In deze paragraaf bekijken we de afgeleiden van veeltermfuncties. Ook bekijken we buigpunten van de grafieken en stellen we formules op bij de bijbehorende buigraaklijnen. Je kunt uitspraken doen over het stijgen of dalen van de grafiek met behulp van zijn afgeleide en uitspraken doen over zijn minimale/maximale helling met behulp van de buigpunten. Buigpunten kun je niet met de afgeleide bepalen; hiervoor maak je in deze paragraaf kennis met de tweede afgeleide.
Je zult ook minima en maxima van een functie berekenen.
Opgaven
Dalend of stijgend?
Positieve en negatieve helling
Aan de afgeleide van een functie kun je zien of de functie daalt of stijgt. Daar waar de afgeleide (de helling) positief is, stijgt de functie; daar waar de afgeleide negatief is, daalt de functie.
Dat is met "\(\small +\)" en "\(\small -\)" aangegeven in onderstaand plaatje.
In de toppen van de grafiek van een functie is de afgeleide \(\small 0\).
De grafiek is stijgend als de afgeleide positief is.
De grafiek is dalend als de afgeleide negatief is.
In formuletaal:
In de toppen van de grafiek van een functie \(\small f\) geldt \(\small f'(x)=0\).
De grafiek is stijgend als \(\small f'(x)\gt 0\).
De grafiek is dalend als \(\small f'(x)\lt 0\).
Drie derdegraadsfuncties
Hellingfunctie en kwadraatafsplitsen
Motorwegraces
Hiernaast staat de grafiek van \(\small f(x)=x^3-3x+2\).
We volgen de grafiek van links naar rechts.
De grafiek is eerst naar rechts gekromd en later naar links.
Daartussen in zit het "omslagpunt"; dat noemen we het buigpunt van de grafiek.
Je kunt ook zeggen dat vóór het buigpunt de grafiek van onderen gezien hol is en na het buigpunt van boven gezien hol is.
De raaklijn in het buigpunt heet buigraaklijn.
Buigpunt
In een buigpunt van een grafiek is de helling maximaal of minimaal.
Buigraaklijnen
Vier functies, hetzelfde buigpunt
Derdegraadsfunctie
Vierdegraadsfunctie
Bij vierdegraadsfuncties is er nog meer variatie dan bij derdegraadsfuncties. Dat laten we zien aan de hand van \(\small y=x^4-4\), \(\small y=x^4-4x\), \(\small y=x^4-4x^2\) en \(\small y=x^4-4x^3\). Bij elk van deze functies is een tabel gemaakt.
De kleinste \(\small y\)-waarde die een functie \(\small f\) (op een \(\small x\)-interval) aanneemt, is het minimum van \(\small f\) (op dat interval).
De grootste \(\small y\)-waarde die een functie \(\small f\) (op een \(\small x\)-interval) aanneemt, is het maximum van \(\small f\) (op dat interval).
Minimum
Niet het minimum
Twee horizontale raaklijnen
Tweede afgeleide
In een buigpunt van de grafiek van een functie \(\small f\) bij \(\small x=p\) is de helling maximaal of minimaal. Dat betekent dat de afgeleide van de hellingfunctie \(\small f'(x)\) bij \(\small x=p\) helling nul heeft.
Ofwel: er moet dan gelden \(\small (f'(x))'=0\),
ofwel in handigere notatie: \(\small f''(p)=0\).
We kunnen de coördinaten van een buigpunt dus berekenen door de hellingfunctie \(\small f'(x)\) nogmaals te differentiëren en gelijk aan nul te stellen.
De functie \(\small f''(x)\) heet de tweede afgeleide van de functie \(\small f(x)\).
Opmerking
Let op! Er geldt wél: buigpunt bij \(\small x=p \rightarrow f''(p)=0\).
Maar niet per se geldt ook het omgekeerde: het kan zijn dat voor een bepaalde waarde van \(\small p\) geldt dat \(\small f''(p)=0\), maar dat er toch geen buigpunt is bij \(\small x=p\).
We zullen in de volgende opgave zo'n geval tegenkomen.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'. Het onderwerp van deze les is: veeltermfuncties.
In deze paragraaf bekijken we de afgeleiden van veeltermfuncties. Ook bekijken we buigpunten van de grafieken en stellen we formules op bij de bijbehorende buigraaklijnen. Je kunt uitspraken doen over het stijgen of dalen van de grafiek met behulp van zijn afgeleide en uitspraken doen over zijn minimale/maximale helling met behulp van de buigpunten. Buigpunten kun je niet met de afgeleide bepalen; hiervoor maak je in deze paragraaf kennis met de tweede afgeleide.
Je zult ook minima en maxima van een functie berekenen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, functie, havo 4, maxima, minima, stercollectie, veeltermfunctie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Differentiëren'. Het onderwerp van deze les is: veeltermfuncties.
In deze paragraaf bekijken we de afgeleiden van veeltermfuncties. Ook bekijken we buigpunten van de grafieken en stellen we formules op bij de bijbehorende buigraaklijnen. Je kunt uitspraken doen over het stijgen of dalen van de grafiek met behulp van zijn afgeleide en uitspraken doen over zijn minimale/maximale helling met behulp van de buigpunten. Buigpunten kun je niet met de afgeleide bepalen; hiervoor maak je in deze paragraaf kennis met de tweede afgeleide.
Je zult ook minima en maxima van een functie berekenen.
