In dit thema gaan we aan de slag met het tellen van aantallen mogelijkheden in allerlei situaties.
Paragrafen
Per paragraaf vind je hieronder een knop met een link naar het betreffende arrangement.
De twee met (*) gemarkeerde paragrafen zijn 'facultatief': geen examenstof. Overleg met je docent of jullie deze moeten maken.
De laatste paragraaf is de belangrijkste paragraaf, want daar staat de verschillende soorten vraagstukken door elkaar: kun je ze ook maken zónder dat je weet van welk soort het vraagstuk is, dus kun je de onderliggende structuur herkennen?
In dit hoofdstuk heb je heel wat geleerd over het tellen van aantallen mogelijkheden. Combinatoriek wordt dat genoemd. We vatten de vier basis telmethoden nog eens samen. Bij veel telproblemen moet je verschillende telmethoden combineren om tot een oplossing te komen.
Geordende greep zonder herhaling
Aan een wedstrijd doen vier deelnemers mee (zeg: A, B, C en D). De deelnemers kunnen in verschillende volgorden de finish passeren. Eén mogelijke einduitslag is BCAD. Zo’n rijtje-van-vier waarbij de volgorde van belang is, noem je een permutatie (ook wel geordende greep zonder herhaling genoemd). Het aantal mogelijke einduitslagen (permutaties) kun je op verschillende manieren vinden.
Door de mogelijkheden systematisch uit te schrijven.
Door een boomdiagram te tekenen.
Vier deelnemers (maar ook: letters, cijfers, kleuren, ...) kun je op \(4⋅3⋅2⋅1=24\) manieren in volgorde zetten.
Voor het product \(4⋅3⋅2⋅1\) bestaat een afkorting: \(4!\).
Dit spreek je uit als \(\bf 4\)faculteit.
Er geldt: \(4!=4⋅3⋅2⋅1=24\).
\(4!\) kun je ook met de optie \(x!\) op je rekenmachine berekenen.
We bekijken ook nog een wedstrijd waar \(7\) deelnemers aan meedoen (zeg: A, B, C, D, E, F en G). Het aantal mogelijke erepodia (zoals BCA, ACB, FAD en FGE) is: \(7 \cdot 6 \cdot 5 = \frac{{7!}}{{4!}} = 210\).
Anders gezegd: Het aantal permutaties van \(\bf 3\) uit \(\bf 7\) (of geordende grepen van \(\bf 3\) uit \(\bf 7\) zonder herhaling) is \(7⋅6⋅5\).
Het aantal permutaties van \(3\) uit \(7\) kun je berekenen met de optie \(n\text{P}r\) op je rekenmachine.
Geordende greep met herhaling
Een meerkeuzetoets bestaat uit \(5\) vragen. Bij iedere vraag staan drie antwoorden, waarvan er één moet worden aangekruist. Er is altijd maar één antwoord goed. We vragen ons af op hoeveel manieren je de toets kunt maken.
Dit telprobleem kun je oplossen door een wegendiagram te tekenen.
Het aantal mogelijkheden (of geordende grepen met herhaling) is \(3^5=243\).
Ongeordende greep zonder herhaling
We bekijken drie telproblemen:
alle rijtjes van lengte \(7\) met \(3\) enen en \(4\) nullen;
alle kortste routes van \((0,0)\) naar \((4,3)\);
alle selecties (of combinaties) van \(3\) dingen uit \(7\) verschillende dingen. (Bij een combinatie letten we niet op de volgorde.)
Hiernaast zie je van elk van de drie telproblemen een mogelijke uitkomst.
Er zijn evenveel rijtjes als routes als selecties. Immers, je kunt bij alle drie de telproblemen een rijtje maken, bijvoorbeeld:
\(0100011\)
RBRRRBB
- B - - - F G
Deze rijtjes komen op hetzelfde neer.
Het aantal routes van \((0,0)\) naar \((4,3)\) noteren we met het combinatiegetal \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right)\).
Dus \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 3 \end{array}} \right) = ...\)
... het aantal \(0\)-\(1\)-rijtjes van lengte \(7\) met \(3\) enen,
... het aantal routes van lengte \(7\) met \(3\) stappen naar boven,
... het aantal combinaties van \(3\) elementen uit \(7\).
Ongeordende greep met herhaling
Sla het laatste stuk van Eindpunt over als je de paragraaf Herhalingscombinaties niet hebt gemaakt.
Joe, Jack, William en Averell hebben tijdens een overval zeven goudstaven buit gemaakt. We vragen ons af - net als Lucky Luke - op hoeveel manieren de Daltons de goudstaven onderling kunnen verdelen.
Bij dit telprobleem is alleen het aantal goudstaven per Dalton van belang (en dus niet de volgorde). Omdat elke Dalton meerdere goudstaven kan bezitten is er sprake van herhaling. Elke mogelijke verdeling kunnen we weergeven als route in nevenstaand rooster. De gekleurde route hoort bij de verdeling: Joe drie goudstaven, Jack en William twee, en Averell nul. Het aantal mogelijkheden (het aantal herhalingscombinaties) is \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 7 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10} \\ 3 \end{array}} \right) = 120\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Combinatoriek - 4V Wiskunde A/C is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
In dit thema gaan we aan de slag met het tellen van aantallen mogelijkheden in allerlei situaties.
We bekijken drie telproblemen:
Joe, Jack, William en Averell hebben tijdens een overval zeven goudstaven buit gemaakt. We vragen ons af - net als Lucky Luke - op hoeveel manieren de Daltons de goudstaven onderling kunnen verdelen.
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
