De driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal

Wat ga ik leren?

Je gaat in deze paragraaf leren hoe je sommige telproblemen op kunt lossen met de zogenaamde 'combinatiegetallen'. Deze ben je tegengekomen bij het tellen in roosters in de vorige paragraaf. Ze komen ook voor in de driehoek van Pascal.

Dit type telproblemen zul je straks nog erg veel tegenkomen: je zult in deze paragraaf leren in welke situaties dat is. Daarbij is met name van belang dat bij dit type telproblemen de volgorde niet van belang is.

Opgaven

Wegenstructuur

De wegenstructuur in Amerikaanse steden is in het algemeen erg overzichtelijk. In de benaming van de wegen is die overzichtelijkheid terug te vinden: 1st street, 2nd street ... en 1st avenue, 2nd avenue,... .

Het karakteristieke schaakbordpatroon van veel
merikaanse steden.
Noord-zuid lopen de avenue’s, oost-west de streets.

 

Randy Walker wandelt van het kruispunt 2nd street, 1st avenue naar het kruispunt 3rd street, 4th avenue zonder omwegen.

Plattegrond

In de plattegrond hiernaast wordt bij elk kruispunt vermeld hoeveel routes er zonder omwegen naar dat kruispunt leiden, gerekend vanaf het stadhuis. Bij drie kruispunten is het aantal routes al ingevuld.

Routes van A naar B

Bij het tellen van het aantal routes raak je makkelijk in de knoop. Daarom is het handig om bij elk ‘tussenpunt’ het aantal routes naar dat punt te schrijven.

Punt B ligt vier hokjes rechts van A en drie hokjes boven A. Nils heeft geteld dat er \(20\) kortste routes zijn van A naar het punt links van B; hij heeft ook geteld dat er \(15\) kortste routes zijn van A naar het punt onder B. Die aantallen staan bij de betreffende kruispunten.

Kortste routes in situaties

Je hebt nu een principe ontdekt waarmee je aantallen kortste routes in een rooster kunt uitrekenen.

  • Noteer het getal \(1\) bij elk punt in het rooster dat op maar één manier te bereiken is.

  • Gebruik vervolgens de optelmethode om het aantal routes naar de overige roosterpunten te bepalen.

Tuin in Square City

 

 

 

 

In Square City is een fraaie tuin aangelegd die niet door voetgangers mag worden betreden.

Historie driehoek van Pascal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Blaise Pascal
(1623 - 1662)

Veel telproblemen kunnen worden opgelost met behulp van het onderstaande getallenpatroon: de driehoek van Pascal. Elk getal (\(≠1\)) is de som van zijn twee bovenburen.

Het getallenpatroon is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige Blaise Pascal. Het werd onder zijn naam in 1665 (postuum) gepubliceerd.
Pascal was overigens niet de eerste wiskundige die de tabel ontdekte en gebruikte. In een Chinees wiskundeboek, van de schrijvers Ssu Yuan Yu en Chuh Shih Chieh, uit het jaar 1303, is de tabel al te vinden. En dat de tabel nog veel ouder is, blijkt uit het feit dat hij in het Chinese boek ‘de antieke tabel’ wordt genoemd.

Bekijk de driehoek van Pascal. De driehoek begint met regel 0; de onderste regel is regel 9.

Driehoek van Pascal

Nog een keer de driehoek van Pascal maar nu in de vorm van een plattegrond.

Op regel 0 staat \(1\). De getallen op regel 1 zijn opgeteld \(2\). De getallen op regel 2 zijn opgeteld \(4\).

Kanaal door Square City

 

 

 

 

 

Dwars door Square City loopt een kanaal, zoals je al eerder gezien hebt. Langs het kanaal is een mooie boulevard aangelegd met gezellige restaurants en barretjes.
Een inwoonster van Square city wil vanuit punt A zo snel mogelijk naar de boulevard.

Kortste routes in driehoek van Pascal

In opgave "Routes van A naar B" heb je berekend hoeveel kortste routes er zijn in een rooster van \((0,0)\) naar \((4,3)\). Zie figuur linksonder. Als het goed is, kwam je aan \(35\). Elke kortste route bestaat uit \(7\) stappen (een stap is \(1\) naar boven of \(1\) naar rechts). Van die \(7\) stappen moet je er \(3\) naar boven doen (en \(4\) naar rechts). Het aantal kortste routes vind je in de driehoek van Pascal in de \(7\)e rij. Zie figuur rechtsonder.

                   

Combinatiegetal

Als je met behulp van de driehoek van Pascal het aantal kortste routes van \((0,0)\) naar \((14,6)\) wilt bepalen, moet je de driehoek aanvullen tot en met de 20e rij. Dat is een heel karwei. Dit getal kun je gelukkig ook eenvoudig op je (grafische) rekenmachine berekenen met de optie \(\text {nCr}\).


De rekenmachine geeft \(20\space \text {nCr} \space 6=38.760\).


De \(20\) staat voor het totaal aantal stappen van \((0,0)\) naar \((14,6)\) en de \(6\) staat voor het aantal stappen dat je naar boven gaat.

Het aantal kortste routes van \((0,0)\) naar \((14,6)\) noteren we met het combinatiegetal \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20} \\ 6 \end{array}} \right)\); spreek uit: twintig boven zes.

Kortste routes tussen punten

  • Het arrangement De driehoek van Pascal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-12-22 16:50:27
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde A voor havo leerjaar 4. Je gaat in deze paragraaf leren hoe je sommige telproblemen op kunt lossen met de zogenaamde 'combinatiegetallen'. Deze ben je tegengekomen bij het tellen in roosters in de vorige paragraaf. Ze komen ook voor in de driehoek van Pascal.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Leerinhoud en doelen
    Wiskunde A;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, combinatiegetallen, driehoek van pascal, havo 4, roosters, stercollectie, telproblemen, wiskunde a

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (z.d.).

    Systematisch uitschrijven

    https://maken.wikiwijs.nl/155003/Systematisch_uitschrijven

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van