Thema 3 Formules - havo/vwo1

Thema 3 Formules - havo/vwo1

Formules

Inleiding

Einstein ontdekte de beroemde formule \(E=m \cdot c^2\) (in dit hoofdstuk leer je wat de \(\cdot\) en \(c^2\) betekenen). Dankzij die formule kunnen we kernenergie opwekken en - helaas - atoombommen maken. In hoofdstuk 1 ben je zelf al met formules bezig geweest. Zo heb je gezien dat het aantal grensvlakken van een \(n\)-zijdige prisma gelijk is aan \(n +2\).

In de bovenstaande voorbeelden legden Einstein en jijzelf verbanden tussen grootheden. We spreken over een verband als de ene grootheid afhangt van de andere. Mensen zijn gek op het leggen van verbanden. We doen dat zelfs onbewust. Ook jij legt verbanden. Lees maar eens de volgende voorbeelden.

  • Hoe groter het grasveld, des te langer duurt het maaien. De grootheid maaitijd is afhankelijk van de grootheid grootte van het grasveld.

  • Hoe langer het telefoongesprek, des te hoger zijn de kosten. De grootheid kosten is afhankelijk van de grootheid beltijd.

  • Hoe meer hoeken in een veelhoek, des te meer zijden. De grootheid aantal zijden is afhankelijk van de grootheid aantal hoeken.

 

In de eindopdracht ga je een champagnetoren bouwen.

 

 

Wat kan ik al?

Je kunt al een regelmaat herkennen in een (eenvoudige) rij van patronen.
Dat doe je eigenlijk als vanzelf.

Toch gaan we dat nog even oefenen.

Wat kan ik straks?

Aan het einde van dit thema kan ik:

  • Een regelmaat herkennen en en benoemen;
  • Bij een regelmaat een tabel maken;
  • Een regelmaat omzetten naar een formule;
  • Een bijzonder kwadratisch verband herkennen en gebruiken: de driehoeksgetallen;
  • Formules anders en/of eenvoudiger schrijven, met name als er haakjes in staan;
  • Al een beetje met formules rekenen.

Wat ga ik doen?

Het thema 'Formules' bestaat uit de volgende onderdelen:

Onderdeel Tijd (lesuren)
Inleiding 0,5
Paragraaf 1: Patronen en formules 1
Paragraaf 2: Kwadraten 0,5
Paragraaf 3: Formules en gelijkheden 0,5
Paragraaf 4: Driehoeksgetallen 1
Paragraaf 5: De distributiewetten 1,5
Afsluiting  
Samenvatting (goed doornemen) 0,25
Diagnostische toets 1
Extra opgaven (keuze) 0,75
Eindopdracht 1,5
Totaal 8

 

Gewone opgaven en Super opgaven

Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker.
Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.

Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.

In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.

De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.

 

Paragrafen

Het eerste waar je bij 'wiskunde' aan denkt zijn misschien toch wel formules. In strips en in films zie je vaak grote borden vol met ingewikkelde formules.

In dit thema gaan we aan de slag met de eerste (eenvoudige) formules: als we een regelmaat ontdekken, dan gaan we dat proberen te vatten in een formule.
Formules gaan in het algemeen over verbanden. We spreken over verbanden als de ene grootheid afhangt van de andere.

In de volgende paragrafen leer je welke formules er horen bij welke soort verbanden en patronen, hoe je het resultaat van een formule kunt uitrekenen en hoe je formules eenvoudiger kunt opschrijven.

Paragraaf 1

Patronen en formules
Paragraaf 2

Kwadraten
Paragraaf 3

Formules en gelijkheden
Paragraaf 4

Driehoeksgetallen
Paragraaf 5

Distributiewetten
 

Afsluiting

Samenvatting

Afspraken

In plaats van de x voor vermenigvuldiging schrijf je voortaan een punt. Dus 3 × 5 = 15 wordt nu ​​​​​​​3 ⋅ 5 = 15. En ​​​​​​​12 × x wordt ​​​​​​​12 ⋅ x.

Bij het product van een getal en een variabele zet je altijd het getal voorop. Dus in plaats van ​​​​​​​x ⋅ 3 schrijf je voortaan altijd ​​​​​​​3 ⋅ x.

Patronen en formules

In de rij met vierkante roosters zit regelmaat.

De formule g = 3 ⋅ z − 2 geeft het verband tussen de grootheden "aantal gekleurde hokjes" (g) en "lengte van de zijde" (z). Omdat de waarde van de letters kan varieren, noemen we deze variabelen. Je kunt een formule controleren door enkele getallen in te vullen.

Om de regelmaat in een rij patronen te ontdekken, kan het helpen om:

  • het volgende patroon uit de rij te tekenen;

  • een tabel te maken.

Kwadraten

81 is een kwadraat, want 81 = 9 ⋅ 9.
Je kunt ook zeggen: 81 is het kwadraat van 9.

Je kunt 9 ⋅ 9 ook schrijven als 92.
Spreek uit: negen-kwadraat.

Je kunt ​​​​​​​n ⋅ ​​​​​​​n ook schrijven als n2.
Spreek uit: n-kwadraat.

Gelijkheden

De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren berekenen:

lengte \(\cdot\) breedte:

(a + 2) ⋅ (b + 3)

de som van de delen:

a ⋅ b + 3 ⋅ a + 2 ⋅ b + 6

Deze uitdrukkingen zien er verschillend uit, maar na het invullen van willekeurig getallen voor \(a\) en \(b\) geven ze dezelfde uitkomst. Zo krijg je de gelijkheid (a + 2) ⋅ (b + 3) = a ⋅ b + 3 ⋅ a + 2 ⋅ b + 6.

Driehoeksgetallen

Bij het driehoeksgetal 21 kan een stippenplaatje worden getekend. Het plaatje bestaat uit 21 stippen.

Getallen die je door een driehoekig stippenpatroon kunt voorstellen, worden driehoeksgetallen genoemd. Het aantal stippen op de onderste rij heet de basis van het driehoeksgetal.

Het driehoeksgetal met basis 6 kun je op twee manieren berekenen:

1e manier:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

2e manier:

(6 + 1) ⋅ 6 : 2 = 21

Dus:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (6 + 1) ⋅ 6 : 2


Het stippenplaatje van het driehoeksgetal met basis ​​​​​​​n bestaat uit 1 + 2 +3 + … + n = (n + 1) ⋅ n : 2 stippen.

Distributiewetten

figuur 1

Je kunt de oppervlakte van de rechthoek in figuur 1 op twee manieren schrijven:

met haakjes:

a ⋅ (b + c)

zonder haakjes:

a ⋅ b + a ⋅ c


Zo vind je de gelijkheid ​​​​​​​a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

figuur 2

Bij de oppervlakte van het donkere stuk in figuur 2 hoort de gelijkheid ​​​​​​​a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c.

De gelijkheden

  • a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
  • a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c

heten de distributiewetten.

Eindopdracht

Een champagnetoren ontstaat door een aantal champagneglazen op elkaar te stapelen. Er ontstaat een tapse vorm met een glas op het hoogste punt.

In deze opdracht gaan we een champagnetoren bouwen in de klas.
We gebruiken geen echte glazen, maar 1000 kartonnen bekertjes.
Maar eerst gaan we uitrekenen hoe hoog en hoe breed onze toren wordt.

Eindopdracht  Champagetoren

 

 

D-toets

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema 'hoeken' voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

Extra opgaven Basis

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra opgaven Plus

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Terugblik

  • Het arrangement Thema 3 Formules - havo/vwo1 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    06-08-2025 14:33:20
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Het thema 'Formules' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. Dit is thema ’Formules'. De volgende onderdelen worden behandeld: een regelmaat herkennen en en benoemen, bij een regelmaat een tabel maken, een regelmaat omzetten naar een formule, een bijzonder kwadratisch verband herkennen en gebruiken: de driehoeksgetallen, formules anders en/of eenvoudiger schrijven, met name als er haakjes in staan en al een beetje met formules rekenen.
    Leerniveau
    HAVO 1; VWO 1;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen met variabelen; Kwadratische verbanden; Grafieken, tabellen, verbanden en formules;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    8 uur 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, driehoeksgetallen, formule, haakjes, havo/vwo 1, kwadratisch verband, regelmaat, stercollectie, tabel, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Formules

    Formules

    Formules

    Formules

    Formules

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Wikiwijs is een dienst van