Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je kunt de driehoek tekenen en de zijden die je nog niet kent opmeten.
Je kunt ze ook berekenen, dat gaat met de sinusregel. Daarover gaat deze paragraaf.
Opgaven
Monumentale boom
De oppervlakte van een parallellogram
Plank
Parallellogram
De zijden van een parallellogram zijn \(\small a\) en \(\small b\). Een van de hoeken van het parallellogram is \(\small \alpha\).
Dan is de oppervlakte van het parallellogram: \(\small a \cdot b \cdot \text{sin}(\alpha)\).
Oppervlakte en hoeken
Voorbeeld:
In \(\small \text{figuur 1}\) hieronder staat een parallellogram met zijden \(\small 8\) en \(\small 4\). Eén van de hoeken is \(\small 150°\).
Vraag
Bereken de oppervlakte van het parallellogram in \(\small \text{figuur 1}\) exact.
Oplossing
De oppervlakte van het parallellogram is: \(\small 4 \cdot 8 \cdot \text{sin}(150°)=4 \cdot 8 \cdot {1 \over 2}=16\).
\(\small \text{figuur 1}\)
\(\small \text{figuur 2}\)
Voorbeeld:
Het parallellogram in \(\small \text{figuur 2}\) heeft zijden \(\small 5\) en \(\small 8\).
De oppervlakte van het parallellogram is \(\small 32\).
Vraag
Bereken de hoeken van het parallellogram in één decimaal.
Oplossing
Noem één van de scherpe hoeken van het parallellogram \(\small \alpha\).
Dan geldt: \(\small 8 \cdot 5 \cdot \text{sin}(\alpha)=32\), dus \(\small \text{sin}(\alpha)=0\text{,}8\), dus \(\small \alpha =\text{sin}^\text{-1}(0\text{,}8) \approx 53\text{,}1°\).
Dus twee hoeken zijn \(\small 53\text{,}1°\) en twee hoeken zijn \(\small 126\text{,}9°\).
Sterren
De oppervlakte van een driehoek
Afspraak
In driehoek \(\small ABC\) noemen we
de grootte
van hoek \(\small A\)
\(\small \alpha\)
van hoek \(\small B\)
\(\small \beta\)
van hoek \(\small C\)
\(\small \gamma\)
de lengte
van zijde \(\small AB\)
\(\small c\)
van zijde \(\small AC\)
\(\small b\)
van zijde \(\small BC\)
\(\small a\)
Merk op dat:
de zijde met lengte \(\small a\) tegenover hoek \(\small A\) ligt,
de zijde met lengte \(\small b\) tegenover hoek \(\small B\) en
de zijde met lengte \(\small c\) tegenover hoek \(\small C\).
Oppervlakte driehoek
Oppervlakte ABC
De oppervlakte van driehoek \(\small ABC =\)
\(\small {1 \over 2} \cdot a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma)\)
\(\small {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)\)
\(\small {1 \over 2} \cdot a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)\)
Voorbeeld:
Zie \(\small\text{figuur 1}\) hieronder.
Vraag
Bereken de oppervlakte van driehoek \(\small ABC\) exact.
Oplossing
De oppervlakte driehoek \(\small ABC\) is \(\small {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)={1 \over 2}\cdot 3 \cdot 4 \cdot \text{sin}(30°)={1 \over 2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot {1 \over 2}=3\).
\(\small\text{figuur 1}\)
\(\small\text{figuur 2}\)
Voorbeeld:
Zie \(\small\text{figuur 2}\).
Het latje \(\small SX\) van lengte \(\small 5\text{,}0\) zit scharnierend aan latje \(\small AS\) van lengte \(\small 3\text{,}7\) vast. Tussen \(\small A\) en \(\small X\) is een elastiekje gespannen. Als je hoek \(\small ASX\) groter maakt, wordt de oppervlakte van driehoek \(\small ASX\) eerst groter en als de hoek stomp wordt, weer kleiner.
Vraag
Bereken hoek \(\small ASX\) in graden nauwkeurig als de oppervlakte van driehoek \(\small ASX\) gelijk is aan \(\small 3\text{,}9\) (er zijn twee oplossingen).
Oplossing
Er geldt: \(\small {1 \over 2} \cdot 5\text{,}0 \cdot 3\text{,}7 \cdot \text{sin}(\angle ASX)=3\text{,}9\), dus \(\small \text{sin}(\angle ASX)=0\text{,}42\ldots\). \(\small \text{sin}^\text{-1}(0\text{,}42 \ldots) \approx 25°\), dus als hoek \(\small ASX\) scherp is, dan \(\small \angle ASX = 25°\) en als hoek \(\small ASX\) stomp is, dan \(\small \angle ASX = 155°\).
Hoek A
Gelijkvormige driehoeken
Scherphoekige driehoek
Regelmatige vijfhoek
Sinusregel
Uit de regel voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek die we hadden gezien volgt: \(\small {1 \over 2} \cdot a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma) = {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha) = {1 \over 2} \cdot a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)\).
Vermenigvuldig de regel hierboven met \(\small 2\) en deel daarna door \(\small a \cdot b \cdot c\).
Dan krijg je het volgende.
Er geldt: \(\small {\text{sin}(20°) \over AC}={\text{sin}(25°) \over 27}\) , dus \(\small AC={27 \cdot \text{sin}(20°) \over \text{sin}(25°)} \approx21\text{,}85\).
\(\small \text{figuur 1}\)
\(\small \text{figuur 2}\)
Voorbeeld:
Zie \(\small \text{figuur 2}\).
Vraag
Bereken de lengte van de zijden van de driehoek tegenover de hoeken van \(\small 55°\) en \(\small 40°\) in twee decimalen nauwkeurig.
Oplossing
We noemen de hoekpunten van de driehoek \(\small A\), \(\small B\) en \(\small C\), met \(\small A\) linksonder en \(\small B\) rechtsonder.
Dan geldt volgens de sinusregel: \({a \over \text{sin}(55°)}={b \over \text{sin}(40°)}={10 \over \text{sin}(85°)}\)
Dus: \(\small a={10 \over \text{sin}(85°)}\cdot \text{sin}(55°) \approx 8\text{,}22\)
en \(\small b={10 \over \text{sin}(85°)} \cdot \text{sin}(40°) \approx 6\text{,}45\).
Vijf figuren
Opmerking:
Bekijk nog eens driehoek \(\small NOP\) in de vorige opgave.
Je vindt \(\small \text{sin}(\angle NOP)={4 \over 5}\). De rekenmachine geeft een scherpe hoek van ongeveer \(\small 53°\) bij een hoek waarvan de sinus \(\small {4 \over 5}\) is. In dit geval moet je een stompe hoek hebben, dus \(\small \angle NOP=127°\), want \(\small \text{sin}(\alpha)=\text{sin}(180°- \alpha)\).
Een hoek ligt dus niet vast door zijn sinus!
Landmeter
In de praktijk
Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op \(\small 0\text{,}0001°\) nauwkeurig!).
Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is. Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigonometrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γόνυ (gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode kun je alleen in de “lagere geodesie” gebruiken, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, heb je bijvoorbeeld in opgave 'Monumentale boom' gezien. In de volgende opgave zie je weer een voorbeeld van deze werkzijze.
De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO 2007-5
Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je kunt de driehoek tekenen en de zijden die je nog niet kent opmeten.
Je kunt ze ook berekenen, dat gaat met de sinusregel. Daarover gaat deze paragraaf.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, driehoek, havo 4, sinusregel, stercollectie, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
Je kunt de driehoek tekenen en de zijden die je nog niet kent opmeten.
Je kunt ze ook berekenen, dat gaat met de sinusregel. Daarover gaat deze paragraaf.
Een driehoek ligt vast als je twee hoeken en een zijde van de driehoek kent.
In driehoek 
De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde.
