In deze paragraaf ga je aan het werk met roosters om routes of patronen
te maken. Eerst leer je door middel van plattegrond een aantal mogelijke
en kortste routes bepalen. Daarna maak je kennis met de 'Driehoek van
Pascal'. Hiermee kun je zowel routes als patronen bepalen. Tot slot leer je
het aantal kortste routes noteren door middel van het combinatiegetal.
Dit leer je ook uitrekenen op je rekenmachine.
Opgaven
Wandelingen Amerikaanse steden
Routes naar kruispunt
Bij het tellen van het aantal routes raak je makkelijk in de knoop. Daarom is het
handig om bij elk ‘tussenpunt’ het aantal routes naar dat punt te schrijven.
Kortste routes plattegrond
Je hebt nu een principe ontdekt waarmee je aantallen kortste routes in een
rooster kunt uitrekenen.
Noteer het getal 1 bij elk punt in het rooster dat op maar één manier
te bereiken is.
Gebruik vervolgens de optelmethode om het aantal routes naar de
overige roosterpunten te bepalen.
Wandelingen Randy Walker
Scoreverloop wedstrijd
Het is niet toevallig dat een scoreverloop kan worden weergegeven als
route in een rooster. Er zijn bij elk doelpunt maar twee mogelijkheden:
Ajax scoort òf PEC scoort. Net zoals je bij elk punt in een rooster steeds
twee mogelijkheden hebt: naar boven òf naar rechts.
Het scoreverloop kan worden voorgesteld door een rijtje van tien letters,
bijvoorbeeld: \(\small AAPAAPPAAP\). Je kunt alle mogelijke scoreverlopen bij de
einduitslag \(\small 6\text{-}4\) vinden door alle rijtjes van zes letters \(\small A\) en vier letters \(\small P\)
op te schrijven. Wanneer je dat systematisch doet (en je beschikt over
voldoende tijd), dan zul je de \(\small 210\) mogelijkheden wel vinden. Met de
optelmethode vind je het antwoord veel sneller!
Driehoek van Pascal
Veel telproblemen kunnen worden opgelost met behulp van het onderstaande
getallenpatroon: de driehoek van Pascal. Elk getal (\(\small ≠1\)) is de som van zijn twee
bovenburen.
Het getallenpatroon is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige Blaise
Pascal. Het werd onder zijn naam in 1665 (postuum) gepubliceerd.
Pascal was overigens niet de eerste wiskundige die de tabel ontdekte en gebruikte.
In een Chinees wiskundeboek, van de schrijvers Ssu Yuan Yu en Chuh Shih Chieh,
uit het jaar 1303, is de tabel al te vinden. En dat de tabel nog veel ouder is, blijkt
uit het feit dat hij in het Chinese boek ‘de antieke tabel’ wordt genoemd.
Blaise Pascal
(1623-1662)
Plattegrond driehoek van Pascal
Kortste routes driehoek van Pascal
Rekenen met rekenmachine
Als je met behulp van de driehoek van Pascal het aantal kortste routes van \(\small (0\text{,}0)\)
naar \(\small (14\text{,}6)\) wilt bepalen, moet je de driehoek aanvullen tot en met de \(\small 20^\text{e}\) rij.
Dat is een heel karwei. Dit getal kun je gelukkig ook eenvoudig op je (grafische)
rekenmachine berekenen met de optie \(\small n\text{C}r\).
De rekenmachine geeft \(\small 20 \space n\text{C}r \space 6=38.760\).
Of korter opgeschreven: \(\small 20\text{C}6=38.760\).
De \(\small 20\) staat voor het totaal aantal stappen van \(\small (0\text{,}0)\) naar \(\small (14\text{,}6)\) en de \(\small 6\) staat
voor het aantal stappen dat je naar boven gaat.
Het aantal kortste routes van \(\small (0\text{,}0)\) naar \(\small (14\text{,}6)\) noteren we met het combinatiegetal \(\small \begin{pmatrix} 20 \\ 6 \end{pmatrix}\); spreek uit: twintig boven zes.
(Je mag ook de notatie \(\small 20\text{C}6\) gebruiken.)
Kortste routes
Allerlei situaties waarbij steeds een keus gemaakt moet worden uit twee
mogelijkheden, kunnen worden beschreven door rijtjes waarin twee symbolen
voorkomen. Elk van die rijtjes is weer te geven als route in een rooster. Met
de driehoek van Pascal kun je het aantal routes bepalen.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
In deze paragraaf ga je aan het werk met roosters om routes of patronen
