De sinus en cosinus helpen ons bij het bepalen van de positie van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging doorloopt. Wanneer de kogel de beweging niet meer op een standaard manier doorloopt, maar bijvoorbeeld sneller of met een vertraging, is er ook een verandering te zien in de sinus- en cosinusfunctie die erbij horen.
Hoe deze variaties in de functies te zien zijn, zul je in deze paragraaf leren. Ook leer je hoe je een formule van een sinus of cosinus op kan stellen door informatie af te lezen uit een grafiek. De golf in zo'n grafiek noemen we sinusoïde.
Opgaven
Snelheid verdubbelen
Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging. De eerste coördinaat (de "wijdte") op tijdstip \(\small t\) is dan \(\small \text{cos}(t)\), de tweede coördinaat (de "hoogte") is dan \(\small \text{sin}(t)\). Hieronder staan de grafieken van \(\small \text{cos}\) en \(\small \text{sin}\).
Zoals bekend is van deze grafieken de amplitude\(\small 1\), de evenwichtswaarde\(\small 0\) en de periode\(\small 2\pi\).
In de volgende vijf opgaven wordt een verandering van de cirkelbeweging doorgevoerd. Je krijgt telkens toegang tot een werkblad waar je de standaardgrafieken voor de hoogte en de wijdte kan vinden. Het is de bedoeling dat je daarin de grafiek tekent van de cirkelbeweging na de verandering.
Andersom draaien
Vertraging
Grotere straal
Ander middelpunt
Overzicht variaties
Nulpunten
Periode
De grafiek van \(\small y=\text{sin}(nx)\) schommelt \(\small n\) keer zo snel als de grafiek van \(\small y=\text{sin}(x)\).
De periode is \(\small {2\pi \over n}\).
Formule
De periode van \(\small y=\text{sin}(cx)\) is \(\small p\) als \(\small c={2\pi \over p}\).
Meerdere veranderingen
Tot nu toe hebben wij telkens maar één kenmerk van de standaard cirkelbeweging tegelijk veranderd. Maar zoals je met de applet hebt kunnen zien, kun je natuurlijk ook meerdere kenmerken tegelijk veranderen.
Stijgend door evenwichtsstand
Algemene formule
Sinusfunctie
Cosinusfunctie
Twee golven
Verander n
Sinusoïde
De golf \(\small y=a+b\text{sin}(c(x-d))\) ontstaat uit de golf \(\small y=a+b\text{sin}(cx)\) door deze \(\small d\) eenheden naar rechts te verschuiven.
Als \(\small d\) een negatief getal is, betekent dat een verschuiving naar links.
Opmerking
In plaats van golf spreken we van sinusoïde.
Grafiek
Voorbeeld
Hieronder staat een sinusoïde \(\small y=a+b\text{sin}(c(x-d))\).
Je kunt aflezen dat de grootste \(\small y\)-waarde \(\small 7\) is en de kleinste \(\small \text{-}1\).
De evenwichtswaarde ligt daar midden tussen in: \(\small a={1 \over 2}⋅(7+\text{-}1)=3\).
De amplitude is het verschil tussen de grootste \(\small y\)-waarde en de evenwichtswaarde: \(\small b=7-3=4\).
Tussen \(\small x=2\) en \(\small x=8\) verloopt een volledige golf.
De periode is dus \(\small 6\). Dus \(\small c={2π \over 6}={1 \over 3}π\).
Bij \(\small x=2\) gaat de sinusoïde stijgend door de evenwichtsstand. Dus \(\small d=2\).
De formule wordt dus: \(\small y=3+4\text{sin}({1 \over 3}π(x-2))\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
De sinus en cosinus helpen ons bij het bepalen van de positie van een kogeltje dat de standaard cirkelbeweging doorloopt. Wanneer de kogel de beweging niet meer op een standaard manier doorloopt, maar bijvoorbeeld sneller of met een vertraging, is er ook een verandering te zien in de sinus- en cosinusfunctie die erbij horen.
