Je leert in deze paragraaf hoe je rijtjes kunt rangschikken (ook wel: een permutatie).
Ook ontdek je wat een faculteit van een getal is en wat je daarmee kunt uitrekenen.
Tot slot ga je leren wat wat een geordende greepmet of zonder herhaling is en hoe
je daarmee het aantal rangschikken berekent.
Opgaven
Schouwburg bezoek
Groei faculteitsgetallen
Vijf vriendinnen (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op \(5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\) manieren in volgorde zetten. Elke rangschikking,
elk rijtje-van-vijf, noemen we een permutatie van vijf elementen.
Voor het product \(5⋅4⋅3⋅2⋅1\) bestaat een afkorting: \(\small 5!\).
Dit spreek je uit als \(\small 5\) faculteit. (Het uitroepteken is hier dus een nieuw rekensymbool en
heeft niets met opwinding te maken.)
Er geldt \(5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\).
Hieronder staan de uitkomsten van \(\small x!\) voor \(\small x=1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\).
\(\small 1!=1\)
\(\small 2!=2\)
\(\small 3!=6\)
\(\small 4!=24\)
\(\small 5!=120\)
Precieze uitkomst
Steeds als je een aantal verschillende elementen moet rangschikken (op een rij
moet zetten), kun je op je rekenmachine de knop \(x!\) gebruiken.
Met of zonder rekenmachine
Juiste faculteiten
Zes klinkers
Rijtjes die je krijgt op manier 1 heten geordende grepen van \(\small 4\) uit \(\small 6\) zonder
herhaling, of permutaties van \(\small 4\) uit \(\small 6\).
Rijtjes die je krijgt op manier 2 heten geordende grepen van \(\small 4\) uit \(\small 6\) met
herhaling.
Kleurcomposities Mondriaan
Het werk van de Nederlandse kunstschilder Piet Mondriaan (1872-1944) is
wereldberoemd. Zijn composities zijn ogenschijnlijk eenvoudig: horizontale
en verticale lijnen, en een beperkt aantal kleuren.
Een leuk weetje: Mondriaans onvoltooide schilderij Victory Boogie Woogie
werd in 1997 voor 82 miljoen gulden (circa 37 miljoen euro) gekocht
door De Nederlandsche Bank, die met dit gebaar afscheid wilde nemen van
de gulden. Velen waren het niet met de aankoop eens. Ze vonden het schandalig
dat zo’n ongekend hoog bedrag werd betaald voor een schilderij waarop de
papieren plakstroken, die Mondriaan gebruikte om rechte lijnen te maken, nog zaten!
Het werk Victory Boogie Woogie - waaraan Mondriaan tot enkele dagen voor
zijn dood werkte - kun je bezichtigen in het Gemeentemuseum Den Haag.
Aantal permutaties
Bij het maken van een kleurcompositie kiezen we vier vlakdelen (uit de tien): het eerste
vlak kleuren we rood, het tweede blauw, het derde geel en het vierde zwart. De volgorde
is bij dit telprobleem van belang en een vlakdeel kleuren we natuurlijk niet tweemaal
(ofwel: we kiezen zonder herhaling). We spreken dan van een permutatie van \(\small 4\) uit \(\small 10\).
Het aantal kleurcomposities (permutaties) is \(10⋅9⋅8⋅7\).
Permutaties op de GR
Als je het aantal permutaties van \(\small 3\) uit \(\small 7\) wilt bepalen, kun je op je rekenmachine
de optie \(\small n\text{Pr}\) gebruiken.
Er geldt \(\small 7\text{Pr}=7⋅6⋅5=210\).
Aantal rangschikken
Lesroosters
Bij een permutatie van \(\small k\) elementen uit \(\small n\) (of een geordende greep van \(\small k\) uit \(\small n\)
zonder herhaling) is niet alleen de keuze van die elementen, maar ook de
volgorde belangrijk. Het aantal permutaties van \(\small k\) elementen uit \(\small n\) is: \(\small {n! \over (n−k)!}\)
Bij een geordende greep van \(\small k\) uit \(\small n\) met herhaling is het aantal rangschikkingen \(\small n^k\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
