Tangens en hoeken

Tangens en hoeken

Introductie

In deze lessenserie leer je wat de Tangens is en hoe je die kunt gebruiken om hoeken uit te rekenen of lengten van zijden in een rechthoekige driehoek.

Hellingspercentage

Video

Uitleg

Een hellingspercentage kun je uit rekenen, wanneer je het hoogteverschil en de horizontale afstand weet.

hellingspercentage = \({hoogteverschil \over horizontale afstand} \times 100\)

Voorbeeld 1

De hellingspercentage van deze driehoek = \({5 \over 12} \times 100 = 42\)%

 

Vraagje?

Tangens uitrekenen

Uitleg 1

De Tangens kan je alleen gebruiken in een rechthoekige driehoek.

 

BC is de schuine zijde (ligt tegenover de rechte hoek (\(\angle\)A).

Vanuit \(\angle\)C:

  • is AB de overstaande zijde
  • is AC de aanliggende zijde

Vanuit \(\angle\)B:

  • is AC de overstaande zijde
  • is AB de aanliggende zijde

Video deel 1

Wanneer je aan de vorige uitleg nog niet genoeg hebt, kun je onderstaande video bekijken. Hier wordt nog een keer de verschillende zijden uitgelegd.

Wanneer je denkt, dat je het wel snapt, maak je Oefening 1.

Oefening 1

Uitleg 2

Hoe bereken je nu de tangens van een hoek?

Opmerking: De tangens berekenen we in 3 decimalen!

De tangens van \(\angle F\):

  • = \(overstaandezijde \over aanliggende sijde\)  of DE : EF
  • = \(6 \over 8\)  of 6:8
  • = 0,750

De tangens van \(\angle D\):

  • = \(overstaandezijde \over aanliggende sijde\)  of EF:DE
  • = \(8 \over 6\)  of 8:6
  • = 1,333

Opmerking:
De tangens van een rechte hoek (\(\angle E\)) kan je niet uitrekenen.
Deze heeft geen overstaande rechthoekszijde, maar wel twee aanliggende rechthoekszijde.

Video deel 2

In de volgende video wordt uitgelegd hoe je de tangens van een hoek uit moet rekenen.

Wanneer je denkt dat je het al snapt, mag je nu ook bezig gaan met Oefening 2.

Oefening 2

Onthoud:

Uitrekenen van de tangens van een hoek:

\(tan \angle = {overstaandezijde \over aanliggendezijde}\)

Hoek berekenen

Als je de tangens van een hoek hebt berekend, kun je met de rekenmachine de grootte van de hoek uitrekenen.

Uitleg 3

Hoe reken je nu de grootte van een hoek uit?

Tangens wordt in de wiskunde en op de rekenmachine afgekort met tan.

arctan of tan-1 is de omgekeerde tangens.

Bijvoorbeeld: tan 30o = 0,577 dan is tan-1(0,577) = 30o

Voorbeelden Tan en Arctan of tan-1 op rekenmachines:

Voorbeeld 3

 

Bereken de grootte van \(\angle F\):

  1. tan \(\angle F\) = \(overstaandezijde \over aanliggendezijde\)
  2. tan \(\angle F\) = \(6 \over 8\)= 0,750
  3. \(\angle F\) = tan-1 (0,750)
  4. \(\angle F\) = 36,9o

Zo kun je ook \(\angle D\) berekenen:

  1. tan \(\angle D\) = \(overstaandezijde \over aanliggendezijde\)
  2. tan \(\angle D\) = \(8 \over 6\) = 1,333
  3. \(\angle D\) = tan-1(1,333)
  4. \(\angle D\) = 53,1o

Controle: 

  1. \(\angle D + \angle E + \angle F\)= 180o
  2. 53,1o + 90o + 36,9o = 180o
  3. Het klopt.

Video deel 3

In de video wordt uitgelegd hoe je de grootte van een hoek kunt uitrekenen met arctan of tan-1.

Wanneer je dit al snapt, ga je verder met Oefening 3.

Oefening 3

Zijden berekenen

Wanneer van een rechthoekige driehoek de grootte van één hoek en van één rechthoekszijde bekend is, kan je de andere rechthoekszijde uitrekenen.

En met de stelling van Pythagoras kan je daarna de schuine zijde uitrekenen.

Uitleg 4

Kruislingsvermenigvuldigen.

Om de rechthoekszijde te kunnen uitrekenen moet je gebruik maken van kruislingsvermenigvuldigen.

Voorbeeld 1:

\(2\over3 \) = \(4\over6\)

Kruislingsvermenigvuldigen betekent:

2 x 6 = 3 x 4

 

Voorbeeld 2:

12 = \(48 \over 4\) is het zelfde als \(12 \over 1\)= \(48 \over 4\)

en dus: 12 x 4 = 1 x 48

Kruislingsvermenigvuldigen gebruiken we in de volgende voorbeelden.

Voorbeeld 4-1

Rechthoekszijde berekenen als een hoek bekend is.

  1. tan \(\angle A\) = \(overstaande zijde \over aanliggende zijde\)
     
  2. tan(61) = \(BC\over AC\)
     
  3. tan(61) = \(? \over 17\)
     
  4. \(tan(61) \over 1\) = \(? \over 17\)
     
  5. Kruislingsvermenigvuldigen: 1 x ? = tan(61) x 17
     
  6. ? = 30,668813
     
  7. BC= 30,7 cm (afronden op 1 decimaal)

Voorbeeld 4-2

Ander voorbeeld.

  1. tan \(\angle P\) = \(overstaandezijde \over aanliggendezijde\)
     
  2. tan(50) = \(RQ \over PR\)
     
  3. tan(50) = \(35 \over ?\)
     
  4. \(tan(50) \over 1\)= \(35 \over ?\)
     
  5. kruislingsvermenigvuldigen: tan(50) x ? = 1 x 35
     
  6. ? = (1 x 35) / tan(50) (links en rechts delen door tan(50))
     
  7. ? =29,368487
     
  8. PR = 29,4 cm

Video deel 4

Wanneer je nog meer uitleg wilt kun je onderstaande video bekijken.

Anders ga je door naar  Oefening 4.

Oefening 4

Stelling van Pythagoras

De Stelling van Pythagoras heb je al eerder gehad.

Deze gebruiken we nu om de schuinezijde van een rechthoekige driehoek uit te rekenen, wanneer we de tweede rechthoekszijde hebben berekend.

Uitleg 5

De stelling van Pythagoras kan je op verschillende manieren gebruiken.

Hier doen we dat als volgt:

\(\begin{array}{c|c} zijde & kwadraat \\ \hline rhz: DE=6 & 36 \ \ \ \\ rhz: EF=8 & \underline{64 \ }_+\\ sz: DF=10 & 100 \ \ \ \ \ \\ \end{array}\)

           

 

 

Voorbeeld 5-1

Bereken AB met de stelling van Pythagoras.

In Voorbeeld 4-1 hebben we zijde BC uitgerekend. BC=30,7 cm.
Echter dit is een reeds afgerond getal.

Niet (minder) afgerond is BC = 30.668813.

Dit getal gebruiken we in de Stelling van Pythagors.

\(\begin{array}{l|c} zijde & kwadraat \\ \hline rhz: AC=17 & 17^2 \ \ \ \\ rhz: BC=30.668813 & \underline{30.668813^2 \ }_+\\ sz: AB & AB^2 \ \ \ \ \ \\ \end{array}\)

 

AB2 = 289+940,57607=1229,5761

AB =\(\sqrt{1229,5761}\)= 35,065312

AB = 35,1 cm

Voorbeeld 5-2

Bereken PQ met de stelling van Pythagoras.

In Voorbeeld 4-2 hebben we zijde PR uitgerekend. PR=29,4 cm.
Echter dit is een reeds afgerond getal.

Niet (minder) afgerond is PR = 29,368487 .

Dit getal gebruiken we in de Stelling van Pythagors.

\(\begin{array}{l|c} zijde & kwadraat \\ \hline rhz: PR=29,368487 & 29,368487^2 \ \ \ \\ rhz: QR=35 & \underline{35^2 \ }_+\\ sz: PQ& PQ^2 \ \ \ \ \ \\ \end{array}\)

 

PQ2 = 862,50803+1225=2087,508

PQ =\(\sqrt{2087,508}\)= 45,689255

PQ = 45,7 cm

  • Het arrangement Tangens en hoeken is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Freek Jonkman
    Laatst gewijzigd
    06-10-2022 16:38:12
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Uitleg over het gebruik van de Tangens Vak: Wiskunde Niveau: VMBO-GT Leerjaar 3,4
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Bronnen

    Bron Type
    https://youtu.be/-LAVKY3P3NI?start=11&end=32
    https://youtu.be/-LAVKY3P3NI?start=11&end=32     		Video
    https://youtu.be/PduRZYA9raY?start=10&end=235
    https://youtu.be/PduRZYA9raY?start=10&end=235     		Video
    https://youtu.be/PduRZYA9raY?start=235&end=329
    https://youtu.be/PduRZYA9raY?start=235&end=329     		Video
    https://youtu.be/PduRZYA9raY?start=329&end=430
    https://youtu.be/PduRZYA9raY?start=329&end=430     		Video
    https://youtu.be/oRWsJ8eqz4k
    https://youtu.be/oRWsJ8eqz4k     		Video

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Benoem de zijden in rechthoekige driehoek

    Bereken de tangens van de hoeken

    Bereken de hoeken

    Bereken rechthoekszijden

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Wikiwijs is een dienst van