In het onderzoek gaat het om het evenwijdig verschuiven van lijnstukken.
William Hamilton 1805-1865
De Ierse wiskundige, natuurkundige en astronoom William Hamilton, introduceerde de term vector.
Een verschuiving gaat in een bepaalde richting over een bepaalde afstand. Een pijl is het geschikte middel om zo'n verschuiving weer te geven. Hierbij is de lengte van de pijl de afstand waarover verschoven wordt. Waar die pijl geplaatst wordt, is niet van belang. In het vervolg noemen we een verschuiving een vector.
Latijn: vector is sjouwer, iemand die iets van de ene naar de andere plaats draagt.
Wat kan ik straks?
Als je het hoofdstuk hebt doorgewerkt kun je
vectoren optellen en met een getal vermenigvudigen,
vectoren in twee gegevn richtingen ontbinden,
het zwaartepunt van een gegeven aantal (punt)massa's in het vlak bepalen,
de stelling vanCeva toepassen.
Als er in het platte vlak een coördinatenstelsel wordt aangebracht, kun je
bij een gegeven vector een vector die daar loodrecht op staat, bepalen,
een vectorvoorstelling of een parametervoorstelling van een lijn geven,
overstappen van een vectorvoorstelling op een vergelijking van een lijn en omgekeerd,
het snijpunt van twee lijnen (ook als ze in vectorvoorstelling gegeven zijn) berekenen,
bepalen of twee gegeven vectoren afhankelijk zijn.
Wat kan ik al?
Je kunt
berekeningen uitvoeren met gelijkvormige figuren,
de sinus- en cosinusregel gebruiken voor berekeningen in driehoeken,
een vergelijking van een lijn opstellen,
eigenschappen van speciale vierhoeken toepassen.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
\(\small 0\) is een getal en \(\small \vec 0\) is de vector met lengte \(\small 0\).
\(\small ‐\vec v\) is vector die tegengestelde gericht is aan \(\small \vec v\) en dezelfde lengte heeft als \(\small \vec v\).
Er geldt: \(\small \vec v +‐ \vec v = \vec 0\).
In plaats van \(\small \vec v +‐ \vec w\) schrijven we wel \(\small \vec v - \vec w\).
\(\small \overrightarrow {AB}\) is de vector die het punt \(\small A\) naar het punt \(\small B\) verplaatst.
Er geldt: \(\small \overrightarrow {AB} = \vec b - \vec a\), zie figuur 1.
Als er een oorsprong \(\small O\) is gekozen, noemen we \(\small \overrightarrow {OP} \) de plaatsvector van het punt \(\small P\). In plaats van \(\small \overrightarrow {OP} \) schrijven we ook wel \(\small \overrightarrow {p} \).
We zeggen dat twee vectoren, beide niet \(\small \vec 0\), (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegengestelde richting hebben.
In figuur 2 is de vector \(\small \vec v\)ontbonden in zijn componenten langs de lijnen \(\small a\) en \(\small b\), dat wil zeggen: de twee (unieke) vectoren \(\small \vec a\) evenwijdig aan lijn \(\small a\),en \(\small \vec b\) evenwijdig aan lijn \(\small b\) zijn bepaald zó, dat \(\small \vec v = \vec a + \vec b\).
figuur 1
figuur 2
figuur 3
In figuur 3 is de vector \(\small \overrightarrow {OP} \) in zijn componenten \(\small \vec u\) en \(\small \vec v\) langs de lijnen \(\small OA\) en \(\small OB\) ontbonden.
Als \(\small AP=6\) en \(\small BP=4\), dan volgt uit gelijkvormigheid: \(\small \overrightarrow {OP} = \frac{2}{5} \cdot \overrightarrow {OA} + \frac{3}{5} \cdot \overrightarrow {OB}\).
De lengte van de vector \(\small \vec v\) noteren we met \(\small \left| {\vec v} \right|\).
Het zwaartepunt van massa’s
De massa’s \(\small a_1\), \(\small a_2\), \(\small …\), \(\small a_n\) bevinden zich op de plaatsen \(\small A_1\), \(\small A_2\), \(\small …\), \(\small A_n\). Het zwaartepunt noemen we \(\small Z\).
Dan: \(\small \overrightarrow {OZ} = \frac{{{a_1}}}{a}\overrightarrow {O{A_1}} + \frac{{{a_2}}}{a}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + \frac{{{a_n}}}{a}\overrightarrow {O{A_n}} \).
Hierbij is \(\small a = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\).
Stelling van Ceva
In driehoek \(\small ABC\) liggen punten \(\small D\), \(\small E\) en \(\small F\) op de zijden \(\small BC\), \(\small CA\) en \(\small AB\), zie figuur 4. Dan komen de volgende twee dingen op hetzelfde neer.
De lijnen \(\small AD\), \(\small BE\) en \(\small CF\) gaan door één punt.
Voorbeeld
In driehoek \(\small ABC\) liggen punten \(\small D\), \(\small E\) en \(\small F\) op de zijden \(\small BC\), \(\small CA\) en \(\small AB\). De lijnen \(\small AD\), \(\small BE\) en \(\small CF\) gaan door één punt, zie figuur 5. De lengte van \(\small 5\) van de \(\small 6\) stukken waarin de punten \(\small D\), \(\small E\) en \(\small F\) de zijden verdelen staan in het plaatje.
Voor de lengte van het zesde stuk geldt: \(\small \frac{{AF}}{{FB}} \cdot \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{CE}}{{EA}} = 1\), dus: \(\small \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{{CD}} \cdot \frac{2}{3} = 1\), dus \(\small CD = 2\frac{1}{2}\).
Afspraak
figuur 6
Een (meetkundige) zwaartelijn van een driehoek verbindt een hoekpunt met het midden van de tegenoverliggende zijde, zie figuur 6.
Een speciaal geval van de stelling van Ceva is het volgende.
Stelling
De zwaartelijnen van een driehoek \(ABC\) gaan door één punt, het meetkundig zwaartepunt \(\small Z\) van de driehoek.
Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen in de verhouding \(\small 1:2\).
Er geldt: \(\small \vec z = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b + \frac{1}{3}\vec c\).
Vectorvoorstelling van een lijn
Door in \(\small \vec x = \vec p + t \cdot \vec q\) alle mogelijke getallen voor \(\small t\) in te vullen, krijg je de plaatsvectoren van alle punten op de lijn \(\small k\) door \(\small P\) evenwijdig met \(\small \vec q\), als \(\small \vec q \ne 0\).
We noemen \(\small \vec x = \vec p + t \cdot \vec q\) een vectorvoorstelling van \(\small k\), zie figuur 7.
We noemen in deze schrijfwijze \(\small \vec p\) de startvector (of ook wel steunvector) en \(\small \vec q\) de richtingsvector van \(\small k\).
figuur 7
figuur 8
Een vectorvoorstelling van lijn \(\small AB\) is: \(\small \vec x = \vec a + t \cdot (\vec b - \vec a)\)
ook wel: \(\small \vec x = s \cdot \vec a + t \cdot \vec b\), met \(\small s+t=1\), zie figuur 8.
In een assenstelsel
Het inproduct \(\small \vec v \cdot \vec w\) van twee vectoren \(\small \vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) en \(\small \vec w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c \\ d \end{array}} \right)\)) is: \(\small ac+bd\).
Er geldt: als \(\small \vec v\) en \(\small \vec w\) beide niet \(\small \vec 0\), dan \(\small \vec v \cdot \vec w = 0 \Leftrightarrow \vec v\) en \(\small \vec w\) staan loodrecht op elkaar.
Verder geldt: \(\small \vec v \cdot \vec v = {\left| {\vec v} \right|^2}\).
We noemen twee vectoren (beide niet de nulvector) afhankelijk als ze veelvoud van elkaar zijn. \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\) en \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c \\ d \end{array}} \right)\) zijn afhankelijk \(\small ⇔ad−bc=0\), als \(\small a\) en \(\small b\) niet beide \(\small 0\) en \(\small c\) en \(\small d\) niet beide \(\small 0\)).
Neem aan: \(\small \vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \end{array}} \right)\).
figuur 9
De vector die je krijgt door \(\small \vec v\) over \(\small 90°\) linksom te draaien, noemen we \(\small {\vec v_L}\);
de vector die je krijgt door \(\small \vec v\) over \(\small 90°\) rechtsom te draaien, noemen we \(\small {\vec v_R}\), zie figuur 9.
Er geldt: \(\small {\vec v_L} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {‐b} \\ a \end{array}} \right)\) en \(\small {\vec v_R} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} b \\ {‐a} \end{array}} \right)\).
De punten \(\small (1+3t,2+4t)\) vormen de rechte lijn door het punt \(\small (1,2)\) met richtingsvector \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 4 \end{array}} \right)\).
We schrijven ook wel: \(\small \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 3t} \\ {y = 2 + 4t} \end{array}} \right.\) en noemen dit een parametervoorstelling van die lijn (\(\small t\) is de parameter).
De bijbehorende vectorvoorstelling is: \(\small \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 4 \end{array}} \right)\).
We geven nog enkele voorbeelden.
Voorbeelden
Gegeven zijn de punten \(\small A(0,1)\), \(\small B(‐3,4)\) en \(\small C(0,‐2)\).
Een parametervoorstelling van lijn \(\small AB\) is bijvoorbeeld: \(\small (x,y)=(0−3t,1+3t)\).
Een parametervoorstelling van de lijn door \(\small A\) evenwijdig met de lijn \(\small BC\) is bijvoorbeeld: \(\small (x,y)=(0+3t,1−6t)\).
Een parametervoorstelling van de lijn door \(\small A\) loodrecht op \(\small BC\) is bijvoorbeeld: \(\small (x,y)=(0+6t,1+3t)\).
Neem aan: in de punten \(\small A(0,1)\), \(\small B(‐3,4)\) en \(\small C(0,‐2)\) zitten massa’s \(\small 2\), \(\small 3\) en \(\small 1\).
De coördinaten van het zwaartepunt met dit massasysteem zijn: \(\small (x,y) = (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot ‐3 + \frac{1}{6} \cdot 0,\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{6} \cdot ‐2) = (‐1\frac{1}{2},2)\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: De kracht van vectoren - 4V Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Je kunt
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
