Differentieerbaarheid

Differentieerbaarheid

Wat ga ik leren?

Je gaat in deze paragraaf leren ...

Opgaven

Knikpunt

Knikpunt

Zoals we al eerder gezien hebben is niet elke functie differentieerbaar. In deze paragraaf bespreken we enkele gevallen.
We komen nog eens terug op de rechthoek van opgave "Een rechthoek".

In figuur 1 staat de rechthoek nog eens, in figuur 2 de grafiek van \(\small b\) als functie van \(\small h\) (in rood) met de afgeleide (in blauw).

     

figuur 1

figuur 2

De functie heeft geen raaklijn in de punten met eerste coördinaat \(\small 2\) en \(\small 5\). Dat zie je in het volgende.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Opmerking:

In de opgave "Een rechthoek" gaat het om de volgende functie:
\(\small f(x) = \left\{ \begin{gathered} 2x\,\,{\text{als}}\,\,0 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\ 4\,\,{\text{als}}\,\,2 \leqslant x \leqslant 5 \hfill \\ ‐2x + 14\,\,{\text{als}}\,\,5 \leqslant x \leqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) .
(Hier is \(x\) de hoogte \(h\) en \(f(x)\) de breedte \(b\).)

Als \(\small 0<x<2\) geldt: \(\small f′(x)=2\).
Als \(\small 2<x<5\) geldt: \(\small f′(x)=0\).
Als \(\small 5<x<7\) geldt: \(\small f′(x)=‐2\).

\(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \uparrow 0} \frac{{f(2 + \Delta x) - f(2)}}{{\Delta x}}\) \(\small =\)

 

         \(\small f(2+Δx)=4+2Δx\), want \(\small 2+Δx<2\)
\(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \uparrow 0} \frac{{4 + 2\Delta x - 4}}{{\Delta x}}\) \(\small =\)  
\(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \uparrow 0} \frac{{2\Delta x}}{{\Delta x}}\) \(\small =\) \(\small 2\)  

en

\(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \downarrow 0} \frac{{f(2 + \Delta x) - f(2)}}{{\Delta x}}\) \(\small =\)

 

           \(\small f(2+Δx)=4\), want \(\small 2+Δx>2\)
\(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \downarrow 0} \frac{{4 - 4}}{{\Delta x}}\) \(\small =\) \(\small 0\)  


Dus \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(2 + \Delta x) - f(2)}}{{\Delta x}}\) bestaat niet.
De grafiek van \(\small f\) heeft geen raaklijn in \(\small (2,4)\).
\(\small f′(x)\) bestaat niet als \(\small x=2\).
\(\small f\) is niet differentieerbaar in \(\small 2\).

 

Ga, zoals in het voorbeeld na of de grafiek van \(\small f\) een raaklijn heeft in \(\small (5,4)\).

 

Een dikke 'pijl'

Een dikke 'pijl'

Hiernaast staat een \(\small \frac{1}{2}\) dm dikke 'pijl'. Hieronder is de voorkant van de pijl getekend.
Het onderstuk is een gelijkbenige driehoek met basis \(\small 4\) dm en hoogte \(\small 2\) dm.
Het bovenstuk een rechthoek met breedte \(\small 2\) dm en hoogte \(\small 3\) dm.

 

 

 

 

 

De pijl wordt gevuld. De hoeveelheid \(\small H\) (in liter) in de vorm hangt af van de hoogte \(\small x\) (in dm) van de vloeistof.
We onderscheiden twee gevallen: \(\small x<2\) (in de figuur links) en \(\small x>2\) (in de figuur rechts).
Als \(\small 0≤x≤2\) dan \(\small H(x)=…\),
als \(\small 2≤x≤5\), dan \(\small H(x)=…\).

a Vul de juiste formules in.

 

Hiernaast is de grafiek van \(\small H\) als functie van \(\small x\) getekend.
De grafiek heeft een knik in het punt met eerste coördinaat \(\small 2\).
Er geldt:
\(\small \frac{{H(2 + \Delta x) - H(2)}}{{\Delta x}} = 2 + \frac{1}{2}\Delta x\) als \(\small Δx<0\) en
\(\small \frac{{H(2 + \Delta x) - H(2)}}{{\Delta x}} = 1\) als \(\small Δx>0\).

b Laat algebraïsch zien dat dit juist is.

c Bepaal met het antwoord van b \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \uparrow 0} \frac{{\Delta H}}{{\Delta x}}\) en \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \downarrow 0} \frac{{\Delta H}}{{\Delta x}}\).

 

 

Omdat \(\small \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \uparrow 0} \frac{{\Delta H}}{{\Delta x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \downarrow 0} \frac{{\Delta H}}{{\Delta x}}\) heeft de grafiek in \(\small (2,2)\) een knik.
De afgeleide bestaat niet als \(\small x=2\). De grafiek van \(\small H\) heeft geen raaklijn in \(\small (2,2)\).

 

f:x→|x|

f:x→|x|

\(\small f:x→|x|\)

a Teken de grafiek van de functie.

b Wat is de groeisnelheid als \(\small x=3\)?
En als \(\small x=‐3\)? En als \(\small x=0\)?

c Teken de grafiek van de afgeleide functie \(\small f′\). Merk op dat \(\small f′(x)\) voor alle waarden van \(\small x≠0\) bestaat.

d Geef een formule voor \(\small f′\).

 

Vijf uitspraken over de functie f:x→|x|.

  • De grafiek van f heeft een knik in (0,0).

  • We kunnen niet spreken van de raaklijn aan de grafiek van f in (0,0).

  • We kunnen niet spreken van de groeisnelheid van |x| als x=0.

  • De functie f is niet-differentieerbaar in x=0.

  • We kunnen niet spreken van f′(0).

y=(x+1)²+|x|

y=(x+1)²+|x|

\(\small y=(x+1)^2+|x|\)

a Teken de grafiek op de GR.

b Zoom een aantal keer in op het punt \(\small (0,1)\). Gaat de grafiek in \(\small (0,1)\) steeds beter op een rechte lijn lijken?

 

Je ziet dat we niet kunnen spreken van de raaklijn aan de grafiek in het punt \(\small (0,1)\). Wel kunnen we spreken van de rechter raaklijn en van de linker raaklijn.

c Bepaal (bijvoorbeeld met de GR) van beide de richtingscoëfficiënt.

 

Nog een keer een dikke 'pijl'

Nog een keer een dikke 'pijl'

We bekijken opgave "Een dikke 'pijl'" nog eens. Daar ging het over een \(\small \frac{1}{2}\) dm dikke 'pijl'.
De voorkant van de pijl is hieronder nog eens getekend.

In plaats van de bovenkant \(\small 2\) dm breed te nemen, maken we hem variabel, zeg \(\small a\) dm.
De hoeveelheid \(\small H\) (in liter) in de vorm hangt af van de hoogte \(\small x\) (in dm) van de vloeistof.
Je krijgt de volgende formules.
Als \(\small 0≤x≤2\), dan \(\small H(x) = \frac{1}{2}{x^2}\),
als \(\small 2≤x≤5\), dan \(\small H(x) = \frac{1}{2}a(x - 2) + 2\).

a Ga na dat dit juist is.

b Ga na voor welke \(\small a\) de functie \(\small H\) in \(\small 2\) differentieerbaar is.

 

f:x→x²|x−1|

f:x→x²|x−1|

Gegeven \(\small f:x→x^2|x−1|\). Hieronder staat zijn grafiek.

Zo te zien is de functie niet glad in \(\small x=1\).
Als \(\small x<1\), dan \(\small \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \frac{{{‐x^2}(x - 1)}}{{x - 1}}\).
Als \(\small x>1\), dan \(\small \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2}(x - 1)}}{{x - 1}}\).

a Laat dat zien.

b Bepaal \(\small \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\) en \(\small \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}\).

 

  • Het arrangement Differentieerbaarheid is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-01-03 03:38:55
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    Groeisnelheid

    https://maken.wikiwijs.nl/155000/Groeisnelheid

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van