In deze paragraaf ga je aan de slag met een aantal handige trucjes die je kunt gebruiken om vergelijkingen met breuken erin op te lossen, bijvoorbeeld kruislings vermenigvuldigen.
Verder leer je dat niet alle oplossingen van een vergelijking persé goed zijn: er zijn bepaalde eisen waaraan voldaan moet worden.
Ook ga je vergelijkingen met hogere machten dan \(\small 2\) bekijken, en leer je dit op te lossen door substitutie of door een deel buiten haakjes te halen.
Opgaven
Kruislings vermenigvuldigen
Als je twee repen chocolade met drie man deelt, krijgt elk \(\small {2 \over 3}\) reep, dus \(\small {2 \over 3} \cdot 3=2\).
Als je een breuk met de noemer vermenigvuldigt, krijg je de teller.
Dus:
\(\small {17 \over \text{-}3}\cdot \text{-}3=17\)
\(\small {7 \over x+1}\cdot (x+1)=7\)
Rechthoek
Voorbeeld
We lossen de volgende vergelijking op:
\(\small {x+1 \over x}\)
\(\small =\)
\(\small {x \over x+2}\)
MAAL \(\small x\)
MAAL \(\small (x+2)\)
HAAKJES WEG
MIN \(\small x^2\) en MIN \(\small 2\)
DELEN DOOR \(\small 3\)
\(\small x+1\)
\(\small =\)
\(\small {x^2 \over x+2}\)
\(\small (x+1)(x+2)\)
\(\small =\)
\(\small x^2\)
\(\small x^2+3x+2\)
\(\small =\)
\(\small x^2\)
\(\small 3x\)
\(\small =\)
\(\small \text{-}2\)
\(\small x\)
\(\small =\)
\(\small \text{-}{2 \over 3}\)
Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met \(\small x\) vermenigvuldigd en daarna met \(\small x+2\). Het gaat sneller, als je in één keer zowel met \(\small x\) als met \(\small x+2\), dus met \(\small x(x+2)\) vermenigvuldigt:
\(\small {x+1 \over x}\)
\(\small =\)
\(\small {x \over x+2}\)
MAAL \(\small x(x+2)\)
\(\small (x+1)(x+2)\)
\(\small =\)
\(\small x^2\)
Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.
Als \(\small {a \over b}={c \over d}\) dan \(\small ad=bc\).
Dit zie je in door van de linker gelijkheid beide kanten met \(\small bd\) te vermenigvuldigen.
Een andere manier om dit in te zien, zie je in de volgende opgave.
Vergelijkingen oplossen
Het kruislings vermenigvuldigen kun je goed gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen:
\({x+1 \over x}\)
\(\small =\)
\({x \over x+2}\)
KRUISLINGS VERMENIGVULDIGEN
\(\small (x+1)(x+2)\)
\(\small =\)
\(\small x^2\)
Het is altijd verstandig om de oplossingen die je gevonden hebt te controleren door in te vullen.
Dat is in sommige gevallen niet eenvoudig, zoals bij de vergelijking in b van de vorige opgave.
Regel voor de noemer
Noemers mogen niet \(\small 0\) zijn. (Delen door nul is 'flauwekul'.)
Door kruislings te vermenigvuldigen werk je noemers weg.
De vergelijking na kruislings vermenigvuldigen kan getallen als oplossing hebben waarvoor de oorspronkelijke vergelijking geen betekenis heeft. Je moet dus altijd controleren of je gevonden oplossingen goed zijn.
Ga bij gebroken vergelijkingen daarom na welke getallen een noemer \(\small 0\) maken. Voor dergelijke getallen heeft de vergelijking geen betekenis.
Vergelijking zonder betekenis
Driehoek
Vergelijkingen met andere machten
Sommige vergelijkingen zien er niet direct uit als kwadratische vergelijkingen, maar kunnen met een extra stap met kwadratische vergelijkingen worden opgelost.
De volgende voorbeelden laten dit zien.
Voorbeeld 1: buiten haakjes halen
\(\small x^3+2x^2-3x=0\)
\(\small x\) BUITEN HAAKJES HALEN
\(\small a⋅b=0 → a=0\) OF \(\small b=0\)
TWEEDE DEEL ONTBINDEN
\(\small x(x^2+2x-3)=0\)
\(\small x=0\) of \(\small x^2+2x-3=0\)
\(\small x=0\) of \(\small (x+3)(x-1)=0\)
\(\small x=0\) of \(\small x=\text{-}3\) of \(\small x=1\)
Voorbeeld 2: substitutie (ofwel 'vervanging')
\(\small x^4+2x^2-3=0\)
NOEM \(\small p=x^2\)
ONTBINDEN
\(\small p^2+2p-3=0\)
\(\small (p+3)(p-1)=0\)
\(\small p=\text{-}3\) of \(\small p=1\)
TERUGZETTEN \(\small p=x^2\)
\(\small x^2=\text{-}3\) of \(\small x^2=1\)
(linker deel kan niet) \(\small x=\text{-}1\) of \(\small x=1\)
Het arrangement Nog meer vergelijkingen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'. Het onderwerp van deze les is: nog meer vergelijkingen.
In deze paragraaf ga je aan de slag met een aantal handige trucjes die je kunt gebruiken om vergelijkingen met breuken erin op te lossen, bijvoorbeeld kruislings vermenigvuldigen.
Verder leer je dat niet alle oplossingen van een vergelijking persé goed zijn: er zijn bepaalde eisen waaraan voldaan moet worden.
Ook ga je vergelijkingen met hogere machten dan 2
bekijken, en leer je dit op te lossen door substitutie of door een deel buiten haakjes te halen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, haakjes, havo 4, machten, stercollectie, substitutie, vergelijking, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'. Het onderwerp van deze les is: nog meer vergelijkingen.
In deze paragraaf ga je aan de slag met een aantal handige trucjes die je kunt gebruiken om vergelijkingen met breuken erin op te lossen, bijvoorbeeld kruislings vermenigvuldigen.
Verder leer je dat niet alle oplossingen van een vergelijking persé goed zijn: er zijn bepaalde eisen waaraan voldaan moet worden.
Ook ga je vergelijkingen met hogere machten dan 2
bekijken, en leer je dit op te lossen door substitutie of door een deel buiten haakjes te halen.
Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met 
