Afstanden

Wat ga ik leren?

Wanneer er een schip in zee ligt en er gevraagd wordt hoe ver het nog is tot het land, kan de kapitein 'het is nog $\small 12\text{,}5 \text{ kilometer}$ tot de kust' antwoorden. Maar de kust is ontzettend lang; hoe kan de kapitein de afstand zo nauwkeurig doorgeven?

In deze paragraaf leer je hoe de afstand van een punt tot een lijn wordt bepaald. Het berekenen van de afstand van één punt tot een ander punt wordt ook behandeld. Verder zal je zien dat er wiskundige concepten zijn met speciale eigenschappen die met afstand tot lijnen en/of punten te maken hebben, zoals de bissectrice en de ingeschreven cirkel.

Opgaven

De afstand van twee punten

Twee punten

We kijken nog eens precies naar de afstand van twee punten in het $\small Oxy$-vlak.

Door een horizontale en verticale lijn door het punt $\small K(1,2)$ wordt het platte vlak in vier delen verdeeld, rechtsboven, linksboven, linksonder en rechtsonder, zie figuur 1 hieronder.
Als een punt $\small (x,y)$ rechtsboven $\small K$ ligt, dan $\small x > 1$ en $\small y>2$.

a Neem over en vul aan:
Als een punt

linksboven $\small K$ ligt, dan	$\small x \ldots$ en $\small y \ldots$,
linksonder $\small K$ ligt, dan	$\small x \ldots$ en $\small y \ldots$,
rechtsonder $\small K$ ligt, dan	$\small x \ldots$ en $\small y \ldots$.

figuur 1

figuur 2

Figuur 2 bestaat uit vier plaatjes met de punten $\small A(a,b)$ en $\small P(p,q)$.
$\small P$ ligt steeds anders ten opzichte van $\small A$.
We onderscheiden vier mogelijkheden:

a. $\small p>a$ en $\small q>b$,

b. $\small p<a$ en $\small q>b$,

c. $\small p>a$ en $\small q<b$,

d. $\small p<a$ en $\small q<b$.

b Welk plaatje hoort bij welke mogelijkheid?

figuur 3

Om de afstand van $\small A$ tot $\small P$ te berekenen, kun je in figuur 3 een rechthoekige driehoek tekenen met rechthoekszijden $\small p-a$ en $\small b-q$.
De afstand van $\small A$ tot $\small P$ is: $\small \sqrt{(p-a)^2+(b-q)^2}$.

c Waarom is dit hetzelfde als: $\small \sqrt{(a-p)^2+(b-q)^2}$?

Zo kun je in alle vier de gevallen het volgende nagaan:

De afstand van $\small A(a,b)$ tot is $\small P(p,q)$ is: $\small \sqrt{(a-p)^2+(b-q)^2}$ .

Afstand

Lijn y = (-)x

Driehoek ABC

In het plaatje staat driehoek $\small ABC$ met $\small A(\text{-}2,\text{-}3)$, $\small B(4,0)$ en $\small C(0,3)$.

a Bereken exact de zijden van de driehoek.

b Bereken exact de lengte van de hoogtelijn uit $\small C$ van de driehoek.

Hint: Snijd de lijn door $\small C$ loodrecht op lijn $\small AB$ met lijn $\small AB$.

c Bereken de oppervlakte van driehoek $\small ABC$ exact.

Je kunt je antwoord op het vorige onderdeel als volgt controleren.
Denk een vierkant om driehoek $\small ABC$, met hoekpunten $\small A$, $\small P(4,\text{-}3)$, $\small Q(4,3)$ en $\small R(\text{-}2,3)$.
Bereken nu de oppervlakte van de driehoeken $\small ABP$, $\small BQC$ en $\small ARC$.
De oppervlakte van driehoek $\small ABC$ is met de oppervlakte van die drie driehoeken samen $\small 36$.

d Voer die controle uit.

e Bereken hoek $\small CAB$ exact.

Hint: Gebruik de cosinusregel of de oppervlakteregel uit hoofdstuk 2.

Nederlandse kust

De afstand van een punt tot een gebied is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk van dat punt met het gebied.

Opmerking

Er is niet altijd een kortste verbindingslijnstuk van een punt met een gebied.
Neem het gebied $\small G$ (blauw) bestaande uit alle punten met tweede coördinaat groter dan $\small 1$ . Er is geen kortste verbindingslijnstuk, de stippellijn $\small y=1$ hoort namelijk niet bij $\small G$ .

Punt tot lijn

De afstand van een punt $\small P$ tot een lijn $\small k$ is de lengte van het loodrechte verbindingslijnstuk van $\small P$ met lijn $\small k$ .

In de figuur is de lengte van het blauwe lijnstuk de afstand van $\small P$ tot $\small k$ .

Ingeschreven cirkel

Hiernaast is driehoek $\small ABC$ getekend met $\small A(\text{-}3,1)$, $\small B(1,1)$ en $\small C(1,4)$.
In driehoek $\small ABC$ ligt $\small M(0,2)$.

a Wat is de afstand van $\small M$ tot de zijde $\small AB$? En tot de zijde $\small BC$? (Hier valt niet veel aan te rekenen.)

b Bereken de oppervlakte van driehoek $\small AMB$, van driehoek $\small BMC$ en van driehoek $\small ABC$ exact.

Met behulp van het vorige onderdeel kun je de afstand van $\small M$ tot zijde $\small AC$ exact berekenen.

c Bereken deze afstand.

$\small M$ ligt even ver van de zijden van driehoek $\small ABC$. Het is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van driehoek $\small ABC$, dat is de cirkel die de zijden van de driehoek raakt.

d Neem driehoek $\small ABC$ over op roosterpapier en teken de daarin de ingeschreven cirkel.

De loodrechte projectie van $\small M$ op zijde $\small AB$ noemen we $\small P$ en de loodrechte projectie van $\small M$ op zijde $\small AC$ noemen we $\small Q$.

e Waarom passen de driehoeken $\small MAP$ en $\small MAQ$ precies op elkaar (zijn congruent)?

Uit de vorige opgave volgt dat lijn $\small AM$ hoek $\small BAC$ in twee gelijke stukken deelt, dus is het de bissectrice (deellijn) van hoek $\small A$ .

Opmerking

Het punt $\small M$ in de vorige opgave is het snijpunt van de bissectrices (deellijnen) van driehoek $\small ABC$ .
In het algemeen geldt dat het snijpunt van de bissectrices in een driehoek het middelpunt van de ingeschreven cirkel van die driehoek is.
De ingeschreven cirkel van een driehoek is de cirkel die de zijden van de driehoek raakt.

Gelijkbenige rechthoekige driehoek

Afstand tot cirkel

Waar ligt P?

Colofon
Het arrangement Afstanden is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

VO-content

Laatst gewijzigd

2022-07-29 15:02:10

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting

Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: afstanden. In deze paragraaf leer je hoe de afstand van een punt tot een lijn wordt bepaald. Het berekenen van de afstand van één punt tot een ander punt wordt ook behandeld. Verder zal je zien dat er wiskundige concepten zijn met speciale eigenschappen die met afstand tot lijnen en/of punten te maken hebben, zoals de bissectrice en de ingeschreven cirkel.

Leerniveau

HAVO 4;

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Studiebelasting

4 uur 0 minuten

Trefwoorden

afstand, arrangeerbaar, bissectrice, havo 4, ingeschreven cirkel, punt tot lijn, stercollectie, wiskunde b

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

Wiskunde Wageningse Methode OUD. (z.d.).

Rechte lijnen

https://maken.wikiwijs.nl/155033/Rechte_lijnen

Afstanden

nl

VO-content

2022-07-29 15:02:10

Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lijnen en cirkels'. Het onderwerp van deze les is: afstanden. In deze paragraaf leer je hoe de afstand van een punt tot een lijn wordt bepaald. Het berekenen van de afstand van één punt tot een ander punt wordt ook behandeld. Verder zal je zien dat er wiskundige concepten zijn met speciale eigenschappen die met afstand tot lijnen en/of punten te maken hebben, zoals de bissectrice en de ingeschreven cirkel.

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

HAVO 4

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/70af3752-c6ad-43d9-aa0c-9ff099931f8a

leerling/student

PT4H

afstand, arrangeerbaar, bissectrice, havo 4, ingeschreven cirkel, punt tot lijn, stercollectie, wiskunde b
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van

linksboven \(\small K\) ligt, dan	\(\small x \ldots\) en \(\small y \ldots\),
linksonder \(\small K\) ligt, dan	\(\small x \ldots\) en \(\small y \ldots\),
rechtsonder \(\small K\) ligt, dan	\(\small x \ldots\) en \(\small y \ldots\).

Afstanden

Wat ga ik leren?

Opgaven

De afstand van twee punten

Twee punten

Afstand

Afstand

Lijn y = (-)x

Lijn y = (-)x

Driehoek ABC

Driehoek ABC

Nederlandse kust

Nederlandse kust

Punt tot lijn

Punt tot lijn

Ingeschreven cirkel

Ingeschreven cirkel

Gelijkbenige rechthoekige driehoek

Gelijkbenige rechthoekige driehoek

Afstand tot cirkel

Afstand tot cirkel

Waar ligt P?

Waar ligt P?

Downloaden

Metadata

LTI

Arrangement

IMSCC package

Voor developers

Gebruik

Weergave