Om uit te rekenen wanneer een sinus- of cosinusfunctie gelijk is aan een waarde \(\small p\) moet je een vergelijking oplossen. Zo'n vergelijking heeft in het geval van een periodieke functie reeksen oplossingen waarmee alle oplossingen van de vergelijking op een bondige manier worden weergegeven. Dit is nodig, omdat er vaak oneindig veel oplossingen zijn.
Voor zowel de sinus als de cosinus is er een oplosschema dat we in deze paragraaf behandelen, waarmee je de vergelijking stap voor stap oplost. En let op: de schema's zijn niet hetzelfde!
Opgaven
Reuzenrad
Oplosschema sinus
We vatten het oplossen van de vergelijking \(\small y=2+4\text{sin}(3x)=3\) nog even overzichtelijk samen:
Oplosschema
\(\small 2+4\text{sin}(3x)=3\)
\(\small \text{sin}(3x)={1 \over 4}\)
\(\small 3x=0\text{,}2526\ldots\) (gevonden met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\))
Met de symmetrie van de sinusgrafiek vind je een tweede oplossing: \(\small 3x=π-0\text{,}2526\ldots =2\text{,}8889\ldots\)
Dit geeft bij deling door \(\small 3\): \(\small x=0\text{,}0842\ldots\) of \(\small x=0\text{,}9629\ldots\)
Met de periode \(\small {2\pi \over 3}\) vind je alle oplossingen: \(\small x=0\text{,}0842\ldots+k⋅{2π \over 3}\) of \(\small x=0\text{,}9629\ldots+k⋅{2π \over 3}\) (met \(\small k\) een geheel getal)
We vatten het oplossen van de vergelijking \(\small y=2+4\text{cos}(3x)=5\) nog even overzichtelijk samen:
Oplosschema
\(\small 2+4\text{cos}(3x)=5\)
\(\small \text{cos}(3x)={3 \over 4}\)
\(\small 3x=0\text{,}7227\ldots\) (gevonden met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\))
Met de symmetrie van de cosinusgrafiek vind je een tweede oplossing: \(\small 3x=2\pi-0\text{,}7227\ldots=5\text{,}5604\ldots\)
Dit geeft bij deling door \(\small 3 \): \(\small x=0\text{,}2409\ldots\) of \(\small x=1\text{,}8534\ldots\)
Met de periode \(\small {2π \over 3}\) vind je alle oplossingen: \(\small x=0\text{,}2409\ldots+k⋅{2π \over 3} \) of \(\small x=1\text{,}8534\ldots+k⋅{2π \over 3} \) (met \(\small k\) een geheel getal)
Bereken dan twee opvolgende oplossingen van de vergelijking.
Noem deze oplossingen \(\small x_1\) en \(\small x_2\).
Dan zijn \(\small x_1 + k \cdot {2 \pi \over c}\) en \(\small x_2 + k \cdot {2 \pi \over c}\)alle oplossingen van de vergelijking, waarbij \(\small k\) een willekeurig geheel getal is.
Algebraïsche aanpak
Voorbeeld
Het berekenen van de twee opvolgende oplossingen van zo'n vergelijking mag vaak met de GR, met de optie intersect.
Een algebraïsche aanpak illustreren we hieronder met twee uitgewerkte voorbeelden naast elkaar:
\(\small 3+5\text{sin}(4(x-1))=2\)
\(\small 3+5\text{cos}(4(x-1))=2\)
Noem \(\small t=4(x-1)\),
Noem \(\small t=4(x-1)\),
dus \(\small 3+5\text{sin}(t)=2\)
dus \(\small 3+5\text{cos}(t)=2\)
\(\small \text{sin}(t)=\text{-}{1 \over 5}\)
\(\small \text{cos}(t)=\text{-}{1 \over 5}\)
Met \(\small \text{sin}^{\text{-}1}\): \(\small t=\text{-}0\text{,}2013\ldots\)
Met \(\small \text{cos}^{\text{-}1}\): \(\small t=1\text{,}7721\ldots\)
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Om uit te rekenen wanneer een sinus- of cosinusfunctie gelijk is aan een waarde 
