Hoofdpagina

Hoofdpagina

Verbreding lesaanbod wiskunde Bataafs Lyceum

Toelichting

Wanneer je tijd over hebt binnen het hoofdstuk waarmee je bezig bent en je wilt je verder verbreden binnen onderdelen van de wiskunde kun je hieronder een keuze maken om je binnen een bepaald thema verder te verdiepen

Welke onderdelen kun je uit kiezen:

Geogebra (grafieken tekenen met de computer)

Getallenstelsels

Priemgetallen

Gulden snede

De gulden snede is de verdeling van een lijnstuk in twee delen in een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat a : b = (a+b) : a.

Verhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. De eerste zou geschreven zijn door Theano, een arts en wiskundige die tot de school van Pythagoras behoorde. Maar dit werk zou verloren zijn geraakt. De eerste die er dan uitdrukkelijk over schreef was Euclides. In zijn Elementen geeft hij de eerst bekende definitie van de gulden snede, die hij aanduidde als "extreme en gemiddelde verhouding". Zijn verhandeling over het onderwerp werd in 1509 aan de vergetelheid ontrukt door de Italiaan Luca Pacioli. In De Divina Proportione noemt deze de gulden snede de "goddelijke verhouding".

Johannes Kepler beschreef de gulden snede als een "kostbaar juweel": "De meetkunde heeft twee grote schatten: de ene is de stelling van Pythagoras, en de andere de verdeling van een lijn in extreme en gemiddelde ratio; de eerste kunnen we vergelijken met een hoeveelheid goud, de tweede mogen we een kostbaar juweel noemen."

Martin Ohm wordt verondersteld de eerste te zijn die de term gulden snede gebruikte om deze verhouding te beschrijven. Hij deed dat omstreeks 1830.

Roger Penrose ontdekte een patroon (de Penrose-betegeling) dat de gulden snede gebruikt in het veld van niet-periodieke vlakvullingen. Dit leidde tot nieuwe inzichten in quasikristallen.

Het duurde tot de 19e eeuw voordat de gulden snede buiten het domein van de wiskunde een bijzondere betekenis werd toegekend. De gulden snede zou sindsdien volgens sommigen een intrinsieke schoonheid bezitten waardoor die verhouding veel zou voorkomen in klassieke architectuur en schilderkunst. De Duitser Adolf Zeising publiceerde in 1854 bijvoorbeeld Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. In dat boek verdedigt hij de opvatting dat het ideale menselijke lichaam volledig volgens de guldensnedeverhouding is opgebouwd. Ook de beelden die Phidias maakte in het Parthenon worden door sommigen in verband gebracht met de gulden snede. De eerste letter van zijn naam, de Griekse letter φ, werd daarom door Mark Barr gebruikt om de gulden snede aan te duiden.

De esthetische status van de gulden snede blijft omstreden. Eerder dan ca. 1830 komt de gulden snede niet voor in geschriften over schilderkunst of architectuur en voor de bewering dat de verhouding vaak zou voorkomen of dat de mens een onbewuste voorkeur voor deze verhouding zou hebben, bestaat geen statistisch bewijs. In de loop van de twintigste eeuw verwierf de gulden snede niettemin een plaats in diverse vormen van kunstonderwijs. Terwijl in de schilderkunst de gulden snede grotendeels werd losgelaten - met uitzondering van Salvador Dali die de gulden snede bewust toepaste - bestaat in de (reclame)fotografie bijvoorbeeld de traditie om significante onderdelen van een foto zodanig in de compositie op te nemen dat er een guldensnede-verdeling ontstaat. Anderen echter beweren dat de Gulden Snede juist extreem veel wordt toegepast in de Beeldende Kunst en niet alleen door Salvador Dali. Omdat de Gulden Snede zo veelvuldig voorkomt in de natuur (rij van Fibonacci) zijn we er als mens erg vertrouwd mee. Het is voor onze onderbewuste zintuiglijke verwerking sneller te begrijpen dan wanneer een verhouding niet voldoet aan de Gulden Snede. Hierdoor is het aannemelijk dat dit universeel als esthetisch wordt ervaren. Dit maakt de verhouding erg geschikt voor allerlei visuele kunsten, van architectuur en product design tot reclame en schilderkunst. De Gulden Snede maakt het mogelijk een goed gebalanceerd beeld te creëren waarbij de kijker sneller tot de kern komt en zo een betere esthetische ervaring heeft.

Heronder een voorbeeld van de relatie tussen Fibonacci en de gulden snede.

De Fibonacci-reeks vormt de rekenkundige basis voor de gulden snede. Dit is in 1611 ontdekt door de beroemde astronoom Johannes Kepler. Als je een getal uit de Fibonacci-reeks deelt door zijn voorganger uit de reeks, dan benadert de breuk het gulden-snede-getal Φ. In de tabel staan enkele getallen uit de Fibonacci-reeks gedeeld door het voorgaande getal, afgerond op vijf decimalen.

Ook in de muziekkunst is de gulden snede aanwijsbaar. Dit geldt met name voor klaviercomposities van Johann Sebastian Bach waarin het expressieve hoogtepunt, qua aantal maten, niet-zelden op het snijpunt blijkt te zijn gefixeerd van de basis-getalsverhouding van de gulden snede 1:1,618...

Keltische gnostici gebruikten de gulden snede onder meer in het Noorse pentagram dat ontdekt is door Harald Boehlke.

Een architectonisch maatsysteem dat bewust gebruikmaakt van de gulden snede is de Modulor. Het systeem werd tussen 1942 en 1955 ontwikkeld door de Zwitsers-Franse architect Le Corbusier en bestaat uit twee reeksen van maten: de rode reeks en de blauwe reeks.

Voor de rode reeks nam hij een maat van 183 cm als uitgangspunt—volgens Le Corbusier de lengte van het menselijk lichaam. Door die maat herhaaldelijk door φ te delen ontstaat de rij 183, 113, 70, 43, 27...

Voor de blauwe reeks deed hij hetzelfde met een maat van 226 cm—de lengte van het menselijk lichaam met uitgestrekte arm. Die maat is tevens een verdubbeling van de 'navelhoogte' (113 cm) die ook al in de rode reeks voorkwam: 226, 140, 86, 54 ...

Een bekend voorbeeld van een op de Modulor gebaseerd gebouw is Le Corbusiers Unité d'Habitation ('wooneenheid'): een "verticale stad" waarvan het eerste exemplaar in 1947 in Marseille werd gebouwd. Later volgden versies in Nantes, Berlijn, Briey en Firminy.

De lengte van een groot blok ten opzichte van een naastgelegen kleiner blok is de gulden snede, hierin is een logaritmische spiraal getekend

De Fibonacci spiraal, gebaseerd op de rij van Fibonacci

De gulden hoek (ongeveer 137,5°) is de hoek die een cirkel volgens de gulden snede verdeelt. In de natuur zien we die hoek terug in delen van bloemen zoals bloemblaadjes, zaden en kelkbladeren.

Dergelijke bloemdelen groeien uit stukjes weefsel die ontstaan op een vaste plaats, bijvoorbeeld bloemblaadjes die ontspringen in het hart van een bloem. Om optimaal zonlicht te kunnen opvangen is het belangrijk dat de blaadjes allemaal een andere kant op groeien en zo een schijf vormen. Als elk blaadje een gulden hoek met zijn voorganger vormt, wordt de schijf het efficiëntst gevuld. (Vergelijk dit bijvoorbeeld met een zeer inefficiënte hoek: 120°. Het vierde blaadje groeit in dat geval op precies dezelfde plek als het eerste blaadje, het zevende ook, enzovoort. Er ontstaan dan drie pakketjes van over elkaar heen groeiende blaadjes, op 0°, 120° en 240°.)

Een populaire theorie die iets vergelijkbaars beweert over de schelp van de Nautilus pompilius, blijkt bij nameting niet te kloppen. De logaritmische spiraal die door deze schelp wordt gevormd heeft een hoek van 107,04°, een hoek die noch met de gulden hoek noch met de gulden driehoek in verband valt te brengen.

 

De bedoelde verhouding a/b wordt het gulden getal genoemd en aangeduid met de Griekse letter \varphi (phi); zoals hieronder aangetoond wordt, geldt:

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618

Hoewel de wiskundige eigenschappen van de gulden snede al in de oudheid werden bestudeerd, dateert de term "gulden snede" pas uit de jaren 30 van de 19e eeuw.

Euclides heeft aangegeven hoe een lijnstuk verdeeld dient te worden om de gulden snede te verkrijgen. Die gulden snede bij het punt S in het lijnstuk AB is zo dat:

Secció àuria - Golden section.png

\frac{|AS|}{|SB|}=\frac{|AB|}{|AS|}.

Voor de lengten a en b van de delen betekent dat:

{\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}

De verhouding {\tfrac {a}{b}} heet het gulden getal en wordt aangeduid met \varphi .

Daarvoor geldt dus:

\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }},

wat leidt tot de vierkantsvergelijking

{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1},

\varphi ^{2}-\varphi -1=0,

met de positieve oplossing

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}61803398874989\ldots

De eenvoudigste constructie van de gulden snede gaat als volgt (zie afbeelding):

  • Teken een rechthoekige driehoek ABC met de rechthoekszijden AB van lengte 1 en BC van lengte 2. De schuine zijde AC heeft dan de lengte {\sqrt {5}}.
  • Cirkel vanuit A het punt B om naar het punt D op de schuine zijde
  • Cirkel vanuit C het punt D om naar het punt E op BC. Nu is

EC=DC={\sqrt {5}}-1,zodat

BE=2-({\sqrt {5}}-1)=3-{\sqrt {5}}.

Daaruit volgt: {\displaystyle BE\times BC=6-2{\sqrt {5}}=EC^{2}};.

dus: {\frac {BE}{EC}}={\frac {EC}{BC}},

met andere woorden: de zijde BC is verdeeld volgens de gulden snede.

Pythagorasbomen

Met de stelling van Pythagoras kun je ook tekeningen maken.

Een Pythagorasboom is een voorbeeld van een fractal, oftewel een figuur waarin je een bepaalde handeling blijft herhalen tot in het oneindige.

Deze Pyhtagoras boom maak je als volgt.

1)       Je begint met een vierkant.

Stacks Image 14

2)       Dan teken je een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de ribbe van het vierkant. In dit voorbeeld een gelijkbenige driehoek .

Stacks Image 15

3)       Op elke schuine zijde van de driehoek teken je dan weer een vierkant

Stacks Image 16

4)       Vervolgens teken je op overliggende zijde van het vierkant weer een driehoek met de zelfde verhouding als de eerst driehoek en de schuine zijde even lang is als de ribbe van het vierkant

Stacks Image 17

5)       Herhaal 2 t/m 4 een aantal keer en je krijgt een mooie boom.

 

Als je een variatie wilt maken neem dan eens een ongelijkbenige driehoek als uitgangspunt.

Het getal Pi

Het getal π, soms geschreven als pi, is een wiskundige constante, met in decimale notatie de getalswaarde 3,141 592 653... Het getal is de verhoudingtussen de omtrek en de diameter van een cirkel.

Pi-CM.svg

Het symbool π is de kleine letter pi uit het Griekse alfabet (overeenkomend met de Latijnse p). Dit symbool werd door Engelse wiskundigen William Oughtred in 1647, en Isaac Barrow in 1664 al gebruikt als afkorting van het Griekse woord περιφέρεια (periphereia = omtrek van een ronde vorm). De verhouding tussen diameter en omtrek gaven zij aan als δ/π waarbij δ als afkorting van het Griekse woord διάμετρος(diametros = diameter) werd gebruikt.

Tegenwoordig wordt π gebruikt in vrijwel elk wiskunde- en natuurkundeboek.

De kleine letter π dient niet verward te worden met de hoofdletter Π. Deze laatste wordt in de wiskunde in een geheel andere betekenis gebruikt, namelijk voor een product van een rij getallen.

Het getal π is dus het getal dat we krijgen wanneer we de omtrek van een cirkel delen door de diameter van die cirkel. De diameter van een cirkel is makkelijk te meten met een liniaal, in tegenstelling tot de omtrek, omdat die niet recht is.

Instructievideo's

  • Het arrangement Hoofdpagina is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Tom Boensma
    Laatst gewijzigd
    2019-03-27 14:49:27
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Leerlingen die zich willen verbreden kunnen keuzes maken binnen dit arrangement
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur 0 minuten

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Boensma, Tom. (2018).

    Vierkanten en rechthoeken

    https://maken.wikiwijs.nl/125217/Vierkanten_en_rechthoeken

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van