\(\small {\vec v_L} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {‐b} \\ a \end{array}} \right)\) en \(\small {\vec v_R} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b \\ {‐a} \end{array}} \right)\) staan loodrecht op \(\small \vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) en zijn even lang als \(\small \vec v\).
Als je \(\small \vec v\) linksom over \(\small 90°\) draait, krijg je \(\small {\vec v_L}\);
als je \(\small \vec v\) rechtsom over \(\small 90°\) (met de wijzers van de klok mee) draait, krijg je \(\small {\vec v_R}\).
Waarom dat zo is, zie je in het plaatje.
(\(\small a\) en \(\small b\) zijn de lengten van zijden waar ze bij staan.)
Twee (willekeurig gekozen) vectoren
Gegeven twee punten
De vectoren \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) en \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c \\ d \end{array}} \right)\), beide niet \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right)\) staan loodrecht op elkaar \(\small ⇔ac+bd=0\).
Opmerking:
Als \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) of \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c \\ d \end{array}} \right)\) wel \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right)\) is, kun je niet over loodrechte stand van de vectoren spreken.
Vooruitblik:
Het getal \(\small ac+bd\) bij de vectoren \(\small \vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) en \(\small \vec w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c \\ d \end{array}} \right)\) zegt dus iets over de hoek tussen die vectoren. We noemen \(ac+bd\) het inproduct van \(\vec v\) en \(\vec w\). We noteren het inproduct van \(\small \vec v\) en \(\small \vec w\) met \(\small \vec v \cdot \vec w\). In klas 5 zullen we zien hoe je met het inproduct de hoek tussen vectoren kunt berekenen.
Twee vectoren staan loodrecht op elkaar
Wat is het verband
Bereken a exact
Als \(\small \vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) en \(\small \vec w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c \\ d \end{array}} \right)\), dan is: \(\small \vec v \cdot \vec w = ac + bd\) het inproduct van \(\small \vec v\) en \(\small \vec w\).
Als \(\small \vec v\) en \(\small \vec w\) beide niet \(\small \vec 0\), dan geldt: \(\small \vec v \cdot \vec w = 0 \Leftrightarrow \vec v\) en \(\small \vec w\) staan loodrecht op elkaar.
\(\small \vec v \cdot \vec v = {\left| {\vec v} \right|^2}\)
Voorbeeld:
De vector \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ 3 \end{array}} \right)\) staat loodrecht op de vector\(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17} \\ {11} \end{array}} \right)\).
Vraag
Bereken \(\small a\) met het inproduct.
Oplossing
Dan \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ 3 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17} \\ {11} \end{array}} \right) = 0\), dus \(\small 17a + 33 = 0 \Leftrightarrow a = ‐1\frac{{16}}{{17}}\).
Gegeven zijn de punten A(‐1,3) en B(7,4)
Gegeven zijn de punten A(‐3,0) en B(3,0)
Vierkanten
Schrijf de coördinaten zo eenvoudig mogelijk
Bepaal de coördinaten van B en D in de volgende gevallen
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
