Periodieke bewegingen

Periodieke bewegingen

Periodieke bewegingen

Wat ga ik leren?

Er zijn bewegingen die zich herhalen. Denk aan het rondgaan van de trappers van je fiets, de hoogte van dat stipje op je band, etcetera. Dit soort bewegingen noemen we periodieke bewegingen. Deze beweging heeft een periode, dat is de duur van het 'basispatroon' van de beweging.

In deze paragraaf bekijken we verschillende periodieke bewegingen. Je leert grafieken bij zo'n beweging te tekenen (een zogenaamde sinusoïde), je leert uitspraken doen over de beweging over langere tijd en wanneer zo'n beweging harmonisch genoemd wordt.

Opgaven

Naaisteken

Naaisteken

De naald van een elektrische naaimachine gaat op en neer, terwijl hij ook nog een zijwaartse beweging maakt. Hoe ver de naald vanuit het midden naar links of rechts beweegt, kun je instellen op de naaimachine. Ondertussen schuift de stof onder de naald door. Zodoende ontstaat er een “steek”. Hieronder staan vier voorbeelden.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Het patroon van zo'n steek kan zich in principe eindeloos herhalen. We bekijken twee aspecten van een steek: de hoogte en de lengte.

a Heb je enig idee wat onder de hoogte en lengte van een steek verstaan wordt?

b Teken een zigzagsteek met lengte \(\small 5\text{ mm}\) en hoogte \(\small 4\text{ mm}\) (dat is de maximale hoogte die je kunt instellen).
Teken hem op schaal \(\small 4:1\) (de afmetingen \(\small 4\) keer zo groot als in werkelijkheid).

Rich Text Editor, editor1
 

Waterniveau

Waterniveau

Uit een kraan stroomt continu water in een bak: \(\small 6\text{ liter per minuut}\). Zodra het water het niveau "\(\small 20\text{ liter}\)" bereikt, loopt het weg via de hevel: \(\small 8\text{ liter per minuut}\). Het water gaat dan dus dalen. Dat blijft doorgaan totdat het niveau gezakt is tot het niveau “\(\small 5\text{ liter}\)”. Dan begint het proces weer van voren af aan: Het waterniveau gaat weer stijgen, enzovoort.

a Teken de tijd-waterniveau-grafiek; zet de tijd (in \(\small \text{minuten}\)) horizontaal uit en het waterniveau (in \(\small \text{liters}\)) verticaal. Neem aan dat op tijdstip \(\small 0\) het niveau "\(\small 5\text{ liter}\)" is.

b Om de hoeveel \(\small \text{minuten}\) herhaalt het proces zich?

c Geef de tijdstippen tussen \(\small 0\) en \(\small 30 \text{ minuten}\) waarop het waterniveau "\(\small 17\text{ liter}\)" is.

 

 

Rich Text Editor, editor2
 

Het waterniveau schommelt tussen 5 en 20 liter. Om de 10 minuten gebeurt er weer precies hetzelfde.

De beweging van de waterspiegel is periodiek. Het aantal minuten dat het basispatroon duurt, is de periode van de beweging. De hele beweging kun je opbouwen door steeds weer het basispatroon te herhalen.


De naaipatronen van de eerste opgave zijn ook periodiek.

Kabelbaan

Kabelbaan

Van het grondstation \(\small G\) loopt een kabelbaan naar de top \(\small T\). Voortdurend pendelt er een gondel heen en weer. Een enkele reis duurt \(\small 10\text{ minuten}\); de wachttijden in \(\small G\) en \(\small T\) bedragen elk \(\small 5\text{ minuten}\). \(\small G\) ligt op \(\small 100\text{ meter}\) boven de zeespiegel; \(\small T\) ligt op een hoogte van \(\small 500\text{ meter}\).
De hoogte rekenen we in \(\small \text{meters}\) boven de zeespiegel, de tijd in \(\small \text{minuten}\).

a Teken de tijd-hoogte-grafiek. Neem aan dat de gondel op tijdstip \(\small 0\) uit \(\small G\) vertrekt en gelijkmatig stijgt en daalt.

b Wat is de periode van de beweging?

c Geef de eerste vijf tijdstippen na \(\small 0\) waarop de hoogte \(\small 400\text{ meter}\) is.

d Hoe hoog is de gondel op tijdstip \(\small 1000\)?

De hoogte na \(\small t\text{ minuten}\) noemen we \(\small H(t)\) (\(\small \text{meter}\)). De functie \(\small H\) ken je helemaal als je hem voor de tijdsduur van één periode kent. Een periode valt uiteen in vier stukken: \(\small 10\text{ minuten}\) stijgen, \(\small 5\text{ minuten}\) in \(\small T\) wachten, \(\small 10\text{ minuten}\) dalen, \(\small 5\text{ minuten}\) in \(\small G\) wachten.

e Geef een formule voor \(\small H(t)\)

  • als \(\small 0≤t≤10\);

  • als \(\small 10≤t≤15\);

  • als \(\small 15≤t≤25\);

  • als \(\small 25≤t≤30\).

Rich Text Editor, editor3
 

Nog een gondel

Nog een gondel

Er is nog een tweede gondel, met dezelfde reis- en wachttijden: een enkele reis duurt \(\small 10 \text{ minuten}\), de wachttijden in \(\small G\) en \(\small T\) bedragen elk \(\small 5 \text{ minuten}\). Als de eerste gondel uit \(\small G\) vertrekt, vertrekt de tweede gondel uit \(\small T\).

a Teken in de figuur van opgave "Kabelbaan"a de tijd-hoogte-grafiek van deze tweede gondel.

De tweede gondel maakt precies dezelfde beweging als de eerste, maar dan een vaste tijdsduur later.

b Hoeveel minuten later?

\(\small H_2(t)\) is de hoogte van de tweede gondel op tijdstip \(\small t\).

c Vul in: \(\small H_2(t) = H(\ldots)\).

d Er is een eenvoudige manier om de hoogte van de tweede gondel op een tijdstip uit te rekenen als je de hoogte van de eerste gondel op dat tijdstip kent.

  • Wat is \(\small H_2(t)\) als \(\small H(t)=100\)?

  • Wat is \(\small H_2(t)\) als \(\small H(t)=133\)?

  • Wat is \(\small H_2(t)\) als \(\small H(t)=499\)?


Als je de hoogte \(\small H(t)\) voor een zeker tijdstip kent, ken je de hoogte \(\small H_2(t)\) voor datzelfde tijdstip ook.

e Hoe dan?

Rich Text Editor, editor4
 

Een beweging heet periodiek met periode 30 minuten als:

  • de situatie op elk moment precies dezelfde is als 30 minuten daarvoor,

  • er geen kleinere positieve tijdsduur is dan 30 minuten met deze eigenschap.

 

Periode

Periode

Wat is de periode van de beweging in opgave 'Waterniveau'?

Rich Text Editor, editor5
 

Schat de periode

Schat de periode

 

 

 

 

 

 

 

a Geef de periode van de volgende periodieke "bewegingen". Sommige periodes moet je schatten.

  • De beweging van de aarde om de zon.

  • De menstruatiecyclus van de vrouw.

  • De hartslag van een gezonde mens in rust.

  • Het draaien van de grote wijzer van de klok.

  • Het draaien van de kleine wijzer van de klok.

  • De getijdebewegingen van zeeën en oceanen.

b Weet je nog andere periodieke bewegingen? Denk bijvoorbeeld aan sport, verkeer, ziektes, klimaat, seizoenen. De periodes mogen best een beetje onzeker zijn.

 

Rich Text Editor, editor6
 

Cycloïde

Cycloïde

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Een fiets rijdt. We volgen het ventiel van een van de wielen. Het verplaatst zich in de rijrichting en maakt gelijktijdig een cirkelbeweging. Het ventiel beschrijft een kromme baan: een cycloïde. Hieronder staat (een deel van) de cycloïde die hoort bij een wiel met een diameter van \(\small 80\text{ cm}\). De dikte van de band is verwaarloosd.
Zie de applet cycloïde; kies diameter \(\small 80\text{ cm}\).

a Hoeveel \(\small \text{cm}\) is de periode van de beweging? Geef het antwoord exact (met \(\small \pi\)) en ook in één decimaal nauwkeurig.

We starten met het ventiel op het laagste punt. Als de fiets dan naar rechts gaat, gaat het ventiel omhoog. De horizontale verplaatsing noemen we \(\small x\text{ (cm)}\).

b Voor welke exacte waarden van \(\small x\) tussen \(\small 0\) en \(\small 1000\) is het ventiel onderaan?


c Wat is de eerstvolgende waarde van waarbij het ventiel op dezelfde hoogte is?
Bij \(\small x=50\) is het ventiel ongeveer \(\small 60\text{ cm}\) hoog.

 

Cycloïden kun je tekenen met
een spirograaf.  Alleen wordt dan
de banddikte niet verwaarloosd.

Een ander fietswiel heeft diameter \(\small 40\text{ cm}\). Op tijdstip \(\small 0\) is het ventiel onderaan.
Zie de applet cycloïde; kies daarbij diameter \(\small 40\text{ cm}\).

d Verklaar het resultaat.

e Bepaal met behulp van het antwoord van vraag c hoe hoog ongeveer het ventiel van dit tweede fietswiel is als \(\small x=25\). Controleer je antwoord met de applet.

Rich Text Editor, editor7
 

Pendule

Pendule

De slinger van een pendule maakt een regelmatige beweging. We bekijken de uitwijking van de onderste punt van de slinger uit de evenwichtsstand. We rekenen de uitwijking naar rechts positief, naar links negatief. De maximale uitwijking is \(\small 5\text{ cm}\), de slingertijd is \(\small 4\text{ seconden}\) (zo lang duurt één keer heen en weer). Hieronder staat de grafiek van de uitwijking voor één keer van de uiterste stand rechts naar de uiterste stand links.

 

 

 

 


a Neem de figuur over en teken de grafiek voor de volgende zes seconden.

b Hoeveel keer per dag gaat de slinger door de evenwichtsstand?

Van een half zo lange slinger is de slingertijd \(\small 0\text{,}7\) keer zo groot en is de maximale uitwijking \(\small 0\text{,}5\) keer zo groot.

c Teken in hetzelfde rooster de grafiek van de uitwijking van deze tweede slinger. Laat hem op tijdstip \(\small 0\) in de uiterste stand rechts beginnen.

d Wat is het eerste tijdstip na \(\small 0\) dat beide slingers in de uiterste stand rechts zijn?

Kunstwerk op de Platz am Rathaus te Mainz

Rich Text Editor, editor8
 

Getijkromme

Getijkromme

Hieronder zie je de gemiddelde getijkromme te Vlissingen (boven) en IJmuiden (naar het boekje Getijtafels voor Nederland, 1985).
De waterstand is vermeld in \(\small \text{cm}\) boven NAP, de tijd in \(\small \text{uren}\) (\(\small 6.29\text{ uur} = 6\text{ uur}\) en \(\small 29\text{ minuten}\)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a Wat is de periode van de getijdebeweging van de zee?

b Noem een paar verschillen tussen de twee getijkrommen.

De grafieken "golven" regelmatig om de gemiddelde zeestand. Toch hebben de golven iets onregelmatigs.

c Noem een onregelmatigheid.

Op 7 februari 1985 was het om precies \(\small 03.00\text{ uur}\) 's ochtends hoogwater te Vlissingen.

d Hoe laat zal het hoogwater geweest zijn te Vlissingen op 8 februari 1985? (Twee tijdstippen.)

Rich Text Editor, editor9
 

De golven in de opgave vertonen onregelmatigheden. Een zuiver regelmatige golf krijg je bijvoorbeeld in opgave 'Pendule'. Zo'n regelmatige golf heet een sinusoïde.
Andere voorbeelden van zo'n ideale golf:

  • Aan een stemvorm is een naald bevestigd. De trillende naald wordt met constante snelheid over een met roet zwart gemaakte glasplaat getrokken.

  • Kijk tegen de zijkant van een spiraal aan (bijvoorbeeld een veer, een wenteltrap op een kurkentrekker).

  • Het beeld van het geluid van een stemvork op een oscilloscoop.

  • De spanning in het elektriciteitsnet is een wisselspanning: 50 keer per seconde wisselt de spanning van positief naar negatief.

De naaipatronen van de eerste opgave verlopen niet "gladjes", maar hoekig: de patronen hebben scherpe punten. Als er geen knikken in de grafiek zitten zeggen we (een beetje deftig) dat de beweging "harmonieus" verloopt.

Cirkel

Cirkel

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

We hebben van ijzerdraad een cirkel gebogen. De cirkel hangen we op in een verticaal vlak. De zon beschijnt de cirkel horizontaal van opzij; we vangen zijn schaduw op een verticaal opgesteld scherm op. De schaduw van de ijzerdraad is dus een verticale streep (lijnstuk).

 

 

 

 

 

 

 


De straal van de baan is \(\small 1\text{ dm}\). De schaduw van de baan is dan \(\small 2\text{ dm}\) lang.

Stel je voor dat een kogeltje met een constante snelheid over de cirkel glijdt. De schaduw van het kogeltje glijdt dan op en neer over de streep op het scherm.

a Beweegt de schaduw overal even snel? Op welke plekken gaat de schaduw het langzaamst? Op welke plek het snelst?

We letten op de hoogte van de schaduw ten opzichte van het midden van de streep. Hoogten onder het midden rekenen we negatief.

Iemand tekent de grafiek van de hoogte als functie van de tijd zoals hiernaast staat.
Dat klopt niet wat je bij vraag a hebt opgemerkt.

b Waarom klopt deze grafiek niet? Hoe moet je de grafiek verbeteren?

Met de applet hoogte schaduw kun je het draaien van het kogeltje over de cirkel bekijken; druk op start om de animatie te starten. Je krijgt dan ook de verbeterde grafiek van de vorige vraag te zien als je op grafiek aan/uit klikt.


De snelheid van het kogeltje langs het ijzerdraad is \(\small 1\text{ dm per seconde}\).

c Hoe lang doet de schaduw dan over één volledige beweging op en neer?

 

Rich Text Editor, editor10
 


Als een cirkel met constante snelheid doorlopen wordt, spreekt men van een harmonische beweging.
De grafiek van de hoogte is dan een sinusoïde.

 

Later zal blijken dat het volgende geldt:

  • als de hoogte maximaal is, is de versnelling minimaal,

  • als de hoogte 0 is, is de versnelling ook 0,

  • als de hoogte minimaal is, is de versnelling maximaal.

Algemeen geldt: de versnelling is evenredig met de hoogte; de evenredigheidsconstante is daarbij negatief.
Dit is kenmerkend voor een harmonische beweging.

Harmonische beweging

Harmonische beweging

Welke van de bewegingen die we tot nu toe gezien hebben is (ongeveer) harmonisch?

  • Het waterniveau bij de hevel van opgave 'Waterniveau';

  • De hoogte van de gondel bij de kabelbaan van opgave 'Kabelbaan';

  • De hoogte van het ventiel bij het fietsen van opgave 'Cycloïde';

  • De uitwijking van de slinger van opgave 'Pendule';

  • De waterhoogte bij Vlissingen en IJmuiden van opgave 'Getijkromme'.

Rich Text Editor, editor11
 

 

Uit Van Dale woordenboek:
harmonie (la/gr: harmonia), overeenstemming, eensgezindheid, samenwerking van een aantal zaken tot een welgeordend geheel.
Voorbeeld: het bouwwerk is in harmonie met zijn omgeving.
harmonisch met elkaar in overeenstemming zijn.
Voorbeeld: het vormt een harmonisch geheel.

 

 

  • Het arrangement Periodieke bewegingen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-07-29 14:13:30
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Sinus en cosinus'.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, cosinus, havo 4, sinus, stercollectie, wiskunde b

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (2019).

    Lege paragraaf

    https://maken.wikiwijs.nl/150182/Lege_paragraaf

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van