De sinus, cosinus en tangens kennen we al van rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken.
Waarschijnlijk ken je nog wel de ezelsbruggetjes SOS, CAS en TOA.
Je kunt er lengtes mee berekenen die nog onbekend zijn.
Andersom kun je er ook hoeken mee berekenen wanneer je twee lengtes gegeven hebt.
In deze paragraaf gaan we de kennis die je al hebt herhalen en vervolgens uitbreiden met de sinus en cosinus van stompe hoeken.
Je zal zien dat er bepaalde figuren zijn waarin de sinus en cosinus gemakkelijk berekend wordt.
Verder zijn er regels voor sommige hoeken, zoals bijvoorbeeld voor \(\small 90°\) en \(\small 180°\).
Ook blijkt er een verband te zijn tussen de sinus van een scherpe hoek en die van een stompe hoek, en net zo bij de cosinus.
Je maakt ook kennis met de koershoek.
Opgaven
Driehoek
Herhaling
Sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek, zeg \(\small \alpha\), hebben we als volgt gedefinieerd.
Maak een rechthoekige driehoek waarvan één van de hoeken de scherpe hoek \(\small \alpha\) is.
De rechthoekszijde tegenover de hoek \(\small \alpha\) noemen we \(\small a\).
De rechthoekszijde waar \(\small \alpha\) aanligt, noemen we \(\small b\). De schuine zijde noemen we \(\small c\).
Dan \(\small \text{sin}(\alpha) = {a \over c}\) , \(\small \text{cos}(\alpha) = {b \over c}\) en \(\small \text{tan}(\alpha) = {a \over b}\).
Welke rechthoekige driehoek je bij \(\small \alpha\) maakt doet er niet toe.
Driepuntslijn
Opmerking:
\(\small A\) en \(\small B\) zijn punten op een cirkel met straal \(\small r\) en middelpunt \(\small M\). Neem aan: \(\small \angle AMB= \alpha \text{ graden}\).
Dan is de lengte van boog \(\small AB\) gelijk aan: \(\small {\alpha \over 360} \cdot 2\pi r\).
Rechthoekige driehoek
Meestal gebruik je sinus en cosinus in de volgende vorm:
\(\small a = c \cdot \text{sin}(\alpha)\)
en
\(\small b = c \cdot \text{cos}(\alpha)\)
Driehoek en een cirkel
Koershoek
Sinus, cosinus en tangens zijn alleen gedefinieerd voor scherpe hoeken (tussen \(\small 0\) en \(\small 90\text{ graden}\)).
In het volgende zullen we deze ook definiëren voor stompe hoeken (tussen \(\small 90\) en \(\small 180\text{ graden}\)).
Opmerking:
Voorlopig gebruiken we de sinus en cosinus voor hoeken in driehoeken, dus voor hoeken tussen \(\small 0\) en \(\small 180\) graden.
Wat is alpha?
Afspraak \(\small\text{cos(stompe hoek)}\) en \(\small\text{sin(stompe hoek)}\)
\(\small \text{cos}(90°)=0\) en \(\small \text{sin}(90°)=1\),
\(\small\text{cos}(180°)=\text{-}1\) en \(\small \text{sin}(180°)=0\).
Met de GR
Sinus en cosinus in speciale gevallen
Sinus en cosinus van een gegeven hoek kun je met je rekenmachine vinden.
In speciale gevallen hebben kun je ze ook exact berekenen.
Dat doen we in de volgende opgaven.
Regelmatige driehoek
Met de vorige twee opgaven kun je de volgende tabel maken:
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
De sinus, cosinus en tangens kennen we al van rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken.
Waarschijnlijk ken je nog wel de ezelsbruggetjes SOS, CAS en TOA.
Je kunt er lengtes mee berekenen die nog onbekend zijn.
Andersom kun je er ook hoeken mee berekenen wanneer je twee lengtes gegeven hebt.
In deze paragraaf gaan we de kennis die je al hebt herhalen en vervolgens uitbreiden met de sinus en cosinus van stompe hoeken.
Je zal zien dat er bepaalde figuren zijn waarin de sinus en cosinus gemakkelijk berekend wordt.
Verder zijn er regels voor sommige hoeken, zoals bijvoorbeeld voor 90°
en 180°
.
Ook blijkt er een verband te zijn tussen de sinus van een scherpe hoek en die van een stompe hoek, en net zo bij de cosinus.
Je maakt ook kennis met de koershoek.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, cosinus, havo 4, koershoek, sinus, stercollectie, stompe hoek, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Berekeningen in een driehoek'.
De sinus, cosinus en tangens kennen we al van rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken.
Waarschijnlijk ken je nog wel de ezelsbruggetjes SOS, CAS en TOA.
Je kunt er lengtes mee berekenen die nog onbekend zijn.
Andersom kun je er ook hoeken mee berekenen wanneer je twee lengtes gegeven hebt.
In deze paragraaf gaan we de kennis die je al hebt herhalen en vervolgens uitbreiden met de sinus en cosinus van stompe hoeken.
Je zal zien dat er bepaalde figuren zijn waarin de sinus en cosinus gemakkelijk berekend wordt.
Verder zijn er regels voor sommige hoeken, zoals bijvoorbeeld voor 90°
en 180°
.
Ook blijkt er een verband te zijn tussen de sinus van een scherpe hoek en die van een stompe hoek, en net zo bij de cosinus.
Je maakt ook kennis met de koershoek.
De sinus, cosinus en tangens kennen we al van rechthoekige driehoeken met scherpe hoeken.
