0
10
20
30
40
Boete
0
75
150
225
300
Bereken de stapgrootte. (let op hier zijn er stapjes van 10!! Stapgrootte hoort altijd bij stapjes van 1)
Noteer het begingetal.
Maak een formule bij de tabel.
Contoleer je formule door 2 getallen uit de tabel na te rekenen.
Noteer de gemaakte berekeningen!
Maak een rekenschema bij je tabel/formule
Iemand heeft 25 kilometer te hard gereden. Bereken de hoogte van de boete.
Je krijgt een boete thuis gestuurd van 232,50. Hoeveel kilometer reed je te hard?
11
Formule 1
Gegeven is de volgende formule: y = (x - 2 ) · 5
Bereken y voor x = 4 hier staat dus: vul voor x het getal 4 in, wat is dan de uitkomst?
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = 12
Maak het bijbehorende pijlenschema (denk aan de volgorde van bewerkingen!)
y = 75 voor welke x geldt dit?
12
Formule 2
Gegeven is de formule : y = (x + 24 ) : 3
Bereken y voor x = 6 hier staat dus: vul voor x het getal 6 in, wat is dan de uitkomst?
Bereken y voor x = 12
Bereken y voor x = 21
Maak het bijbehorende pijlenschema (denk aan de volgorde van bewerkingen!)
y = 58 voor welke x geldt dit?
Wat is een vergelijking?
– Een formule met het antwoord ingevuld
– Twee formules aan elkaar gelijk gesteld (met het = -teken).
Voorbeelden
8 = 3x + 5 (een formule met het antwoord ingevuld)
7x + 4 = 9x – 4 (twee formules aan elkaar gelijk gesteld)
Moeilijker gezegd:
Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking van twee uitdrukkingen, waarin een
of meer onbekende variabelen(letters), met elkaar worden vergeleken, dat wil zeggen
aan elkaar gelijk worden gesteld.
Alleen vergelijkingen met één onbekende variabele kunnen worden opgelost.
Voorbeeld:
Met de volgende formule kun je berekenen hoeveel euro je al op je spaarrekening
hebt staan:
Aantal euro = 200 + 15 x aantal weken
Wil je weten hoelang het nog duurt voordat je 290 euro op je rekening hebt staan dan
kun je de volgende vergelijking opschrijven (opstellen):
290 = 200 + 15 x aantal weken
Deze vergelijking kun je oplossen door er een rekenschema bij te maken. Verderop
in het jaar leer je dit oplossen met de balansmethode
13
Nieuwe schoenen
Shariq spaart voor een nieuw paar schoenen. Hij heeft al 45 euro op zijn rekening
staan. Iedere week krijgt hij 7 euro zakgeld.
Maak een formule voor Shariq
Vul de tabel in voor Shariq
Aantal weken
0
1
2
3
4
Spaarbedrag (€)
45
52
Het paar schoenen kost €136. Welke vergelijking hoort hierbij?
Los de vergelijking op.
Hoeveel weken moest Shariq in totaal sparen?
14
Klussen
Een bedrijf berekent de prijs voor een klus met de formule k = 115 + 5 ·a .
Hierbij is k de kosten in euro's en a het aantal gewerkte uren.
Je krijgt een rekening van 145 euro en wilt weten hoe lang ze gewerkt hebben.
Welke vergelijking kun je opstellen bij bovenstaand verhaaltje?
Maak een rekenschema en het terugrekenschema waarmee je kunt uitrekenen hoe lang het bedrijf heeft gewerkt.
Bereken hoelang het bedrijf gewerkt heeft. Schrijf je berekening op je ruitjespapier.
Welke vergelijking hoort er bij een rekening van €137,50
Bereken het aantal uren dat het bedrijf werkt voor een rekening van €137,50
15
Vergelijkingen oplossen 1
Los de volgende vergelijkingen op
28 = 8 · x + 4
192 = 12 + 30 · x
16
Vergelijkingen oplossen 2
Los de volgende vergelijkingen op
35 = 15 + 4x (het keer teken tussen 4 en x is weggelaten 4x = 4 · x )
171 = 21 + 50x
17
Formule
Gegeven is de volgende formule: y = 6x + 4
Bereken x voor y = 64
Bereken x voor y = 34
Bereken y voor x = 6
Extra stof
Inleiding.
Leerdoelen
Kennisbank
Lettervariabele
Som en verschil met letters
Kennisbank
Product en quotiënt met letters
Kennisbank
Machten met letters
Coöperatieve opdrachten
H4 Pythagoras
Inleiding.
Er is eigenlijk niemand in Nederland die nog nooit heeft gehoord van de stelling van Pythagoras.
Wanneer je het over wiskunde hebt, hoor je veel mensen dan ook al snel a2 + b2 = c2 roepen.
zonder dat je het door hebt heb je nu de stelling van Pythagoras gehoord. Maar ja zonder enige kennis of vaardigheden weet je natuurlijk nog niet wat dit dan precies betekent en hoe je dan een berekening maakt met die stelling.
In dit hoofdstuk leer je betekenis geven aan a2 + b2 = c2. Al zullen wij het eerder noteren als
rhz2 + rhz2 = sz2 deze afkortingen geven al veel meer betekenis aan de stelling.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
...de bekende wortels en kwadraten uit het hoofd berekenen.
...de gelijkzijdige, de gelijkbenige en rechthoekige driehoek van elkaar onderscheiden.
...de twee rechthoekszijden en de schuine zijde in een rechthoekige driehoek herkennen en benoemen. De stelling van Pythagoras erbij kunnen opschrijven.
...de onbekende lengte van de schuine zijde berekenen met de Stelling van Pythagoras.
...de onbekende lengte van een rechthoekszijde berekenen met de Stelling van Pythagoras.
...de stelling van Pythagoras toepassen in situaties, door hulplijnen te tekenen.
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
Extra informatie
De stelling van Pythagoras
Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.
Wist je dat…..
Over Pythagoras zelf zijn ook een heleboel interessante dingen te vertellen, en dat leert bijna niemand tijdens wiskunde. Daarom hier opgesomd, vijf interessante weetjes over de beste man en zijn wiskunde:
Pythagoras was de eerste echte wiskundige en filosoof met een eigen groep volgelingen. Pythagoras leefde in de zesde eeuw voor Christus was afkomstig van het Griekse eiland Samos. Zijn volgelingen, de Pythagoreeërs, werden mathematikoi genoemd. .
Pythagoras en zijn volgelingen dachten dat getallen de bouwstenen van het heelal waren, dat filosofie kan helpen bij het bereiken van geestelijke zuiverheid en dat bepaalde symbolen een mystieke betekenis hebben. .
Daarnaast hadden de Pythagoreeërs heel strikte leefregels. Ze aten geen bonen, ze raapten niets op wat gevallen was, ze raakten geen witte hanen aan, ze aten geen hele broden, ze maakten geen bloemenslingers, ze keken niet in een spiegel waar een lamp naast staat en ze wandelden niet over hoofdwegen. .
Vegetariërs werden vroeger Pythagoreërs genoemd. Het woord vegetariër werd in 1847 pas een officieel woord, toen in Engeland de Vegetarian Society werd opgericht. .
De stelling van Pythagoras is ook in de praktijk heel handig, bijvoorbeeld in de bouw. Met de stelling kun je namelijk berekeken hoe lang een ladder moet zijn bij een bepaalde hoogte te komen, of hoe veel dakpannen er op een dak gelegd moeten worden.
H4.1 Voorkennis
Inleiding
Een belangrijk onderdeel bij het kunnen werken met de stelling van pythagoras is het berekenen van kwadraten. Vandaar dat we in de voorkennis jou kennis en vaardigheden over kwadraten weer even opfrissen.
Leerdoelen
Aan het eind van deze paragraaf kan ik:
Uitleggen hoe ik een kwadraat uitreken.
Uitleggen hoe ik wortels berekenen.
De voorrangregels toepassen bij bewerkingen.
..1.
Wanneer je naar de reeks figuren hierboven kijkt, dan kun je het aantal sterren met de hand tellen. Maar het kan ook sneller. Welke berekening moet je dan maken?
Uit hoeveel sterren bestaat figuur nummer 7?
En uit hoeveel sterren bestaat figuur nummer 10?
Er is een figuur die uit 225 sterren bestaat, welk figuur nummer heeft deze figuur?
Uitleg.
Kwadraten en wortels
Als je naar opdracht 1 kijkt, dan kun je het aantal sterren vinden door deze te tellen, maar je kunt het ook berekenen met bijvoorbeeld 6 x 6 = 36 of 4 x 4 = 16 sterren.
Voor 6 x 6 kun je ook 62. Dat spreek je uit als zes in het kwadraat.
Het kwadraat van 4 is 42 = 4 x 4 = 16.
Weet jij dat 42 = 16 dan weet je ook \(\sqrt{16}\) = 4 want 4 x 4 = 16
en weet je dat 72 = 49, dan is \(\sqrt{49}\)= 7 want 7 x 7 = 49
\(\sqrt{25}\) spreek je uit als de wortel van 25
en \(\sqrt{196}\) spreek je uit als de wortel van 196
Het kwadraat en de wortel zijn elkaars tegengestelde.
Je rekenmachine heeft daar speciale knoppen voor.
..2.
Bereken zonder rekenmachine.
a.
82
c.
102
e.
142
g.
92
b.
62
d.
42
f.
72
h.
22
..3.
Bereken zonder rekenmachine
a.
\(\sqrt{64}\)
c.
\(\sqrt{121}\)
e.
\(\sqrt{225}\)
g.
\(\sqrt{49}\)
b.
\(\sqrt{9}\)
d.
\(\sqrt{81}\)
f.
\(\sqrt{4}\)
h.
\(\sqrt{144}\)
..4.
Je merkt wel dat het heel handig is om een aantal kwadraten uit het hoofd te leren. Je hoeft dan niet telkens op nieuw de berekening op te schrijven. Het scheelt je veel tijd, tijd die je kunt gebruiken om andere opgaven te maken.
Op je werkblad vindt je een tabel. Vul deze tabel in en leer de kwadraten en bijbehorende wortels uit het hoofd.
..5.
Bereken telkens de uitkomst van de opgaven hieronder. Je hoeft alleen het antwoord op te schrijven in je ruitjesschrift.
32 = ...
\(\sqrt{36}\)= ...
42 = ...
...2 = 81
\(\sqrt{...}\)= 12
52 = ...
92 = ...
\(\sqrt{196}\) = ...
\(\sqrt{4}\) = ...
...2 = 36
\(\sqrt{-81}\) = ...
\(\sqrt{...}\) = 10
132 =
...2 = 49
152 = ...
152 =
142 =
...2 = 100
\(\sqrt{25}\) =
\(\sqrt{...}\)= 25
Uitleg.
voorrangregels
Moet je een berekeningen maken waar verschillende rekentekens (bewerkingen +, -, :, x , \( \sqrt{...}\) en ...2) in worden gebruikt? Houd dan rekening met de voorrangsregel. Dit houdt in dat je de opgave niet zomaar in volgorde van links naar rechts moet uitrekenen. Sommige bewerkingen moet je namelijk eerder uitrekenen en hebben dus voorrang. Denk maar aan het verkeer. Hier moet je ook de regels goed toepassen, anders gebeuren er ongelukken
Volgorde van bewerkingen
Bereken eerst wat tussen haakjes staat.
Bereken de machten en wortels
Bereken keer en delen
Als laatste optellen en eraf.
Let wel op, we werken natuurlijk wel van links naar rechts.
Wat bedoelen we hier nu mee?
voorbeeld:
6 - 4 + 10 =
We zien hier een opgave met daarin - en + , deze bewerkingen staan op dezelfde hoogte in ons schema, ze zijn dus gelijkwaardig. In dat geval werken we van links naar rechts, dus wat we het eerste tegen komen.
6 - 4 + 10 =
2 + 10 = 12
Je ziet ook hoe we een bewerking met voorrangregels uitschrijven.
In het filmpje hiernaast wordt het allemaal nog eens stapje voor stapje voorgedaan.
Doe hier je voordeel mee. Kijk, zet stop en probeer. Kijk opnieuw, zet eens op pauze en spoel terug. Op deze manier leer jij jezelf deze techniek aan.
..6.
Weet je de afspraken nog?
Trek een kantlijn van minimaal 2 hokjes.
Schrijf de opgave hieronder over in je schrift, bereken stap voor stap de uitkomst.
-72 : -9 x -4 =
-16 : 8 x -5 + -16=
94 - -45 : 9 x 4 =
3 x -3 - 6 x -5 =
-21 : 7 + 8 x -3 =
..7.
Hieronder zie je de opgave 14 + 16 : 8 x 2 op twee manieren uitgewerkt.
Welke manier is goed?
Manier 1
Manier 2
14 + 16 : 8 x 2 =
14 + 16 : 16 =
14 + 1 = 15
14 + 16 : 8 x 2 =
14 + 2 x 2 =
14 + 4 = 18
..8.
( 5 + 8 ) x 4 =
6 x 3 + √25 =
26 − 12 : 6 =
14 + 24 : 8 x 2 =
2 + ( 2 + 5 ) x 32 =
..9.
Hieronder zie je de opgave (-6 + 10) x 5 : \(\sqrt{4}\) = op twee manieren uitgewerkt.
Welke manier is goed?
Manier 1
Manier 2
(-6 + 10) x 5 : \(\sqrt{4}\) =
4 x 5 : \( \underline {\sqrt{4}}\) =
4 x 5 : 2 =
20 : 2 = 10
(-6 + 10) x 5 : \(\sqrt{4}\) =
4 x 5 : \(\sqrt{4}\) =
20 : \( \underline {\sqrt{4}}\) =
20 : 2 = 10
..10.
(8 + 3)² - 54 : 9 - \(\sqrt{16} \) =
46 - 4² + 42 : \(\sqrt{36}\) =
(-4)² - 32 : 8 + 2 + (8 - 3)² =
(52 - 7) : 5 - 4² : 2 =
56 - 10² + \(\sqrt{36}\) x 5 - 4² =
Extra herhaling.
Onderstreep het deel dat je uitrekent, zet onder dat deel de uitkomst en ga daarna verder met de volgende bewerking.
Voorbeeld:
2 x ( 8 + 2 ) - 32 = Eerst tussen haakjes uitrekenen.
2 x 10 - 32 = kwadraten en wortels berekenen.
2 x 10 - 9 = keer en delen.
20 - 9 = 11 plus en min.
..11.
-5 x \(\sqrt{81}\) + - 12 : -2 - -8 =
-3 x (5 + 4) - -14 : -2 - -6 =
36 : \(\sqrt{9}\) x (-2 + -3) - 6 =
(-37 - -10) : -3 - - 48 : -8 =
- 3 x (3 - 4) + \(\sqrt{144}\) : -3 =
..12.
Hieronder zie je de opgave 3 x 8 - 42 : 2 op twee manieren uitgewerkt.
Welke manier is goed?
Manier 1
Manier 2
3 x 8 - 42 : 2 =
3 x 8 - 16 : 2 =
3 x 8 - 8 =
24 - 8 = 16
3 x 8 - 42 : 2 =
3 x 8 - 16 : 2 =
24 - 16 : 2 =
24 - 8 = 16
H4.2 Driehoeken
Inleiding.
De stelling van pythagoras passen we toe in een driehoek, niet zomaar in elke driehoek, maar in een bijzondere driehoek. Deze paragraaf gaat dan ook over verschillende soorten driehoeken.
Leerdoelen.
Ik kan een rechthoekige- gelijkbenige- of gelijkzijdige driehoek herkennen.
Ik kan de eigenschappen van een rechthoekige- gelijkbenige- of gelijkzijdige driehoek benoemen.
Ik kan een rechthoekige- gelijkbenige- of gelijkzijdige driehoek tekenen.
Uitleg.
Soorten driehoeken
Elke figuur met driehoekpunten hoort tot de driehoeken. Driehoeken kunnen dus in allerlei soorten en maten voorkomen. Toch kunnen we een aantal driehoeken indelen in catergorieën
Gelijkbenige driehoek
Gelijkzijdige driehoek
Rechthoekige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:
twee gelijke zijden
PR en QR
twee gelijke hoeken \(\angle\)P en \(\angle\)Q
de basishoeken
één symmetrieas
de symmetrieas gaat door detophoek\(\angle\)R
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met:drie gelijke zijden
drie gelijke hoeken
drie symmetrieassen
De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn 180o : 3 = 60o
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken 90o is.
Je herkent de rechthoek aan het loodrechttekentje
( of )
Een symmetrieas is de lijn waarlangs je de figuur kunt dubbelvouwen. We noemen dit ook wel lijnsymmetrie of vouwsymmetrie.
..1.
Bekijk de driehoeken op je werkblad.
Zet tekentjes in zijden die even lang zijn.
Zet een rechte hoek teken in de rechte hoek.
Zet een • of een ο in hoeken die even groot zijn.
Teken met rood kleurpotlood de symmetrieas(sen) in de driehoeken.
Zet de juiste naam onder de driehoek.
..2.
Bekijk de driehoek op je werkblad. Dit is een gelijkbenige driehoek.
Zet het woordje tophoek bij de juiste hoek.
Teken de symmetrieas in de driehoek.
Welke twee hoeken zijn even groot?
Hoe noemen we de hoeken die even groot zijn bij een gelijkbenige driehoek?
..3.
Bekijk de driehoek op je werkblad. Dit is een gelijkzijdige driehoek.
Zet even lang tekentjes in zijden die even lang zijn.
Teken de symmetrieassen in de driehoek.
Zet even groot tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Schrijf onder de driehoek de eigenschappen uit de uitleg over die bij deze driehoek horen.
..4.
Bekijk de figuur. ΔPQR is een gelijkbenige driehoek.
Welke hoek is de tophoek?
Welke benen zijn even lang?
Welke hoeken zijn even groot?
..5.
Teken in een passend assenstelsel de punten A(1 , 1), B(1 , 7) en C(4 , 5).
Verbind punt A met punt B, punt B met punt C en punt A met punt C zodat ΔABC ontstaat.
Meet de zijden van je driehoek met je geodriehoek.
Wat voor soort driehoek is ΔABC?
Zet even lang tekentjes in benen die even lang zijn.
Zet het woordje tophoek bij de juiste hoek.
Zet even groot tekentjes in hoeken die even groot zijn.
Uitleg.
Zijden benoemen
Wanneer we beter naar een rechthoekige driehoek kijken dan kunnen we de verschillende zijden van de driehoek een naam geven.
De twee zijden die vast zitten aan de rechte hoek, noemen we de rechthoekszijden.(rhz)
De zijde tegenover de rechtehoek, noemen we de schuine zijde (hypotenusa). (sz)
Waarom je de zijden moet kunnen benoemen? Dit heeft te maken met het hoofdonderwerp van dit hoofdstuk: de stelling van Pythagoras en het onderwerp goniometrie dat we in klas 3 behandelen.
..6.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Zijde PQ is een ...............zijde.
Zijde QR is een ........... zijde.
...... is de rechte hoek
De letter .... komt niet voor in de schuine zijde.
De schuine zijde is ............. .
..7.
Bekijk de driehoek op je werkblad.
Zet de juiste afkortingen bij de zijden:
Rechthoekzijde - rhz en schuine zijde - sz
..8.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
De twee rechthoekzijden zijn ......... en .......... .
\(\angle\)S is de ...........
QR is de ........ zijde.
..9.
Bekijk de driehoek hiernaast. Beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Zijde BC is een ...............zijde.
Zijde AC is de .................zijde.
...... is de rechte hoek
Zijde AB is een ........... zijde.
De letter .... komt niet voor in de schuine zijde.
..10.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
De twee rechthoekzijden zijn ......... en .......... .
\(\angle\)S is de ...........
QR is de ........ zijde.
..11.
Bekijk de driehoek hiernaast, de driehoek is een samengestelde driehoek.
Welke drie rechthoekige driehoeken herken je?
Bekijk ΔKRM. Welke zijde is nu de schuine zijde?
Bekijk ΔKLM. Welke twee zijden zijn nu de rechthoekszijden?
Bekijk ΔRLM. Welke hoek is de rechte hoek?
Neem je werkblad voor je en vul het schema in.
Uitleg.
Soorten driehoeken tekenen.
Tot slot, hoe teken je nu eigenlijk een gelijkbenige- of een gelijkzijdige driehoek.
Voor het tekenen van een driehoek waarvan je de lengte van 2 benen of van alle zijden al weet, gebruik je de passer.
Hoe je precies met je geodriehoek, potlood en passer te werk gaat wordt in het filmpje hieronder voor gedaan.
..12.
Teken met behulp van je potlood, geodriehoek en passer een gelijkzijdige driehoek met zijden van 5 cm. Noem de driehoek PQR
Teken met rood kleurpotlood de drie symmetrieassen in je driehoek.
..13.
Teken met behulp van je potlood, geodriehoek en passer een gelijkbenige driehoek met benen van 4 cm. Noem de driehoek ABC
Teken met rood kleurpotlood de symmetrieas in je driehoek.
Zet tekentjes in de basishoeken.
Zet met een pijltje de tophoek erbij.
..14.
Op je werkblad is het begin van een gelijkbenige driehoek ABC getekend en het begin van een gelijkzijdige driehoek PQR getekend. Maak deze driehoeken af. Laat de lijntjes van je passer staan. Dus niet weggummen.
..15.
Teken met behulp van je potlood, geodriehoek en passer:
Een gelijkbenige driehoek ΔKLM met benen van 6 cm.
Een gelijkzijdige driehoek ΔABC met zijden van 4 cm.
Een gelijkbenige driehoek ΔPQR met benen van 4,5 cm.
Een gelijkzijdige driehoek ΔXYZ met zijden van 3,5 cm.
H4.3 De stelling van Pythagoras
Inleiding.
Leerdoelen:
Bewijs
Nu je weet wat de stelling van Pythagoras is laat ik je het bewijs zien,
want we nemen het niet alleen maar aan. Bij wiskunde wil je (door middel van) met de berekening altijd laten zien dat jouw gevonden antwoord klopt. Hieronder dus een filmpje met het bewijs van de stelling.
In de animatie hieronder zie je dat de oppervlakte van de twee kleine vierkanten (de vierkanten die vast zitten aan de rechte hoek) even groot zijn als de oppervlakte van het grote vierkant (die vast zit aan de schuine zijde)
Versleep de groene en blauwe knop maar eens.
H4.4 De stelling toegepast.
H4.5 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H5 Kwadratische verbanden
Inleiding.
Dit hoofdstuk is het tweede hoofdstuk over verbanden dit jaar. We kijken dit keer naar kwadratische verbanden want behalven kwadraten uitrekenen kun je ook formules maken met daarin een kwadraat. Waneer je werk met een kwadratische formule (verband) dan krijg je iets anders dan regelmaat in je tabel en de grafiek ziet er al helemaal anders uit.
Werken met verbanden hoort bij het onderwerp algebra. Binnen algebra houden we ons bezig met getallen en formules (verbanden). Een architect of bouwkundige krijgt veel te maken met kwadratische verbanden. Maar ook wanneer je met radiogolven werkt, bijvoorbeeld bij communicatie tussen twee telefoons of een wifinetwerk krijg je te maken met kwadratische verbanden. Zo zie je maar, wiskunde is een heel veelzijdig vak en komt in heel veel beroepen in de wereld om je heen voor.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H5.1 Voorkennis
Inleiding.
Leerdoelen
..3.
Deelstreep
Wanneer er gewerkt wordt met een deelstreep, dan reken je eerst het gedeelte boven de deelstreep uit, daarna het gedeelte onder de deelstreep. Je maakt dan de deling die overblijft.
Schrijf over en reken uit. Schrijf de tussenstappen ook op.
\({70 : (6 - 11) \over 24 - 17} + 12 = \)
\({\sqrt100 + 15 * 2 \over 4 * 5} +20 =\)
\({48 : 2^3 * 15 \over 3^2 + 11} + 20 =\)
Kennisbank
Lineaire formules.
Aan het begin van dit leerjaar heb je kennis gemaakt met lineaire formules. Dit zijn formules waar regelmaat in voorkomt. Met regelmaat bedoelen we gelijke toe- of afname. Een soort herhaling.
In een tabel kun je dat goed laten zien.
Hieronder zie je het internetgebruik van Kevin.
We zien hier een voorbeeld van gelijkmatige afname. Maak je boven in je tabel (op de x-as) stapjes van 1, dan gaan er onder in je tabel telkens 5 vanaf.
Contexten (verhaaltjes)
Is er in het verhaaltje (context) of in de tabel sprake van herhaling (regelmaat) dan kunnen we er een lineaire formule bij maken. Een lineaire formule heeft altijd een vast schema.
Dit schema zie er als volgt uit:
Uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer.
Een lineaire formule bestaat dus uit twee verschillende stukken:
het begingetal
(dit vindt je altijd voor x = 0 ook wel het vaste bedrag genoemd.)
de stapgrootte
(wat er per stapje van 1 gebeurt ook wel het hellingsgetal genoemd.)
..5.
Kennisvraag.
Leg in eigen woorden uit wat variabele zijn.
Uit welke twee onderdelen bestaat een lineaire formule.
Schrijf de vaste opbouw die we gebruiken bij een lineaire formule op (het formule voorschrift).
..6.
stapgrootte en begingetal.
Bekijk de lineaire formules hieronder. Schrijf van iedere formule de stapgrootte en het begingetal op. Je mag de tabel op het werkblad gebruiken
y = 2 + 3x L = -2a + 6 R = 3b - 7 N = 2 + 4t p = 12 - 4k
Formule
begingetal
Stapgrootte
y = 2 + 3x
2
+3x
L = -2a + 6
R = 3b - 7
N = 2 + 4t
p = 12 - 4k
Kennisbank
Een formule maken bij de tabel.
Met behulp van dit schema kun je bij een tabel met regelmaat een lineaire formule maken.
Voorbeeld 1.
Jasmina maakt in haar vrije tijd graag foto's. Deze laat zij online afdrukken. Als je online iets bestelt zitten daar natuurlijk bezorgkosten aan vast. Ook betaal je per foto een klein bedrag. De tabel hieronder gaat daar over.
Wanneer we een formule maken bij een regelmatige tabel vullen we de onderdelen van ons vaste schema in: uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
We zoeken in de tabel de verschillende onderdelen op
Uitvoer - dit zijn de woordjes (variabele) onder in je tabel -> Prijs
Invoer - dit zijn de woordjes (variabele) boven in je tabel -> Aantal
Begingetal - Lees je af onder de nul in je tabel ->2,50
Stapgrootte - Bereken je met de boogjes -> 0,20
De verschillende onderdelen zet je op de goede plaats in het schema
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
prijs = 2,50 + 0,20 x aantal foto's
Met de formule kun je nu bijvoorbeeld ook uitrekenen wat het kost als je 20 foto's besteld. Je vult dan het aantal van 20 in op de plek van de foto's. Daarbij hoort de volgende berekening.
prijs = 2,50 + 0,20 x aantal foto's
prijs = 2,50 + 0,20 x 20 = 6,50
..7.
Stapgrootte en begingetal in een tabel.
Bekijk de tabel hieronder.
Lees het getal onder de nul in je tabel af, noteer het in je schrift. Dit noemen we het begingetal.
Op je werkblad staat deze tabel ook afgebeeld. Zet hier de boogjes bij.
Bereken de stapgrootte door \(stapgrootte = {verschil\space onderste \space boogjes \over verschil \space bovenste \space boogjes}\)
Noteer de berekening en de stapgrootte in je schrift.
..8.
Regelmaat controleren
De tabel hierboven lijkt niet regelmatig, hij is het echter wel.
Op je werkblad staat de tabel ook afgebeeld.
Zet de boogjes bij je tabel.
Bereken per boogje het verschil.
Maak nu de volgende deelsom: \(stapgrootte = {verschil\space onderste \space boogjes \over verschil \space bovenste \space boogjes}\) doe dit bij ieder paar boogjes. .
Wat valt je op als je per set boogjes de stapgrootte berekend?
lees ook het begingetal van de tabel af en noteer dit.
..9.
Stapgrootte en begingetal bij tabellen.
Bekijk de drie tabellen hieronder. Bij twee tabellen hoort een lineaire formule. Noteer van deze tabellen de stapgrootte en het begingetal.
Op je werkblad staan deze tabellen ook afgebeeld. Zet hier de boogjes bij. .
Bereken de stapgrootte door \(stapgrootte = {verschil\space onderste \space boogjes \over verschil \space bovenste \space boogjes}\) .
Noteer de berekening en de stapgrootte in je schrift.
Kennisbank
Herhaling
Wanneer je voor een groot feest een zaal huurt kost dat natuurlijk geld. Ook de consumpties per persoon (wat je eet en drinkt) kost natuurlijk geld. De tabel hieronder gaat daar over.
We zoeken in de tabel de verschillende onderdelen op
Uitvoer - dit zijn de woordjes (variabele) onder in je tabel -> Prijs
Invoer - dit zijn de woordjes (variabele) boven in je tabel -> Aantal
Begingetal - Lees je af onder de nul in je tabel ->500
Stapgrootte - Bereken je met de boogjes -> 5
Vul nu het vaste schema in om de formule bij de tabel te maken
uitvoer = begingetal + stapgrootte x invoer
prijs = 500 + 5 x aantal feestgangers
Met de formule kun je berekenen wat het kost als er bijvoorbeeld 40 personen naar je feest komen.
prijs = 500 + 5 x aantal feestgangers
prijs = 500 + 5 x 40 = 700
..10.
formule bij tabel
Bekijk de tabel hieronder.
Noteer de variabele die we gebruiken voor de x-as (horinzontaal)
Noteer de variabele die we gebruiken voor de y-as (verticaal)
Noteer het begingetal
Bereken de stapgrootte
Maak nu de formule bij de tabel
..11.
formule bij tabel
Noteer de variabele die we gebruiken voor de x-as (horinzontaal)
Noteer de variabele die we gebruiken voor de y-as (verticaal)
Bereken het begingetal
Bereken de stapgrootte
Maak nu de formule bij de tabel
..12.
formule bij tabel
Bekijk de tabel hierboven.
Noteer het begingetal.
Bereken de stapgrootte.
Schrijf de formule op die bij de tabel hoort.
..13.
formule bij tabel
Bekijk de tabel hierboven. Deze tabel lijkt in eerste instantie niet regelmatig.
Teken ook de boogjes bij de tabel op het werkblad.
Bereken nu de stapgrootte.
Wat valt je op?
Maak de formule die bij de tabel past.
Nog een voorbeeld.
Rosalie fietst elke dag van huis naar school en weer terug. Dat is elke dag 16 km in totaal.
Op haar fietscomputertje kan zij het totaal aantal kilometers bijhouden. Dat aantal zie je rechts onder in het display. Rosalie heeft in totaal al 320 km gefietst op haar fiets.
Ook hier kunnen we natuurlijk een tabel bij invullen.
We zien hier dat wanneer we boven in de tabel (x-as) stapjes van 1 maken er onder in de tabel telkens 16 bijkomen.
H5.2 Werken met verbanden
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Werken met formules.
Een berekening maken met een gegeven formule.
Wanneer je bij een opgaven het woordje bereken ziet staan noteer je altijd een berekening in je schrift. Vergeet je de berekening op te schrijven, dan kun je er helaas ook geen punten mee verdienen.
Wanneer we een berekening maken met een gegeven formule is het de bedoeling dat we één van de twee variabel (letters of woordjes in een formule) vervangen door het gegeven getal.
VOORBEELD
Met de formule Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren. kun je uitrekenen wat je deze maand verdiend hebt. De dikgedrukte woorden noemen we de variabele.
Ian werkt deze maand 12 uur, bereken zijn verdiensten
Aanpak.
We vullen op de plek van het aantal gewerkte uren het getal 12 in.
Verdiensten = 2 + 3 x aantal gewerkte uren.
Verdiensten = 2 + 3 x 12.
Bereken dit uit het hoofd of op de rekenmachine. Je antwoord is dan 38 euro.
..1.
Bezorger.
Giovanni werkt bij een bekende pizzaketen.
Hoeveel geld hij verdient, kan hij berekenen met de volgende woordformule.
inkomsten in € = 4,50 + 3,2 x tijd in uren
Maak van de woordformule een formule met letters.
Heb je bij het verkorten van de formule ook het keerteken weggelaten? Heb je dat niet gedaan, schrijf de formule dan nog eens op zonder keerteken. *Tussen een cijfer en een letter laten we bij wiskunde het keerteken (x) weg!
Op maandagavond werkt Giovanni 4 uur. Bereken wat hij die avond verdiend heeft. Schrijf je berekening op in je schrift. .
Aan het eind van de maand heeft Giovanni in totaal 25 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten voor die maand. Schrijf je berekening op in je schrift.
..2.
Serveerster
Michaëla werkt ook bij de pizzaketen waar Giovanni werkt. Zij werkt niet als bezorger, maar in de bediening in het restaurant. Zij kan haar verdiensten berekenen met de volgende formule:
v= 2,50 + 4t
hierin is v de verdiensten in euro en t de tijd in uren dat Michaëla werkt.
Michaëla werkt op woensdagmiddag 3,5 uur. Bereken haar verdiensten, noteer de berekening in je schrift. .
Michaëla werkt in de 2e week van februari 9 uur en een kwartier, bereken haar verdiensten. .
Aan het eind van de maand heeft Michaëla 17,5 uur gewerkt. Bereken haar verdiensten die maand.
..3.
Uber-taxi
Emre stapt in een uber-taxi naar huis. Het instaptarief is €2,50. Elke kilometer die hij rijdt kost dit €0,50. Bij deze rit hoort de formule Kosten = 2,50 + 0,50 x aantal gereden kilometer.
Maak van de woord formule een formule met letters. Gebruik voor de kosten de K en voor de gereden kilometers de letter A. Laat ook het keerteken weg.
Bereken de kosten voor een rit van 12 kilometer
Bereken de kosten voor een rit van 8 kilometer.
Emre moet aan het eind van de rit €12,- betalen. Bereken zijn aantal gereden kilometers.
..4.
Taxitender
Wanneer je een taxi rit maakt kun je behalve voor de diensten van Uber ook kiezen voor andere taximaatschappijen. Bij taxitender betaal je geen instaptarief, je betaald alleen €0,75 per gereden kilometer. Hierbij hoort de formule:
K=0,75A Hierin is K de kosten in euro en A het aantal gereden kilometer.
Bereken de kosten voor een taxirit van 21 kilometer.
Bereken de kosten voor een rit van 12 kilometer.
Je hebt aan het eind van je taxirit 12 euro afgerekend. Bereken het aantal kilometer dat je hebt gereden.
Kennisbank
Van formule naar grafiek
Bij een gegeven formule moet je ook vaak een grafiek tekenen. Dit gaat altijd in een bepaalde volgorde.
Noteer de formule in je schrift.
Maak een tabel.
Teken bij de tabel de grafiek.
Voorbeeld:
Gegeven is de formule y = 7 + 3X
Neem de formule over in je schrift. Zet een x-teken tussen het cijfer en de letter.
Maak een tabel.
Maak bij je formule een tabel. Denk na over handige stapjes op de x-as (boven in je tabel)
Een tabel bij een lineaire formule hoeft maar uit 3 punten te bestaan.
Vul de tabel in.
Teken nu het assenstelsel dat bij de tabel past in je schrift.
Teken nu de punten uit je tabel in een assenstelsel. Kijk goed naar de getallen in je tabel. Bepaal altijd eerst hoe lang je assen moeten worden.
Aan het eind kijk je nog even of je wel de juiste woordjes of letters bij de grafiek hebt getekend.
..5.
Formule, tabel, grafiek
Gegeven is de formule: y = 3 + 2x
Neem de formule over in je schrift.
.
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. . . .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
..6.
Formule, tabel, grafiek
Gegeven is de formule: y = -0,5x + 4
Neem de formule over in je schrift.
.
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. . . .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
..7.
Kaars branden
Bij het branden van een cilindervormige kaars kun je ook een formule maken.
De formule die bij de kaars op het plaatje hiernaast past is:
Hoogte in cm = 21 - 3 x aantal branduren
Bereken de hoogte van de kaars na 4 branduren.
Bereken de hoogte van de kaars na 6 en half branduur. .
Op je werkblad staat een tabel. Vul deze verder in.
Teken op het werkblad de grafiek die bij de formule en tabel past. .
Na een aantal uren is de kaars nog 4,5 cm. Bereken na hoeveel uur dat is. Schrijf je berekeningen op.
..8.
Taxitender
Tijdens een sportdag wordt er door het warme weer limonade uitgedeeld aan de deelnemers. Jammer genoeg heeft iemand het kraantje onder aan het vat niet goed dicht gedaan, daardoor loopt het vat langzaam leeg. Hierbij hoort de formule
I = 5 - 0,2A Hierin is I het aantal liter in het vat en A het aantal minuten.
Bereken de inhoud van het vat na 5 minunten.
Bereken de inhoud van het vat na 18 minunten. .
Op je werkblad staat een tabel. Vul deze verder in.
Teken op het werkblad de grafiek die bij de formule en tabel past. .
Na een aantal minunten is er nog 0,6 liter in het vat over. Bereken na hoeveel minunten dit is.
..9.
Lucifers
Met lucifers kun je allerlei patronen leggen, bekijk de figuren hiernaast maar eens.
Voor één driehoek heb je 3 lucifers nodig.
Om twee driehoeken te leggen heb je 5 lucifers nodig.
Om drie driehoeken te leggen heb je 7 lucifers nodig.
Hierbij hoort de formule:
A = 2D + 1 Hierin is A het aantal lucifers en D het aantal driehoeken
Bereken het aantal lucifers van driehoek nummer 7
Bereken A voor D = 5 .
Teken een tabel met minimaal 3 stappen bij de formule.
Teken de grafiek die bij de tabel past. .
Je hebt in totaal 23 lucifers, hoeveel driehoeken kun je nu leggen? Schrijf je berekening op.
..10.
Lucifers
Behalve dat je driehoeken met lucifers kunt leggen kun je natuurlijk ook andere patronen maken bijvoorbeeld vierkanten.
Voor figuurnummer nul (één vierkant) heb je 4 lucifers nodig
Voor figuurnummer één heb je er 7 nodig.
Voor figuurnummer twee heb je 10 lucifers nodig.
Hierbij hoort de formule:
A = 4 + 3f Hierin is A het aantal lucifers en f het figuurnummer.
Bereken het aantal lucifers van figuurnummer 5
Bereken A voor D = 8 .
Teken een tabel met minimaal 3 stappen bij de formule.
Teken de grafiek die bij de tabel past. .
Je hebt in totaal 40 lucifers, hoeveel driehoeken kun je nu leggen? Schrijf je berekening op.
H5.3 Kwadratische verbanden
Inleiding
Binnen het VMBO leer je werken met verschillende soorten verbanden. Er zijn namelijk niet alleen situaties die passen bij een lineair verband, er zijn allerlei soorten situaties. Er zijn dus ook allerlei soorten verbanden die we de komende tijd en jaren met elkaar gaan behandelen.
Hieronder zie je welke verbanden we de komende tijd gaan leren herkennen.
Lineaire verband.
Kwadratisch verband.
Exponentiël verband.
Machtsverband.
Wortelverband.
Omgekeerd evenredig verband.
Periodiek verband.
In deze paragraaf leer je hoe je werkt met kwadratische verbanden.
Leerdoelen.
Kennisbank.
In de vorige paragraaf hebben we herhaald hoe je berekeningen maakt met een formule.
Ook heb je geoefend met het tekenen van een grafiek bij een gegeven formule. Dit ging in drie stappen
Neem de formule over in je schrift.
Maak een passende tabel bij de formule.
Teken de grafiek die bij het assenstelsel past.
KWADRATISCHE FORMULE
Hieronder zie je drie bouwwerken van kubussen.
Als je naar de bouwwerken kijkt en naar de tabel die er onderstaat, dan herken je misschien wel een bepaalde regelmaat. Bij deze vorm van regelmaat kun je een kwadratische formule maken
Het aantal kubussen per bouwwerk kun je berekenen met de volgende formule:
aantal kubussen = nummer2 + 1
Deze formule kun je korter schrijven:
a = n2 + 1
In de formule zie je een kwadraat. Daarom heet zo'n formule een kwadratische formule.
Vul je in de formule voor nummer 7 in, dan krijg je:
a = n2 + 1
a = 72 + 1
a = 49 + 1 = 50, dus bouwwerk nummer 7 bestaat uit 50 kubussen.
Voorbeeld:
Gebruik de formule: aantal kubussen = 3n2 + 2
Hoeveel kubussen heb je nodig voor bouwwerk 6?
Uitwerking:
N = 6 dus 3N2 + 2
3 x 62 + 2
3 x 36 + 2
108 + 2 = 110
..1.
Formules invullen
Gegeven is de formule: uitkomst = 2 x invoer2 + 3
Bereken de uitkomst bij een invoer van 4 .
De invoer is 8, bereken de uitkomst .
Sarah beweert dat wanneer je de invoer 2 keer zo groot maakt, de uitvoer ook twee keer zo groot wordt, laat met berekeningen zien of Sarah gelijk heeft.
..2.
Werken met kwadratische formules
Gegeven is de formule: Kosten = 0,05 x invoer2 - 0,25 x invoer + 70.
Voor de invoer kun je weer allerlei getallen invullen, let op, je vult het getal nu twee keer in de formule in. Het woordje invoer staat ook twee keer in de formule.
Bereken de kosten bij een invoer van 10.
Bereken de kosten bij een invoer van 25.
Waarom zou je geen negatief getal mogen invoeren in deze formule. Leg je antwoord aan de hand van een berekening uit.
Kennisbank
Instructievideo formules met kwadraten
\
In de instructievideo heb je hetvolgende gezien:
Kwadratische formules zijn formules met daarin een kwadraat.
Vul je een negatief getal in de formule in, zet het dan tussenhaakjes!
Bereken y voor x = 6 betekent vul het getal 6 op de plek van de x in en bereken je uitkomst.
32 en (-3)2 geven hetzelfde antwoord 32 = 3 x 3 = 9 en (-3)2 = (-3) x (-3) = 9
..3.
Formules met x en y
Gegeven is de formule y = 3x2 - 0,5x + 5
bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = -5 * Let op, vul je een negatief getal in een formule in, zet dat dan tussen haakjes!
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = -9
Bereken y voor x = 0,5
Bereken y voor x = -1,2
..4.
Formule bij een verhaaltje
Wanneer je een kubus maakt van roosterpapier kun je elk roosterpunt aan de buitenkant kleuren. Bekijk de kubussen hieronder maar eens.
Op kubus 1 kun je 8 roosterpunten kleuren.
Op kubus 2 kun je al 26 roosterpunten kleuren.
Op kubus 3 zijn dat er al 56.
Er is een formule ontwikkeld waarmee je het aantal roosterpunten dat je kunt kleuren kunt berekenen:
A = 6n2 + 2 Hierin is A het aantal roosterpunten en N het nummer van de kubus
Laat met een berekening zien dat het aantal roosterpunten bij kubus 3 ook met de formule klopt. .
Bereken het aantal roosterpunten dat je kunt kleuren voor kubus nummer 5. .
Bereken het aantal roosterpunten bij kubus nummer 8. .
Hoeveel meer roosterpunten kun je op kubus 9 meer kleuren dan op kubus 7? Schrijf je berekeningen op.
Kennisbank
PARABOOL
Teken je de grafiek bij een kwadratische formule, dan krijgt de grafiek de vorm van een parabool.
De grafiek wordt een parabool vanwege het kwadraat.
Hiernaast zie je verschillende parabolen.
Een parabool is altijd symmetrisch. (symmetrisch wil zeggen aan beide kanten gelijk)
Als je zelf een grafiek gaat tekenen bij een kwadratische formule dan maak je eerst een tabel met een oneven aantal punten (7 of meer). Daarna teken je de punten uit de tabel in een assenstelsel. Teken door de punten een vloeiende kromme. Je tekent dit uit de losse pols, dus niet met behulp van je geodriehoek.
Grafiek tekenen bij een kwadratische formule
Neem de formule over in je schrift.
Maak een tabel met 7 punten.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
Voorbeeld:
hoogte = 3a - 0,5a2
hoogte en a in meters
Teken een tabel met 7 punten (of meer)
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte
0
2,5
4
4,5
5
2,5
0
Teken nu de coordinaten uit je tabel in het assenstelsel en verbind deze met een vloeiende lijn. Er ontstaat een parabool.
Het hoogste punt van deze parabool ligt bij x = 3. Dit noemen we de top. Het coördinaat is: top(3 ; 4,5)
Links en rechts van deze top is de parabool gelijk, symmetrisch
..5.
Formule, tabel, grafiek
Gegeven is de formule: uitkomst = getal² + 3
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad
getal
−3
−2
−1
0
1
2
3
uitkomst
12
7
Vul de tabel verder in.
Teken de grafiek die bij de tabel past.
..6.
Formule, tabel, grafiek
Gegeven is de formule: y = −2 x x² + 4
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad, vul deze verder in.
getal
−3
−2
−1
0
1
2
3
uitkomst
−4
Teken de grafiek die bij de formule past.
..7.
bouwwerken
Bij de bouwwerken hieronder hoort de formule:aantal kubussen = 3 + n2
Bereken het aantal kubussen voor n = 4 .
Bereken het aantal kubussen voor n = 6 .
Bereken het aantal kubussen voor n = 15 .
Één van de bouwwerken bestaat uit 103 kubussen. Welk nummer heeft dit bouwwerk?
Schrijf je berekening op. .
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad, vul deze verder in.
aantal kubussen = 3 + n2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
aantal kubussen
..8.
bouwwerken
Bij een andere serie bouwwerken hoort de formule:aantal kubussen = 8 + 2n2
Bereken het aantal kubussen voor n = 4 .
Neem de tabel over en vul in.
aantal kubussen = 8 + 2n2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
aantal kubussen
Een van de bouwwerken bestaat uit 458 kubussen. Welk nummer heeft dat bouwwerk?
..9.
Tabel en grafiek bij een kwadratische formule
Gegeven is de formule: y= -2x2 + 10.
Neem de formule over op je werkblad.
vul de tabel in die bij de formule past (bereken de 7 punten).
Teken de grafiek bij de formule op het werkblad.
Noteer de coördinaten van de top.
Teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je parabool.
Hoe noemen we deze parabool? Een berg- of een dalparabool?
..10.
Tabel en grafiek maken
Gegeven is de formule: y= 0,25x2 - 2.
Neem de formule over op je werkblad.
vul de tabel in die bij de formule past (bereken de 7 punten).
Teken de grafiek bij de formule op het werkblad.
Noteer de coördinaten van de top.
Teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je parabool.
Hoe noemen we deze parabool? Een berg- of een dalparabool?
..11.
Tabel herkennen
Bekijk de tabel hieronder.
Hoort er bij deze tabel een berg- of een dalparabool?
Noteer waaraan jij kunt zien of er een bergparabool of een dalparabool bij de tabel hoort
..12.
Parabolen herkennen
Bekijk de parabolen hiernaast.
Neem de letters over in je schrift en zet daarachter welk type parabool je ziet. Noteer ook de coördinaten van de top van de parabool.
Letter
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
..13.
Tabellen herkennen
Bekijk de tabellen hieronder. Bij twee van deze tabellen hoort een kwadratische formule.
Hoe kun je aan de tabel zien dat er een kwadratische formule bij hoort?
Noteer de nummers van de tabellen waar een kwadratische formule bij hoort.
Noteer achter de nummers die je opgeschreven hebt bij vraag b of er sprake is van een dalparabool of van een bergparabool
..14.
Parabolen herkennen
Bekijk de parabolen hiernaast.
Neem de letters over in je schrift en zet daarachter welk type parabool je ziet. Noteer ook de coördinaten van de top van de parabool.
Letter
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
E
H5.4 Kwadratische verbanden toepassen
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
In de vorige paragraaf heb je geleerd om bij een kwadratische verband een grafiek te tekenen. Het tekenen van een grafiek gaat altijd in drie stappen:
Neem de formule over in je schrift
Maak een passende tabel (bij een kwadratisch verband bereken je 7 punten)
Teken de grafiek bij de tabel.
Ook heb je geleerd hoe je de berekeningen bij een kwadratische formule maakt en opschrijft.
voorbeeld:
gegeven is de formule y=-0,5x2 + 3
bereken y voor x = 3 en voor x = -3
Uitwerking:
vul op de plek van de variabele x het getal 3 in.
y = -0,5x2 + 3
x= 3 dus y = -0,5 x 32 + 3 x = -3 dus y = -0,5 x (-3)2 + 3
y = -0,5 x 9 + 3 y = -0,5 x 9 + 3
y = -4,5 + 3 = -1,5 y = -4,5 + 3 = - 1,5
In je berekening zie je dat x = 3 en x = -3 hetzelfde antwoord geven. Dit komt doordat een kwadratische formule symmetrisch is door zijn top.
In de afbeelding hierboven zie je ook wanneer een parabool een dalparabool of een bergparabool wordt.
Is het getal voor het x2 positief dan krijg je een dalparabool. Is het getal voor x2 negatief, dan krijg je een bergparabool.
voorbeeld:
gegeven zijn de formules
y = 3x2 - 12 het getal voor x2 is positief dus een dalparabool
y = 7 + 0,25x2 het getal voor x2 is positief dus een dalparabool
y = 3x - x2 + 2 het getal voor x2 is negatief dus een bergparabool
y = 6,4 - 0,2x2 het getal voor x2 is negatief dus een bergparabool
..1.
Kwadratische formule tekenen
Klik op het plaatje voor een video uitleg.
Op het werkblad zie je een lege tabel en daaronder ruitjes om een grafiek te kunnen afgedrukt.
Gegeven is de formule y = x2 - 9
Neem voor x de getallen van -3 tot en met 3 en vul dit in de bovenste rij in.
Bereken de punten en vul dit in je tabel in.
Teken de grafiek bij deze formule.
Noteer de coördinaten van de top en teken met een kleurpotlood de symmetrie-as in je figuur.
..2.
Uittrap keeper
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
hoogte in m = 2a - 0,1a2
hierin is de hoogte in meters en a = afstand in meters.
Vul je voor a=2 in, dan krijg je hoogte = 3,6 meter. Controleer dat met je rekenmachine en schrijf je berekening op.
Hoe hoog is de bal na 1 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Hoe hoog is de bal na 8 meter? Schrijf de berekening in je schrift.
Neem de tabel over en vul hem in.
a
0
2
4
6
8
10
12
14
16
hoogte in m
3,6
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 8 cm lang en neem stapjes van 2 (1 cm = 2 afstand).
Maak de verticale as 10 cm lang en neem stapjes van 1m (1 cm = hoogte 1 m) .
Teken de punten van de tabel in het assenstelsel.
Teken een vloeiende kromme door de punten.
Wat is het hoogste punt van de grafiek? Noteer de coördinaten van de top in je schrift.
..3.
Boogbrug
Wist jij dat er bij een boogbrug ook een kwadratische formule hoort? In het plaatje zie je dat dit type brug de vorm heeft van een parabool. De formule voor de boog van deze brug is
hoogte = 1,5a - 0,25a2
hoogte in meters.
De tabel hieronder staat ook op je werkblad. Vul de ontbrekende antwoorden in.
a
0
1
2
3
4
5
6
hoogte in m
Teken in het assenstelsel op je werkblad de punten uit de tabel.
Teken een vloeiende kromme door de punten in je assenstelsel.
Hoeveel meter is de grootste afstand tussen het water en de boog?
Hoe breed is de boog van de brug?
..4.
Afschieten vuurpijl
Aan het eind van de wereldhavendagen wordt er in rotterdam een grote vuurwerkshow gehouden. Bij het afschieten van een vuurpijl hoort ook een kwadratische formule. De baan van de vuurpijl heeft namelijk de vorm van een parabool.
Hierbij hoort de formule:
hoogte in m = 20a - a2
a: afstand
Neem de tabel over en vul hem in
hoogte in m = 20a - a2
a
. 0
. 4
. 8
. 10
. 12
. 16
. 20
hoogte in meter
Teken een assenstelsel.
Maak de horizontale as 5 cm lang en de verticale as 10 cm lang.
Op de horizontale maak je stapjes van 4.
Op de verticale as maak je stapjes van 10. .
Teken de parabool die bij de vuurpijl hoort.
..5.
Parabool in een assenstelsel
We zien hier de grafiek van de formule: y = 0,25x2 + 2.
Hoe kun je aan de formule de vorm van de grafiek aflezen?
Welk getal moet je op de plek van x invullen om de top van deze parabool uit te rekenen?
Welke waarde voor x moet je invullen om de coördinaten van punt B te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt C.
..6.
Parabool in een assenstelsel
We zien hier de grafiek getekend van de formule
y = -0,5x2 + 10
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 8? Noteer deze waarden in je schrift
Bereken de coördinaten van punt D. Schrijf de berekeningen in je schrift.
..7.
Brug
Je ziet een plaatje van de Müngstener Brücke over het riviertje de Wupper in Duitsland. De boog van deze brug heeft de vorm van een parabool. Het midden van de brug bevindt zich 100 meter boven de grond.
Bij de boog van de brug hoort de formule H= -0,0625x2 + 100
Hierin is H de hoogte van de boog boven de grond en x de afstand vanuit het midden van de brug.
Bereken de hoogte van de boog boven de grond bij een afstand van x = 10.
Bereken H voor x = -20.
Laat met een berekening zien dat de burg in totaal 80 meter breed is. Noteer de berekeningen die je gebruikt in je schrift.
..8.
Tunneltje
Je ziet hier een plaatje van een tunneltje. In dit tunneltje is een x-as en een y-as getekend. De hoogte (y) van het tunneltje wordt gegeven door de formule:
y = - 0,75 x2 + 3 de breedte (x) wordt gemeten vanuit het midden van het tunneltje
Bereken de hoogte van het tunneltje één meter naar rechts van het midden.
Bereken de hoogte van het tunnetje één meter naar links van het midden.
Bereken het hoogste punt van het tunneltje (de top)
Bereken de breedte van dit tunneltje. Schrijf je berekeningen op.
..9.
Kwadratische formules
Een basketballer gooit de bal precies in de basket. De baan van het middelpunt van de bal is (bij benadering) een deel van een parabool.
Je ziet in de figuur dit deel van de parabool in een assenstelsel. Zowel `x` als `h` worden in meter uitgedrukt. Bij de parabool hoort de formule:
H = -0,2(x-3)2 + 4
Op het moment dat de speler de bal loslaat, is `x = 0` . Je kunt in de figuur de hoogte die daarbij hoort schatten. Bereken met behulp van de formule de precieze hoogte waarop de bal wordt losgelaten. Het gaat daarbij om het middelpunt van de bal. .
Bereken de coördinaten van het hoogste punt van de parabool. Als je goed naar de afbeelding kijkt zie je dat het hoogste punt van de baan van de bal zich bij x=3 bevindt.
..10.
Tenniskanon
Een tennisser is aan het trainen. Op de baseline (achterste lijn van het veld) tegenover hem schiet een tenniskanon met grote snelheid een bal op hem af, precies over de lengte van het veld. Het tennisveld is 24 m lang en het net is 1 m hoog. Door in de applet de groene punt te bewegen zie je de baan van de bal ontstaan.
Bij de baan van de bal hoort de formule:
H = -0,01(x-10)2 + 1,5
Hierin is x de horizontale afstand vanaf het tenniskanon en H de hoogte van de bal
Voor de plek waar het kanon staat vullen we het getal 0 in. Bereken de hoogte waarop de bal uit het kanon komt. .
Het midden van het veld bevindt zich op 10 meter van het kanon. We vullen dus het getal 10 in de formule in. Bereken de hoogte van het bal wanneer deze over het midden van het veld vliegt. .
Op 12 meter van het kanon staat het tennisnet, dit net is 1 meter hoog. Bereken hoeveel hele centimeter de bal over het net gaat. Schrijf natuurlijk je berekening op. .
Bereken hoe hoog de bal is aan het eind van het veld. .
Stuitert de bal voor of achter de achterlijn van het veld?
..11.
Dal- of Bergparabool.
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = 3x2 - 7
y = -x2 - x + 6
y = x - 7 + 2x2
y = 13 - 2x2 + 5
..12.
Dal- of Bergparabool.
Bekijk de vier formules hieronder. Schrijf bij iedere formule op of de grafiek een bergparabool of een dal parabool wordt. Noteer het romeinse cijfer met daarachter dalparabool of bergparabool in je schrift.
y = -x + 2x2 - 7
y = - 0,5x2 + 7
y = -2x+ 2x2 + 2
y = -6 -1,2x2 + x
H5,5 Vergelijkingen oplossen
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Vergelijkingen oplossen
Een vergelijking is een formule waarbij het antwoord al is ingevuld.
Voorbeeld:
31 = 11 + 2x
3a + 6 = -2a +26
\( \sqrt{2a + 6} \) = 10
-3x2 + 100 = 25
In de voorbeelden hierboven is er telkens één onbekende variabele. Het is de bedoeling dat wij achterhalen hoeveel die variabele waard is. Dus: 'welk getal moet je invullen op de plek van de letter zodat de opgave klopt'?
Dit kan op 2 verschillende manieren; met de balansmethode of met de inklemmethode.
We leggen eerst de balansmethode aan je uit.
1. De balansmethode.
De balansmethode gebruik je wanneer je met lineaire formules werkt.
Een lineaire formule bestaat uit een begingetal en een stapgrootte.
In hoofdstuk 2 heb je geleerd hoe je een vergelijking met lineaire formules oplost.
..1.
De balansmethode
Hiernaast is de balansmethode afgebeeld als weegschaal.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:
2 + 4x = 12
Neem de vergelijking over in je schrift.
2 + 4x = 12
Haal aan beide kanten losse blokjes weg
*let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.
..2.
De balans oplossen
Hiernaast zie je een balans getekend.
Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
Los de vergelijking op.
Welke waarde van x heb je gevonden?
..3.
Zoek de fout
Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking 2x + 1 = 9. Ergens gaat het fout.
2x + 1
=
9
-1x
-1x
1x + 1
=
8
-1
-1
1x
=
7
Bij welke stap zit de fout?
Welke fout wordt er gemaakt?
Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)
Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit filmpje nog even voordat je verder gaat met vraag vier.
4.
Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.
Neem over en vul in.
Aan de linkerkant van de balans liggen: ... losse en ... x-en
Aan de rechterkant van de balans liggen: ... losse en ... x-en
De vergelijking die bij de balans hoort is: 4+ ...x = ... + 3x
Los de vergelijking op.
4 + 5x
=
10 + 3x
...
...
5x
=
6 + 3x
...
...
...
=
6
...
...
x
=
.....
Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........
..5.
De balansmethode
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
4x = 16 + 2x
14a + 9 = 7a + 86
8 - 6y = 3y - 28
Kennisbank
Inklemmen
Is de formule waarmee je werkt niet-lineair, dan kun je een vergelijking oplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
In het filmpje wordt voorgedaan hoe je met het inklemschema werkt
Voorbeeld.
Uitwerking:
In een inklem-schema noteer je minimaal 3 antwoorden!
- één er boven,
- één er onder.
- het goede antwoord.
Meer mag altijd, minder niet, dan krijg je voor je uitwerking minder punten!
..6.
Formules herkennen.
In opgave 1 t/m 5 heb je jouw kennis over de balansmethode weer even herhaalt. Je werkte in al die opgaven met lineaire formule. Is de formule niet-lineair, dan kun je de balansmethode niet gebruiken, je gebruikt dan de inklemmethode.
Bekijk de formules hieronder, vul deze formule in de goede kolom op je werkblad in.
• y = 3x + 2 • A = n2 + 1 • y = x4 - x - 4
• H = 0,5 x \( \sqrt{3t} \) • B = -2u2 - 3u + 2 • y = 6 - \( \sqrt{0,5\space x} \)
• p = - 6 + 2r • k = -0,2 x3,5 + 4 • y = x7 - 1000
• y = -0,5x2 + x - 6 • y = 0,5 x \( \sqrt{2 + x} \) • y = x + 6
Lineaire formule
Kwadratische formule
Wortelformule
Machtsformule
..7.
Inklemmen met lineiare formules.
Klik op het youtube-icoon om een video-uitleg over de inklemmethode te bekijken. Los daarna de opgave hieronder op met de inklemmethode.
Los op:
3,5a + 10 = 41,5
- 6 + 1,2x = 10,8
2c + 7 = 16
..8.
Inklemmen
Los de volgende vergelijkingen op met inklemmen. Schrijf het inklemschema dat je gebruikt telkens netjes in je schrift.
Los op:
2 x 4r- 500 = 12
0,25x2 + 6= 26,25
\( 0,5 \times \sqrt{28 \space + \space a}\)= 3
..9.
Inklemmen
Hiernaast zie je een kaars. Een formule die ongeveer het verband tussen de hoogte van deze kaars en de brandtijd aangeeft, is:
hoogte = 32 – 4 x \(\sqrt{brandtijd} \)
Hierin is hoogte in cm en brandtijd in uren.
Hoe heet het wiskundige model van deze kaars?
Na een aantal uur branden is de kaars nog maar 12 cm lang. Bereken bij hopeveel branduren dat is.
..10.
Inklemmen
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
tijdsduur = 0,46 x \( \sqrt{hoogte}\)
Hierin is de tijdsduur van de sprong in seconden en de hoogte waar vanaf gesprongen wordt in meters.
Joshua springt van een hoogte van 9 meter. Bereken de tijdsduur van zijn sprong, rond je antwoord af op 1 decimaal.
Om een sprong te maken die minstens 1,5 seconden duurt, moet van een bepaalde hoogte in het water gesprongen worden.
Bereken in hele meters hoe hoog het plateau dan minstens moet zijn. Schrijf je berekening op.
..11.
Inklemmen
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
Om de opbrengst van de winkel te berekenen gebruikt ze de vergelijking:
O = -5p2 + 250p Hierin is O de opbrengst in euro en P de prijs van de bossen bloemen.
Bereken de verdienste van Sarah wanneer zij €10,- per bos bloemen vraagt. .
Bereken O voor p = €12,50
Afgelopen week heeft Sarah €2405,- euro verdiend.
Bereken de prijs die Sarah voor de bossen bloemen vroeg.
..12.
Inklemmen
Uit de krant:
Nederland moet het wereldrecord krattenstapelen afstaan aan Duitsland. In de Noord-Duitse plaats Satow bij Rostock bouwden vrijwilligers vandaag de grootste piramide van kratten voor bier- en andere drankflesjes.
Ze stapelden 105.995 lege kratten tot een hoogte van 13 meter. Dat gebeurde met hulp van een bouwkraan, vertelde medewerkster Vera Jahnke. Een vertegenwoordiger van Guiness Records kwam de vrijwilligers een oorkonde overhandigen.
Als een piramide geheel uit kratten bestaat, kan men het totaal aantal kratten t uitrekenen door het aantal lagen n te tellen en de volgende formule te gebruiken:
t = (2n3 + 3n2 + n) : 6
Laat met een berekening zien dat voor een piramide met 60 lagen 73 810 kratten nodig zijn.
Bereken hoeveel lagen (n) de piramide van het nieuwe record heeft. Schrijf je berekening op
..13.
Los op. Kies zelf de goede oplossingsmethode
(balansmethode of inklemmen)
10 = 2 x \(\sqrt{\space x}\) .
3x - 4 = 32 .
4098 = 2 + 8r
..14.
Los op.
128 - 0,5 x 2a = 112 .
64 = 4 + 12x .
6 = 2x2 - 3x+ 4
H5.6 Gemengde opgaven
Je bent bij de gemengde opgaven aangekomen. Dat betekent dat je alle onderdelen van het hoofdstuk hebt afgerond. Gebruik de gemengde opgaven als check ✓✗
Bekijk de uitleg van paragrafen die je moeilijk vond of waar je veel fouten in gemaakt hebt nog een keer, maak daarna per uitleg nog eens 2 of 3 opgaven opnieuw zodat je goed voorbereid naar de toets komt.
Veel succes.
..1.
§1 voorkennis.
Volgorde van bewerkingen (voorrangregels)
Neem de opgave hieronder netjes over in je schrift en reken deze uit. Pas de voorrangregels toe.
a.
4 + 2 x 3
d.
4 x (2 + 3) x - 2
b.
4 x 2 - 3 x 4
e.
\(\sqrt{81}\) + 1 x 7 - 21
c.
(2 + 3) x - 6
f.
22 + 6 x (8 : 2)
Nog meer oefenen met de volgorde van bewerkingen? Maak dan de opgaven hieronder. Met het schuifbalkje kun je zien of je het goed hebt gedaan. Klik je op de pijltjes in de rechter bovenhoek dan krijg je nieuwe opgaven.
b. \({{6^2 +\space 4} \over 5^2 \space - \space 5}\)
..3.
§1 voorkennis.
Formule bij tabel.
Zodra je te maken hebt met een regelmatige tabel (er komt telkens hetzelfde bij of er gaat telkens hetzelfde af) dan kun je hier een formule bij maken.
Vul het schema op je werkblad in. *let op, er is een tabel die niet lineair is!
- Noteer de variabele
- Noteer het begingetal.
- Bereken de stapgrootte.
- Schrijf de formule op die bij de tabel hoort
..4.
§2 Werken met verbanden.
Gideon werkt als fietskoerier
Hoeveel geld hij verdient, kan hij berekenen met de volgende woordformule.
inkomsten in € = 5,25 + 2,75 x tijd in uren
Maak van de woordformule een formule met letters.
Heb je bij het verkorten van de formule ook het keerteken weggelaten? Heb je dat niet gedaan, schrijf de formule dan nog eens op zonder keerteken. *Tussen een cijfer en een letter laten we bij wiskunde het keerteken (x) weg!
Op maandagavond werkt Gideon 4 uur. Bereken wat hij die avond verdiend heeft. Schrijf je berekening op in je schrift. .
Aan het eind van de maand heeft Gideon in totaal 25 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten voor die maand. Schrijf je berekening op in je schrift.
..5.
§2 Werken met verbanden.
Gegeven is de formule: y = 3x - 2
Neem de formule over in je schrift. .
Neem de tabel hieronder over in je schrift en bereken de ontbrekende getallen. .
. .
Teken de grafiek die bij de formule past in je schrift. Vergeet de assen niet te benoemen.
..6.
§2 Werken met verbanden.
Jasmina en Mitchell gaan een wandeltocht maken in de bergen. Voor de steilste stukken in de tocht maken ze gebruik van cabineliften.
De cabine doet er 10 minuten over om boven te komen. Voor de tocht met deze cabine is de volgende formule opgesteld
H = 1194 + 74 x t
Hierin is h de hoogte waarop de cabine zich bevindt in meters en t de tijd in minuten na het vertrek van de cabine vanuit A.
Bereken op hoeveel meter hoogte de cabine zich na 6 minuten bevindt. Schrijf je berekening op. .
Bereken H voor t = 8 .
Teken in je schrift een tabel bij de formule. Maak op de x-as stappen van 2 ga door tot je bij 10 minunten bent. .
Teken de grafiek bij de tabel van vraag c
..7.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
Gegeven is de formule y = 0,5x2 + 2x - 1
bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = -5 * Let op, vul je een negatief getal in een formule in, zet dat dan tussen haakjes!
Bereken y voor x = 7
Bereken y voor x = -9
Bereken y voor x = 0,5
Bereken y voor x = -1,2
..8.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
Gegeven is de formule: y = -0,5x² + 2
De tabel die je hieronder ziet staat ook op je werkblad, vul deze verder in.
X
−3
−2
−1
0
1
2
3
Y
−4
Teken de grafiek die bij de formule past.
..9.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
De organisatie van een jaarlijks festival gaat er vanuit dat het aantal verkochte kaartjes verband houdt met de prijs van een kaartje. Als een kaartje te duur is, kopen minder mensen een kaartje. Als de prijs te laag is, denken sommige mensen dat het geen goed festival zal zijn en kopen ook minder mensen een kaartje. Het aantal verkochte kaartjes wordt berekend met de formule:
aantal = –20p2 + 800p – 4000
Hierin is aantal het aantal verkochte kaartjes en p de prijs van een kaartje in euro.
Laat met een berekening zien dat er volgens de formule 3500 kaartjes worden verkocht als de prijs van een kaartje 25 euro is.
Bereken het aantal verkochte kaartjes bij een prijs van 30 euro.
Maak een passende tabel bij de formule. Maak op de x-as stapjes van 5 euro.
Teken de grafiek die bij de tabel en de formule past. .
Teken met potlood de symmetrie-as in je parabool. .
Noteer de coördinaten van de top van de parabool.
..10.
§3/§4 Kwadratische verbanden.
Hiernaast zie je een tekening van een stuk sierbestrating. De stenen die hiervoor gebruikt worden heten klinkers. De klinkers worden in drietallen naast elkaar gelegd. Zo ontstaat telkens een vierkant.
De vierkanten worden gelegd volgens een bepaald patroon. Hieronder zie je de eerste vier figuren uit een reeks. Het rangnummer van elke figuur is aangegeven met de letter n. De figuur met rangnummer 2 bestaat dus uit 4 vierkanten.
Er bestaat een verband tussen het aantal klinkers van een figuur en zijn rangnummer n. De formule voor dit verband is: aantal klinkers = 3 × n2
Bereken het aantal klinkers van rangnummer 7
Bereken het aantal klinkers van rangnummer 12
Kim heeft 1875 klinkers gekocht. Welk figuurnummer kan er bij haar in de tuin gelegd worden? Schrijf je berekening op.
..11.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Hiernaast zien we de balans die hoort bij de vergelijking
4a + 11 = 6a + 3
Noteer het stappenplan dat je gebruikt bij de balansmethode.
Waarom moet je bij deze vergelijking de balansmethode toepassen?
Los de vergelijking op.
..12.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
Welk getal moet je op de plek van x in de formule invullen om de coördinaten van de top te berekenen?
Bereken de coördinaten van punt B. Schrijf de berekeningen in je schrift.
Welke x waarden hoort er bij een hoogte van 3,5?
Noteer de berekening die je gebruikt in je schrift.
Bij de rode grafiek hoort de formule
y = 0,5x2 - 3x -2
Bereken de coördinaten van punt C
Welke waarde voor x hoort er bij y = 6?
Bereken het snijpunt van beide grafieken. Schrijf je berekening op.
..14.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Het bedrijf ‘Store for you’ verhuurt opslagruimtes tot een vloeroppervlakte van 30 m2 . De kosten voor het huren van opslagruimte hangen af van het aantal m2 dat je huurt. De kosten worden berekend met de volgende formule:
K = –0,1a2 + 8,5a + 25
Hierin zijn K de kosten in euro’s per maand en a de vloeroppervlakte in m2 .
Emre heeft een opslagruimte nodig. Hij wil graag weten wat een opslagruimte van 10m2 kost om te huren.
Bereken voor Emre wat de maandelijkse kosten zijn voor het huren van zo'n opslagruimte. .
Emre wil maximaal €140,60 per maand uitgeven aan opslag ruimte. Bereken de maximale grote van de opslagruimte die Emre kan huren.
..15.
§5 Vergelijkingen oplossen.
Los onderstaande vergelijkingen op.
12 + 2 x 2a = 140 .
50 = -6 + 8x .
0,5x2 - 3x+ 4 = -0,5
Diagnostische toets
Test: Diagnostische toets
0%
Je kunt deze d-toets gebruiken om na te gaan of je alle onderdelen van het hoofdstuk voldoende beheerst.
Zijn er paragrafen die je moeilijk vond, of wijst deze d-toets uit dat je delen nog niet beheerst, oefen de betreffende paragrafen dan nog eens.
Lees de uitleg van de paragraaf waar je veel foutjes in maakt, maak per stukje uitleg telkens 2 a 3 opgaven. Net als met sporten zul je moeten trainen, oefenen, zweten, fouten maken en het nog eens op nieuw moeten proberen. Wie weet waar hij/zij moeite mee heeft en dit veel oefent komt goed voorbereid naar de toets.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Maak een passende tabel bij de formule (Weet je het nog minimaal 7 stappen)
Maak op de x-as stapjes van 1 en begin bij -3.
Teken de grafiek bij de tabel.
..5.
Kwadratische formule, berekeningen
In het plaatje hierboven zie je hoe een kanon wordt afgeschoten. De baan van de kogel schrijgt een parabolische baan. Naast het plaatje zie je een assenstelsel met daarin de baan van het schot nog eens afgebeeld. Bij dit kanonsschot hoort de formule y=-0,28x2 + 2,8x
Hierin is y de hoogte in meters en x de afstand gemeten in meters vanaf het kanon.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 4 meter van het kanon
Bereken y voor x = 8
Hoeveel meter van het kanon komt de kanonskogel op de grond terecht. Laat zien dat je antwoord klopt met een berekening.
Noteer de coördinaten van de top.
..6.
Werken met een kwadratische formule
Wanneer je het kanon uit vraag 5 draait komt de kanonskogel verder, of minder ver van het kanon op de grond terecht. Het kanon wordt een stukje gedraait, hierbij hoort de formule:
y = -0,35x2 + 3,5xHierin is y de hoogte in meters en x de afstand gemeten in meters vanaf het kanon.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 4 meter.
Bereken de hoogte van de kanonskogel op een afstand van 6 meter.
Bereken y voor x = 3
Bereken y voor x = 7.
Probeer nu eens de coördinaten van de top te berekenen. .
Teken een tabel met 7 punten begin bij 0. En vul met behulp van de formule de ontbrekende waarde in.
Teken de grafiek bij de tabel.
..7.
Parabool benoemen.
Hoe kun je aan een kwadratische formule zien of hier een dalparabool uit volgt? . .
Bekijk de afbeelding met parabolen. Noteer daarna van iedere parabool de coördinaten van de top en of deze parabool een berg- of dalparabool is.
Maak er een schema van
Grafiek
Soort parabool
Coördinaten van de top
A
B
C
D
.
Bekijk de formules hieronder. Noteer bij iedere formule welk type parabool er uit volgt.
Bekijk het filmpje over de balansmethode nog eens als je niet meer precies weet hoe je dit moet doen. Los daarna onderstaande vergelijkingen op.
12 = 2x + 4
28 = 8 + 5x
2A - 6 = 22 .
3x + 2 = 5x - 8
8a + 6 = 5a + 12
..9.
Lineaire vergelijking oplossen
Het maken van een pizza kost natuurlijk geld. Het maken van de bodem kost €0,75. Per ingredient komt daar nog eens €1,25 bij. Hierbij hoort de formule:
K = 0,75 +1,25GHierin is K de kosten in euro en G het aantal ingrediënten.
Je moet €7 euro betalen voor je pizza. Bereken het aantal ingrediënten dat er op jouw pizza gebruikt is. Schrijf je berekening op.
Je kunt er ook voor kiezen om je pizza ergens anders te halen. Hier bereken je de kosten voor een pizza met de formule
K = 0,50 + 1,30G
Je wilt berekenen bij welk aantal ingrediënten de pizzabakkers even duur zijn.
Welke vergelijking hoort hier bij? Noteer de vergelijking in je schrift.
Reken je opgeschreven vergelijking uit.
..10.
Kwadratische vergelijking oplossen
Los op met inklemmen: (als je niet meer weet hoe dit moet, kijk dan naar het filmpje in de uitleg)
Hiernaast zie je in het oranje de grafiek van -x2 + 6
Op deze grafiek is punt A getekend, punt A ligt op een hoogte van -2.
Hierbij hoort de vergelijking -x2 + 6 = -2
Los deze vergelijking op.
Op de groene grafiek ligt punt B.
Hierbij hoort de vergelijking x2 - 1 = 10
Los deze vergelijking op.
Los onderstaande vergelijkingen op, kies zelf de bijbehorende strategie.
3a + 4 = 40
2x2 - 10 = 22
5x - 10 = 3x + 22
-0,5x2 + 2 = -30
Extra stof 1
Kennisbank.
Werken met kwadratische formules
In dit hoofdstuk heb je het volgende geleerd over kwadratische formules.
Je hebt ontdekt dat de tabel bij een kwadratische formule een evenwijdig figuur oplevert, de parabool. Dit kon een bergparabool zijn zoals hierboven is afgebeeld of een dalparabool.
Extra stof opdracht 1
Maak bij onderstaande formules tabellen en vul deze in.
Y= -0,5X2 + 1
G = A2 – 4
Extra stof opdracht 2
Gegeven is de formule y = x2 +4
Vul in de formule op de plaats van X het getal -2 in. Bereken de uitkomst.
Vul in de formule op de plaats van X het getal 2 in. Bereken de uitkomst
Leg uit hoe het komt dat je bij x = – 2 en bij x = 2 dezelfde antwoorden krijgt. Illustreer dit met een voorbeeld. (Maak een tabel en teken de grafiek of laat dit met berekeningen zien)
Extra stof opdracht 3
Teken in één assenstelsel de grafieken van y = 1x2 – 4x + 0 en y = –2x2 + 5 x + 3
* tip(maak eerst 2 tabellen gebruik hier in de getallen –2 tot en met 4)
Kennisbank.
Vaste opbouw van een kwadratische formule.
we gaan de theorie over kwadratische formules een stuk uitbreiden. Je kunt namelijk aan de opbouw van de formule een aantal zaken afleiden.
Een kwadratische formule is altijd opgebouwd volgens het volgende principe.
y = ax2+ bx+ c.
Op de plek van de letters a, b en c kun je elk denkbaar getal invullen dus ook een breuk of een negatief getal.
Kijk maar:
y = ax2+ bx+ c
y = ax2+ bx+ c
y = 3x2- 2x+ 8.
y = -2x2+ 0,5x+ 2
In dit voorbeeld is:
In dit voorbeeld is:
voor a het getal 3 ingevuld 3x2
voor a het getal 3 ingevuld -2x2
voor b is het getal - 2 ingevuld - 2x
voor b is het getal - 2 ingevuld + 0,5x
voor c is het getal 8 ingevuld + 8
voor c is het getal 8 ingevuld + 2
Pas wel op, als je het getal 0 (nul) invult, dan valt het stukje weg! Het heeft dan namelijk geen waarde meer. kijk maar:
y = ax2+ bx+ c.
y = ax2+ bx+ c.
y = -2,5x2+ 2
y = 0,5x2+ 7x
In dit voorbeeld is:
In dit voorbeeld is:
voor a het getal 3 ingevuld -2,5x2
voor a het getal 3 ingevuld 0,5x2
voor b is het getal 0 ingevuld (is er niet)
voor b is het getal - 2 ingevuld + 07x
voor c is het getal 8 ingevuld + 2
voor c is het getal 8 ingevuld (is er niet)
Extra stof opdracht 4
y = ax2 + bx + c
Schrijf steeds de bijbehorende kwadratische formule op. Vul in het bovenstaande functievoorschrift (formule) steeds op de juiste plaats de getallen in.
a = 2b = -3 en c = 2
a = –4b = 6 en c = –8
a = 3b = 0 en c = 4
a = –0,5b = 1,5 en c = 0
Extra stof opdracht 5
Waarom mag je voor het stukje ax2 nooit het getal nul invullen?
Kennisbank
Hoe bereken je de top van een parabool.
Bekijk onderstaande video
In deze video maak je kennis met de formule
Xtop = \(-b \over 2a\) voor Ytop voer je jouw gevonden xtop in de formule in.
Vindt je het nog wat onduidelijk? Hieronder staat nog een video waarin je ziet hoe je de coördinaten van de top van een parabool kunt berekenen
Extra stof opdracht 6
Gegeven is de formule x2 + 4
Neem de tabel hieronder over en vul deze verder in
x
-3
-2
-2
0
1
2
3
y
8
13
Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
Teken in de grafiek de symmetrie as
Reken de coördinaten top van de parabool na met de formule Xtop= \({-b \over 2a}\) en Ytop.
Extra stof opdracht 7
Gegeven is de formule -x2 + 4x
Neem de tabel hieronder over en vul deze verder in
x
0
1
2
3
4
5
y
0
4
Teken de grafiek die bij de tabel hoort.
Teken in de grafiek de symmetrie as
Reken de coördinaten top van de parabool na met de formule Xtop= \({-b \over 2a}\) en Ytop
Extra stof opdracht 8
Bereken de coördinaten van de top van de volgende parabolen
y = -2x2 + 28x + 8
.
y = 5x2 + 60x - 125
.
y = x2 - 12x + 4
.
y = 0,5x2 - 4x + 1
Extra stof opdracht 9
De brug over de Rijn bij Emmerich is met een lengte van 1228 meter de langste hangbrug van Duitsland. De afstand tussen de twee pylonen is 500 meter.
De kabel tussen de twee pylonen vormt bij benadering een dalparabool. De hoogte van de kabel van de brug boven het water kun je berekenen met de formule
hoogte kabel = 0,0005a2 – 0,2a + 70 Hierin is a de afstand gemeten vanaf de eerste pylon
Het wegdek is 62 meter boven boven het water.
Bereken de kleinste afstand tussen de kabel en het wegdek in hele meters volgens de formules. Schrijf je berekening op.
Extra stof 2
Coöperatieve opdrachten
H6 Procenten en verhoudingen
Inleiding.
In het zesde hoofdstuk van dit jaar gaan we aan de slag met procenten en verhoudingen.
Dit hoofdstuk heeft veel raakvlakken met het vak economie. Bij economie werk je ook veel met procenten. Naast procenten kijken we in dit hoofdstuk ook naar verhoudingen, waarom zal je denken nou omdat je procenten en verhoudingen op dezelfde manier kunt aanpakken; namelijk met een verhoudingstabel. We gaan dus veel met verhoudingstabellen werken.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H6.1 Voorkennis
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Procenten.
Procenten, breuken en komma getallen.
Kennisbank
Percentage gegeven.
Kennisbank
Percentage gevraagd.
H6.2 Nieuwe prijs
H6.3 BTW
H6.4 Verhoudingen
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Mengen en rijgen
Kennisbank
Snelheid
H6.5 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H7 Statistiek
Inleiding.
Statistiek, het stukje wiskunde dat het dichts bij de 'gewone' wereld staat. Open je een krant of kijk je wel eens het journaal, dan zie je vaak mooie diagrammen voorbij komen. Het begrijpbaar maken van gegevens en dit vormgeven in een diagram dat is statistiek. Je verzamelt gegevens en probeert dit zo overzichtelijk mogelijk te presenteren. In hoofdstuk 6 van dit jaar leer je dus gegevens interpreteren en hier een diagram (plaatje) bij maken.
Het onderwerp statistiek is een opzichzelf staand onderwerp. Met de opkomst van de computer en de smartfone wordt statistiek alsmaar belangrijker in onze maatschappij. Het is best lastig om van alle gegevens die we inmiddels verzamelen overzichtelijke plaatjes (diagrammen) te maken.
Journalisten, mensen in de geneeskunde, reclamemakers, accountants, makelaars, forensisch wetenschappers, een psycholoog en marktonderzoekers zijn een greep uit de banen waarbij je veel met statistiek werkt. Maar waarschijnlijk kan jij deze lijst nog wel verder aanvullen. Vraag bijvoorbeeld maar eens aan je ouders, ooms, tantes pof buren wat voor werk zij doen. Wedden dat er minimaal ééntje veel met statistiek werkt.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H7.1 Voorkennis
Diagrammen.
Staafdiagram en histogram
Gegevens kun je op verschillende manieren weergeven.
Voorbeelden zijn een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram.
Een klas van 30 leerlingen heeft een toets wiskunde gemaakt.
Met de resultaten is een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram gemaakt
Voorbeeld 2:
Aan 30 jongeren tussen de 12 en 14 jaar is gevraagd hoe zij aan geld komen.
De antwoorden zijn verwerkt in een tabel.
Tel het totaal aantal antwoorden in de tabel. Het aantal antwoorden is groter dan 30. Kan dat? Ja dat kan. Dat betekent dat een aantal jongeren op meer dan één manier aan geld komt.
Bij de tabel is een beelddiagram gemaakt.
Achter zakgeld staan 10 poppetjes getekend. Ieder poppetje stelt 2 jongeren voor.
Op airport Eindhoven komen elke dag mensen aan, uit verschillende landen.
a. Op welke dagen komen de meeste mensen aan op airport Eindhoven?
……………………………………………………………………………………
b. Vul onderstaande tabel in
22. In het beelddiagram zie je voor een aantal landen het gemiddelde jaarinkomen per inwoner in euro’s.
a. Hoeveel is het gemiddeld jaarinkomen per inwoner in Nederland? ………………………
b. Hoeveel is het gemiddeld jaarinkomen per inwoner in Indonesië? ………………………
c. Het gemiddeld jaarinkomen per inwoner in China is € 7000,-.
Geef dit inkomen aan in het beelddiagram hierboven.
23. Een klas heeft een toets geschiedenis gemaakt. In de tabel zie je de resultaten:
cijfer
4
5
6
7
8
9
aantal keer
2
3
5
7
5
3
a. Maak het beelddiagram en staafdiagram hieronder verder af.
b. Hoeveel leerlingen zitten er in de klas? ………………………………….
c. Hoeveel leerlingen hebben er een onvoldoende? ……………………..
24. Aan een groep jongeren is gevraagd hoe zij aan hun geld komen.
De antwoorden staan in de tabel.
a. Kun je in de tabel hieronder zien aan hoeveel jongeren de vraag is gesteld?
Leg je antwoord uit.
………………………………………………………………………………………………………
b. Naast de tabel zie je een begin van een beelddiagram. Maak het beelddiagram af.
25. In een klas zitten 32 leerlingen.
Er komen 6 leerlingen lopend naar school, 20 leerlingen met de fiets, 4 leerlingen met de bus en 2 leerlingen met de brommer.
Maak voor deze gegevens een beelddiagram én staafdiagram (hieronder). Maak ook de indeling op de assen.
26. Tijdens de sportdag kan gekozen worden uit een aantal sporten.
In de tabel hieronder staat hoeveel iedere sport gekozen is door leerlingen.
Teken hieronder het staafdiagram.
Turftabellen
H7.2 Grafen
Een graaf is een schematische weergave van de werkelijkheid.
Een graaf bestaat uit knooppunten en wegen.
De wegen in een graaf kunnen echte wegen zijn, maar dat hoeft niet.
Voorbeeld
In de graaf hiernaast geeft een weg tussen twee personen aan dat ze aan dezelfde sport doen.
- Eva zit op voetbal en tennis.
- Jef zit op voetbal en volleybal.
- Jorge zit op volleybal.
- Kate zit op tennis en volleybal.
Een graaf met 'éénrichtingsverkeer' noem je een gerichte graaf. In een gerichte graaf zie je een of meer pijltjes in de wegen.
Voorbeeld
Bekijk de gerichte graaf. Je ziet dat je wel rechtstreeks van AA naar CC kunt, maar niet rechtstreeks van CC naar AA, je moet dan via BB.
Twee grafen zijn gelijk als:
ze dezelfde knooppunten hebben.
in dezelfde knooppunten dezelfde wegen samenkomen.
Deze twee grafen zijn gelijk!
Grafen - Voorbeeld 1
In een park zijn vijf ontmoetingsplaatsen:
het theehuis (T), de vijver (V), de speeltuin (S), het podium (P) en de kinderboerderij (K).
In het park zijn de volgende wandelpaden:
Van het theehuis (T) kun je naar de vijver (V), naar het podium (P) en naar de kinderboerderij (K).
Van de vijver (V) loopt een wandelpad naar de speeltuin (S).
Van de speeltuin (S) kun je naar het podium (P).
Bekijk de graaf goed. En bedenk hoe de wegen getekend moeten worden.
'Afstand'tabellen
In een afstandtabel staan de 'afstanden' tussen de knooppunten.
Dat kunnen kilometers zijn, maar bijvoorbeeld ook reistijden.
Voorbeeld
In de graaf zie de reistijden per trein in minuten tussen een aantal steden.
Omdat er werkzaamheden aan het spoor zijn, kun je niet rechtstreeks van Zutphen naar Arnhem. De graaf is een gerichte graaf.
AmsterdamAmsterdam
AmersfoortAmersfoort
ArnhemArnhem
UtrechtUtrecht
ZutpenZutpen
AmsterdamAmsterdam
-
3434
6969
3232
8282
AmersfoortAmersfoort
3434
-
5151
1414
4848
ArnhemArnhem
6969
5151
-
3737
2121
UtrechtUtrecht
3232
1414
3737
-
5858
ZutphenZutphen
8282
4848
9999
6262
-
De reistijden tussen de steden zijn ook weergegeven in een 'afstand'tabel.
Ook in de tabel kun je zien dat je te maken hebt met een gerichte graaf.
H7.3 Centrum maten
Centrummaten bestaat uit gemiddelde, mediaan en modus.
Gemiddelde:
Dit noemen we het gewogen gemiddelde, omdat elk cijfer een ander weging heeft.
Mediaan:
Modus:
Een gemiddelde berekenen
Als je het gemiddelde van een aantal getallen wilt uitrekenen, tel je alle getallen bij elkaar op en je deelt het totaal door het aantal getallen.
Voorbeeld:
Bart heeft vijf proefwerken gedaan. Hij haalde daarbij een 6, 8, 7, 8 en 9.
Wat is zijn gemiddelde cijfer?
Stap 1: Je rekent eerst het totaal van de scores uit: 6+8+7+8+9=38
Stap 2: Deel het totaal door het aantal getallen. Er zijn 5 cijfers, dus 38 : 5 = 7,6
Stap 3: Schrijf je antwoord op: Het gemiddelde cijfer is dus een 7,6
Let op: soms telt een cijfer meer dan één keer mee (vb.: cijfers van een proefwerk)
Hoeveel kranten heeft 't Winkeltje gemiddeld verkocht in de afgelopen week?
(schrijf de berekening op)
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
14. Rond bij deze opdracht af op één decimaal
a. Job heeft de volgende cijfers voor wiskunde gehaald:
5,4 6,5 9,2 3,5 1,7 5,6 9,4 7,3
Wat is het gemiddelde cijfer voor wiskunde van Job? (schrijf de berekening op)
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
b. Voor Engels heeft Job de volgende cijfers gehaald:
6,4 9,0 8,1 6,4 5,6 7,6 7,6 8,3
Wat is het gemiddelde cijfer voor Engels van Job? (schrijf de berekening op)
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
15. Bij Wilma op school, tellen proefwerkcijfers twee keer mee. Je moet deze cijfers dan ook twee keer meetellen bij het gemiddelde. S.O.’s tellen maar één keer mee.
Wilma heeft de volgende punten voor wiskunde:
S.O. 5,5 6,1 6,2 7,0 4,5 6,0
Proefwerk: 8,3 8,4 7,2
Wat is het gemiddelde cijfer voor wiskunde van Wilma? (schrijf de berekening op en rond af op één decimaal) (let op: tel de proefwerkpunten twee keer mee)
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
16.
In klas 2A van het Mondiumcollege hebben de leerlingen hun leeftijd in een tabel ingevuld.
Leeftijd
Aantal leerlingen
12
2
13
15
14
3
15
1
Hoeveel leerlingen zitten er in klas 2A?
Schrijf je berekening op. ………………..……………………………………………….
Hoeveel keer moet je de leeftijd ‘13’ meetellen? ………………………………………
Bereken de gemiddelde leeftijd van klas 2A.
(tip: tel niet 13 + 13 + 13 + 13 + …… + 13 + 13, maar tel 15 x 13)
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Een mediaan berekenen
Een modus berekenen
17. Bekijk de rij getallen hieronder.
4 5 5 5 6 6 7 7 8
a. Welk getal is de modus van deze rij getallen?
……………………………………………………………………………………………………….
b. Wat is de mediaan van deze rij getallen?
……………………………………………………………………………………………………….
c. Bereken ook het gemiddelde van deze rij getallen.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
18. Bekijk de rij getallen hieronder.
1 3 5 2 4 1 6 8 3 2 3 7 3 9 3 2 3 1 3 8 9 6 5 3
a. Welk getal is de modus van deze rij getallen?
………………………………………………………………………………………………………
b. Zet de getallen op volgorde van klein naar groot
……………………………………………………………………………………………………….
c. Wat is de mediaan van deze rij getallen?
……………………………………………………………………………………………………….
d. Bereken ook het gemiddelde van deze rij getallen.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
19.
3 2 1 1 5 7 7 4 3 1 1 1 1 8 5
a. Welk getal is de modus van deze rij getallen?
……………………………………………………………………………………………………….
b. Wat is de mediaan van deze rij getallen? (let op, schrijf de getallen eerst op volgorde)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
c Bereken ook het gemiddelde van deze rij getallen.
……………………………………………………………………………………………………….
20.
11 14 9 9 8 12 12 10 14 13 11 13
a. Welk getal is de modus van deze rij getallen?
……………………………………………………………………………………………………….
b. Wat is de mediaan van deze rij getallen? (let op, schrijf de getallen eerst op volgorde)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
c Bereken ook het gemiddelde van deze rij getallen.
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
H7.4 Cirkeldiagram
- Cirkeldiagram lezen
Aan 200 mensen is gevraagd wat hun favoriete sport is.
Hun antwoorden zijn verwerkt in een cirkeldiagram.
Je ziet dat 60% van de ondervraagden gekozen heeft voor voetbal.
60% = 0.6
60% van 200 mensen is 0,6 × 200 = 120
Dus van 120 mensen is voetbal de favoriete sport.
- Cirkeldiagram tekenen
Stap 1: bereken de percentages
Stap 2: bereken de hoeken
Stap 3: teken het cirkeldiagram.
Voorbeeld
25 personen doen aan sport. 10 personen doen voetbal, 8 personen doen tennis, 6 personen doen hockey en 1 persoon doet handbal. De sporten zijn de Sectoren.
In de tabel hieronder staat het weergegeven.
Sport
Voetbal
Tennis
Hockey
Handbal
Totaal
Aantal
10
8
6
1
25
Procenten
Hoek
Stap 1: bereken de percentages.
10 : 25 x 100 = 40%
8 : 25 x 100 = 32%
6 : 25 x 100 = 24%
1 : 25 x 100 = 4%
Dit zetten we in de tabel:
Sport
Voetbal
Tennis
Hockey
Handbal
Totaal
Aantal
10
8
6
1
25
Procenten
40
32
24
4
100
Hoek
Stap 2: bereken de hoeken.
De hoeken kan je berekenen door de percentages x 3,6 te doen.
Stap 3: teken het cirkeldiagram.
Teken een straal omhoog in de cirkel.
Teken de hoek van 144° en zet het percentage er in. Dit is de eerste sector.
Teken de andere hoeken.
Het cirkeldiagram is nu klaar!
- Cirkeldiagram tekenen
Stap 1: bereken de percentages
Stap 2: bereken de hoeken
Stap 3: teken het cirkeldiagram.
34.
Aan 50 mensen is gevraagd wat hun favoriete sport is. Ze mochten kiezen uit voetbal, tennis, volleybal en hockey.
De resultaten vind je in de tabel.
Sport
aantal
percentage
Voetbal
30
30/50 = 0,6 = 60%
Tennis
12
Volleybal
5
Hockey
3
Totaal
50
a. Vul de kolom ''Percentage'' hierboven verder in.
b. Bij de tabel van vraag 1a is hieronder een cirkeldiagram gemaakt. Zet de juiste namen bij de sectoren.
35.
Er zitten 20 leerlingen in de klas die een mobiele telefoon hebben.
8 leerlingen hebben een Iphone, 5 leerlingen een samsung, 3 leerlingen een LG en 4 leerlingen een Huawei.
Vul de tabel verder in en teken het cirkeldiagram
Merk
Iphone
Samsung
LG
Huawei
Totaal
Aantal
Procenten
Hoek
.
Klad
Net
36.
Boer Jansen heeft in totaal 320 dieren op zijn boerderij. Hij heeft 280 koeien, 5 honden, 25 kippen en 10 konijnen .
Vul de tabel verder in en teken het cirkeldiagram.
soort
koeien
kippen
honden
konijnen
Totaal
Aantal
Procenten
Hoek
Klad
Net
37.
Boer de Vries heeft in totaal 120 dieren rondlopen. Hij heeft 85 varkens, 20 kippen, 10 konijnen en 5 honden.
Vul de tabel verder in en teken het cirkeldiagram.
Soort
varkens
kippen
konijnen
honden
totaal
Aantal
Procenten
Hoek
Klad
Net
H7.5 Steel-bladdiagram
Er stappen 14 mensen in de bus. Deze mensen hebben allemaal een leeftijd. Die leeftijden die ze hebben zijn:
Links van de steel staan de tientallen en rechts de eenheden.
28. Bekijk de getallen.
14, 16, 17, 23, 24, 25, 25, 26, 28, 30, 32 en 33.
Met deze getallen wordt een steel-bladdiagram gemaakt.
De tientallen staan in de steel.
De eenheden staan in het blad.
Maak het steel-bladdiagram verder af.
29. Hieronder zie je cijfers voor een proefwerk Frans.
Met de cijfers wordt een steel-bladdiagram gemaakt.
2,3
3,2
3,4
3,8
4,2
4,4
4,4
4,7
5,0
5,0
5,3
5,5
5,9
5,9
6,0
6,3
6,5
6,5
6,5
6,8
6,8
7,2
7,2
7,6
7,6
7,7
8,0
8,3
9,0
9,5
a. Maak het steel-bladdiagram af.
b. Hoeveel leerlingen hadden er een onvoldoende (is lager dan 5,5) voor dit proefwerk?
………………………………………………………………………………………………………
30. Een klas heeft een proefwerk Geschiedenis gemaakt.
In het steel-bladdiagram zie je de resultaten.
a. Hoeveel leerlingen zitten er in deze klas? ………………………………………………
b. Wat is het laagste cijfer dat is gehaald? ………………………………………………
c. Hoeveel leerlingen hebben er een 6,5 of hoger gehaald voor het proefwerk? …………
d. Bereken het gemiddelde van alle cijfers.
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
31.
a. Hoeveel boeken zijn er in 2010 uitgeleend? ………………………………………………
b. Hoeveel boeken zijn er in 2012 minder uitgeleend dan 2011? ………….………………
c. Hoeveel boeken zijn er in totaal tussen 2010 en 2015 uitgeleend? ………….…………
32.
De leerlingen van het Mundiumcollege doen een onderzoek. Aan een aantal leerlingen is gevraagd hoe laat zij thuiskomen uit school. In het steel-bladdiagram zie je de resultaten.
In het steel-bladdiagram staat achter de 14 een 20. Welke tijd hoort daarbij? ……......
De tijd 15:50 staat drie keer in het steel-bladdiagram. Wat betekent dat? …………………………………………………………………………………………………..
Hoeveel leerlingen hebben meegedaan aan het onderzoek?
………………………………………………………………………………………………….
33.
In het dubbel steel-bladdiagram staan de wiskundecijfers van de klassen 2kA en 2kB.
2kA 2kB
a. Hoeveel leerlingen zitten er in 2kA? ………………………………………..
b. Hoeveel leerlingen zitten er in 2kB? ………………………………………..
c. Liesje heeft een 6,0. In welke klas zit zij? …………………………………..
d. Hoeveel onvoldoendes (<5,5) zijn er in klas 2kA? …………………………
e. Hoeveel onvoldoendes (<5,5) zijn er in klas 2kB? …………………….......
H7.6 Gemengde opgaven
Bekijk het onderstaand rijtje getallen
56 54 28 19 14 25 33 18 25 18 17
4.Bereken het gemiddelde van bovenstaande getallen 5. Welk getal is de modus?
6. Wat is de mediaan van deze rij getallen?
Bekijk onderstaand steel-bladdiagram
7. Hoeveel mensen hebben ze gevraagd naar het aantal kilometers dat ze per week afleggen?
8. Wat is de vaakst voorkomende afstand?
9. Welke afstand was het grootst?
Aziz houdt haar gewicht gedurende een paar maanden bij. De resultaten zie je hieronder in de tabel.
10. Neem onderstaande grafiek over in je schrift en teken de bijbehorende lijngrafiek.
11. Neem onderstaande tabel over in je schrift en vul deze verder in.
12. Teken met een passer een cirkel in je schirft. Teken vervolgens het cirkeldiagram dat bij bovenstaande tabel hoort. Denk aan titel, legenda en percentages in de sectoren.
Diagnostische toets
Herhaling
Centrummaten (4.2)
4. In klas 2A heeft iedereen opgeschreven uit hoeveel personen hun gezin bestaat.
5. Bij een kookwedstrijd geeft de jury punten aan elk gerecht. De punten van de juryleden tellen niet allemaal even zwaar.
(gewicht betekent hoeveel keer het cijfer meetelt)
a. Wat is het gemiddelde cijfer dat Anna van de juryleden krijgt?
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
b. Wie van de twee koks heeft het hoogste gemiddelde en dus de wedstrijd gewonnen?
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………..
Beelddiagram en staafdiagram (4.3)
6. Op het bowlingcentrum houden ze een week lang bij hoeveel bezoekers er komen.
Het resultaat staat in het beelddiagram.
a. Op welke dag komen de meeste bezoekers? ……………………………………….
b. Vul de onderstaande tabel in.
c. Bereken het gemiddeld aantal bezoekers van deze week
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
7. In het staafdiagram hieronder zie je hoeveel Nederlandse Facebookgebruikers er in een maand zijn.
a. Welke leeftijdsgroep maakt het meest gebruik van Facebook? …………………………
b. Hoeveel Facebookgebruikers van 13 – 17 jaar zijn er per maand in Nederland?
……………………………………….
c. Onder de 13 jaar mag je geen lid worden van Facebook. Het aantal gebruikers boven de 64 jaar is ongeveer 100 000. Waarom vind je dat niet in het staafdiagram? (leg uit)
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
8. In de tabel hieronder zie je welke kleur fiets De Trapper in maart verkocht heeft.
Maak een staafdiagram bij de tabel.
Centrummaten
4. Bekijk de rij getallen hieronder.
3 5 2 4 1 3 2 3 7 3 3 2 4 3 1 3 8 9 6 5 3
a. Zet de getallen op volgorde van klein naar groot
…………………………………………………………………………………………………
b. Welk getal is de modus van deze rij getallen?
…………………………………………………………………………………………………
c. Wat is de mediaan van deze rij getallen?
…………………………………………………………………………………………………
d. Bereken ook het gemiddelde van deze rij getallen.
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Beelddiagram en staafdiagram
5. Op het bowlingcentrum houden ze een week lang bij hoeveel bezoekers er komen.
Het resultaat staat in het beelddiagram.
a. Op welke dag komen de meeste bezoekers?
……………………………………….
b. Vul de onderstaande tabel in.
Bereken het gemiddeld aantal bezoekers van deze week.
………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………
6. Tijdens de sportdag kan gekozen worden uit een aantal sporten.
In de tabel hieronder staat hoeveel iedere sport gekozen is door leerlingen.
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
H8 Vergroten en verkleinen
Inleiding.
Vergroten en verkleinen hoort bij het onderwerp verhoudingen. Net als met het berekenen van snelheid of procenten werken we dus weer veel met tabellen en enkele formules.
Binnen de designwereld speelt vergroten & verkleinen natuurlijk een grote rol. Alle beroepen waarbij je ontwerpt, van het ontwerpen van een nieuw coulbertjasje tot het ontwerpen van een game krijgen te maken met het vergroten of verkleinen van iets.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H8.1 Voorkennis
Inleiding
Leerdoelen
Kennisbank
Metriekstelsel
Kennisbank
Verhoudingstabel
H8.2 Vergrotingsfactor
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Lengte maten en afstanden
Kennisbank
Vergroten en verkleinen
De Vergrotingsfactor
Wanneer je een schaalmodel maakt, een foto van iemand en deze afdrukt of een plaatje invoegt in je presentatie, dan werk je met een vergroting of een verkleining. We hebben dan te maken met een origineel en een beeld.
Origineel = in het echt, beeld = de kopie.
Een origineel kan je vergroten. Het beeld wat ontstaat is vergroot of verkleint met een vergrotingsfactor.
De vergrotingsfactor berekenen je door de lengte van het beeld te delen door de lengte van het origineel.
Dus ook als je te maken hebt met een verkleining, heet het nog steeds een vergrotingsfactor. Is deze kleiner dan 1 dan heb je dus te maken met een verkleining.
H8.2 opdracht 1
driehoekABC (origineel) is gelijkvormig met driehoek DEF. Bereken de vergrotingsfactor. (Zet je beeldscherm op 100%!!)
H8.2 opdracht 2
Teken een vergroting van het huis. Neem als vergrotingsfactor 3. Elk hokje is 1cm bij 1 cm.
H8.2 Opdracht 3
Bekijk de driehoek hiernaast. Deze driehoek is er niet één, maar twee. Je hebt een kleine driehoek namelijk ΔPST en een grote driehoek namelijk ΔPQR.
Driehoek PQR is een vergroting van driehoek PST.
Bereken de vergrotingsfactor.
H8.2 Opdracht 4
Bekijk de afbeeldingen hieronder.Deze staan ook op je werkblad.
De tweede foto is een vergroting van de eerste foto.
Bereken de vergrotingsfactor, noteer de berekening op je werkblad.
H8.2 opdracht 5
Onderstaande driehoeken zijn gelijkvormig. De driehoeken staan ook op je werkblad.
Bereken de vergrotingsfactor Noteer de berekening op je werkblad.
H8.2 Opdracht 6
Teken de vergroting van driehoek EFG. Neem vergrotingsfactor 2.
Kennisbank
Kopieerapparaat:
Als je een vel papier in een kopieerapparaat legt, kun je deze vergroten of verkleinen. Standaard staat het apparaat op 100%, je krijgt dat dezelfde afmetingen als het origineel. De vergrotingsfactor is 0.
Onder de 100%, dan wordt het een verkleininig, boven de 100% dan wordt het een vergroting.
Bij 80% hoort een vergrotingsfactor van 0,80 want
beeld : origineel = 80% : 100% = 0,8
Bij 150% hoort een vergrotingsfactor van 1,5 want
beeld : origineel = 150% : 100 % = 1,5
Ook hier kun je de vergrotingsfactor lezen als een vermenigvuldiging.
voorbeeld:
Een blaadje van 20 bij 30 cm wordt bij een vergroting van 80%
(dit is dus een verkleining) :
20 x 0,80 = 16 cm bij 30 x 0,80 = 24 cm.
Datzelfde blaadjr wordt bij een vergroting van 150%:
20 x 1,50 = 30 cm bij 30 x 1,50 = 45 cm.
H8.2 Opdracht 7
John legt zijn hand op het kopieerapparaat. Hij stelt deze in op 95%.
a) Wordt de afbeelding van zijn hand groter of kleiner?
b) Welke vergrotingsfactor hoort er bij 95%?
c) John zijn ring is 9 mm breed, hoe breed is de ring op de kopie?
H8.2 Opdracht 8
Marijke legt een foto van 40 x 30 cm onder het kopieerapparaat. Zij wil een foto van 25 x 18,75 cm hebben.
Op welk percentage moet Marijke het apparaat instellen? Laat met berekeningen zien hoe je aan je antwoord komt.
H8.2 Opdracht 9
H8.2 Opdracht 10
H8.3 Gelijkvormige driehoeken
Inleiding.
Misschien heb jij ook wel een leuke sleutelhanger van bijvoorbeeld een blik je aan je sleutelbos. Of heb je laatst een maquette gezien van de wijk waar je in woont. Dit zijn allebei voorbeelden van dingen die verkleint zijn. De huizen op de maquette zijn precies hetzelfde als de huizen in de echte wijk, alleen een stuk kleiner natuurlijk. Je hebt hier te maken met gelijkvormige figuren. In deze paragraaf leer je hoe je gelijkvormige figuren kunt herkennen en hoe we hier een berekening mee kunnen maken.
Succes!
Leerdoelen
Ik kan uitleggen wanneer twee figuren gelijkvormig zijn.
Ik herken gelijkvormigheid in driehoeken.
Ik kan bij twee gelijkvormige figuren een verhoudingstabel invullen.
Kennisbank
Wanneer zijn twee figuren gelijkvormig?
Soms zijn figuren gelijkvormig. We kijken specifiek naar driehoeken in deze paragraaf. De ene driehoek is dan een vergroting of een verkleining van de andere driehoek. Als we de vergrotingsfactor weten, dan kunnen we daarmee vaak de lengte van onbekende zijden berekenen.
Twee figuren zijn gelijk vormig als:
de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
De zijden van de figuren in een verhoudingstabel passen.
(ze zijn een vergroting/verkleining van elkaar.)
Voorbeeld
Zijn onderstaande driehoeken gelijkvormig?
We stellen onszelf twee vragen:
1. zijn de hoeken gelijk? \(\angle\)C = \(\angle\)E = 90° → Ja \(\angle\)A = \(\angle\)F→ Ja \(\angle\)B = \(\angle\)D→ Ja
2. zijn alle maten een vergroting/verkleing van elkaar?
40 : 20 = 2
60 : 30 = 2
Als aan beide voorwaarden is voldaan, dus op beide vragen het antwoord ja is, dan kun je zeggen dat de driehoeken gelijkvormig zijn:
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek DEF. → ΔABC ~ ΔDEF
We kunnen nu een verhoudingstabel invullen:
ΔABC
AB = 30
BC = 28
AC = 20
ΔDEF
DF = 60
DE = ...
EF = 40
..1.
Gelijkvormigheid noteren.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) A = \(\angle \) ... \(\angle\) B = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔABC ~ Δ ...
..2.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) K = \(\angle \) ... \(\angle\) L = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔKLM ~ Δ ...
..3.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) D = \(\angle \) ... \(\angle\) E = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔDEF ~ Δ ...
..4.
Gelijkvormige driehoeken herkennen
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus \(\angle\) A = \(\angle \) ... \(\angle\) B = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔABC ~ Δ ...
Kennisbank
Weet je het nog, twee figuren zijn gelijkvormig als:
de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
De zijden van de figuren in een verhoudingstabel passen.
(ze zijn een vergroting/verkleining van elkaar.)
Kijk maar naar de driehoeken hieronder.
Aan de tekentjes kun je zien dat de hoeken van de driehoeken even groot zijn.
\(\angle\) K = \(\angle\)R en \(\angle\)M = \(\angle \)P
Ook de zijden van de driehoek zijn een vergroting/verkleining van elkaar.
We kunnen dus een verhoudingstabel gebruiken.
Δ PQR
PQ = ...
QR = 9
PR = 5
Δ MLK
ML = 9
LK = 13,5
MK = 7,5
* normaal zetten we de letters altijd op volgorde van het alfabet. Dit keer niet omdat we de letters van de hoeken die bij elkaar horen onder elkaar zetten.
Je kunt de tabel gebruiken om de ontbrekende zijde te berekenen. In het filmpje hieronder wordt dat nog eens voorgedaan.
..5.
Verhoudingstabel bij gelijkvormigheid
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔCAB ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔCAB
CA = 13
CB = 27
AB = 30
Δ .....
... = ...
... = ...
... = ...
..6.
Tabel invullen bij gelijkvormigheid
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔPQR ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔPQR
PQ = ...
QR = 5
PR = 7
Δ .....
ML = 15
... = ...
... = ...
..7.
Vul de tabel in
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔBCA ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔABC
AB = 5
... = ...
... = ...
Δ .....
... = ...
... = ...
KL = 9
..8.
Gelijkvormigheid en de verhoudingstabel.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔABC ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔABC
AB = 2
... = ...
... = ...
Δ .....
... = ...
... = ...
... = ...
Kennisbank
Snavelbek en zandloperfiguur.
Wanneer we te maken krijgen met evenwijdige lijnen, dan moeten we extra opletten. Het kan zo maar eens zo zijn dat je een snavelbek of een zandloper figuur krijgt.
Hieronder zien we voorbeelden van een snavelbek figuur en een zandloper figuur.
ook nu kunnen we natuurlijk de gelijkvormigheid weer beschrijven.
Kijk maar eens naar de snavelbekfiguur. Hierin geldt:
ΔADE ~ ΔABC omdat \(\angle\)A = \(\angle\)A en \(\angle\)D = \(\angle\)B (dit is al voldoende) \(\angle\)E = \(\angle\)C
..9.
..10.
..11.
..12.
Driehoeken zijn gelijkvormig als:
- alle zijden dezelfde vergrotingsfactor hebben (zie ΔDEF en ΔGHI)
of
- alle hoeken even groot zijn (zie ΔABC en ΔRPQ)
Als driehoeken gelijkvormig zijn schrijven we dit als volgt:
ΔDEF ~ ΔGHI of ΔABC ~ ΔRPQ
Bij het opschrijven van de driehoeken zet je de overeenkomstige zijden/hoeken op dezelfde plaats.
Voorbeelden:
Zijde HI is een vergroting van EF
Zijde GH is een vergroting van DE
∠∠ P = ∠∠ B en ∠∠ A = ∠∠R
OPDRACHTEN
1.
Op het plaatje hieronder zie je allerlei driehoeken.
a) Welke driehoek is een vergroting van driehoek ABC?
b) Bereken de vergrotingsfactor.
c) Waarom zijn de andere driehoeken geen vergroting?
2. ΔABC ~ ΔRPQ
a) Welke hoek is even groot als ∠∠B?
b) Welke andere hoeken zijn ook gelijk?
c) Van welke zijde is PQ een vergroting?
d) Van welke zijde is RP een vergroting?
3. ΔDEF~ΔKLM
Neem over en vul in
a) ∠∠K = ∠∠ ....
∠∠L = ∠∠ ......
b) Zijde MK is een vergroting van zijde ......
Zijde KL is een vergroting van zijde.....
Zijde ML is een vergroting van zijde ....
4. Bekijk de zandloperfiguur hiernaast.
a) Schrijf alle gelijke hoeken op.
b) Schrijf de gelijkvormige driehoeken op.
Gebruik hiervoor de tekens zoals hierboven beschreven!!
5. Bekijk de zandloperfiguur hieronder.
a) Zijde CD is een vergroting van zijde AC. Bereken de vergrotingsfactor.
b) Hoe kun je laten zien dat de twee driehoeken gelijkvormig zijn?
c) Schrijf de gelijkvormige driehoeken op.
d) Schrijf de gelijke hoeken en zijden op.
e) AB = 1,8. Hoe lang is DE dan?
In gelijkvormige driehoeken kun je de lengtes van zijden berekenen. Je gebruikt dan de vergrotingsfactor.
Gelijkvormige driehoeken hebben dezelfde verhouding, daarom kun je een verhoudingstabel gebruiken.
Voorbeeld: Bereken de lengte van de zijden EF en DE, rond af op hele mm
Als we kijken naar de hoeken dan kunnen we stellen dat ΔABC~ΔFDE
Het is belangrijk om de letters in de juiste volgorde te zetten, kijk dus eerst welke hoeken er gelijk zijn aan elkaar!!
ΔABC
AB = 30
BC = 27
AC = 13
ΔFDE
FD = 40
DE = ?
EF = ?
De vergrotingsfactor = 40:30 = 1,33
EF = 13 x 1,33 = 17 mm
DE = 27 x 1,33 = 36 mm
6. Bekijk de driehoeken hiernaast.
a) Schrijf alle gelijke hoeken op, gebruik het hoekteken.
b) Schrijf de gelijkvormige driehoeken op, gebruik het teken voor driehoek en gelijkvormigheid.
c) Maak een verhoudingstabel zoals in het voorbeeld hierboven en vul deze in voor de driehoeken hiernaast.
d) Bereken de vergrotingsfactor
e) Bereken de lengte van de zijden met het ?
7. Bekijk de driehoeken hiernaast.
a) Schrijf de gelijke driehoeken op, gebruik de juiste tekens.
b) Maak de bijbehorende verhoudingstabel en vul alle maten in.
c) Bereken de zijden met een ? met behulp van je tabel en vergrotingsfactor.
8. Bekijk de driehoeken hiernaast, de maten zijn in cm.
Bereken de lengte van zijde ED en AD. Laat eerst zien welke driehoeken gelijkvormig zijn.
Laat zien hoe je aan je antwoord komt, je mag een verhoudingstabel gebruiken, dit hoeft niet.
9. Bekijk de driehoeken hiernaast. De maten zijn in decimeters.
Bereken de lengte van de zijden met een ?
10. Bekijk de driehoeken hiernaast. De maten zijn in meters.
Bereken de lengte van de zijden DE.
H8.4 Oppervlakte en inhoud vergroten
Oppervlakte vergroten
Als je een rechthoek wilt vergroten met vergrotingsfactor 3, dan wordt de lengte 3 keer zo groot en de breedte 3 keer zo groot.
De oppervlakte wordt dan 3 x 3 = 9 keer zo groot.
Kijk naar het plaatje hieronder. De oppervlakte van het origineel is 2. De oppervlakte van het beeld is 9 keer zo groot dus 2 x 9 = 18
Als je het origineel met vergrotingsfactor 3 vergroot, dan wordt de oppervlakte van het beeld 3 x 3 = 9 keer zo groot.
Je kunt ook zeggen de oppervlakte wordt 32 = 9 keer zo groot.
Je gebruikt hierbij de formule:
Oppervlakte beeld = vergrotingsfactor2 x oppervlakte origineel
voorbeeld:
oppervlakte = 5 cm2
De oppervlakte van het figuur hierboven is 5 cm2 . Het figuur wordt vergroot met vergrotingsfactor 2,4. Bereken de oppervlakte van het beeld.
Gebruik de formule: oppervlakte beeld = vergrotingsfactor2 x oppervlakte origineel
oppervlakte beeld = 2,42 x 5 = 28,8
oppervlakte beeld = 28,8 cm2
Opgaven: oppervlakte vergroten
1
Schrijf bij iedere vergrotingsfactor het getal op, waar je de oppervlakte van het origineel mee moet vermenigvuldigen om de oppervlakte van het beeld te krijgen.
Kijk naar het voorbeeld.
vergrotingsfactor = 3 dus ik vermenigvuldig de oppervlakte van het origineel met 32= 9
a vergrotingsfactor = 4 dus ik vermenigvuldig de oppervlakte van het origineel met .... = .....
b vergrotingsfactor = 2 dus ik vermenigvuldig de oppervlakte van het origineel met .... = .....
c vergrotingsfactor = 5,2 dus ik vermenigvuldig de oppervlakte van het origineel met .... = .....
d vergrotingsfactor = 0,75 dus ik vermenigvuldig de oppervlakte van het origineel met .... = .....
2a Bereken de oppervlakte van een rechthoekige foto van 2 bij 6 cm.
b De foto wordt vergroot met factor 5. Bereken de oppervlakte van de grote foto (het beeld)
3
Van een rechthoek met een oppervlakte van 3 cm2 is een beeld gemaakt met een vergrotingsfactor van 4.
Bereken de oppervlakte van het beeld.
4 Van een driehoek KLM is de oppervlakte 20 cm2. De driehoek wordt vergroot met factor 12.
a Bereken de oppervlakte van de vergrote driehoek (het beeld) in cm2.
b Hoeveel dm2 is dat?
5
De vijver in de tekening heeft een oppervlakte van 8 cm2.
Alle maten zijn in het echt 60 keer zo groot.
Bereken de oppervlakte van de echte vijver (het beeld) in m2.
6
Michelle heeft een foto van haar lievelingsartiest. Zij wil er een poster van laten maken om op haar kamer te hangen.
De lengte en breedte worden allebei drie keer zo groot. Hoeveel keer past de foto in de poster?
7
a Twee gelijkvormige plaatjes hebben een oppervlakte van 4 cm2 en 144 cm2. Bereken de vergrotingsfactor.
b Een dienblad is 20 bij 30 cm. Er is ook een groter dienblad met dezelfde vorm.
De oppervlakte van dat grote dienblad is 5400 cm2.
Bereken de maten van het grote dienblad.
Inhoud vergroten
Als je een balk vergroot met vergrotingsfactor 2 dan wordt de lengte 2 keer zo groot, de breedte 2 keer zo groot en de hoogte 2 keer zo groot. De inhoud wordt dan 2 x 2 x 2 = 8 keer zo groot.
Kijk naar het plaatje hierboven. De inhoud van het origineel is (2 x 2 x 6 =) 24 cm3. De inhoud van het beeld is 8 keer zo groot dus 24 x 8 = 192 cm3.
De inhoud van dit beeld kun je ook berekenen door
Inhoud beeld = lengte x breedte x hoogte
Inhoud beeld = 4 x 4 x 12 = 192 cm3
Als je het origineel met vergrotingsfactor 2 vergroot, dan wordt de inhoud van het beeld 2 x 2 x 2 = 8 keer zo groot.
Je kunt ook zeggen de inhoud wordt 23= 8 keer zo groot.
Je gebruikt hierbij de formule:
Inhoud beeld = vergrotingsfactor3 x inhoud origineel
voorbeeld
De inhoud van het kleine kopje is 110 mL.
Van de grote kop zijn alle maten 1,6 keer zo groot (dus de vergrotingsfactor = 1,6)
Bereken de inhoud van de grote kop in hele milliliters.
Gebruik de formule: inhoud beeld = vergrotingsfactor3 x inhoud origineel
Inhoud beeld = 1,63 x 110 = 450,56
Inhoud beeld = 451 mL
Oppervlakte bij vergroten
oppervlakte beeld = vergrotingsfactor2 × oppervlakte origineel
Schrijf bij iedere vergrotingsfactor het getal op, waar je de inhoud van het origineel mee moet vermenigvuldigen.
Kijk naar het voorbeeld.
vergrotingsfactor = 3 dus ik vermenigvuldig de inhoud van het origineel met 33 = 27
a vergrotingsfactor = 4 dus ik vermenigvuldig de inhoud van het origineel met .... = .....
b vergrotingsfactor = 2 dus ik vermenigvuldig de inhoud van het origineel met .... = .....
c vergrotingsfactor = 5,2 dus ik vermenigvuldig de inhoud van het origineel met .... = .....
d vergrotingsfactor = 0,75 dus ik vermenigvuldig de inhoud van het origineel met .... = .....
9
Bij de winkel worden verschillende maten waterflesjes verkocht. Waterflesje A heeft een inhoud van 0,5 liter. a Waterflesje B is een vergroting van waterflesje A met vergrotingsfactor 1,59. Bereken de inhoud van waterflesje B.
b Waterflesje C is een verkleining van waterflesje B met vergrotingsfactor 0,4. Bereken de inhoud van waterflesje C.
10
a Bereken de inhoud van bovenstaande doos
b Een andere doos heeft dezelfde vorm, maar alle maten zijn 1,5 keer zo groot.
Bereken de inhoud van de grote doos (beeld).
11
De kleine doos en de grote doos hebben dezelfde vorm.
a Bereken de vergrotingsfactor
b De inhoud van de kleine doos is 9 liter. Bereken de inhoud van de grote doos.
12
In Egypte zijn veel piramides te vinden. Hieronder zie je een voorbeeld.
Een van de piramides heeft een vierkant grondvlak met zijden van 220 meter.
De hoogte is 140 meter.
a Bereken de inhoud van deze piramide inhoud piramide = 1/3 x oppervlakte grondvlak x hoogte
b Naast deze piramide staat een andere piramide met dezelfde vorm.
De vergrotingsfactor is 0,7. Is de andere piramide groter of kleiner? Leg uit hoe je dit weet.
c Bereken de inhoud van de andere piramide.
H8.5 Werken met schaal
Schaal en model
Je kent ze vast wel?? Schaalmodellen Van belangrijke bouwwerken, auto's en zelfs heel Madurodam staat er vol mee!!
Deze modellen zijn op schaal gemaakt. Dat wil zeggen dat ze allemaal gemaakt zijn met een bepaalde vergrotingsfactor (verkleining in dit geval). Alle verhoudingen zijn dus hetzelfde gebleven.
In Madurodam zijn veel modellen op schaal 1 : 25 gemaakt. Je spreekt dit uit als 1 op 25. Dat betekent dat de werkelijke maten van de gebouwen 25 keer zo groot zijn als in Madurodam. De schaal wordt altijd gegeven in centimeters!
voorbeeld 1:
Het model van het gemeentehuis van Eindhoven is 90 cm hoog. Het echte gemeentehuis is dus 25 keer zo groot. Dit is dus 90 x 25 = 2250 cm = 22,5 m hoog
De toren van Middelburg is in het echt 90,5 m hoog. Het schaalmodel is dus 25 keer zo klein. Dit is dus 90,5 : 25 = 3,62 meter
voorbeeld 2:
Schaalmodel Land Rover 1 : 24
Het schaalmodel is 16,83 cm lang. Hoe lang is de auto in meters in werkelijkheid?
16,83 x 24 = 404 cm = 4,04 m lang
De werkelijke breedte van de auto is 2,26m. Bereken de breedte van het schaalmodel in cm.
2,26 : 24 = 0,094m = 9,4 cm
LET DUS GOED OP DE GEGEVEN LENGTE EENHEID EN IN WELKE EENHEID HET ANTWOORD MOET ZIJN!!
OPGAVEN:
Schaalmodel Volkswagen bus 1962 1 : 43
1
a) Bereken de werkelijke lengte van de bus in m. De lengte van het schaalmodel is 9 cm.
b) Bereken de breedte van het model in cm als de werkelijke breedte 1,78 m is.
Schaalmodel boot 1 : 110
2
a) Bereken de lengte van het schaalmodel in cm als de boot in werkelijkheid 231 m is?
b) De hoogte van de mast in het schaalmodel is 165 cm. Hoe hoog is de mast in werkelijkheid?
Van de Big Ben is een schaalmodel 1 : 50. In het echt is de toren 98 m hoog.
3 Bereken de hoogte van het schaalmodel in cm?
Schaal en kaart
Zorg ervoor dat je beeldscherm op 100% staat als je deze vragen gaat maken en dus gaat meten op je scherm!!
Ook kaarten zijn op schaal gemaakt. Deze schaalverdeling staat meestal onder de kaart aangegeven. Deze zijn altijd gegeven in centimeters.
Hier staat dus dat 1 cm gemeten op de kaart in werkelijkheid dus bijv. 4.600.000 cm is!! Dit is dus hemelsbreed een werkelijke afstand van 46 km.
1 : 4.600.000 1 : 11.000.000 1 : 100.000
Hemelsbreed wil zeggen zo kort mogelijk gemeten op de kaart, dus een rechte lijn.
Bij grote plaatsen meet je altijd vanuit het midden van de stad.
Voorbeeld 3:
1 : 17000
Bereken de afstand in km tussen Noordlaren en Onnen.
Ik meet op de kaart een afstand van 4,1 cm. Dit is in werkelijkheid dus 4,1 x 17000 = 69700 cm = 7 km
voorbeeld 4:
Van Nijkerk naar Voorthuizen is het 11,7 km
Wat is de schaal van deze kaart?
11,7 km = 1.170.000cm Ik meet op de kaart 4,5 cm.
1.170.000 : 4,5 = 260000 De schaal is dus 1 : 260.000
OPGAVEN:
1 : 100.000
4 Bereken hoeveel km het is van Glasgow naar Workington.
1 : 1.000.000
5 Bereken de afstand in km van Vermenton naar Laignes.
1 : 800.000
6 Bereken de afstand in km van Serley naar Authumes.
7 De afstand van Tveita naar Koste is 14,75 km.
Wat is de schaal van deze kaart?
Schaal en schaallijn
Sommige kaarten hebben een andere soort schaalverdeling. Namelijk een schaallijn.
Je herkent deze aan de zwart - witte blokjes, of aan een lijn met kleine deelstreepjes.
Hier staat precies bij hoeveel zo'n stukje in werkelijkheid voorstelt. Deze eenheid kan bij elke schaallijn anders zijn. Kijk goed waar de eenheid staat in de schaallijn!!
Voorbeeld 1: Schaallijn met blokjes
In de bovenste schaallijn zijn 5 blokjes dus gelijk aan 10 km. Of 1 blokje aan 2 km.
Vaak is zo'n blokje 1 cm, dus eigenlijk staat er 1 : 200000 want dat is hetzelfde als 2 km.
Meet je dus een afstand op de kaart van bijvoorbeeld 3,6 cm dan is de werkelijke afstand:
3,6 x 2 km = 7,2 km in werkelijkheid
Voorbeeld 2: Hier zie je hetzelfde stukje kaart, steeds iets verder uitgezoomd. In de schaallijn zie je dat het stukje groter wordt in werkelijkheid.
OPGAVEN:
1. Gebruik de plattegrond hierboven. Meet eerst op de schaallijn af wat 1 cm voorstelt in werkelijkheid.
Bereken hoeveel meter de breedte van de tuin in werkelijkheid is.
2. Ik ga verbouwen en wil een nieuwe plattegrond maken van de keuken. De schaalverdeling blijft hetzelfde.
Mijn keuken wordt 14,6 m lang. Hoe lang moet ik deze dan tekenen in mijn plattegrond?
3. Bij welke schaal hoort deze schaallijn? Bedenk dat de schaal altijd in centimeters is!
Google maps gebruikt ook schaallijnen. Kijk maar eens naar het plaatje hieronder.
4. Hoeveel meter is het lopen van Dansschool Eppink naar Cucinia Italiana? (je loopt over de weg...)
5. Hoeveel km is het hemelsbreed van Eindhoven naar Tilburg?
Tekenen op schaal
Je kunt zelf ook tekeningen op schaal maken. Bijvoorbeeld een schaallijn tekenen bij een schaal of een tekeningen op schaal maken van een gebouw of voorwerp.
Op schaal tekenen betekent dat je de werkelijke maten verkleint. 1 : 600 wil zeggen dat alles in de tekening 600 keer zo klein wordt.
voorbeeld:
Stel dat ik een gebouw wil teken op schaal en dit is in werkelijkheid 80 m hoog.
Hoe hoog moet ik dit dan tekenen als de schaal van mijn tekening 1 : 1000 is?
uitwerking:
80m = 8000 cm Op de tekening wordt alles 1000 keer zo klein dus 8000 : 1000 = 8 cm
Mijn gebouw wordt dus 8 cm hoog in de tekening.
6. Teken een schaallijn bij 1 : 200.000
Je mag zelf kiezen of je km of meters gebruikt. Maak een mooie verdeling!
7. Het kastje hieronder is 180 cm hoog, 90 cm breed en 30 cm diep.
a. Teken het vooraanzicht van het kastje 1 :20 (de plint mag je negeren)
b. Teken het rechterzijaanzicht van het kastje 1 : 20 (de plint mag je negeren)
8.
a. Teken het vooraanzicht van het gebouw 1 : 600
b. Karin tekent het vooraanzicht 1 : 250. Is haar tekening groter of kleiner?
c. Tom tekent het vooraanzicht en de hoogte van het gebouw in zijn tekening is 13,5 cm hoog.
Op welke schaal heeft Tom het gebouw getekend?
H8.6 Gemengde opgaven
H8.6 opdracht 1
Noteer de stappen die je zet om de vergrotingsfactor uit te rekenen. Als je het niet meer weet kijk je even terug in de kennisbank.
H8.6 opdracht 2
Hiernaast zie je links het origineel van een foto. De afbeeldingen staan ook op je werkblad.
De foto ernaast is de vergroting.
Bereken de vergrotingsfactor
H8.6 opdracht 3
Hiernaast zie je links het origineel van een foto. De afbeeldingen staan ook op je werkblad.
De middelste vaas is het origineel. De linker vaas is een vergroting en de rechter vaas is een verkleining van de vaas.
Bereken de vergrotingsfactor van de linker vaas (ten opzichte van de middelste).
Bereken de vergrotingsfactor van de rechter vaas (ten opzichte van de middelste).
H8.6 opdracht 4
De foto hiernaast wordt onder het kopieerapparaat gelegd. De afbeelding staat ook op je werkblad.
Wat is de lengte van deze foto? (meet dit op met je geodriehoek, wees secuur!)
Wat is de vergrotingsfactor als je het kopieerapparaat op 140% instelt?
Je stelt het kopieerapparaat in op 140%, wat wordt dan de lengte van de vergroting? Noteer de berekening in je schrift.
Wat is de vergrotingsfactor als ik het kopieerapparaat op 85% instel?
Je stelt het kopieerapparaat in op 85%, wat wordt dan de lengte van de vergroting? Noteer de berekening in je schrift.
H8.6 opdracht 5
Welke twee figuren hieronder zijn gelijkvormig? Leg ook uit waarom de anderen niet gelijkvormig zijn.
H8.6 opdracht 6
Welke twee figuren zijn gelijkvormig? Bereken van deze figuren de vergrotingsfactor.
Gebruik dat één hokje op het plaatje 1 cm is..
H8.6 opdracht 7
Bekijk de driehoeken hieronder. De afbeelding staat ook op je werkblad.
Zet in hoeken die gelijk zijn dezelfde tekentjes..
Schrijf de gelijkvormige driehoeken op, gebruik het teken voor driehoek Δ en gelijkvormigheid \(\sim\).
Stel een verhoudingstabel op bij de twee driehoeken.
Bereken de vergrotingsfactor.
Bereken de lengte van EF en AC
H8.6 opdracht 8
De oppervlakte van de kleine smiley is 4 cm².
De rechter smiley is een vergroting van deze smiley. De vergrotingsfactor is 3.
Bereken de oppervlakte van de grote smiley in cm²
H8.6 opdracht 9
De oppervlakte van de kleine foto is 12 cm². De rechter foto is een vergroting van deze foto. De vergrotingsfactor is 7. Bereken de oppervlakte van de grote foto in m²
H8.6 opdracht 10
Een klein flesje cola heeft in inhoud van 200 mL. Bij een grote fles cola zijn alle maten 1,7 keer zo groot.
Wat is de inhoud van de grote fles cola in mL?
Hoeveel liter is dat? (rond af op helen)
H8.6 opdracht 11
De kopjes zijn vergrotingen van elkaar. De vergrotingsfactor is 0,8.
De grootste kop heeft een inhoud van 25 dl.
Bereken de inhoud van het kleinste kopje. Rond af op één decimaal.
H8.6 opdracht 12
De schaal van de kaart van Noord-Amerika is 1 : 150 000.
Micheal meet een afstand van 12 cm op de kaart.
Hoeveel km is dat in het echt?
H8.6 opdracht 13
Streep op je werkblad het foute antwoord door.
De schaal van een kaart is 1 : 1 000 000. Deze kaart heeft veel details / weinig details
De schaal van een kaart is 1 : 1 000. Deze kaart heeft veel details / weinig details
Twee kaarten zijn even groot in de lengte en in de breedte.
Kaart A heeft als schaal 1 : 25 000 en kaart B heeft als schaal 1 : 75 000.
Kaart A / B heeft de grootste oppervlakte in werkelijkheid.
H8.6 opdracht 14
Bij een plattegrond is een schaallijn voor 1400 m gemaakt.
Deze schaallijn is 7 cm lang.
Op welke schaal is de plattegrond gemaakt? Noteer het antwoord netjes in je schrift met een berekening
H8.6 opdracht 15
Teken in je schrift het vooraanzicht van het flatgebouw.
Gebruik de schaal 1 : 500.
H8.6 opdracht 16
Teken een schaallijn die hoort bij de schaal 1 : 1 000
Je mag zelf weten welke eenheid (cm/m/km) je gebruikt
H8.6 opdracht 17
De diameter van een zwembad is in werkelijkheid 6 meter.
Op de tekening is de straal van het zwembad 2 centimeter.
Op welke schaal is de tekening gemaakt? Noteer je antwoord/berekening netjes in je schrift.
Naast lineaire en kwadratische verbanden zijn er in de wereld om ons heen nog veel meer verbanden te ontdekken. In dit leer je daar meer over.
Net als hoofdstuk 3 en hoofdstuk 5 hoort dit onderwerp natuurlijk bij algebra. Algebra houdt zich bezig met getallen en formules. Binnen alle beroepen krijg je hier vroeg of laat mee te maken.
Veel opleidingen vinden het belangrijk dat je iets van dit onderwerp af weet. Niet omdat je dan toevallig allerlei verschillende formules hebt geleerd, maar omdat je bepaalde vaardigheden hebt getraind. Denk maar aan het herkennen van een bepaald verband. Daarna volgens bepaalde stappen een berekening gemaakt, een tabel getekend en een grafiek gemaakt. Dit noemen we het analytisch vermogen van je hersenen. Wiskunde helpt je deze vaardigheden ontwikkelen. Daarom vinden veel opleidngen dit zo'n belangrijk vak.
Leerdoelen:
Aan het eind van dit hoofdstuk kan ik:
Werkboek
Staat er achter een vraag dit blauwe icoontje? Dan heb je een werkblad nodig.
De werkbladen krijg je aan het begin van ieder nieuw hoofdstuk uitgedeeld.
Wees zuinig op je werkbladen, je krijgt ze maar één keer uitgedeeld. Bewaar ze bijvoorbeeld in een snelhechter
Wees zuinig op je werkbladen. Je krijgt ze maar één keer uitgedeeld.
Ben je de werkbladen kwijt? Download deze dan opnieuw en print ze uit.
H9.1 Voorkennis
Inleiding.
Leerdoelen:
Kennisbank
Werken met verbanden.
Formule, tabel, grafiek
Kennisbank
Vergelijkingen oplossen.
Inklemmen (wanneer de formule niet lineaire is!)
Kennisbank
Kwadraten en wortels
H9.2 Machtsverbanden
H9.3 Wortelverbanden
Formules met wortels
Opdracht 1
Hoe ver je kan kijken bij heldere lucht bereken je met de formule
kijkafstand in km.
h = ooghoogte in meters
a. Hoe ver kijk je als de ooghoogte 1,65 meter is?
b. Op een heuvel staat een diepe put. Antje laat haar zonnebril erin vallen.
De afstand tot het water is 36 meter. Na hoeveel seconden hoort zij de plons?
c Marjan zegt dat je twee keer zo veel stappen maakt als je de dubbele snelheid loopt. Ben je het met haar eens? Leg je antwoord uit met een berekening.
a. Piet meet een remweg van 40 meter. Wat was zijn snelheid?
b. Anne meet een remweg van 80 meter. Wat was haar snelheid?
H9.4 Periodieke verbanden
Soms herhaalt een beweging zich na een bepaalde tijd.
Je hebt dan te maken met een periodiek verband
Je ziet hieronder een grafiek van een periodiek verband tussen
de hoogte (h in m) en de tijd (t in min).
In de grafiek is de periode aangegeven. De periode geeft aan
om de hoeveel tijd de beweging zich herhaalt.
Het maximum van de grafiek is het hoogste punt van de grafiek
Het minimum van de grafiek is het laagste punt van de grafiek.
Voorbeeld:
a Wat is het maximum van de grafiek?
b Hoe lang duurt één periode?
c Wat is het minimum van de grafiek?
d Hoe hoog is de waterstand na 6,5 minuut?
e Hoe hoog is de waterstand na 21 minuten?
f Hoeveel perioden zijn er getekend?
Uitwerking:
a Door op zoek te gaan naar het hoogste punt van de grafiek lees je 5 meter af.
b Kijk in de grafiek wanneer deze weer precies hetzelfde punt bereikt als het beginpunt (let op stijgend/dalend) dan vind je een periode van 4 minuten
c Door op zoek te gaan naar het laagste punt van de grafiek lees je 1 meter af.
d Kijk op de horizontale as waar 6,5 minuut is, ga bij dit punt omhoog tot aan de grafiek. Lees dit punt op de verticale as af. Je leest een hoogte van 1,5 meter af.
e 21 minuten staat niet getekend, maar je weet wel hoe lang één periode duurt, namelijk 4 minuten.
De periode past er 5 keer in en je houdt over 1 minuut. Je maakt de berekening 21 - 5 x 4 = 1 minuut Dan lees je in de grafiek de waterhoogte bij 1 minuut af en dit is 5 meter.
f Er zijn twee perioden getekend (en een beetje).
OPDRACHTEN
1.
In de grafiek hieronder is een periodiek verband weergegeven.
a Hoe lang is de periode?
b Wat is het maximum van de grafiek?
c Wat is het minimum van de grafiek?
d Wat is de hoogte na 85 minuten?
2.
In de grafiek hieronder is een periodiek verband weergegeven.
a Hoe lang is de periode?
b Wat is de hoogte na 140 seconden?
c Hoeveel perioden zijn er getekend?
3.
De grafiek hieronder laat het temperatuurverloop in een aquarium zien.
a Wat is de maximale temperatuur in het aquarium?
b Wat is de gemiddelde temperatuur in het aquarium?
c Hoe lang duurt één periode?
d Wat is de temperatuur om 15:20?
e Wat is de temperatuur om 17:40?
4
Hieronder zie je twee perioden getekend. Teken op je werkblad hier nog een periode bij.
5
Hieronder zie je twee perioden getekend. Teken op je werkblad hier nog drie perioden bij.
6.
Een reuzenrad draait heel langzaam rond, zodat je er terwijl het ronddraait in en uit kunt stappen.
Als je instapt is het bakje op zijn laagste punt, het minimum.
Herman draait rond in het reuzenrad. In de tabel zie je op verschillende tijdstippen (t in sec) op welke hoogte (h in m) hij zich bevindt.
t (sec)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
h (m)
5
8
13
18
21
18
13
8
5
8
13
18
a Teken de grafiek bij de tabel op het werkblad.
b Welk verband herken je?
c Hoe lang duurt één rondje in het reuzenrad?
H9.5 Gemengde opgaven
Diagnostische toets
Herhaling
Extra stof
Coöperatieve opdrachten
Thema-opdracht
Extra
Youtube
In de lessen maken we al veel gebruik van uitlegfilmpjes die we op youtube kunnen vinden. Deze filmpjes helpen je de wiskunde beter begrijpen.
Het grote voordeel is dat er altijd een wiskundeleraar beschikbaar is. En deze wiskundeleraar heeft een pauze knop, kun je terug spoelen en kun je zo vaak afspelen als je wilt. Super handig toch?
Het nadeel is dat je in de youtube kanalen wel even moet zoeken naar het onderwerp waar je mee bezig bent
Hieronder vind je een aantal links naar handige websites en kanalen.
Khan Academy
Als je niet bang bent voor wat extra inspanning, dan zijn er heel veel moeglijkheden om op een andere manier met je wiskunde bezig te zijn.
Zo is er de site van waar je bijna alles terug kunt vinden over de wiskunde onderwerpen die we hier op school behandelen.
Wel is dan alles in het (Amerikaans) Engels, maar dat geeft je dan weer de kans voor twee vakken tegelijk slimmer te worden!
Als je daar gebruik van wilt maken moet je even met je docent overleggen hoe je een account aan moet maken; we heben daar op school al een paar dingen voor geregeld zodat je dan ook direct aan de slag kunt.
In overleg met je docent kun je er ook voor kiezen om te gaan programmeren.
Hour of code
De rekenmachine
Andere leerjaren
Hier vind je de links naar de boeken van onze andere leerjaren:
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Diagnostische toets
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
‘t Ravelijn is een middelbare school in Steenbergen voor mavo en voorbereidend MBO
Welkom in leerjaar 2.
Elke ochtend kijk je vast even in de spiegel. Je bent dan met symmetrie bezig zonder dat je het door hebt. Of knipt jou vader of moeder de heg in de tuin ook altijd zo netjes? Ook dan ben je met symmetrie bezig.
Ik kan in een figuur lijnsymmetrie herkennen.
Maak een schema in je schrift:
Veel logo’s zijn lijnsymmetrisch.
Op je werkblad zie je de afbeelding zoals die hiernaast staat.
Hiernaast zie je driehoek PQR. De driehoek wordt gespiegeld in lijn m.
De vierhoek hiernaast past bij draaiing vier keer op zichzelf.
Kijk maar.
Hiernaast zie je een aantal draaisymmetrische figuren.
Hiernaast zien we vier logo's van vier verschillende auto merken. De logo's zijn draaisymmetrisch. Bereken van ieder logo de kleinste draaihoek. Schrijf de berekeningen netjes in je schrift.
Overstaande hoeken zijn dus gelijk.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Je ziet hier de hoeken N, P en Q. Alle hoeken zijn onderverdeelt in vier stukken.
Hiernaast zie je hoek G. Hoek G is verdeeld in 5 stukken.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de acht afbeeldingen hiernaast.
Bekijk op het werkblad de figuur die je hiernaast ziet.
Kleur in het patroon op je werkblad één motief.
Je ziet hier een plaatje van een kralenketting. De ketting is ook afgedrukt op je werkblad.
Bekijk de afbeelding op je werkblad.
Je ziet hier een deel van een kralenketting.
en 
.
Geef in de tekening op je werkblad met 4 verschillende kleuren de F-hoeken aan.
Zet sterretjes in alle hoeken die even groot zijn als de hoek met het sterretje *.
We hebben al heel wat kennis opgedaan over vlakke figuren. Zo hebben we de eigenschappen van een vierkant of een ruit al eens geleerd. Ook hebben we iets over symmetrie en over rechte hoeken geleerd. Een onderwerp waar we nog niet zo veel mee gewerkt hebben zijn driehoeken. We weten hoe we de oppervlakte berekenen van een driehoek (Opp Δ = zijde x bijb. hoogte : 2) Maar we hebben nog niet gekeken naar kenmerken van verschillende driehoeken. In deze paragraaf leer je daar meer over.
Een driehoek met een rechte hoek.
Een driehoek met twee gelijke zijden. Deze driehoek heeft één symmetrieas.
Een driehoek met drie gelijke zijden. Alle zijden van deze driehoek zijn even lang.
Bekijk de driehoek op het plaatje. Deze staat ook op je werkblad. Gebruik je geodriehoek om de zijden eventueel op te meten.
Wat voor soort driehoek zie je op het plaatje.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Bekijk de afbeelding hiernaast. Deze staat ook op je werkblad.
De driehoek die je hiernaast getekend ziet staat ook op je werkblad.
Bekijk de verkeersborden hiernaast. Deze staan ook op je werkblad.
Het tweede onderwerp van leerjaar 2 is de wereld van de figuren. We gaan het hebben over vlakke figuren (2d) en over ruimtefiguren (3d). De kennis die je vorig jaar al hebt opgedaan komt meteen mooi van pas. Je weet namelijk al het één en ander over vierhoeken en driehoeken. Ook komen de termen loodrecht en evenwijdig weer terug. Kun jij nog uitleggen wat loodrecht ook al weer was? En hoe teken je twee evenwijdige lijnen? Allemaal kennis en vaardigheden die je snel weer beheerst.
Het afgelopen schooljaar heb je al veel onderwerpen van wiskunde behandeld. Je komt dus niet helemaal nieuw binnen. Je bent geen onbeschreven blad, maar beschikt al over wiskundige kennis en vaardigheden.
De lijnen m en n snijden elkaar in punt A.
De lijnen r en s snijden elkaar niet.
Bekijk de rechthoek hiernaast, beantwoord dan de vragen. Schrijf de antwoorden op je ruitjespapier op.
, 
en 
wordt genoteerd als 
.
Opp cirkel = ![De oppervlakte berekenen [1]](data:image/png;base64,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)
Bekijk de rechthoek hiernaast.
Bekijk de vier parallellogrammen hiernaast.
Bekijk de cirkels hiernaast.
Over het zwembad hiernaast moet een zeil komen dat het zwembad beschermt tegen regen en het water schoon houdt. Ook de rand met tegels komt onder het zeil te liggen.
Hiernaast zie je een blauwe rechthoek waar een stukje uit gesneden is. We willen alleen de oppervlakte van het blauwe stuk weten.
Bekijk de figuur hiernaast.
Bekijk het prisma hiernaast.
De voorkant van deze 'tent' is een gelijkbenige driehoek.
Bekijk het plaatje hiernaast.
Het grondvlak van een cilinder heeft een straal van van 5 cm.
Bereken de inhoud van deze balk.
De jacuzzi is 1,2 meter hoog en heeft een diameter van 1,6 m.
Het grondvlak van de piramide hieronder is een vierkant met zijde van 4 cm. De hoogte van de piramide is 3,5 cm.
Het grondvlak van de kegel hieronder is een cirkel met een straal van 3 cm.
De piramide hieronder heeft een grondvlak met een oppervlakte van 25 cm². De hoogte is 6,3 cm.
Hiernaast zie je een piramide en een kegel. Laat door middel van
Sanne is jarig en wil in haar klas een kleine tractatie uitdelen. Ze besluit feesthoedjes te vullen met popcorn.
Niet iedere piramide heeft een rechthoek of een vierkant als grondvlak. Kijk maar eens naar de dobbelsteen hiernaast. Je ziet daar een piramide met een gelijkzijdige driehoek als grondvlak.
Bekijk de cornetto chocolade hiernaast.
Het theezakje hieronder bestaat uit allemaal gelijkzijdige driehoeken met zijden van 3 cm. De hoogte van het zakje is ook 3cm.
De wereld om ons heen bestaat niet enkel uit losse ruimtefiguren (lichamen). Heel veel objecten zijn opgebouwd uit twee of meer ruimtefiguren samen. Kijk maar naar het huis hiernaast. Dit huis bestaat uit twee balken en een prisma als dak.
Bekijk de afbeelding hiernaast.
Hiernaast zien we de contouren van een huisje.
Hiernaast zien we een afgeknotte kegel. Voor het gemak is ernaast gezet welk stukje er afgesneden is.
Bereken de inhoud van het huis hiernaast.
Hiernaast zien we een kaarsenhouder. Deze balkvormige houder heeft in het midden een cilindervormig gat waar de kaars precies in past.
Hiernaast zie je hou handdoekrollen worden vervoert. Op het plaatje kun je zien dat er zes rollen in één doos passen, twee naast elkaar en drie achter elkaar.
Van een kubus zijn alle ribben gelijk.
lijnstukken die "naar achteren lopen" teken je een beetje schuin;
Op je werkblad is het begin van een balk ABCD EFGH getekend.
Teken op je werkblad de figuren 'af'.
Wat wel eens lastig kan zijn is dat je van ruimtefiguren vaak verschillende uitslagen kan maken. let daarbij wel op de uitslag moet met terugvouwen altijd weer het oorspronkelijke ruimtelijke figuur opleveren.
Bekijk de vier uitslagen van ruimtefiguren hiernaast.
Bekijk de afbeelding met daarop verschillende uitslagen van een piramide.
Maaike heeft geprobeerd de uitslag van een cilinder te tekenen.
Hiernaast zie je een balk. Teken een mogelijke uitslag van de balk op ware grootte. Zet in je uitslag ook de woordjes onderkant, bovenkant, voorkant, achterkant, rechts en links.
WERKBLAD 7.2
Op een pak gezeefde tomaten staat: Inhoud 500 ml.
Sanne schetst het bouwwerk dat je hiernaast ziet.
In de figuur hiernaast zie je het bovenaanzicht van een blokkenbouwwerk. De getallen geven de hoeveelheid blokjes aan die gestapeld zijn.
Hiernaast zie je eens schets van een kubus met daarin 2 gekleurde vlakken.
Bereken de oppervlakte van het zwembad hiernaast.
De figuur hiernaast is samengesteld uit twee ruimtefiguren.
Hiernaast zie je drie uitslagen.
Hiernaast zien we een draadmodel van een huisje. De architect wil graag weten wat de inhoud van dit modelhuis is.
Een diagnostische toets is een onderzoek naar eventuele gaten in jouw kennis of vaardigheden. Het doel van de diagnostische toets is het vaststellen wat je al kan, en waar je de komende tijd nog wat extra aandacht aan moet besteden.
Hiernaast zie je een tent met een hoogte van 2,4 m.
Bereken de inhoud van de piramide.
Hierbnaast zie je de voortent van een caravan met een breedte van 2,6 meter en een lengte van 5,2 meter.
Hiernaast zien we een samengestelde ruimtefiguur.
Hiernaast zie je een tekening van een balk. HR = EP en RG = 2 cm.
Bekijk het bouwwerkje hiernaast.
Wanneer je een grote hoeveelheid posters besteld worden deze in apparte kokers naar je toegezonden. Een koker heeft een diameter van 20 cm en is net zo hoog als de doos.
Het hoofdstuk vergelijkingen hoort bij het onderwerp algebra. Algebra houdt zich bij wiskunde bezig met verbanden ook wel formules genoemd. In bijna alle beroepen kom je wel formules tegen. Mensen die werken met logistiek (vervoer over de weg, door de lucht of over het water maar ook telefoonverbindingen, wifi netwerken en elektriciteitskabels aanleggen), accountants (boekhouders), de lucht en ruimtevaart, civiele techniek (ontwerpen en bouwen van wegen, bruggen, dammen, dijken) werken dagelijks met verbanden. Eigenlijk werkt bijna iedereen wel eens een keer in de week met een verband. Al is het maar om je loon of de winst van je eigen bedrijf te kunnen berekenen
Een tabel bestaat uit twee onderdelen: invoer en uitvoer. 
Hier rechts zie je de balans uit het filmpje.
Hiernaast zie je een balans getekend.
Bekijk het machientjes schema hiernaast. Schrijf daarna netjes je berekening op.
Hiernaast zie je een ouderwetse balans met daaronder de bijbehorende vergelijking:
→ 
→ 
→ aantal kilometer
Iedere middelbare scholier moet ‘m leren: de stelling van Pythagoras. Deze stelling laat zien wat het verband is tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, namelijk: A² + B² = C². In woorden: de lengte van de korte rechthoekszijde in het kwadraad plus de lengte van de lange rechthoekszijde in het kwadraat is de lengte van de schuine zijde in het kwadraat.
De stelling van pythagoras passen we toe in een driehoek, niet zomaar in elke driehoek, maar in een bijzondere driehoek. Deze paragraaf gaat dan ook over verschillende soorten driehoeken.
of 
)
Bekijk de figuur. ΔPQR is een gelijkbenige driehoek.
Waarom je de zijden moet kunnen benoemen? Dit heeft te maken met het hoofdonderwerp van dit hoofdstuk: de stelling van Pythagoras en het onderwerp goniometrie dat we in klas 3 behandelen.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast. Beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast, beantwoord daarna de vragen in je schrift.
Bekijk de driehoek hiernaast, de driehoek is een samengestelde driehoek.
Dit hoofdstuk is het tweede hoofdstuk over verbanden dit jaar. We kijken dit keer naar kwadratische verbanden want behalven kwadraten uitrekenen kun je ook formules maken met daarin een kwadraat. Waneer je werk met een kwadratische formule (verband) dan krijg je iets anders dan regelmaat in je tabel en de grafiek ziet er al helemaal anders uit.
Werken met verbanden hoort bij het onderwerp algebra. Binnen algebra houden we ons bezig met getallen en formules (verbanden). Een architect of bouwkundige krijgt veel te maken met kwadratische verbanden. Maar ook wanneer je met radiogolven werkt, bijvoorbeeld bij communicatie tussen twee telefoons of een wifinetwerk krijg je te maken met kwadratische verbanden. Zo zie je maar, wiskunde is een heel veelzijdig vak en komt in heel veel beroepen in de wereld om je heen voor.
Rosalie fietst elke dag van huis naar school en weer terug. Dat is elke dag 16 km in totaal.
Michaëla werkt ook bij de pizzaketen waar Giovanni werkt. Zij werkt niet als bezorger, maar in de bediening in het restaurant. Zij kan haar verdiensten berekenen met de volgende formule:
Wanneer je een taxi rit maakt kun je behalve voor de diensten van Uber ook kiezen voor andere taximaatschappijen. Bij taxitender betaal je geen instaptarief, je betaald alleen €0,75 per gereden kilometer. Hierbij hoort de formule:
Bij het branden van een cilindervormige kaars kun je ook een formule maken.
Tijdens een sportdag wordt er door het warme weer limonade uitgedeeld aan de deelnemers. Jammer genoeg heeft iemand het kraantje onder aan het vat niet goed dicht gedaan, daardoor loopt het vat langzaam leeg. Hierbij hoort de formule
Met lucifers kun je allerlei patronen leggen, bekijk de figuren hiernaast maar eens.
Behalve dat je driehoeken met lucifers kunt leggen kun je natuurlijk ook andere patronen maken bijvoorbeeld vierkanten.
De grafiek wordt een parabool vanwege het kwadraat.
Bekijk de parabolen hiernaast.
Kenneth is keeper van een voetbalelftal. Kenneth oefent veel op het nemen van een doeltrap zodat hij de bal met een vere trap naar de spits van het elftal kan schieten. Bij de baan die de bal aflegt wanneer je deze wegtrapt hoort een kwadratische formule.
Aan het eind van de wereldhavendagen wordt er in rotterdam een grote vuurwerkshow gehouden. Bij het afschieten van een vuurpijl hoort ook een kwadratische formule. De baan van de vuurpijl heeft namelijk de vorm van een parabool.
Hiernaast zie je een balans getekend.
Is de formule waarmee je werkt niet-lineair, dan kun je een vergelijking oplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
In opgave 1 t/m 5 heb je jouw kennis over de balansmethode weer even herhaalt. Je werkte in al die opgaven met lineaire formule. Is de formule niet-lineair, dan kun je de balansmethode niet gebruiken, je gebruikt dan de inklemmethode.
Hiernaast zie je een kaars. Een formule die ongeveer het verband tussen de hoogte van deze kaars en de brandtijd aangeeft, is:
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
Je bent bij de gemengde opgaven aangekomen. Dat betekent dat je alle onderdelen van het hoofdstuk hebt afgerond. Gebruik de gemengde opgaven als check ✓ ✗
Volgorde van bewerkingen (voorrangregels)
Gideon werkt als fietskoerier
Jasmina en Mitchell gaan een wandeltocht maken in de bergen. Voor de steilste stukken in de tocht maken ze gebruik van cabineliften.
Hiernaast zie je een tekening van een stuk sierbestrating. De stenen die hiervoor gebruikt worden heten klinkers. De klinkers worden in drietallen naast elkaar gelegd. Zo ontstaat telkens een vierkant.
Hiernaast zien we de balans die hoort bij de vergelijking
Bij de blauwe grafiek hoort de formule:
Het maken van een pizza kost natuurlijk geld. Het maken van de bodem kost €0,75. Per ingredient komt daar nog eens €1,25 bij. Hierbij hoort de formule:
Los op met inklemmen: (als je niet meer weet hoe dit moet, kijk dan naar het filmpje in de uitleg)
In het zesde hoofdstuk van dit jaar gaan we aan de slag met procenten en verhoudingen.
Statistiek, het stukje wiskunde dat het dichts bij de 'gewone' wereld staat. Open je een krant of kijk je wel eens het journaal, dan zie je vaak mooie diagrammen voorbij komen. Het begrijpbaar maken van gegevens en dit vormgeven in een diagram dat is statistiek. Je verzamelt gegevens en probeert dit zo overzichtelijk mogelijk te presenteren. In hoofdstuk 6 van dit jaar leer je dus gegevens interpreteren en hier een diagram (plaatje) bij maken.
Voorbeeld
In een park zijn vijf ontmoetingsplaatsen:
driehoek ABC (origineel) is gelijkvormig met driehoek DEF. Bereken de vergrotingsfactor. (Zet je beeldscherm op 100%!!)
Teken een vergroting van het huis. Neem als vergrotingsfactor 3. Elk hokje is 1cm bij 1 cm.
Bekijk de driehoek hiernaast. Deze driehoek is er niet één, maar twee. Je hebt een kleine driehoek namelijk ΔPST en een grote driehoek namelijk ΔPQR.
Teken de vergroting van driehoek EFG. Neem vergrotingsfactor 2.
Misschien heb jij ook wel een leuke sleutelhanger van bijvoorbeeld een blik je aan je sleutelbos. Of heb je laatst een maquette gezien van de wijk waar je in woont. Dit zijn allebei voorbeelden van dingen die verkleint zijn. De huizen op de maquette zijn precies hetzelfde als de huizen in de echte wijk, alleen een stuk kleiner natuurlijk. Je hebt hier te maken met gelijkvormige figuren. In deze paragraaf leer je hoe je gelijkvormige figuren kunt herkennen en hoe we hier een berekening mee kunnen maken.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
oppervlakte = 5 cm2
Schaalmodel Land Rover 1 : 24
Schaalmodel Volkswagen bus 1962 1 : 43
Schaalmodel boot 1 : 110
Hiernaast zie je links het origineel van een foto. De afbeeldingen staan ook op je werkblad.
Hiernaast zie je links het origineel van een foto. De afbeeldingen staan ook op je werkblad.
Welke twee figuren hieronder zijn gelijkvormig? Leg ook uit waarom de anderen niet gelijkvormig zijn.
Welke twee figuren zijn gelijkvormig? Bereken van deze figuren de vergrotingsfactor.
Bekijk de driehoeken hieronder. De afbeelding staat ook op je werkblad. 
De oppervlakte van de kleine smiley is 4 cm².
De oppervlakte van de kleine foto is 12 cm². De rechter foto is een vergroting van deze foto. De vergrotingsfactor is 7. Bereken de oppervlakte van de grote foto in m²
De kopjes zijn vergrotingen van elkaar. De vergrotingsfactor is 0,8. 
Teken in je schrift het vooraanzicht van het flatgebouw.
Naast lineaire en kwadratische verbanden zijn er in de wereld om ons heen nog veel meer verbanden te ontdekken. In dit leer je daar meer over.
Veel opleidingen vinden het belangrijk dat je iets van dit onderwerp af weet. Niet omdat je dan toevallig allerlei verschillende formules hebt geleerd, maar omdat je bepaalde vaardigheden hebt getraind. Denk maar aan het herkennen van een bepaald verband. Daarna volgens bepaalde stappen een berekening gemaakt, een tabel getekend en een grafiek gemaakt. Dit noemen we het analytisch vermogen van je hersenen. Wiskunde helpt je deze vaardigheden ontwikkelen. Daarom vinden veel opleidngen dit zo'n belangrijk vak.
