De sinusregel

De sinusregel

De sinusregel

Wat ga ik leren?

Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je kunt de driehoek tekenen en de zijden die je nog niet kent opmeten.
​Je kunt ze ook berekenen, dat gaat met de sinusregel. Daarover gaat deze paragraaf.

Opgaven

Monumentale boom

De oppervlakte van een parallellogram

Plank

Parallellogram

De zijden van een parallellogram zijn \(\small a\) en \(\small b\). Een van de hoeken van het parallellogram is \(\small \alpha\).
Dan is de oppervlakte van het parallellogram: \(\small a \cdot b \cdot \text{sin}(\alpha)\).

 

Oppervlakte en hoeken

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

In \(\small \text{figuur 1}\) hieronder staat een parallellogram met zijden \(\small 8\) en \(\small 4\). Eén van de hoeken is \(\small 150°\).

Vraag

Bereken de oppervlakte van het parallellogram in \(\small \text{figuur 1}\) exact.

Oplossing

De oppervlakte van het parallellogram is: \(\small 4 \cdot 8 \cdot \text{sin}(150°)=4 \cdot 8 \cdot {1 \over 2}=16\).

  

\(\small \text{figuur 1}\)   \(\small \text{figuur 2}\)


Voorbeeld:

Het parallellogram in \(\small \text{figuur 2}\) heeft zijden \(\small 5\) en \(\small 8\).
De oppervlakte van het parallellogram is \(\small 32\).

Vraag

Bereken de hoeken van het parallellogram in één decimaal.

Oplossing

Noem één van de scherpe hoeken van het parallellogram \(\small \alpha\).
Dan geldt: \(\small 8 \cdot 5 \cdot \text{sin}(\alpha)=32\), dus \(\small \text{sin}(\alpha)=0\text{,}8\), dus \(\small \alpha =\text{sin}^\text{-1}(0\text{,}8) \approx 53\text{,}1°\).
Dus twee hoeken zijn \(\small 53\text{,}1°\) en twee hoeken zijn \(\small 126\text{,}9°\).

 

Sterren

De oppervlakte van een driehoek

Afspraak

In driehoek \(\small ABC\) noemen we

de grootte

van hoek \(\small A\)

\(\small \alpha\)

 

van hoek \(\small B\)

\(\small \beta\)

 

van hoek \(\small C\)

\(\small \gamma\)

de lengte

van zijde \(\small AB\)

\(\small c\)

 

van zijde \(\small AC\)

\(\small b\)

 

van zijde \(\small BC\)

\(\small a\)

Merk op dat:
de zijde met lengte \(\small a\) tegenover hoek \(\small A\) ligt,
de zijde met lengte \(\small b\) tegenover hoek \(\small B\) en
de zijde met lengte \(\small c\) tegenover hoek \(\small C\).

 

Oppervlakte driehoek

Oppervlakte ABC

De oppervlakte van driehoek \(\small ABC =\) \(\small {1 \over 2} \cdot a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma)\)
  \(\small {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)\)
  \(\small {1 \over 2} \cdot a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Zie \(\small\text{figuur 1}\) hieronder.

Vraag

Bereken de oppervlakte van driehoek \(\small ABC\) exact.

Oplossing

De oppervlakte driehoek \(\small ABC\) is \(\small {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)={1 \over 2}\cdot 3 \cdot 4 \cdot \text{sin}(30°)={1 \over 2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot {1 \over 2}=3\).

 

 
\(\small\text{figuur 1}\) \(\small\text{figuur 2}\)


Voorbeeld:

Zie \(\small\text{figuur 2}\).
Het latje \(\small SX\) van lengte \(\small 5\text{,}0\) zit scharnierend aan latje \(\small AS\) van lengte \(\small 3\text{,}7\) vast. Tussen \(\small A\) en \(\small X\) is een elastiekje gespannen. Als je hoek \(\small ASX\) groter maakt, wordt de oppervlakte van driehoek \(\small ASX\) eerst groter en als de hoek stomp wordt, weer kleiner.

Vraag

Bereken hoek \(\small ASX\) in graden nauwkeurig als de oppervlakte van driehoek \(\small ASX\) gelijk is aan \(\small 3\text{,}9\) (er zijn twee oplossingen).

Oplossing

Er geldt: \(\small {1 \over 2} \cdot 5\text{,}0 \cdot 3\text{,}7 \cdot \text{sin}(\angle ASX)=3\text{,}9\), dus \(\small \text{sin}(\angle ASX)=0\text{,}42\ldots\).
\(\small \text{sin}^\text{-1}(0\text{,}42 \ldots) \approx 25°\), dus als hoek \(\small ASX\) scherp is, dan \(\small \angle ASX = 25°\) en als hoek \(\small ASX\) stomp is, dan \(\small \angle ASX = 155°\).

Hoek A

Gelijkvormige driehoeken

Scherphoekige driehoek

Regelmatige vijfhoek

Sinusregel

Uit de regel voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek die we hadden gezien volgt:
\(\small {1 \over 2} \cdot a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma) = {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha) = {1 \over 2} \cdot a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)\).
Vermenigvuldig de regel hierboven met \(\small 2\) en deel daarna door \(\small a \cdot b \cdot c\).
Dan krijg je het volgende.

Sinusregel


\({\text{sin}(\alpha) \over a}= {\text{sin}(\beta) \over b}= {\text{sin}(\gamma) \over c}\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

Zie \(\small \text{figuur 1}\) hieronder.

Vraag

Bereken \(\small AC\) in twee decimalen.

Oplossing

Er geldt: \(\small {\text{sin}(20°) \over AC}={\text{sin}(25°) \over 27}\) , dus \(\small AC={27 \cdot \text{sin}(20°) \over \text{sin}(25°)} \approx21\text{,}85\).

 

 
\(\small \text{figuur 1}\) \(\small \text{figuur 2}\)


Voorbeeld:

Zie \(\small \text{figuur 2}\).

Vraag

Bereken de lengte van de zijden van de driehoek tegenover de hoeken van \(\small 55°\) en \(\small 40°\) in twee decimalen nauwkeurig.

Oplossing

We noemen de hoekpunten van de driehoek \(\small A\), \(\small B\) en \(\small C\), met \(\small A\) linksonder en \(\small B\) rechtsonder.
Dan geldt volgens de sinusregel:
\({a \over \text{sin}(55°)}={b \over \text{sin}(40°)}={10 \over \text{sin}(85°)}\)
Dus: \(\small a={10 \over \text{sin}(85°)}\cdot \text{sin}(55°) \approx 8\text{,}22\)
en \(\small b={10 \over \text{sin}(85°)} \cdot \text{sin}(40°) \approx 6\text{,}45\).

 

Vijf figuren

 

 

 Opmerking:

Bekijk nog eens driehoek \(\small NOP\) in de vorige opgave.
Je vindt \(\small \text{sin}(\angle NOP)={4 \over 5}\). De rekenmachine geeft een scherpe hoek van ongeveer \(\small 53°\) bij een hoek waarvan de sinus \(\small {4 \over 5}\) is. In dit geval moet je een stompe hoek hebben, dus \(\small \angle NOP=127°\), want \(\small \text{sin}(\alpha)=\text{sin}(180°- \alpha)\).
Een hoek ligt dus niet vast door zijn sinus!

 

Landmeter

 

 

In de praktijk

Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op \(\small 0\text{,}0001°\) nauwkeurig!).
Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is. Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigonometrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γόνυ (gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode kun je alleen in de “lagere geodesie” gebruiken, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, heb je bijvoorbeeld in opgave 'Monumentale boom' gezien. In de volgende opgave zie je weer een voorbeeld van deze werkzijze.

De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO 2007-5

Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave.

 

Rechthoekige driehoek

Stomp en scherp

  • Het arrangement De sinusregel is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-06-27 16:57:55
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'. Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent. Je kunt de driehoek tekenen en de zijden die je nog niet kent opmeten. ​Je kunt ze ook berekenen, dat gaat met de sinusregel. Daarover gaat deze paragraaf.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur en 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, driehoek, havo 4, sinusregel, stercollectie, wiskunde b

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2021).

    De stelling van Pythagoras

    https://maken.wikiwijs.nl/155024/De_stelling_van_Pythagoras

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van