Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Rechthoekige driehoeken

Rechthoekige driehoeken

Rechthoekige driehoeken

Wat ga ik leren?

Je gaat in deze paragraaf de oppervlakte en op een slimme manier de lengte van de schuine zijde bepalen van een rechthoekige driehoek.

Opgaven

De vlag van Blauw-Wit

De vlag van Blauw-Wit

De vlag van Blauw-Wit is 125 bij 80 cm.

a Hoe groot is de oppervlakte van de vlag?

b Hoe groot is de oppervlakte van het blauwe deel?

 

 

 

In een rooster

In een rooster

In het rooster is een aantal driehoeken getekend. Elk hokje is 1 cm2.
Bereken van elke driehoek de oppervlakte.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Een tuin

Een tuin

In een rechthoekige tuin van 20 bij 30 meter is in elke hoek een border met planten aangelegd. De rest is gazon.

Bereken de oppervlakte van het gazon.

 

 

 

 

 

Punten in een rooster

Punten in een rooster

Neem het rooster over in je schrift. De afstand tussen twee streepjes is 1 cm.

a Verbind punt 1 op de horizontale as met punt 7 op de verticale as. Zo krijg je een rechthoekige driehoek met de hoek bij 0 als rechte hoek.

b Verbind ook punt 2 op de horizontale as met punt 6 op de verticale as, punt 3 op de horizontale as met punt 5 op de verticale as, enzovoort.

Je krijgt zo nog zes andere rechthoekige driehoeken met de hoek bij 0 als rechte hoek.

c Kleur de driehoek met de grootste oppervlakte.

d Hoe groot is de oppervlakte van die driehoek?

 

 

Vijf vijvers

Vijf vijvers

In een park zijn vijf vierkante vijvers, \(A\) t/m \(E\), aangelegd. Naast elke vijver liggen vier stukjes grasveld. Daar omheen liggen paden, betegeld met tegels van 1 bij 1 meter.
Bereken de oppervlakte van elk van de vijvers.

 

 

 

 

 

De schuine zijde meten

De schuine zijde meten

Een driehoek met een rechte hoek heet een rechthoekige driehoek.
De zijden die samen de rechte hoek vormen, worden de rechthoekszijden genoemd. De zijde tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde van de rechthoekige driehoek. De schuine zijde wordt ook wel hypotenusa genoemd.

 

Afgebeeld zijn een aantal rechthoekige driehoeken. De rechthoekszijden in elke driehoek zijn een geheel aantal cm lang.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a Meet in mm nauwkeurig de schuine zijde van elke driehoek en schrijf het resultaat in je schrift. Sleep daarvoor de liniaal naar de juiste plek. Je kunt hem draaien met de rode stip.

Het lijkt erop dat de lengte van de schuine zijde van driehoek \(B\) een geheel getal is, namelijk 5 cm. Maar door te meten kun je de precieze lengte van de schuine zijde van de driehoek niet vinden. We kunnen die wel berekenen. Bekijk daarvoor de figuur.

Vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van 3 en 4 cm zijn zó aan elkaar gelegd, dat rondom een vierkant van 7 bij 7 ontstaan is.
De blauwe vierhoek in het midden lijkt ook wel een vierkant.

b  Is dat ook echt zo? Met andere woorden: zijn alle zijden even lang en zijn ook alle vier de hoeken \(90°\)?

c Bereken de totale oppervlakte van de vier oranje driehoeken samen.

d Hoe groot is dus de oppervlakte van het blauwe vierkant in het midden?

e Leg uit dat uit het laatste antwoord volgt dat de schuine zijde van de oranje driehoek precies 5 cm lang is.

 

Bij de 3-4-5-driehoek is de lengte van alle drie de zijden een geheel getal. Dat is heel bijzonder, want bij lang niet alle rechthoekige driehoeken komt dat zo mooi uit. De 3-4-5-driehoek is al heel lang bekend. Op een Egyptische papyrusrol uit de twaalfde dynastie ( ±2000 voor Chr.) wordt er al melding van gemaakt. Het schijnt dat Egyptische landmeters (de touwspanners) deze driehoek gebruikten om rechte hoeken uit te zetten bij de bouw van tempels en piramiden.

 

 

In de bouw

In de bouw

Opmerking

We hebben gezien dat bij een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden 3 en 4 eenheden lang zijn, de schuine zijde 5 eenheden is. De Egyptische landmeters deden precies het omgekeerde. Zij namen een 3-4-5-driehoek en gingen er dan van uit dat de hoek tegenover de langste zijde (die van 5 eenheden) recht is. Dit klopt want alle 3-4-5-driehoeken zijn immers gelijkvormig.

 

Ook in onze tijd wordt in de bouw gebruik gemaakt van de 3-4-5-driehoek. Een timmerman maakt voor het nauwkeurig meten van rechte hoeken soms gebruik van een zelfgemaakte bouwhaak. Zo'n bouwhaak bestaat uit drie latten van bijvoorbeeld 3, 4 en 5 dm lang. Als hij daar een driehoek van timmert, is één hoek precies haaks. Hij kan natuurlijk ook een grotere driehoek maken, die gelijkvormig met de 3-4-5-driehoek is. Je ziet er hier drie van.

 

 

 

 

 

 

a Hoe lang is bij deze bouwhaken de lengte van de schuine verbindingslat?

Een timmerman wil met zijn duimstok meten of een deurkozijn haaks is, dus of de hoeken recht zijn. Hij heeft streepjes gezet op afstanden van 60 en 80 cm uit de hoek.

b Hoe groot is de afstand tussen de twee streepjes als het kozijn haaks is?

c Wat kun je over de hoek zeggen als blijkt dat de afstand 98 cm is?

d Wat kun je over de afstand tussen de streepjes zeggen als de hoek groter is dan \(90°\)?

 

 

 

Hoe lang is de schuine zijde? (1)

Hoe lang is de schuine zijde? (1)

Afgebeeld zijn vier rechthoekige driehoeken waarvan de rechthoekszijden 5 en 12 lang zijn met punten aan elkaar gelegd. Zo krijg je een groot vierkant van 17 bij 17 en een klein vierkant in het midden.

a Bereken de oppervlakte van het kleinere vierkant in het midden.

b Wat is dus de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de rechtshoekzijden 5 en 12 zijn?

 

 

 

Hoe lang is de schuine zijde? (2)

Hoe lang is de schuine zijde? (2)

We hebben weer een bijzondere rechthoekige driehoek: als de rechthoekszijden 5 en 12 zijn, is de lengte van de schuine zijde ook een geheel getal, namelijk 13.

We bekijken nog zo'n geval: de rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden 8 en 15 lang zijn. Om de schuine zijde van deze driehoek te bepalen kun je de tekening gebruiken.

a Bereken de oppervlakte van het kleinere vierkant in het midden.

b Hoe lang is dus de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 8 en 15?

 

 

 

Hoe lang is de schuine zijde? (3)

Hoe lang is de schuine zijde? (3)

a Bereken de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden 20 en 21 lang zijn.

b Bereken de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvan de rechthoekszijden 40 en 42 cm lang zijn. Gebruik het antwoord van opgave a.

 

Door op een slimme manier vier rechthoekige driehoeken aan elkaar te leggen, kun je de lengte van de schuine zijde bepalen. Het berekenen van deze lengte kan nog wel een beetje handiger dan je tot nu toe hebt gedaan. Hiervoor gebruiken we de stelling van Pythagoras. Lees maar gauw verder.

 

Super opgaven

Super: oppervlakte van de driehoeken

Super: oppervlakte van de driehoeken

Wat is de oppervlakte van de twee rechthoekige driehoeken?

 

 

 

 

 

 

 

Super: blauwe vierkanten

Super: blauwe vierkanten

Elk hokje in het rooster is \(a\) bij \(a\).
Bereken de oppervlakte van de blauwe vierkanten \(A\), \(B\) en \(C\).

 

 

 

Super: oppervlakte van het kleine vierkant

Super: oppervlakte van het kleine vierkant

Afgebeeld zie je hoe met vier rechthoekige driehoeken waarvan de rechthoekszijden \(x\) en \(1−x\) lang zijn, een groot vierkant is gelegd.
Hoe groot is de oppervlakte van het kleinere vierkant in het midden?
Schrijf je antwoord zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

 

 

 

 

  • Het arrangement Rechthoekige driehoeken is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-11-13 13:15:38
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Paragraaf 1 van thema 'Pythagoras', stercollectie 2.0, V2, wiskunde, Wageningse Methode
    Leerniveau
    VWO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud; Hoeken;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    1 uur 45 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (2019).

    Lege paragraaf

    https://maken.wikiwijs.nl/150182/Lege_paragraaf

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2017).

    17. Pythagoras

    https://maken.wikiwijs.nl/117032/17__Pythagoras

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van