Thema: Combinatoriek - 4V Wiskunde A/C

Thema: Combinatoriek - 4V Wiskunde A/C

Inleiding

In dit thema gaan we aan de slag met het tellen van aantallen mogelijkheden in allerlei situaties.

Paragrafen

Per paragraaf vind je hieronder een knop met een link naar het betreffende arrangement.

De twee met (*) gemarkeerde paragrafen zijn 'facultatief': geen examenstof. Overleg met je docent of jullie deze moeten maken.

De laatste paragraaf is de belangrijkste paragraaf, want daar staat de verschillende soorten vraagstukken door elkaar: kun je ze ook maken zónder dat je weet van welk soort het vraagstuk is, dus kun je de onderliggende structuur herkennen?

Paragraaf 1  Systematisch uitschrijven
Paragraaf 2  Bomen en wegendiagrammen
Paragraaf 3  Geordende grepen
Paragraaf 4  Roosters
Paragraaf 5  Combinaties
Paragraaf 6  Herhalingscombinaties (*)
Paragraaf 7  Het vaasmodel (*)
Paragraaf 8  Combinatorische vraagstukken

Afsluiting

Samenvatting

In dit hoofdstuk heb je heel wat geleerd over het tellen van aantallen mogelijkheden. Combinatoriek wordt dat genoemd. We vatten de vier basis telmethoden nog eens samen. Bij veel telproblemen moet je verschillende telmethoden combineren om tot een oplossing te komen.

 

Geordende greep zonder herhaling

Aan een wedstrijd doen vier deelnemers mee (zeg: A, B, C en D). De deelnemers kunnen in verschillende volgorden de finish passeren. Eén mogelijke einduitslag is BCAD. Zo’n rijtje-van-vier waarbij de volgorde van belang is, noem je een permutatie (ook wel geordende greep zonder herhaling genoemd). Het aantal mogelijke einduitslagen (permutaties) kun je op verschillende manieren vinden.

  • Door de mogelijkheden systematisch uit te schrijven.

  • Door een boomdiagram te tekenen.


Vier deelnemers (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op \(4⋅3⋅2⋅1=24\) manieren in volgorde zetten.
Voor het product \(4⋅3⋅2⋅1\) bestaat een afkorting: \(4!\).
Dit spreek je uit als \(\bf 4\) faculteit.
Er geldt: \(4!=4⋅3⋅2⋅1=24\).

\(4!\) kun je ook met de optie \(x!\) op je rekenmachine berekenen.

 

We bekijken ook nog een wedstrijd waar \(7\) deelnemers aan meedoen (zeg: A, B, C, D, E, F en G). Het aantal mogelijke erepodia (zoals BCA, ACB, FAD en FGE) is:
\(7 \cdot 6 \cdot 5 = \frac{{7!}}{{4!}} = 210\).
Anders gezegd: Het aantal permutaties van \(\bf 3\) uit \(\bf 7\) (of geordende grepen van \(\bf 3\) uit \(\bf 7\) zonder herhaling) is \(7⋅6⋅5\).
Het aantal permutaties van \(3\) uit \(7\) kun je berekenen met de optie \(n\text{P}r\) op je rekenmachine.

 

Geordende greep met herhaling

Een meerkeuzetoets bestaat uit \(5\) vragen. Bij iedere vraag staan drie antwoorden, waarvan er één moet worden aangekruist. Er is altijd maar één antwoord goed. We vragen ons af op hoeveel manieren je de toets kunt maken.

Dit telprobleem kun je oplossen door een wegendiagram te tekenen.

Het aantal mogelijkheden (of geordende grepen met herhaling) is \(3^5=243\).

 

Ongeordende greep zonder herhaling

We bekijken drie telproblemen:

  • alle rijtjes van lengte \(7\) met \(3\) enen en \(4\) nullen;

  • alle kortste routes van \((0,0)\) naar \((4,3)\);

  • alle selecties (of combinaties) van \(3\) dingen uit \(7\) verschillende dingen. (Bij een combinatie letten we niet op de volgorde.)

Hiernaast zie je van elk van de drie telproblemen een mogelijke uitkomst.

Er zijn evenveel rijtjes als routes als selecties. Immers, je kunt bij alle drie de telproblemen een rijtje maken, bijvoorbeeld:

  • \(0100011\)

  • RBRRRBB

  • - B - - - F G

Deze rijtjes komen op hetzelfde neer.
Het aantal routes van \((0,0)\) naar \((4,3)\) noteren we met het combinatiegetal \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right)\).
Dus \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right) = ...\)

... het aantal \(0\)-\(1\)-rijtjes van lengte \(7\) met \(3\) enen,
... het aantal routes van lengte \(7\) met \(3\) stappen naar boven,
... het aantal combinaties van \(3\) elementen uit \(7\).

 

Ongeordende greep met herhaling

Sla het laatste stuk van Eindpunt over als je de paragraaf Herhalingscombinaties niet hebt gemaakt.

 

Joe, Jack, William en Averell hebben tijdens een overval zeven goudstaven buit gemaakt. We vragen ons af - net als Lucky Luke - op hoeveel manieren de Daltons de goudstaven onderling kunnen verdelen.
Bij dit telprobleem is alleen het aantal goudstaven per Dalton van belang (en dus niet de volgorde). Omdat elke Dalton meerdere goudstaven kan bezitten is er sprake van herhaling. Elke mogelijke verdeling kunnen we weergeven als route in nevenstaand rooster. De gekleurde route hoort bij de verdeling: Joe drie goudstaven, Jack en William twee, en Averell nul. Het aantal mogelijkheden (het aantal herhalingscombinaties) is \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 7 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 3 \end{array}} \right) = 120\).

Diagnostische toets

Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

 

Test: H3 Combinatoriek

Start

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Basis

Extra oefening Plus

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

Evaluatie: Terugblik

Start

  • Het arrangement Thema: Combinatoriek - 4V Wiskunde A/C is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2022-01-02 15:35:13
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Rearrangeerbare opdracht wiskunde stercollectie VO-content wiskunde havo/vwo
    Leerniveau
    VWO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    leerlijn, rearrangeerbare, vo-content

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2022).

    Thema: Verschillen - 4V Wiskunde A/C

    https://maken.wikiwijs.nl/154964/Thema__Verschillen___4V_Wiskunde_A_C

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    H3 Combinatoriek

    Terugblik

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van