Vergelijkingen

Vergelijkingen

Vergelijkingen

Wat ga ik leren?

Om uit te rekenen wanneer een sinus- of cosinusfunctie gelijk is aan een waarde \(\small p\) moet je een vergelijking oplossen. Zo'n vergelijking heeft in het geval van een periodieke functie reeksen oplossingen waarmee alle oplossingen van de vergelijking op een bondige manier worden weergegeven. Dit is nodig, omdat er vaak oneindig veel oplossingen zijn.

Voor zowel de sinus als de cosinus is er een oplosschema dat we in deze paragraaf behandelen, waarmee je de vergelijking stap voor stap oplost. En let op: de schema's zijn niet hetzelfde!

Opgaven

Reuzenrad

Oplosschema sinus

We vatten het oplossen van de vergelijking
\(\small y=2+4\text{sin}(3x)=3\) nog even overzichtelijk samen:

 

Oplosschema

  • \(\small 2+4\text{sin}(3x)=3\)

  • \(\small \text{sin}(3x)={1 \over 4}\)

  • \(\small 3x=0\text{,}2526\ldots\) (gevonden met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\))

  • Met de symmetrie van de sinusgrafiek vind je een tweede oplossing: \(\small 3x=π-0\text{,}2526\ldots =2\text{,}8889\ldots\)

  • Dit geeft bij deling door \(\small 3\):
    \(\small x=0\text{,}0842\ldots\) of \(\small x=0\text{,}9629\ldots\)

  • Met de periode \(\small {2\pi \over 3}\) vind je alle oplossingen:
    \(\small x=0\text{,}0842\ldots+k⋅{2π \over 3}\)  of  \(\small x=0\text{,}9629\ldots+k⋅{2π \over 3}\) (met \(\small k\) een geheel getal)

  • Ofwel:
    \(\small x=2\text{,}1786\ldots\); \(\small x=4\text{,}2730\ldots\); \(\small x=6\text{,}3674\ldots\) enz.
    en \(\small x=0\text{,}9629\ldots\); \(\small x=3\text{,}0573\ldots\); \(\small x=5\text{,}1517\ldots\) enz.

 

Grafiek

Optie intersect

Andere vergelijking

Oplosschema cosinus

We vatten het oplossen van de vergelijking
\(\small y=2+4\text{cos}(3x)=5\) nog even overzichtelijk samen:

 

Oplosschema

  • \(\small 2+4\text{cos}(3x)=5\)

  • \(\small \text{cos}(3x)={3 \over 4}\)

  • \(\small 3x=0\text{,}7227\ldots\) (gevonden met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\))

  • Met de symmetrie van de cosinusgrafiek vind je een tweede oplossing: \(\small 3x=2\pi-0\text{,}7227\ldots=5\text{,}5604\ldots\)

  • Dit geeft bij deling door \(\small 3 \):
    \(\small x=0\text{,}2409\ldots\) of \(\small x=1\text{,}8534\ldots\)

  • Met de periode \(\small {2π \over 3}\) vind je alle oplossingen:
    \(\small x=0\text{,}2409\ldots+k⋅{2π \over 3} \)  of  \(\small x=1\text{,}8534\ldots+k⋅{2π \over 3} \) (met \(\small k\) een geheel getal)

  • Ofwel:
    \(\small x=0\text{,}2409\ldots\); \(\small x=2\text{,}3353\ldots\); \(\small x=4\text{,}4297\ldots\) enz.
    en \(\small x=1\text{,}8534\ldots\); \(\small x=3\text{,}9478\ldots\); \(\small x=6\text{,}0422\ldots\) enz.

 

Voor welke x geldt...

Alle oplossingen

Periode

Met de GR

Opvolgende oplossingen

Vergelijkingen:

  • \(\small a+b\text{sin}(c(x-d))=e\)

  • \(\small a+b\text{cos}(c(x-d))=e\)

Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking.
Noem deze oplossingen \(\small x_1\) en \(\small x_2\).
Dan zijn \(\small x_1 + k \cdot {2 \pi \over c}\) en \(\small x_2 + k \cdot {2 \pi \over c}\) alle oplossingen van de vergelijking, waarbij \(\small k\) een willekeurig geheel getal is.

 

Algebraïsche aanpak

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld

Het berekenen van de twee opvolgende oplossingen van zo'n vergelijking mag vaak met de GR, met de optie intersect.
Een algebraïsche aanpak illustreren we hieronder met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar:

\(\small 3+5\text{sin}(4(x-1))=2\)

\(\small 3+5\text{cos}(4(x-1))=2\)

Noem \(\small t=4(x-1)\),

Noem \(\small t=4(x-1)\),

dus \(\small 3+5\text{sin}(t)=2\)

dus \(\small 3+5\text{cos}(t)=2\)

\(\small \text{sin}(t)=\text{-}{1 \over 5}\)

\(\small \text{cos}(t)=\text{-}{1 \over 5}\)

Met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\): \(\small t=\text{-}0\text{,}2013\ldots\)

Met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\): \(\small t=1\text{,}7721\ldots\)

De andere oplossing met symmetrie

De andere oplossing met symmetrie

van de sinusgrafiek:

van de cosinusgrafiek:

\(\small t=\pi - \text{-}0\text{,}2013\ldots = 3\text{,}3429\ldots\)

\(\small t=2\pi - 1\text{,}7721\ldots = 4\text{,}5110\ldots\)

\(\small 4(x-1)=\text{-}0\text{,}2013\ldots\) of \(\small 4(x-1)=3\text{,}3429\ldots\)

\(\small 4(x-1)=1\text{,}7721\ldots\) of \(\small 4(x-1)=4\text{,}5110\ldots\)

\(\small x=0\text{,}9496\ldots\) of \(\small x=1\text{,}8357\ldots\)

\(\small x=1\text{,}4430\ldots\) of \(\small x=2\text{,}1277\ldots\)

De periode is \(\small {2π \over 4}={1 \over 2}π\).

De periode is \(\small {2π \over 4}={1 \over 2}π\).

Dus alle oplossingen:

Dus alle oplossingen:

\(\small x=0\text{,}9496\ldots + k \cdot {1 \over 2}\pi\) of \(\small x=1\text{,}8357\ldots + k \cdot {1 \over 2}\pi\).

\(\small x=1\text{,}4430\ldots + k \cdot {1 \over 2}\pi\) of \(\small x=2\text{,}1277\ldots + k \cdot {1 \over 2}\pi\).

 

 

Opmerking

  • Tussendoor niet afronden: maak met je GR handig gebruik van ANS en/of de geheugens met STO.

  • Let op het subtiele verschil tussen beide uitwerkingen bij \(\small \text{sin}\) en \(\small \text{cos}\): alleen de symmetrie is anders!

 

Functie f

Voor welke c?

  • Het arrangement Vergelijkingen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-07-29 14:08:48
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Sinus en cosinus'.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur en 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, cosinus, havo 4, sinus, stercollectie, vergelijkingen, wiskunde b

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    Periodieke bewegingen

    https://maken.wikiwijs.nl/155036/Periodieke_bewegingen

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van