Tangens en hoeken

Tangens en hoeken

Introductie

In deze lessenserie leer je wat de Tangens is en hoe je die kunt gebruiken om hoeken uit te rekenen of lengten van zijden in een rechthoekige driehoek.

Hellingspercentage

Video

Uitleg

Een hellingspercentage kun je uit rekenen, wanneer je het hoogteverschil en de horizontale afstand weet.

hellingspercentage = \({hoogteverschil \over horizontale afstand} \times 100\)

Voorbeeld 1

De hellingspercentage van deze driehoek = \({5 \over 12} \times 100 = 42\)%

 

Vraagje?

Tangens uitrekenen

Uitleg 1

De Tangens kan je alleen gebruiken in een rechthoekige driehoek.

 

BC is de schuine zijde (ligt tegenover de rechte hoek (\(\angle\)A).

Vanuit \(\angle\)C:

  • is AB de overstaande zijde
  • is AC de aanliggende zijde

Vanuit \(\angle\)B:

  • is AC de overstaande zijde
  • is AB de aanliggende zijde

Video deel 1

Wanneer je aan de vorige uitleg nog niet genoeg hebt, kun je onderstaande video bekijken. Hier wordt nog een keer de verschillende zijden uitgelegd.

Wanneer je denkt, dat je het wel snapt, maak je Oefening 1.

Oefening 1

Uitleg 2

Hoe bereken je nu de tangens van een hoek?

Opmerking: De tangens berekenen we in 3 decimalen!

De tangens van \(\angle F\):

  • = \(overstaandezijde \over aanliggende sijde\)  of DE : EF
  • = \(6 \over 8\)  of 6:8
  • = 0,750

De tangens van \(\angle D\):

  • = \(overstaandezijde \over aanliggende sijde\)  of EF:DE
  • = \(8 \over 6\)  of 8:6
  • = 1,333

Opmerking:
De tangens van een rechte hoek (\(\angle E\)) kan je niet uitrekenen.
Deze heeft geen overstaande rechthoekszijde, maar wel twee aanliggende rechthoekszijde.

Video deel 2

In de volgende video wordt uitgelegd hoe je de tangens van een hoek uit moet rekenen.

Wanneer je denkt dat je het al snapt, mag je nu ook bezig gaan met Oefening 2.

Oefening 2

Onthoud:

Uitrekenen van de tangens van een hoek:

\(tan \angle = {overstaandezijde \over aanliggendezijde}\)

Hoek berekenen

Als je de tangens van een hoek hebt berekend, kun je met de rekenmachine de grootte van de hoek uitrekenen.

Uitleg 3

Hoe reken je nu de grootte van een hoek uit?

Tangens wordt in de wiskunde en op de rekenmachine afgekort met tan.

arctan of tan-1 is de omgekeerde tangens.

Bijvoorbeeld: tan 30o = 0,577 dan is tan-1(0,577) = 30o

Voorbeelden Tan en Arctan of tan-1 op rekenmachines:

Voorbeeld 3

 

Bereken de grootte van \(\angle F\):

  1. tan \(\angle F\) = \(overstaandezijde \over aanliggendezijde\)
  2. tan \(\angle F\) = \(6 \over 8\)= 0,750
  3. \(\angle F\) = tan-1 (0,750)
  4. \(\angle F\) = 36,9o

Zo kun je ook \(\angle D\) berekenen:

  1. tan \(\angle D\) = \(overstaandezijde \over aanliggendezijde\)
  2. tan \(\angle D\) = \(8 \over 6\) = 1,333
  3. \(\angle D\) = tan-1(1,333)
  4. \(\angle D\) = 53,1o

Controle: 

  1. \(\angle D + \angle E + \angle F\)= 180o
  2. 53,1o + 90o + 36,9o = 180o
  3. Het klopt.

Video deel 3

In de video wordt uitgelegd hoe je de grootte van een hoek kunt uitrekenen met arctan of tan-1.

Wanneer je dit al snapt, ga je verder met Oefening 3.

Oefening 3

Zijden berekenen

Wanneer van een rechthoekige driehoek de grootte van één hoek en van één rechthoekszijde bekend is, kan je de andere rechthoekszijde uitrekenen.

En met de stelling van Pythagoras kan je daarna de schuine zijde uitrekenen.

Uitleg 4

Kruislingsvermenigvuldigen.

Om de rechthoekszijde te kunnen uitrekenen moet je gebruik maken van kruislingsvermenigvuldigen.

Voorbeeld 1:

\(2\over3 \) = \(4\over6\)

Kruislingsvermenigvuldigen betekent:

2 x 6 = 3 x 4

 

Voorbeeld 2:

12 = \(48 \over 4\) is het zelfde als \(12 \over 1\)= \(48 \over 4\)

en dus: 12 x 4 = 1 x 48

Kruislingsvermenigvuldigen gebruiken we in de volgende voorbeelden.

Voorbeeld 4-1

Rechthoekszijde berekenen als een hoek bekend is.

  1. tan \(\angle A\) = \(overstaande zijde \over aanliggende zijde\)
     
  2. tan(61) = \(BC\over AC\)
     
  3. tan(61) = \(? \over 17\)
     
  4. \(tan(61) \over 1\) = \(? \over 17\)
     
  5. Kruislingsvermenigvuldigen: 1 x ? = tan(61) x 17
     
  6. ? = 30,668813
     
  7. BC= 30,7 cm (afronden op 1 decimaal)

Voorbeeld 4-2

Ander voorbeeld.

  1. tan \(\angle P\) = \(overstaandezijde \over aanliggendezijde\)
     
  2. tan(50) = \(RQ \over PR\)
     
  3. tan(50) = \(35 \over ?\)
     
  4. \(tan(50) \over 1\)= \(35 \over ?\)
     
  5. kruislingsvermenigvuldigen: tan(50) x ? = 1 x 35
     
  6. ? = (1 x 35) / tan(50) (links en rechts delen door tan(50))
     
  7. ? =29,368487
     
  8. PR = 29,4 cm

Video deel 4

Wanneer je nog meer uitleg wilt kun je onderstaande video bekijken.

Anders ga je door naar  Oefening 4.

Oefening 4

Stelling van Pythagoras

De Stelling van Pythagoras heb je al eerder gehad.

Deze gebruiken we nu om de schuinezijde van een rechthoekige driehoek uit te rekenen, wanneer we de tweede rechthoekszijde hebben berekend.

Uitleg 5

De stelling van Pythagoras kan je op verschillende manieren gebruiken.

Hier doen we dat als volgt:

\(\begin{array}{c|c} zijde & kwadraat \\ \hline rhz: DE=6 & 36 \ \ \ \\ rhz: EF=8 & \underline{64 \ }_+\\ sz: DF=10 & 100 \ \ \ \ \ \\ \end{array}\)

           

 

 

Voorbeeld 5-1

Bereken AB met de stelling van Pythagoras.

In Voorbeeld 4-1 hebben we zijde BC uitgerekend. BC=30,7 cm.
Echter dit is een reeds afgerond getal.

Niet (minder) afgerond is BC = 30.668813.

Dit getal gebruiken we in de Stelling van Pythagors.

\(\begin{array}{l|c} zijde & kwadraat \\ \hline rhz: AC=17 & 17^2 \ \ \ \\ rhz: BC=30.668813 & \underline{30.668813^2 \ }_+\\ sz: AB & AB^2 \ \ \ \ \ \\ \end{array}\)

 

AB2 = 289+940,57607=1229,5761

AB =\(\sqrt{1229,5761}\)= 35,065312

AB = 35,1 cm

Voorbeeld 5-2

Bereken PQ met de stelling van Pythagoras.

In Voorbeeld 4-2 hebben we zijde PR uitgerekend. PR=29,4 cm.
Echter dit is een reeds afgerond getal.

Niet (minder) afgerond is PR = 29,368487 .

Dit getal gebruiken we in de Stelling van Pythagors.

\(\begin{array}{l|c} zijde & kwadraat \\ \hline rhz: PR=29,368487 & 29,368487^2 \ \ \ \\ rhz: QR=35 & \underline{35^2 \ }_+\\ sz: PQ& PQ^2 \ \ \ \ \ \\ \end{array}\)

 

PQ2 = 862,50803+1225=2087,508

PQ =\(\sqrt{2087,508}\)= 45,689255

PQ = 45,7 cm