27. Wortels

27. Wortels

27 Intro

Opgave 1

Opgave 2

27.1 Zijde en oppervlakte van een vierkant

Opgave 3

Opgave 4


Voor een vierkant geldt:
Als de zijde \(z\) is, dan is de oppervlakte \(z^2\).
Als de oppervlakte \(a\) is, dan is de zijde \(\sqrt{a}\).

 

Opgave 5

\(\sqrt{a}\) wordt ook wel de vierkantswortel van \(a\) genoemd. In het Engels spreekt men van
“square root” \(a\) (square = vierkant, root = wortel). Pas in de 17de eeuw heeft het
teken   \(\sqrt{\space\space}\) algemeen ingang gevonden. Misschien is het teken afkomstig van de kleine
letter \(r\) (van het Latijnse woord radix, wat wortel betekent).

 

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17


De oplossingen van de vergelijking \(x^2=10\) zijn \(\sqrt{10}\) en \(‐\sqrt{10}\).

 

Opgave 18

27.2 Rekenregels voor wortels 1

Opgave 19


Afspraak

In het vervolg schrijven we \(3\sqrt2\) in plaats van \(3⋅\sqrt2\).

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23


Voor alles positieve getallen \(p\) en \(q\) geldt:
\(\sqrt{p}⋅\sqrt{q}=\sqrt{p⋅q}\)
\(\sqrt{p}+\sqrt{q} > \sqrt{p+q}\)

 

Opmerking:

De oppervlakte van vierkant \(B\) in het plaatje (zie opgave 20) is \(8\).
De zijde is dus \(\sqrt{8}\). Anderzijds hebben we gezien dat de zijde \(2\sqrt{2}\) is, dus \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\).
Je kunt ook met de regel \(\sqrt{p}⋅\sqrt{q}=\sqrt{p⋅q}\) inzien dat \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\) namelijk:
\(2\sqrt{2}=2⋅\sqrt{2}=\sqrt{4}⋅\sqrt{2}=\sqrt{4⋅2}=\sqrt{8}\).

 

Voorbeeld 1
\(5\sqrt{6}=5⋅\sqrt{6}=\sqrt{25}⋅\sqrt{6}=\sqrt{25⋅6}=\sqrt{150}\).

\(4\sqrt{5}=4⋅\sqrt{5}=\sqrt{16}⋅\sqrt{5}=\sqrt{16⋅5}=\sqrt{80}\).

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opmerking:

Voorbeeld 4
De volgende vormen kun je met hoogstens één \(\sqrt{\space\space}\)-teken schrijven, met een zo
klein mogelijk geheel getal onder het \(\sqrt{\space}\)-teken.
\(\sqrt{6}⋅\sqrt{3}=\sqrt{2}⋅\sqrt{3}⋅\sqrt{3}=3\sqrt{2}\)
(of: \(\sqrt{6}⋅\sqrt{3}=\sqrt{18}=\sqrt{9}⋅\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)).
\(\sqrt{5}⋅\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\).

Opgave 28

Opgave 29

27.3 Verbanden met wortels

Opgave 30

Opgave 31

Opgave 32

Opgave 33

Opgave 34

27.4 Rekenregels voor wortels 2

Opgave 35

Opgave 36

Opgave 37

Opgave 38

Opgave 39

Opgave 40

Opgave 41

Opgave 42

Opgave 43

27.5 Speciale driehoeken

Opgave 44

Opgave 45

Opgave 46

Opgave 47

Opgave 48

Opgave 49

27.6 Gemengde opgaven

Opgave 50

Opgave 51

Opgave 52

Opgave 53

Opgave 54

Opgave 55

Opgave 56

Opgave 57

Opgave 58

27.7 Derdemachtswortels

Opgave 59

Opgave 60

Opgave 61

27.7 Eindpunt

Definitie van √a voor a ≥ 0

\(\sqrt{a}\) is de lengte van de zijde van het vierkant met oppervlakte \(a\).
Dus \(a≥0\) en \((\sqrt{a})^2=a\).

Rekenregels voor wortels

Voor alle postieve getallen \(p\) en \(q\) geldt:
\(\sqrt{p}+\sqrt{q}>\sqrt{p+q}\)
\(\sqrt{p}⋅\sqrt{q}>\sqrt{p⋅q}\)
\(\sqrt{p}:\sqrt{q}>\sqrt{p:q}\) (anders geschreven: \(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}=\sqrt{\frac{p}{q}}\))

Wortels vereenvoudigen

  • \(\sqrt{20}\) schrijven als \(2\sqrt{5}\)
    een zo klein mogelijk geheel getal onder het  \(\sqrt{\space\space}\)-teken

  • \(\sqrt{1\frac14}\) schrijven als \(\frac12\sqrt5\)
    geen breuken onder het   \(\sqrt{\space\space}\)-teken

  • \(\sqrt{2\frac14}\) schrijven als \(1\frac12\)
    zo mogelijk zonder   \(\sqrt{\space\space}\)-teken schrijven

  • \(\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\) schrijven als \(\frac12\sqrt6\)
    geen wortels in de noemer laten staan

  • \(\sqrt3+\sqrt{12}=3\sqrt3\)
    gelijksoortige wortels samennemen

Vergelijkingen en speciale driehoeken

Vergelijkingen:
De oplossingen van de vergelijking \(x^2=10\)  zijn \(\sqrt{10}\) en \(‐\sqrt{10}\).


Speciale driehoeken:
In een \(30‐60‐90\)-graden-driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als \(1:\sqrt{3}:2\).

In een \(45‐45‐90\)-graden-driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als \(1:1:\sqrt2\).

Tabel:

\(α\) \(30°\) \(45°\) \(60°\)
\(\sin\ α\) \(\frac12\) \(\frac12\sqrt2\) \(\frac12\sqrt3\)
\(\cos\ α\) \(\frac12\sqrt3\) \(\frac12\sqrt2\) \(\frac12\)
\(\tan\ α\) \(\frac13\sqrt3\) \(1\) \(\sqrt3\)

 

Derdemachtswortels

Als de ribbe van een kubus \(r\) is, dan is de inhoud \(r^3\). Als de inhoud van een
kubus \(i\) is, dan is de ribbe \(\sqrt[3]{i}\).
Voor alle positieve getallen \(p\) en \(q\):
\(\sqrt[3]{p}⋅\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p⋅q}\).
In het algemeen geldt niet: \(\sqrt[3]{p}+\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p+q}\).

Voorbeelden

  • \(2\sqrt7=\sqrt4⋅\sqrt7=\sqrt{28}\)
    als één wortel schrijven

  • \(\sqrt{12\frac14}=\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac72=3\frac12\)
    zo mogelijk zonder wortel schrijven

  • \(\sqrt{2\frac25}=\sqrt{\frac{12}{5}}=\sqrt{\frac{60}{25}}=\sqrt{\frac{1}{25}}⋅\sqrt{60}=\frac15⋅\sqrt{4}⋅\sqrt{15}=\frac25\sqrt{5}\)
    geen breuken onder  \(\sqrt{}\)-teken

  • \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt6}=\sqrt\frac53=\sqrt{\frac{15}{9}}=\sqrt{\frac19}⋅\sqrt{15}=\frac13\sqrt{15}\)
    geen wortels in de noemer

  • \(\sqrt{12}+\sqrt{24}+\sqrt{6}=\sqrt{4}⋅\sqrt{3}+\sqrt4⋅\sqrt6+\sqrt6=2\sqrt3+2\sqrt6+\sqrt6=2\sqrt3+3\sqrt6\)
    gelijksoortige wortels samennemen

 

Let op:
\(\sqrt{16}+\sqrt{9}=\sqrt{49}\) en niet \(\sqrt{25}\).
\(\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{1}\) en niet \(\sqrt7\).
Ga dat na.

 

27.8 Extra opgaven

Extra opgave 1

Extra opgave 2

Extra opgave 3

Extra opgave 4

Extra opgave 5

Extra opgave 6

Extra opgave 7

Extra opgave 8

Extra opgave 9

Extra opgave 10

Extra opgave 11

Extra opgave 12

Extra opgave 13

Extra opgave 14

Extra opgave 15

Extra opgave 16

Extra opgave 17

Extra opgave 18

Extra opgave 19

Extra opgave 20

Extra opgave 21

Extra opgave 22

Oker

Opgave 4-S

Opgave 7-S

Opgave 13-S

Opgave 15-S

Opgave 24-S

Opgave 28-S

Opgave 29-S

Opgave 35-S

Opgave 37-S

Opgave 42-S

Opgave 53-S

  • Het arrangement 27. Wortels is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-05 13:32:28
    Licentie
    CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: zijde en oppervlakte van een vierkant, rekenregels voor wortels, verbanden met wortels, speciale driehoeken en derdemachtswortels.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Functioneel gebruik - substitueren; Rekenen/wiskunde; Getallen en variabelen; Rekenen met getallen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, derdemachtswortels, oppervlakte vierkant, rekenregels wortels, speciale driehoeken, stercollectie, verbanden met wortels, vwo 3, wiskunde, zijde van een vierkant

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode. (2018).

    27. Kwadraten en wortels

    https://maken.wikiwijs.nl/120834/27__Kwadraten_en_wortels

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van