24. Goniometrie

24.1 Intro

Opgave 1

De kaart komt uit de Atlas Maior 1665, De Lage Landen van Joan Blaeu.
Meer hierover vind je in "wikipedia".
Ook op internet, vind je vaak de vraag hoe er zo’n nauwkeurige kaarten gemaakt konden worden toen er nog geen satellieten of vliegtuigen waren.

Snellius (\(1580-1626\)) heeft metingen verricht om het het gebied tussen Alkmaar en Bergen op Zoom nauwkeurig in kaart te brengen.
Je neemt twee punten waarvan de onderlinge afstand gemakkelijk te meten is en die goed in het landschap te herkennen zijn. Laten we zeggen, je begint met de torens \(A\) en \(B\).
Neem aan dat ze op \(6\) km afstand van elkaar liggen. Ergens verderweg ligt een toren \(C\).
Ook al kun je de afstand van \(A\) tot \(C\) en van \(B\) tot \(C\) niet rechtstreeks meten, toch kun je de ligging van \(C\) ten opzichte van \(A\) en \(B\) bepalen.
Dat doe je door hoeken te meten.
In \(A\) meet je de hoek \(CAB\) en in \(B\) hoek \(CBA\).
Laten we zeggen:
\(∠CAB=43°\) en \(∠CBA=57°\).

Introductie

Vervolgens kun je doorgaan en een heel net van driehoeken maken. Het driehoeken-netwerk van Snellius is op een oude prent afgebeeld.
In de loop der tijden zijn er steeds nauwkeuriger instrumenten gekomen om hoeken en afstanden te meten.

Een instrument om nauwkeurig hoeken te meten is een theodoliet.
Wegwerkers gebruiken een theodoliet om de loop van een weg nauwkeurig te bepalen.

24.2 Hoogte en afstand bepalen

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

24.3 Sinus, cosinus en tangens

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Definitie van sinus

Definitie van sinus

Bij een gegeven hoek \(α\) verandert de breuk \(\frac{\text{ reikhoogte}}{ \text {lengte van de hijsarm}}\) niet.

Bij het maken van de tabel in opgave 10c, heb je daar gebruik van gemaakt.

De breuk (oftewel verhouding) \(\frac{\text{ reikhoogte}}{ \text {lengte van de hijsarm}}\) noemen we de sinus van de hoek \(α\), afgekort: \(\text{sin}(α)\).

 

Hijsarm, reikhoogte en reikwijdte vormen een rechthoekige driehoek.
De reikhoogte noemen we meestal de overstaande rechthoekszijde van hoek \(α\). Hij ligt in de driehoek tegenover hoek \(α\).
Hoe groot je de rechthoekige driehoek met hoek \(α\) maakt, doet niet ter zake.

Vanwege gelijkvormigheid blijft de breuk overstaande rechthoekszijdeschuine zijde hetzelfde.

 


Voor een scherpe hoek \(α\) is \(\text{sin}(α)\) als volgt gedefinieerd.
Neem een rechthoekige driehoek, waarvan een van de hoeken \(α\) is.

Dan \(\text{sin}(α)\) \(=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).

Hoe groot je die rechthoekige driehoek neemt, doet niet ter zake.


Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125
vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165), Aryabhata (476–550),
Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren
introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het
wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische
werken in de 12e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met
gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus.
Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de
reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de eerste extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en
Hipparchus de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen
te bepalen.

Opgave 11

Opgave 12

Definitie van cosinus

Definitie van cosinus

Bij een gegeven hoek \(α\) hangt ook de breuk (oftewel verhouding)
\(\frac{\text{reikwijdte}}{\text{lengte van de hijsarm}}\) niet van lengte van de hijsarm af.

Deze breuk noemen we de cosinus van \(α\), afgekort \(\text{cos}(α)\).

 

 


De reikwijdte bij de hoek \(α\) noemen we meestal de aanliggende rechthoekszijde
van hoek \(α\). In de driehoek grenst hij aan hoek \(α\).

 

 

 


Voor een scherpe hoek \(α\) is \(\text{cos}(α)\) als volgt gedefinieerd.

Neem een rechthoekige driehoek, waarvan een van de hoeken \(α\) is.

Dan \(\text{cos}(α) =\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).

Hoe groot je die rechthoekige driehoek neemt, doet niet ter zake.

 

Opgave 13

Opgave 14

Voorbeeld


Zie plaatje. De overstaande rechthoekszijde van hoek \(α\) noemen we \(o\), de
aanliggende rechthoekszijde \(a\) en de schuine zijde \(s\). Er geldt:

  • \(o=s⋅\text{sin}(α)\)

  • \(a=s⋅\text{cos}(α)\)


Voorbeelden
In de volgende voorbeelden zie je hoe de twee formules hierboven werken. Je
mag alleen de rekenmachine te gebruiken.
Met de applets kun je je resultaten eventueel controleren.
Je kunt ook aan de opgaven beginnen zonder eerst de voorbeelden te bekijken.

Voorbeeld 1

De arm van een hijskraan maakt een hoek van \(35°\) met de grond. De reikhoogte is \(12\) meter.
Wat is de lengte van de hijsarm in dm nauwkeurig?
Oplossing
We maken een schets zoals in het plaatje.
Door in de eerste formule in te vullen vind je:
\(12=arm⋅\text{sin}(35°)\).
De rekenmachine geeft \(\text{sin}(35°)=0,5735...\),
dus \(12=arm⋅0,5735...\),
dus \(arm =\frac{12}{0,5735...}≈20,9\) m.
De arm is \(209\) dm.

Voorbeeld 2

 

De hijsarm van een hijskraan maakt een hoek van \(35°\) met de grond. De arm is \(8\) meter lang.
Wat is de reikwijdte van de kraan in dm nauwkeurig?
Oplossing
We maken weer een schets.
Door in de tweede formule in te vullen vind je:
\(reikwijdte=8⋅\text{cos}(35°)\).
De rekenmachine geeft \(\text{cos}(35°)=0,8191...\),
dus \(reikwijdte=8⋅0,8191...≈6,6\) m.
De reikwijdte is \(66\) dm.

Voorbeeld 3

 

Bekijk de rechthoekige driehoek in het plaatje. De schuine zijde is \(2\), de
rechthoekszijden zijn \(a\) en \(b\).
De hoek tegenover zijde \(b\) is \(40°\).
Bereken \(a\) en \(b\) in twee decimalen.
Oplossing
\(b=2⋅\text{sin}(40°)=2⋅0,642...≈1,29\) en
\(a=2⋅\text{cos}(40°)=2⋅0,766...≈1,53\)

Voorbeeld 4

 

Bekijk het plaatje voor de gegevens.
Bereken \(a\) en \(b\) in twee decimalen.
Oplossing
\(10=a⋅\text{cos}(32°)=a⋅0,848...\), dus
\(a=\frac{10}{0,848...}≈11,79\) en
\(b=a⋅\text{sin}(32°)=a⋅0,529...≈6,25\)

 


Over nauwkeurigheid
In de voorbeelden 1 en 2 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord dus af op één decimaal. In de voorbeelden 3 en 4 moet je op twee decimalen afronden. Rond je tussenantwoorden niet af; zie de berekening van \(b\) in voorbeeld 4.

 

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

24.4 Inv sin en inv cos

Opgave 21

Voorbeeld

 

Als je een rechthoekige driehoek hebt met schuine zijde \(1\), is de lengte van de overstaande zijde van een hoek precies gelijk aan de sinus van die hoek. Ga dat na.
In de applet "invsin" wordt steeds een rechthoekige driehoek getekend met schuine zijde \(1\). Met een schuif kun je de overstaande zijde (dus de sinus) van de aangegeven hoek regelen.
Op die manier vind je met de applet hoek \(α\) als je \(\text{sin}(α)\) kent.

Met je rekenmachine kun je hoek \(α\) ook vinden als je \(\text{sin}(α)\) kent. Dat gaat met de knoppen "inv" en "sin", of "shift" en "sin", of "2nd" en "sin" of nog anders.
Op de machine hiernaast moet je de knoppen "shift" en "sin" gebruiken. Op soortgelijke wijze vind je de grootte van een hoek uit zijn cosinus.


Let op.
Niet alle rekenmachine werken hetzelfde. Vraag je leraar of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.
Deze hiernaast werkt met "shift".

 


Voorbeeld 5
Van een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde \(3\) en de schuine zijde \(5,8\).
Hoe groot zijn de twee scherpe hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig?


Oplossing
De hoek tegenover de zijde van lengte \(3\) noemen we \(α\).
Dan is \(\text{sin}(α) =\frac{3}{5,8}\) dus (rekenmachine):\(α = \) "shift" \(\text{sin}(\frac{3}{5,8})≈31°\).
De hoek aan de zijde van lengte \(3\) noemen we \(β\).
Dan is \(\text{cos}(β) =\frac{3}{5,8}\) dus (rekenmachine): \(β =\) "shift" \(\text{cos}(\frac{3}{5,8})≈59°\).
(Je had \(β\) ook uit kunnen rekenen met behulp van \(α\), want samen zijn ze \(90°\).)

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

24.5 Tangens

Tangens

We gaan terug naar de hijskraan. Het quotiënt \(\frac{\text{reikhoogte}}{\text{reikwijdte}}\) bij een bepaalde hoek \(α\)
hangt niet van de lengte van de arm af.
Deze verhouding noemen we de tangens van \(α\), afgekort \(\text{tan}(α)\).

 

 


Bij een gegeven scherpe hoek \(α\) kun je een rechthoekige driehoek tekenen,
waarin één van de hoeken \(α\) is.
De verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende
rechthoekszijde hangt niet af van de grootte van de driehoek die je getekend
hebt.
We definiëren \(\text{tan}(α)=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\).

 

Opgave 28

Voorbeeld

Voorbeeld
Van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden \(3\) en \(5\).
Hoe groot zijn de twee scherpe hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig?
Oplossing
De hoek tegenover de zijde van lengte \(3\) noemen we \(α\).
Dan is \(\text{tan}(α) =0,6\) dus (rekenmachine): \(α =\)"shift" \(\text{tan}( 0,6)≈31°\).
De hoeken zijn dus (ongeveer) \(31°\) en \(59°\).
Je kunt het antwoord controleren met de brandweer-applet.

Opgave 29

Opgave 30

24.6 Gemengde opgaven

Opgave 31

Opgave 32

Opgave 33

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

24.7 Eindpunt

afspraak
In driehoek \(ABC\) noemen we
de grootte van hoek \(A\): \(α\)
de grootte van hoek \(B\): \(β\)
de grootte van hoek \(C\): \(γ\)
de lengte van de zijde tegenover hoek \(A\): \(a\)
de lengte van de zijde tegenover hoek \(B\): \(b\)
de lengte van de zijde tegenover hoek \(C\): \(c\)
Dit is aangegeven in het plaatje.

 

sin, cos, tan

\(\text{sin}(α) =\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}=\frac{a}{c}\)

\(\text{cos}(α) =\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}=\frac{b}{c} \)


\(\text{tan}(α) =\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde zijde}}=\frac{a}{b} \)

Dus:

  1. \(a=c⋅\text{sin}(α)\)

  2. \(b=c⋅\text{cos}(α)\)

  3. \(a=b⋅\text{tan}(α)\)

voorbeelden

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken \(a\) en \(c\).
    Oplossing
    Om \(a\) te berekenen gebruik je formule 3,
    dit geeft: \(a=10⋅\text{tan}(23°)≈4,24\).

    Om \(c\) te berekenen gebruik je formule 2,
    dit geeft: \(10=c⋅\text{cos}(23°)\), dus
    \(c=\frac{10}{\text{cos}(23°)}≈10,86\).

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken \(r\) en \(q\).
    Oplossing
    Om \(r\) te berekenen gebruik je formule 2,
    dit geeft: \(r=15⋅\text{cos}(56°)≈8,39\).

    Om \(q\) te berekenen gebruik je formule 1,
    dit geeft: \(q=15⋅\text{sin}(56°)≈12,44\).

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken de scherpe hoeken van driehoek \(XYZ\).
    Oplossing
    We gebruiken
    tangens van een hoek \(=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde zijde}}\).

    Dit geeft: \(\text{tan}(∠XZY)=\frac{2}{3}\).
    Met de rekenmachine vind je \(∠XZY≈33,7°\) en dus \(∠ZXY≈56,3°\).

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken \(δ\) en \(ε\).
    Oplossing
    We gebruiken
    cosinus van een hoek \(=\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).
    Dit geeft: \(\text{cos}(δ) =\frac{12}{15}\).
    Met de rekenmachine vind je \(δ ≈36,9°\) en dus \(ε ≈53,1°\).

24.8 Extra opgaven

Extra opgave 1

Extra opgave 2

Extra opgave 3

Extra opgave 4

Extra opgave 5

Extra opgave 6

Extra opgave 7

Extra opgave 8

Extra opgave 9

Extra opgave 10

Extra opgave 11

Extra opgave 12

Extra opgave 13

Extra opgave 14

Extra opgave 15

Extra opgave 16

Extra opgave 17

Extra opgave 18

Extra opgave 19

Extra opgave 20

Extra opgave 21

Oker

Opgave 4-S

Opgave 16-S

Opgave 17-S

Opgave 18-S

Opgave 24-S

Opgave 26-S

Opgave 30-S

Opgave 32-S

  • Het arrangement 24. Goniometrie is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-05 15:57:17
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: hoogte en afstand bepalen, sinus cosinus en tangens, inv sin en inv cos.m
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden en formules; Patronen en regelmaat; Rekenen/wiskunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    afstand bepalen, arrangeerbaar, cosinus, hoogte bepalen, inverse, sinus, stercollectie, tangens, vwo 3, wiskunde

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2018).

    24. Goniometrie

    https://maken.wikiwijs.nl/120659/24__Goniometrie

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van