De kaart komt uit de Atlas Maior 1665, De Lage Landen van Joan Blaeu.
Meer hierover vind je in "wikipedia".
Ook op internet, vind je vaak de vraag hoe er zo’n nauwkeurige kaarten gemaakt konden worden toen er nog geen satellieten of vliegtuigen waren.
Snellius (\(1580-1626\)) heeft metingen verricht om het het gebied tussen Alkmaar en Bergen op Zoom nauwkeurig in kaart te brengen.
Je neemt twee punten waarvan de onderlinge afstand gemakkelijk te meten is en die goed in het landschap te herkennen zijn. Laten we zeggen, je begint met de torens \(A\) en \(B\).
Neem aan dat ze op \(6\) km afstand van elkaar liggen. Ergens verderweg ligt een toren \(C\).
Ook al kun je de afstand van \(A\) tot \(C\) en van \(B\) tot \(C\) niet rechtstreeks meten, toch kun je de ligging van \(C\) ten opzichte van \(A\) en \(B\) bepalen.
Dat doe je door hoeken te meten.
In \(A\) meet je de hoek \(CAB\) en in \(B\) hoek \(CBA\).
Laten we zeggen: \(∠CAB=43°\) en \(∠CBA=57°\).
Introductie
Vervolgens kun je doorgaan en een heel net van driehoeken maken. Het driehoeken-netwerk van Snellius is op een oude prent afgebeeld.
In de loop der tijden zijn er steeds nauwkeuriger instrumenten gekomen om hoeken en afstanden te meten.
Een instrument om nauwkeurig hoeken te meten is een theodoliet.
Wegwerkers gebruiken een theodoliet om de loop van een weg nauwkeurig te bepalen.
24.2 Hoogte en afstand bepalen
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
24.3 Sinus, cosinus en tangens
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Definitie van sinus
Definitie van sinus
Bij een gegeven hoek \(α\) verandert de breuk \(\frac{\text{ reikhoogte}}{ \text {lengte van de hijsarm}}\) niet.
Bij het maken van de tabel in opgave 10c, heb je daar gebruik van gemaakt.
De breuk (oftewel verhouding) \(\frac{\text{ reikhoogte}}{ \text {lengte van de hijsarm}}\) noemen we de sinus van de hoek \(α\), afgekort: \(\text{sin}(α)\).
Hijsarm, reikhoogte en reikwijdte vormen een rechthoekige driehoek.
De reikhoogte noemen we meestal de overstaande rechthoekszijde van hoek \(α\). Hij ligt in de driehoek tegenover hoek \(α\).
Hoe groot je de rechthoekige driehoek met hoek \(α\) maakt, doet niet ter zake.
Vanwege gelijkvormigheid blijft de breuk overstaande rechthoekszijdeschuine zijde hetzelfde.
Voor een scherpe hoek \(α\) is \(\text{sin}(α)\) als volgt gedefinieerd.
Neem een rechthoekige driehoek, waarvan een van de hoeken \(α\) is.
Dan \(\text{sin}(α)\)\(=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).
Hoe groot je die rechthoekige driehoek neemt, doet niet ter zake.
Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125
vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165), Aryabhata (476–550),
Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren
introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het
wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische
werken in de 12e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met
gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus.
Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de
reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de eerste extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en
Hipparchus de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen
te bepalen.
Opgave 11
Opgave 12
Definitie van cosinus
Definitie van cosinus
Bij een gegeven hoek \(α\) hangt ook de breuk (oftewel verhouding) \(\frac{\text{reikwijdte}}{\text{lengte van de hijsarm}}\) niet van lengte van de hijsarm af.
Deze breuk noemen we de cosinus van \(α\), afgekort \(\text{cos}(α)\).
De reikwijdte bij de hoek \(α\) noemen we meestal de aanliggende rechthoekszijde
van hoek \(α\). In de driehoek grenst hij aan hoek \(α\).
Voor een scherpe hoek \(α\) is \(\text{cos}(α)\) als volgt gedefinieerd.
Neem een rechthoekige driehoek, waarvan een van de hoeken \(α\) is.
Dan \(\text{cos}(α) =\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).
Hoe groot je die rechthoekige driehoek neemt, doet niet ter zake.
Opgave 13
Opgave 14
Voorbeeld
Zie plaatje. De overstaande rechthoekszijde van hoek \(α\) noemen we \(o\), de
aanliggende rechthoekszijde \(a\) en de schuine zijde \(s\). Er geldt:
\(o=s⋅\text{sin}(α)\)
\(a=s⋅\text{cos}(α)\)
Voorbeelden
In de volgende voorbeelden zie je hoe de twee formules hierboven werken. Je
mag alleen de rekenmachine te gebruiken.
Met de applets kun je je resultaten eventueel controleren.
Je kunt ook aan de opgaven beginnen zonder eerst de voorbeelden te bekijken.
Voorbeeld 1
De arm van een hijskraan maakt een hoek van \(35°\) met de grond. De reikhoogte is \(12\) meter.
Wat is de lengte van de hijsarm in dm nauwkeurig? Oplossing
We maken een schets zoals in het plaatje.
Door in de eerste formule in te vullen vind je: \(12=arm⋅\text{sin}(35°)\).
De rekenmachine geeft \(\text{sin}(35°)=0,5735...\),
dus \(12=arm⋅0,5735...\),
dus \(arm =\frac{12}{0,5735...}≈20,9\) m.
De arm is \(209\) dm.
Voorbeeld 2
De hijsarm van een hijskraan maakt een hoek van \(35°\) met de grond. De arm is \(8\) meter lang.
Wat is de reikwijdte van de kraan in dm nauwkeurig? Oplossing
We maken weer een schets.
Door in de tweede formule in te vullen vind je: \(reikwijdte=8⋅\text{cos}(35°)\).
De rekenmachine geeft \(\text{cos}(35°)=0,8191...\),
dus \(reikwijdte=8⋅0,8191...≈6,6\) m.
De reikwijdte is \(66\) dm.
Voorbeeld 3
Bekijk de rechthoekige driehoek in het plaatje. De schuine zijde is \(2\), de
rechthoekszijden zijn \(a\) en \(b\).
De hoek tegenover zijde \(b\) is \(40°\).
Bereken \(a\) en \(b\) in twee decimalen. Oplossing \(b=2⋅\text{sin}(40°)=2⋅0,642...≈1,29\) en \(a=2⋅\text{cos}(40°)=2⋅0,766...≈1,53\)
Voorbeeld 4
Bekijk het plaatje voor de gegevens.
Bereken \(a\) en \(b\) in twee decimalen. Oplossing \(10=a⋅\text{cos}(32°)=a⋅0,848...\), dus \(a=\frac{10}{0,848...}≈11,79\) en \(b=a⋅\text{sin}(32°)=a⋅0,529...≈6,25\)
Over nauwkeurigheid In de voorbeelden 1 en 2 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord dus af op één decimaal. In de voorbeelden 3 en 4 moet je op twee decimalen afronden. Rond je tussenantwoorden niet af; zie de berekening van \(b\) in voorbeeld 4.
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20
24.4 Inv sin en inv cos
Opgave 21
Voorbeeld
Als je een rechthoekige driehoek hebt met schuine zijde \(1\), is de lengte van de overstaande zijde van een hoek precies gelijk aan de sinus van die hoek. Ga dat na.
In de applet "invsin" wordt steeds een rechthoekige driehoek getekend met schuine zijde \(1\). Met een schuif kun je de overstaande zijde (dus de sinus) van de aangegeven hoek regelen.
Op die manier vind je met de applet hoek \(α\) als je \(\text{sin}(α)\) kent.
Met je rekenmachine kun je hoek \(α\) ook vinden als je \(\text{sin}(α)\) kent. Dat gaat met de knoppen "inv" en "sin", of "shift" en "sin", of "2nd" en "sin" of nog anders.
Op de machine hiernaast moet je de knoppen "shift" en "sin" gebruiken. Op soortgelijke wijze vind je de grootte van een hoek uit zijn cosinus.
Let op.
Niet alle rekenmachine werken hetzelfde. Vraag je leraar of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.
Deze hiernaast werkt met "shift".
Voorbeeld 5 Van een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde \(3\) en de schuine zijde \(5,8\).
Hoe groot zijn de twee scherpe hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig?
Oplossing
De hoek tegenover de zijde van lengte \(3\) noemen we \(α\).
Dan is \(\text{sin}(α) =\frac{3}{5,8}\) dus (rekenmachine):\(α = \) "shift" \(\text{sin}(\frac{3}{5,8})≈31°\).
De hoek aan de zijde van lengte \(3\) noemen we \(β\).
Dan is \(\text{cos}(β) =\frac{3}{5,8}\) dus (rekenmachine): \(β =\) "shift"\(\text{cos}(\frac{3}{5,8})≈59°\).
(Je had \(β\) ook uit kunnen rekenen met behulp van \(α\), want samen zijn ze \(90°\).)
Opgave 22
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
Opgave 26
Opgave 27
24.5 Tangens
Tangens
We gaan terug naar de hijskraan. Het quotiënt \(\frac{\text{reikhoogte}}{\text{reikwijdte}}\) bij een bepaalde hoek \(α\)
hangt niet van de lengte van de arm af.
Deze verhouding noemen we de tangens van \(α\), afgekort \(\text{tan}(α)\).
Bij een gegeven scherpe hoek \(α\) kun je een rechthoekige driehoek tekenen, waarin één van de hoeken \(α\) is.
De verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende
rechthoekszijde hangt niet af van de grootte van de driehoek die je getekend
hebt.
We definiëren \(\text{tan}(α)=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\).
Opgave 28
Voorbeeld
Voorbeeld Van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden \(3\) en \(5\).
Hoe groot zijn de twee scherpe hoeken van de driehoek in graden nauwkeurig? Oplossing
De hoek tegenover de zijde van lengte \(3\) noemen we \(α\).
Dan is \(\text{tan}(α) =0,6\) dus (rekenmachine): \(α =\)"shift" \(\text{tan}( 0,6)≈31°\).
De hoeken zijn dus (ongeveer) \(31°\) en \(59°\).
Je kunt het antwoord controleren met de brandweer-applet.
Opgave 29
Opgave 30
24.6 Gemengde opgaven
Opgave 31
Opgave 32
Opgave 33
Opgave 34
Opgave 35
Opgave 36
24.7 Eindpunt
afspraak In driehoek \(ABC\) noemen we
de grootte van hoek \(A\): \(α\)
de grootte van hoek \(B\): \(β\)
de grootte van hoek \(C\): \(γ\)
de lengte van de zijde tegenover hoek \(A\): \(a\)
de lengte van de zijde tegenover hoek \(B\): \(b\)
de lengte van de zijde tegenover hoek \(C\): \(c\)
Dit is aangegeven in het plaatje.
Gegevens zie plaatje.
Bereken \(a\) en \(c\). Oplossing
Om \(a\) te berekenen gebruik je formule 3,
dit geeft: \(a=10⋅\text{tan}(23°)≈4,24\).
Om \(c\) te berekenen gebruik je formule 2,
dit geeft: \(10=c⋅\text{cos}(23°)\), dus \(c=\frac{10}{\text{cos}(23°)}≈10,86\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken \(r\) en \(q\). Oplossing
Om \(r\) te berekenen gebruik je formule 2,
dit geeft: \(r=15⋅\text{cos}(56°)≈8,39\).
Om \(q\) te berekenen gebruik je formule 1,
dit geeft: \(q=15⋅\text{sin}(56°)≈12,44\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken de scherpe hoeken van driehoek \(XYZ\). Oplossing
We gebruiken
tangens van een hoek \(=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde zijde}}\).
Dit geeft: \(\text{tan}(∠XZY)=\frac{2}{3}\).
Met de rekenmachine vind je \(∠XZY≈33,7°\) en dus \(∠ZXY≈56,3°\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken \(δ\) en \(ε\). Oplossing
We gebruiken
cosinus van een hoek \(=\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).
Dit geeft: \(\text{cos}(δ) =\frac{12}{15}\).
Met de rekenmachine vind je \(δ ≈36,9°\) en dus \(ε ≈53,1°\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: hoogte en afstand bepalen, sinus cosinus en tangens, inv sin en inv cos.m
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Verbanden en formules;
Patronen en regelmaat;
Rekenen/wiskunde;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: hoogte en afstand bepalen, sinus cosinus en tangens, inv sin en inv cos.m
Vervolgens kun je doorgaan en een heel net van driehoeken maken. Het driehoeken-netwerk van Snellius is op een oude prent afgebeeld.
Bij een gegeven hoek 
De reikwijdte bij de hoek 
De arm van een hijskraan maakt een hoek van 
De hijsarm van een hijskraan maakt een hoek van 
Bekijk de rechthoekige driehoek in het plaatje. De schuine zijde is 
Bekijk het plaatje voor de gegevens.
Als je een rechthoekige driehoek hebt met schuine zijde 
Van een rechthoekige driehoek is een rechthoekszijde 
We gaan terug naar de hijskraan. Het quotiënt 
Van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 
In driehoek 
Gegevens zie plaatje.
Gegevens zie plaatje.
Gegevens zie plaatje.
