Patronen en formules

Patronen en formules

Patronen en formules

Wat ga ik leren?

In een rij met patronen zit vaak een regelmaat.

In deze paragraaf leer je hoe je deze regelmaat systematisch kunt vastleggen in een formule.

Ook leer je hoe je het vermenigvuldigingsteken × korter kunt schrijven.

 

Opgaven

Patronen beschrijven met formules

Patronen beschrijven met formules

In figuur 1 is een rij vierkante roosters getekend. Er zit regelmaat in de rij. De onderste twee rijen en de linker zijkant zijn gekleurd.

figuur 1

  1. Teken het eerstvolgende patroon.

  2. Neem de tabel over en vul hem in.

    Zijde vierkant \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
    Aantal gekleurde hokjes        

     
  3. Hoeveel gekleurde hokjes heeft het vierkant met zijde \(20\)?

De leerlingen van klas 1a hebben onderdeel c op verschillende manieren opgelost.

Hans:

\(3×20−2\)

Minke:

\(20×20−19×18\)

Stef:

Er komen steeds \(3\) gekleurde hokjes bij. Bij zijde \(7\) heb je \(19\) gekleurde hokjes. Dus bij zijde \(20\) komen er \(13\) keer \(3\) gekleurde hokjes bij. Het antwoord is dan \(19+3×13=58\).

Irene:

\(2×20+18\)

Paul:

Uit mijn tabel lees ik \(58\) af.

Ines:

\(3×19+1\)
  1. Controleer of deze berekeningen goed zijn.
  2. Staat jouw berekening erbij?

Vaak kun je de manier waarop je iets berekend hebt, toelichten met een plaatje. In figuur 2 staan plaatjes die horen bij de berekeningen van klas 1a.

figuur 2

 

  1. Schrijf op welk plaatje bij welke leerling hoort.

Dolf schrijft in zijn schrift:
"Het aantal gekleurde hokjes is \(3\ ×\) lengte zijde\(−\ 2\)".
Hij heeft nu een regel gevonden waarmee hij voor elk vierkant uit de rij het aantal gekleurde hokjes kan bepalen.

  1. Controleer of de regel van Dolf klopt.

 

Formules en variabelen

Formules en variabelen

Een regel als aantal gekleurde hokjes \(=\ 3\ ×\) lengte zijde\(−\ 2\) heet een formule. Een formule beschrijft heel precies het verband tussen grootheden (hier het aantal gekleurde hokjes en de lengte van de zijde). De woorden in een formule worden vaak vervangen door letters. De formule wordt dan:

\(h=3×z−2\).

Als je een formule zo opschrijft, moet je er wel bijzetten wat de letters betekenen:
\(h\) is het aantal gekleurde hokjes;
\(z\) is de lengte van de zijde.

Omdat de waarde van de letters kan variëren, noemen we deze variabelen.


Met behulp van stippen kun je patronen maken. In figuur 1 zie je de eerste vier V-patronen. Elk patroon heeft een nummer.

figuur 1

 

In figuur 2 zie je een V-patroon met \(13\) stippen.

figuur 2

 

  1. Welk nummer hoort bij dit patroon?
  2. Neem de tabel over en vul hem in.
    Nummer \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
    Aantal stippen \(3\)            
  3. Hoeveel stippen heeft het V-patroon met nummer \(25\)?
  4. Bestaat er een V-patroon met \(45.088\) stippen? Geef uitleg.
  5. Kun je met alle stippen van twee V-patronen (ze hoeven niet hetzelfde nummer te hebben) een nieuw V-patroon maken? Geef uitleg.
  6. Bedenk een manier om bij een gegeven nummer het aantal stippen van het V-patroon te vinden.
  7. Geef jouw manier ook in formulevorm. Noem het nummer \(n\) en het aantal stippen in het V-patroon \(V\).

Je kunt jouw formule controleren door enkele getallen in te vullen.

  1. Neem voor \(n\) de waarden \(3\), \(4\) en \(5\) en ga na of je formule klopt.

 

W-patroon

W-patroon

Door wat stippen toe te voegen aan een V-patroon, krijg je een W-patroon. De eerste drie W-patronen zijn getekend.

  1. Neem de tabel over en vul hem in.
    Nummer \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
    Aantal stippen \(5\)            

  2. Hoeveel stippen heeft het W-patroon met nummer \(25\)?

  3. Bedenk een formule voor het aantal stippen in het patroon met nummer \(n\). Vergeet niet je formule te controleren.

  4. Noem het W-getal \(W\) en het V-getal \(V\). Wat is het verband tussen een W-getal en een V-getal met nummer \(n\)? Is dit \(W=2×V\) of toch niet?

 

Afspraken over vermenigvuldigen

Afspraken over vermenigvuldigen

Voordat je verder kunt met het maken van formules, moeten we eerst een aantal afspraken maken.

Afspraak over het maal-teken

In formules zul je vaak de letter \(x\) gebruiken. Dat geeft natuurlijk verwarring met de \(×\) van vermenigvuldigen. Daarom schrijf je voortaan in plaats van de \(×\) voor vermenigvuldiging een punt.
Dus \(3×5=15\) wordt nu \(3⋅5=15\). En \(12×x\) wordt \(12⋅x\).

 

  1. Schrijf op de juiste manier volgens de afspraak en bereken de uitkomst:
    \(15×3\)
    \(4×2,5\)
    \(12×6×2\)
  2. Bereken:
    \(25⋅4\) \(4⋅25\)
    \( 15⋅6\) \( 6⋅15\)
    \(13+15\) \(15+13\)
    \(16+34\) \(34+16\)
    \(4:2\) \(2:4\)
    \(40:5\) \(5:40\)
    \(17-7\)  
    \(38-16\)  
  3. Kun je ook \(7−17\) en \(16−38\) berekenen?
  4. Welke van de volgende beweringen zijn juist (\(a\) en \(b\) stellen getallen voor)?
    \(a⋅b=b⋅a\) \(a+b=b+a\)
    \(a:b=b:a\) \( a−b=b−a\)

  5. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Denk aan de afspraak over volgorde. De eerste som is als voorbeeld al gemaakt.
    \(3⋅5⋅a=15⋅a\)
    \(a⋅3⋅4\)
    \(3⋅a⋅6\)

Voor de optelling maken we een dergelijke afspraak niet; of je nu \(8+a\) opschrijft of \(a+8\), dat maakt niet uit.

  1. Schrijf zo eenvoudig mogelijk; de eerste som is al gemaakt.
    \(a+3+5=a+8\)
    \(7+a+3\)
    \(a+9+5\)

Afspraak over de volgorde

Als \(x\) een getal is dan is \(x⋅3\) hetzelfde getal als \(3⋅x\).
Voortaan schrijf je \(x⋅3\) altijd als \(3⋅x\).
Net zo schrijf je \(a⋅3\) als \(3⋅a\).
Dus bij het product van een getal en een variabele zet je altijd het getal voorop.

 

Oefenen met formules maken

Oefenen met formules maken

Met lucifers kun je goed patronen leggen. Bekijk maar eens de figuur.

  1. Neem de tabel over en vul hem in.
    Patroonnummer \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
    Aantal lucifers            

  2. Uit hoeveel lucifers bestaat het patroon met nummer \(25\)?

  3. Bestaat er een patroon met \(708\) lucifers? Geef uitleg.

  4. Bedenk een formule waarmee je het aantal lucifers kunt berekenen als je het nummer van het patroon kent. Vergeet niet je formule te controleren.

 

Patronen

Patronen

De lucifers zijn in een ander patroon gelegd.

  1. Bedenk zelf een manier hoe je het aantal lucifers kunt berekenen zonder de patronen te hoeven tekenen en vul hiermee de tabel in.
    Patroonnummer \(4\) \(7\) \(10\) \(30\) \(100\)
    Aantal lucifers          

  2. Bestaat er een patroon met \(40.996\) lucifers? Geef uitleg.

  3. Bedenk een formule waarmee je het aantal lucifers kunt berekenen als je het nummer van het patroon kent. Vergeet niet je formule te controleren.

 

Vierkante roosters

Vierkante roosters

Bekijk eens de vierkante roosters. De hokjes op de diagonaal zijn steeds gekleurd.

  1. Bedenk een formule waarmee je het aantal gekleurde hokjes kunt berekenen als je de lengte van de zijde kent. Vergeet niet je formule te controleren.
  2. Bedenk een formule waarmee je het aantal witte hokjes kunt berekenen als je de lengte van de zijde kent. Controleer je antwoord.

 

Wil je meer oefenen met formules, dan kan dat met de applet Stippenpatronen.

 

Extra oefenen met Mini-loco

Wil je meer oefenen met patronen en formules bij patronen, op een speelse manier, dan kan dat met de volgende twee applets. Klik op de bijbehorende knop.

Mini-loco stippenpatronen (getallen)

Mini-loco: stippenpatronen (1)

 

Mini-loco stippenpatronen (formules)

Mini-loco stippenpatronen (2)

 

 

Super opgaven

Formules

Formules

In een vierkant van \(n\) bij \(n\) hokjes worden de hokjes op de diagonalen gekleurd. In de figuur zie je dat voor \(n=6\) en \(n=7\).

  1. Zoek een formule voor het aantal gekleurde hokjes. Onderscheid twee gevallen.
  2. Zoek ook een formule voor het aantal witte hokjes. Onderscheid twee gevallen.

In een kubus van \(n\) bij \(n\) bij \(n\) blokjes worden de blokjes op de vier lichaamsdiagonalen gekleurd.

  1. Zoek een formule voor het aantal gekleurde blokjes. Onderscheid weer twee gevallen.

 

Oefenen met formules maken

Oefenen met formules maken

In deze opdracht bekijken we twee typen trappen, die zijn opgebouwd uit kubusjes. De trappen van hoogte \(5\) zijn afgebeeld. Trap 1 kun je van twee kanten bestijgen, trap 2 van vier kanten. De trappen zijn 'hol' : de treden zijn twee blokken dik.

  1. Uit hoeveel kubusjes is elk van deze twee trappen opgebouwd?

We maken nog twee van zulke trappen, maar dan groter: \(7\) kubusjes hoog.

  1. Uit hoeveel kubusjes zijn de twee grotere trappen opgebouwd?
  2. Geef bij elk type een formule voor het aantal kubusjes van de trap van hoogte \(n\).

 

Wil je meer oefenen met formules, dan kan dat met de applet Stippenpatronen.

 

  • Het arrangement Patronen en formules is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2019-08-08 19:31:32
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Paragraaf 1 van thema 'Formules', Stercollectie 2.0, vh1, wiskunde, Wageningse Methode
    Leerniveau
    HAVO 1; VWO 1;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden en formules; Patronen en regelmaat; Grafieken, tabellen, verbanden en formules; Vaktaal verbanden;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    1 uur 15 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (2019).

    De distributiewetten

    https://maken.wikiwijs.nl/138271/De_distributiewetten

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2017).

    3. Formules

    https://maken.wikiwijs.nl/101674/3__Formules

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van