Breuken, handigheidje mislukt?
Laten we eens kijken naar het volgende sommetje met breuken: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
We zorgen ervoor dat de noemers van de beide breuken gelijk worden en tellen de tellers bij elkaar op. Deze werkwijze kan hier eenvoudig door \(\frac{1}{2}\) naar de \(\frac{3}{6}\) te brengen door zowel de teller als de noemer van de breuk te vermenigvuldigen met 3. Na afloop de uitkomst vereenvoudigen en klaar.
Een soort gelijk iets kan ook met: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{1\times 2}{3\times 2}+\frac{1\times 3}{2\times 3}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}\)
Samengestelde breuk
Tot zover helemaal helder en eenduidig. Anders wordt het wanneer we de volgende opgave bekijken: \(2\frac{1}{6}+3\frac{1}{2}=?\)
Ons rekenboek geeft de volgende oplossing:\(2\frac{1}{6}+3\frac{1}{2}=2+3+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=5+\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=5\frac{4}{6}=5\frac{2}{3}\)
Er is ook een methode, die misschien nu omslachtiger is maar minder kans op fouten geeft in andere rekenkundige bewerkingen. Namelijk eerst alles omzetten naar breuken en gelijknamig maken en dan optellen.
\(2\frac{1}{6}+3\frac{1}{2}=\frac{12}{6}+\frac{1}{6}+\frac{6}{2}+\frac{1}{2}=\frac{13}{6}+\frac{7}{2}=\frac{13}{6}+\frac{21}{6}=\frac{34}{6}=\frac{30}{6}+\frac{4}{6}=5\frac{4}{6}=5\frac{2}{3}\)
Indien je dit vaker gedaan hebt kunnen er stapjes overgeslagen worden maar in principe is alles een bekende techniek.
Nu heb je dus 2 verschillende technieken gezien waarmee je samengestelde breuken kunt uitrekenen. Alleen waarom verkies ik deze laatste methode boven de eerste?
Het probleem
Het probleem dat ik bij de ‘boek-methode’ zie, is de overgang naar \(2\frac{1}{6}\times 3\frac{1}{2}=?\)
Ik zie vaak de volgende oplossing: \(2\frac{1}{6}\times 3\frac{1}{2}=2\times 3\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=6\times \frac{1\times 1}{6\times 2}=6\times \frac{1}{12}=\frac{6\times 1}{12}=\frac{1}{2}\)of heel sterk lijkend op de 'boek-methode': \(2\times 3\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=6+ \frac{1\times 1}{6\times 2}=6+ \frac{1}{12}=6\frac{1}{12}\)
Twee totaal verschillende antwoorden en allebei ook fout!
De juiste oplossing is: \(2\frac{1}{6}\times 3\frac{1}{2}=\frac{13}{6}\times \frac{7}{2}=\frac{13\times 7}{6\times 2}=\frac{91}{12}=\frac{84}{12}+\frac{7}{12}=7\frac{7}{12}\)
De ‘omslachtige-methode’ geeft hier wel de juiste oplossing. Voor zowel het optellen als het vermenigvuldigen. Daarom verkies ik dus om eerst de gehele getallen, van een samengestelde breuk, in de breuk onder te brengen, om dan vervolgens de rest van de opgave uit te gaan werken.
Conclusie
Kan ik de ‘boek-methode’ dan helemaal niet gebruiken? Nee, maar je moet dan wel begrijpen hoe we de samengestelde breuken moeten interpreteren, namelijk: \(2\frac{1}{6}\times 3\frac{1}{2}=(2+\frac{1}{6})\times(3+\frac{1}{2})\).
En deze laatste kent een algebraïsche oplossing die we ook wel het dubbel product noemen.
\((a+b)\times(a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)
en in ons geval, dus:
\(2\frac{1}{6}\times 3\frac{1}{2}=(2+\frac{1}{6})\times(3+\frac{1}{2})=2\times 3+2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\times \frac{1}{2} \space \space =>\)
\(6+1+\frac{3}{6}+\frac{1}{12}=7+\frac{6}{12}+\frac{1}{12}=7\frac{7}{12}\)
