Punten op een lijn hebben bijvoorbeeld de eigenschap dat de \(\small x\)-coördinaat en de \(\small y\)-coördinaat opgeteld bij elkaar \(\small 4\) zijn. Zo heb je nog veel meer mogelijkheden, die je allemaal al hebt gezien. Wanneer we echter gaan kijken naar alle punten die op dezelfde afstand van een punt \(\small M\) af liggen, krijgen we geen lijn. We krijgen een cirkel.
Omdat de eigenschap van de punten die hieraan voldoen verschilt van de punten die op een lijn liggen, hebben cirkels ook een andere formule. Deze vergelijking ga je in verschillende gevallen opstellen en je gaat het middelpunt van een cirkel en zijn straal berekenen door de vergelijking in middelpuntsvorm te zetten.
Opgaven
Vergelijking van een cirkel met middelpunt (0,0)
Vergelijking cirkel
De cirkel met straal \(\small r\) en middelpunt \(\small O\) heeft als vergelijking \(\small x^2+y^2=r^2\).
Voorbeeld:
De punten die afstand \(\small \sqrt{50}\) tot \(\small O\) hebben vormen een cirkel met vergelijking \(\small x^2+y^2=50\).
Cirkel c
Twee cirkels
Lijn en cirkel
De grafiek bij de vergelijking \(\small x^2+y^2=c\) is:
een cirkel met straal \(\small \sqrt{c}\) als \(\small c \gt 0\),
het punt \(\small O(0,0)\) als \(\small c=0\),
helemaal niets als \(\small c \lt 0\).
Vergelijking van een cirkel met middelpunt (a,b)
Straal 3
Vier cirkels
De cirkel met straal \(\small r\) en middelpunt \(\small (a,b)\) heeft als vergelijking \(\small (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
Teken de cirkels
Middelloodlijn
Rechthoek
Snijden met de x-as
Herschrijven
Aan de vergelijking \(\small x^2+y^2+6x-8y=0\) kun je niet zien dat dit een vergelijking van de cirkel met straal \(\small 5\) en middelpunt \(\small (\text{-}3,4)\) is.
Daarvoor moet je \(\small x^2+y^2+6x-8y=0\) weer schrijven in de vorm \(\small (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
We noemen deze laatste vorm de middelpuntsvorm. Dit 'terugschrijven' in de middelpuntsvorm doe je met kwadraatafsplitsen.
We geven hieronder twee voorbeelden. Als je moeite hebt met kwadraatafsplitsen, bekijk dan nog eens paragraaf Kwadratische vergelijkingen van hoofdstuk 3 Kwadratische verbanden.
Bij het kwadraatafsplitsen heb je twee van de drie merkwaardige producten nodig. We herhalen die hieronder.
Merkwaardige producten
\(\small (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\small (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(\small (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Voorbeeld
We bepalen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking: \(\small x^2+y^2+2x-10y=24\).
\(\small x^2+y^2+2x-10y\)
\(\small =\)
\(\small 24\)
HERSCHIKKEN
KWADRAATAFSPLITSEN VAN \(\small x^2+2x\) EN \(\small y^2-10y\)
VEREENVOUDIGEN
\(\small x^2+2x+y^2-10y\)
\(\small =\)
\(\small 24\)
\(\small (x+1)^2-1+(y-5)^2-25\)
\(\small =\)
\(\small 24\)
\(\small (x+1)^2+(y-5)^2\)
\(\small =\)
\(\small 50\)
We hebben nu de middelpuntsvorm. Het middelpunt van de cirkel is \(\small (\text{-}1,5)\) en de straal is \(\small \sqrt{50}=5\sqrt{2}\)
Voorbeeld
We bepalen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking: \(\small 2x^2+2y^2+2x-10y=36\).
\(\small 2x^2+2y^2+2x-10y\)
\(\small =\)
\(\small 36\)
DELEN DOOR \(\small 2\)
HERSCHIKKEN
KWADRAATAFSPLITSEN VAN \(\small x^2+x\) EN \(\small y^2-5y\)
We hebben nu de middelpuntsvorm. Het middelpunt van de cirkel is \(\small (\text{-}{1 \over 2},2{1 \over 2})\) en de straal is \(\small \sqrt{24{1 \over 2}} = 3{1 \over 2}\sqrt{2}\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: cirkels.
Punten op een lijn hebben bijvoorbeeld de eigenschap dat de x
-coördinaat en de y
-coördinaat opgeteld bij elkaar 4
zijn. Zo heb je nog veel meer mogelijkheden, die je allemaal al hebt gezien. Wanneer we echter gaan kijken naar alle punten die op dezelfde afstand van een punt M
af liggen, krijgen we geen lijn. We krijgen een cirkel.
Omdat de eigenschap van de punten die hieraan voldoen verschilt van de punten die op een lijn liggen, hebben cirkels ook een andere formule. Deze vergelijking ga je in verschillende gevallen opstellen en je gaat het middelpunt van een cirkel en zijn straal berekenen door de vergelijking in middelpuntsvorm te zetten.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, cirkel, havo 4, middelpuntsvorm, stercollectie, vergelijking, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: cirkels.
Punten op een lijn hebben bijvoorbeeld de eigenschap dat de x
-coördinaat en de y
-coördinaat opgeteld bij elkaar 4
zijn. Zo heb je nog veel meer mogelijkheden, die je allemaal al hebt gezien. Wanneer we echter gaan kijken naar alle punten die op dezelfde afstand van een punt M
af liggen, krijgen we geen lijn. We krijgen een cirkel.
Omdat de eigenschap van de punten die hieraan voldoen verschilt van de punten die op een lijn liggen, hebben cirkels ook een andere formule. Deze vergelijking ga je in verschillende gevallen opstellen en je gaat het middelpunt van een cirkel en zijn straal berekenen door de vergelijking in middelpuntsvorm te zetten.
Punten op een lijn hebben bijvoorbeeld de eigenschap dat de 
