Rick Pijbes Website

Rick Pijbes Website

Introductie

Op deze site zullen meerdere samenvattingen, kennisclips en oefeningen geplaatst worden om thuis verder te werken aan wiskunde.

Hoofdstuk 9

In dit blok wordt Hoofdstuk 9 van Getal & Ruimte 12e edite brugklas Havo/VWO behandeld.

Voorkennis

Theorie A

Leerdoel:

Het leerdoel is om de verschillende eenheden te kennen en begrijpen waar zij voor staan.

Theorie A:

Om je heen zijn veel dingen die je kunt meten. Denk maar aan je gewicht en je lengte, aan de temperatuur in het lokaal en aan de windsnelheid. Temperatuur meet je in graden Celsius, bijvoorbeeld in het lokaal is het 22 °C. De graad Celsius is een eenheid van temperatuur. Lengte meet je in meter of centimeter, bijvoorbeeld Fleur is 156 cm lang. De meter en de centimeter zijn lengte-eenheden.

Oefening

9.1 Lengte

Theorie A

Leerdoel:

Het herkennen van de verschillende grootheden en weten welke eenheden hierbij horen.

Het omrekenen van de ene eenheid naar de ander.

Theorie A Lengte-eenheden:

Bij het meten van iets gebruik je een grootheid en een eenheid. Als we het hebben over een afstand of een lengte dan is dit de grootheid, de grootheid is dus het gene wat je meet. Op welke grootte je het meet is de eenheid, bij lengte is dat bijvoorbeeld in kilometers, kilometer is dan de eenheid.

Hieronder staan enkele eenheden die horen bij lengte van groot naar klein. Elke stap naar rechts is een vermenigvuldiging van 10 (1 m = 10 dm). Elke stap naar links is een deling van 10 (1 m = 0,1 dam). Als je twee stappen neemt wordt het een vermenigvuldiging of deling van 100, bij 3 stappen 1000 enzovoort.

Bovenstaande tabel is ook te gebruiken bij andere grootheden. Het is belangrijk om de afkortingen uit je hoofd te kennen omdat deze hetzelfde zijn. Voor lengte staat er m (meter) in het midden, voor inhoud l (liter) en voor gewicht g (gram). Deze grootheden volgen allemaal dezelfde stappen bij de eenheden zoals hierboven word aangegeven.

Opdracht 1

Opdracht 2

Theorie B

Leerdoel:

Weten hoe een schaalverdeling werkt en hoe hiermee gerekend kan worden.

Theorie B Schaal:

Bij schaal modellen heb je meestal te maken met verkleiningen. Denk hierbij aan een plattegrond, kaart of modellen zoals bijvoorbeeld bij madurodam.

De schaal geeft aan wat deze verkleining is en word met een speciale schrijfwijze aangegeven.

1:100 betekend bijvoorbeeld dat alles in het echt eigenlijk 100 x zo groot is.

1:250 is dan 250 x zo groot.

1:1000 is dan 1000 x zo groot enzovoort.

1 centimeter in het schaalmodel staat dus voor 100, 250 of 1000 centimeter bij bovenstaande schaal.

We kunnen met een schaal beide kanten op rekenen. Als we van het model naar de werkelijkeheid (van klein naar groot) gaan dan vermenigvuldigen we met de schaal. Als we van de werkelijkheid naar het model gaan (van groot naar klein) dan delen we met de schaal.

Opdracht 3

9.2 Oppervlakte

Theorie A

Leerdoel:

Weten wat een omtrek en oppervlakte is en hoe je deze kan berekenen.

Theorie A Omtrek en oppervlakte:

De omtrek van een figuur is de lengte van de rand. Bij het berekenen van de omtrek meet je alle randen net zolang totdat je het hele figuur bent langsgegaan. Je "trekt" dus letterlijk "om" het figuur heen.

Bij dit plaatje is de omtrek dus als volgt: 35 + 15 + 15 + 16 + 22 + 9 + 16 = 128.

Let hierbij op dat het niet uitmaakt of je met de klok of tegen de klok in gaat en het maakt ook niet uit waar je begint. Zolang je maar wel elke zijde telt. Meestal word aangegeven bij een figuur of plaatje wat de eenheid van de waardes zijn. Neem dit mee in je berekening. Stel er zou bij het bovenstaande figuur staan dat de waardes in mm zijn dan krijg je dus 35 mm + 15 mm + 15 mm + 16 mm + 22 mm + 9 mm + 16 mm = 128 mm.

De oppervlakte heeft te maken met bedekken. Hierbij meet je het figuur aan de hand van hoe het gevuld is. De oppervlakte van een figuur geeft aan hoeveel keer de oppervlakte-eenheid erop past. Een veelgebruikte oppervlakte-eenheid is de vierkante centimeter, oftewel cm². 1 cm² is de oppervlakte van een vierkant van 1 bij 1 cm.

Op het figuur hieronder passen 5 hele en 2 halve vierkanten van 1 cm². De oppervlakte is dus 6 cm².

De oppervlakte geeft dus aan hoeveel keer de oppervlakte-eenheid erop past.

Voorkennis:

Een ² betekende een getal keer zichzelf, bijvoorbeeld 2 x 2 = 2².

1 cm² is dus 1 cm x 1 cm. Let hierbij op dat dit geld voor alle lengte-eenheden die we al behandeld hebben.

1 m x 1 m = 1 m²

1 km x 1 km = 1 km²

Enzovoort.

Opdracht 1

Opdracht 2

Theorie B

Leerdoel:

Het kunnen omrekenen van oppervlakte-eenheden en weten waar deze voor staan.

Theorie B Oppervlakte-eenheden:

Zoals in paragraaf § 9.1 bij Theorie A is behandeld weet je de verschillende stappen voor de eenheden van lengte. Deze komen ook terug bij de oppervlakte zoals te zien is in onderstaande afbeelding.

Echter als je goed kijkt dan zie je dat elk stapje niet een deling of vermenigvuldiging van 10 is, maar van 100. Dit betekend dus als je bijvoorbeeld m² wil omrekenen naar dm² je niet met 10 vermenigvuldigt maar met 100 en van m² naar dam² je niet moet delen met 10 maar met 100. Dit is iets wat je moet onthouden dat bij oppervlakte-eenheden (waar een ² bij staat) de stapgrootte dus 100 is. Extra uitleg waarom dit zo is staat onderaan deze pagina.

Als we de oppervlakte willen berekenen van bovenstaand figuur dan kunnen we alle blokjes tellen. Echter is er ook een berekening mogelijk namelijk: Oppervlakte rechthoek = lengte x breedte. Bij dit figuur zou dat dus 3 cm x 4 cm = 12 cm² zijn. Let op dat dit alleen zo is bij rechthoekige figuren. Tip: wanneer je een ander figuur heb, probeer deze dan te verdelen in kleine rechthoeken waarvan je wel de oppervlakte kan berekenen.

 

Extra uitleg:

Waarom zijn de stap groottes bij de oppervlakte-eenheden 100 in plaats van 10? Kijk nogmaals naar het bovenstaande plaatje, deze keer doen we de berekening in mm. 3 cm = 30 mm en 4 cm = 40 mm. als we dan de oppervlakte berekenen krijgen we 30 mm x 40 mm = 1200 mm². Het verschil tussen 12 cm² en 1200 mm² is een vermenigvuldiging van 100. Dit komt omdat we beide zijdes met 10 hebben vermenigvuldigt om van de cm een mm te maken. Er is dus tussen cm² en mm²  2 keer met 10 vermenigvuldigt. 10 x 10 = 100.

Als we dezelfde som in dm willen oplossen krijgen we de berekening 3 cm = 0,3 dm en 4 cm = 0,4 dm, 0,3 dm x 0,4 dm = 0,12 dm². Het verschil tussen 0,12 dm² en 12 cm² is een deling van 100.  Dit komt omdat we beide zijdes met 10 hebben gedeeld om van de cm een dm te maken. Er is dus tussen dm² en cm²  2 keer met 10 gedeeld. Dit is de reden dat elke stap bij oppervlakte-eenheden een stap van 100 is.

Opdracht 3

Opdracht 4

Opdracht 5

Theorie C

Leerdoel:

Het kunnen uitrekenen van de oppervlakte van rechthoekige figuren en een figuur kunnen opdelen in rechthoekige figuren.

Theorie C Oppervlakten berekenen:

Zoals is beschreven in §9.2 Theorie A kan je de oppervlakte van een rechthoek berekenen met Oppervlakte = lengte x breedte. Dit kan je ook toepassen op figuren die op het eerste hoog geen rechthoek zijn. Zie het onderstaande voorbeeld.

Op deze manier kan je bij veel figuren nu dus wel de oppervlakte berekenen!

Voor extra informatie kan je de kennisclip van §9.2 Theorie C bekijken: https://www.youtube.com/watch?v=V8y1jyeCI4w&feature=youtu.be

Opdracht 6

9.3 De oppervlakte van een driehoek

Theorie A

Leerdoel:

Het kunnen berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek.

Theorie A Oppervlakte driehoek berekenen:

Nu je de oppervlakte van elke rechthoek kan berekenen gaan we door met de oppervlakte berekenen van een driehoek. Ook hier geldt een algemene rekenregel: Oppervlakte driehoek = \( 1\over2\)x zijde x bijbehorende hoogte. Hieronder staan enkele voorbeelden.

Let hierbij op dat de bijbehorende hoogte altijd recht (90°) op de zijde moet staan en uit moet komen in een hoekpunt.

Voor extra informatie kan je de kennisclip van §9.3 Theorie A bekijken: https://www.youtube.com/watch?v=Q46EKDMUJWU&feature=youtu.be

Opdracht 1

Theorie B

Leerdoel:

Het kunnen berekenen van de oppervlakte van een stomphoekige driehoek.

Theorie B Oppervlakte stomphoekige driehoek:

Wat nou als je een driehoek hebt waarbij je geen bijbehorende hoogte, die recht (90°) op een zijde staat, kan vinden binnen het figuur? Ook hierbij kan je dezelfde formule gebruiken: Oppervlakte driehoek = \( 1\over2\)x zijde x bijbehorende hoogte. Hier volgen enkele voorbeelden:

Zoals je kunt zien zijn er verschillende manieren om dit op te lossen. Je kan namelijk de zijde of de bijbehorende hoogte doortrekken en zo alsnog dezelfde formule gebruiken. Desnoods kun je ook een andere zijde en bijbehorende hoogte kiezen.

Voor extra informatie kan je de kennisclip van §9.3 Theorie B bekijken: https://www.youtube.com/watch?v=Y8ByJw_edGg&feature=youtu.be

Opdracht 2

9.4 Inhoud

Theorie A

Leerdoel:

Het kunnen rekenen met inhoudseenheden en weten waar deze voor staan.

Het kunnen omzetten van inhoud naar liter en andersom.

Theorie A Inhoudseenheden:

Ruimtefiguren zoals een kubus, een doos, een kamer en een balk hebben een inhoud. Een inhoud kan je ook zien als iets vullen. De inhoud van een ruimtefiguur geeft aan hoeveel keer de inhoudseenheid erin past. Dit noemen we kubieke. Een kubieke cm oftwel cm³ heet dan een kubieke centimeter en krijgen we wanneer we een kubus hebben van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm.

De inhoud van een balk bereken je met de volgende formule: Inhoud balk = lengte x breedte x hoogte.

Ook bij de inhoud kunnen we werken met eenheden zoals te zien is in onderstaande afbeelding.

Let op dat hierbij elke stap een van 1000 is, dit moet je onthouden. Onderaan de pagina staat extra uitleg waarom dit zo is.

Als je goed kijkt zie je een uitbreiding bij deze eenheden, 1 dm³ staat gelijk aan 1 liter. 1 cm³ staat gelijk aan 1 milliliter. Ook dit moet je onthouden, waarom dit zo is staat bij de extra uitleg.

Voor extra informatie kan je de kennisclip van §9.4 Theorie A bekijken: https://www.youtube.com/watch?v=-zvs4wiUh00&feature=youtu.be

Extra uitleg:

Een ³ betekende een getal keer zichzelf en nogmaals keer zichzelf, bijvoorbeeld 2 x 2 x 2 = 2³.

1 cm³ is dus 1 cm x 1 cm x 1 cm. Let hierbij op dat dit geld voor alle lengte-eenheden die we al behandeld hebben.

1 m x 1 m x 1 m = 1 m³

1 km x 1 km x 1 km = 1 km³

Enzovoort.

Waarom zijn de stap groottes bij de inhouds-eenheden 1000 in plaats van 10? Kijk naar het bovenstaande plaatje, hierbij is de berekening 1 cm x 1 cm x 1 cm = 1 cm³. Nu doen we de berekening in mm. 1 cm = 10 mm. Als we dan de inhoud berekenen krijgen we 10 mm x 10 mm x 10 mm = 1000 mm³. Het verschil tussen 1 cm³ en 1000 mm³ is een vermenigvuldiging van 1000. Dit komt omdat we alle zijdes met 10 hebben vermenigvuldigt om van de cm een mm te maken. Er is dus tussen cm³ en mm³  3 keer met 10 vermenigvuldigt. 10 x 10 x 10 = 1000.

Als we dezelfde som in dm willen oplossen krijgen we de berekening 1 cm = 0,1 dm. 0,1 dm x 0,1 dm x 0,1 dm = 0,001 dm³. Het verschil tussen 0,001 dm³ en 1 cm³ is een deling van 1000. Dit komt omdat we alle zijdes met 10 hebben gedeeld om van de cm een dm te maken. Er is dus tussen dm³ en cm³  3 keer met 10 gedeeld. Dit is de reden dat elke stap bij inhouds-eenheden een stap van 1000 is.

Hoe werkt de inhoud dan met liters? Als we weten dat 1 dm³ gelijk is aan 1 liter en we weten dat 1 dm³ = 1000 cm³ dan zien we dus dat 1 cm³ gelijk is aan 0,001 liter (gedeeld door 1000). Als we dan de eenheden erbij halen dan zien we dat 0,001 liter = 0,01 dl = 0,1 cl = 1 ml. We deden een stap van 1000 bij de inhoud en dat moeten we daarom ook doen met de liters.

Opdracht 1

Opdracht 2

Theorie B

Leerdoel:

De oppervlakte van een balk en/of kubus kunnen berekenen met de hulp van een uitslag.

Theorie B Oppervlakte balk:

Voor het uitrekenen van de oppervlakte van een balk kan je een uitslag maken. Daarna kan je al deze oppervlakte bij elkaar optellen om de oppervlakte van de balk te krijgen.

We zien dat de balk 3 verschillende oppervlakte heeft, I, II en III.

I = 2 cm x 9 cm = 18 cm²

II = 2 cm x 3 cm = 6 cm²

III = 3 cm x 9 cm = 27 cm²

De oppervlakte van de balk is dan:

(2 x 18 cm²) + (2 x 6 cm²) + (2 x 27 cm²) = 102 cm²

De oppervlakte van een balk is de oppervlakte van zijn uitslag.

Opdracht 3

9.5 Aanzichten

Theorie A

Leerdoel:

Het kunnen herkennen en maken van de drie aanzichten.

Met aanzichten kunnen rekenen in verhouding met een schaal.

Theorie A Aanzichten:

In bovenstaande plaatje zie je een hondenhok. Hierbij is a het vooraanzicht, b het zijaanzicht en c het bovenaanzicht. Het is mogelijk om bij een aanzicht een schaal te geven, bijvoorbeeld 1 : 50. Dit houdt in dat 1 cm van het aanzicht in de werkelijkheid 50 cm is.

Opdracht 1

Toets

Maak deze toets om te controleren of je de stof beheerst. Ik zal zodra ik jou antwoorden ontvang je cijfer zo spoedig mogelijk mailen naar het e-mail adres wat je hebt ingevuld.

Succes!

Bronnenlijst

Hieronder staan de gebruikte bronnen:

1. Digitaal Lesmateriaal VO. (2019, 24 oktober). Geraadpleegd van https://www.noordhoff.nl/voortgezet-onderwijs/digitaal-lesmateriaal

Kennisclips, theorie blokken en opdrachten zijn afkomstig of gebaseerd op Getal & Ruimte 12e Editie Onderbouw Havo/VWO.