De kaart komt uit de Atlas Maior 1665, De Lage Landen van Joan Blaeu.
Meer hierover vind je in "wikipedia".
Ook op internet, vind je vaak de vraag hoe er zo’n nauwkeurige kaarten gemaakt konden worden toen er nog geen satellieten of vliegtuigen waren.

Snellius (\(1580-1626\)) heeft metingen verricht om het het gebied tussen Alkmaar en Bergen op Zoom nauwkeurig in kaart te brengen.
Je neemt twee punten waarvan de onderlinge afstand gemakkelijk te meten is en die goed in het landschap te herkennen zijn. Laten we zeggen, je begint met de torens \(A\) en \(B\).
Neem aan dat ze op \(6\) km afstand van elkaar liggen. Ergens verderweg ligt een toren \(C\).
Ook al kun je de afstand van \(A\) tot \(C\) en van \(B\) tot \(C\) niet rechtstreeks meten, toch kun je de ligging van \(C\) ten opzichte van \(A\) en \(B\) bepalen.
Dat doe je door hoeken te meten.
In \(A\) meet je de hoek \(CAB\) en in \(B\) hoek \(CBA\).
Laten we zeggen:
\(∠CAB=43°\) en \(∠CBA=57°\).

Vervolgens kun je doorgaan en een heel net van driehoeken maken. Het driehoeken-netwerk van Snellius is op een oude prent afgebeeld.
In de loop der tijden zijn er steeds nauwkeuriger instrumenten gekomen om hoeken en afstanden te meten.

Een instrument om nauwkeurig hoeken te meten is een theodoliet.
Wegwerkers gebruiken een theodoliet om de loop van een weg nauwkeurig te bepalen.

Definitie van sinus

Bij een gegeven hoek \(α\) verandert de breuk \(\frac{\text{ reikhoogte}}{ \text {lengte van de hijsarm}}\) niet.

Bij het maken van de tabel in opgave 10c, heb je daar gebruik van gemaakt.

De breuk (oftewel verhouding) \(\frac{\text{ reikhoogte}}{ \text {lengte van de hijsarm}}\) noemen we de sinus van de hoek \(α\), afgekort: \(\text{sin}(α)\).

Hijsarm, reikhoogte en reikwijdte vormen een rechthoekige driehoek.
De reikhoogte noemen we meestal de overstaande rechthoekszijde van hoek \(α\). Hij ligt in de driehoek tegenover hoek \(α\).
Hoe groot je de rechthoekige driehoek met hoek \(α\) maakt, doet niet ter zake.

Vanwege gelijkvormigheid blijft de breuk overstaande rechthoekszijdeschuine zijde hetzelfde.

Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (180–125
vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (90–165), Aryabhata (476–550),
Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren
introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het
wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische
werken in de 12e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met
gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus.
Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de
reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de eerste extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en
Hipparchus de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen
te bepalen.

Definitie van cosinus

Bij een gegeven hoek \(α\) hangt ook de breuk (oftewel verhouding)
\(\frac{\text{reikwijdte}}{\text{lengte van de hijsarm}}\) niet van lengte van de hijsarm af.

Deze breuk noemen we de cosinus van \(α\), afgekort \(\text{cos}(α)\).

De reikwijdte bij de hoek \(α\) noemen we meestal de aanliggende rechthoekszijde
van hoek \(α\). In de driehoek grenst hij aan hoek \(α\).

Voorbeelden
In de volgende voorbeelden zie je hoe de twee formules hierboven werken. Je
mag alleen de rekenmachine te gebruiken.
Met de applets kun je je resultaten eventueel controleren.
Je kunt ook aan de opgaven beginnen zonder eerst de voorbeelden te bekijken.

Voorbeeld 1

De arm van een hijskraan maakt een hoek van \(35°\) met de grond. De reikhoogte is \(12\) meter.
Wat is de lengte van de hijsarm in dm nauwkeurig?
Oplossing
We maken een schets zoals in het plaatje.
Door in de eerste formule in te vullen vind je:
\(12=arm⋅\text{sin}(35°)\).
De rekenmachine geeft \(\text{sin}(35°)=0,5735...\),
dus \(12=arm⋅0,5735...\),
dus \(arm =\frac{12}{0,5735...}≈20,9\) m.
De arm is \(209\) dm.

Voorbeeld 2

De hijsarm van een hijskraan maakt een hoek van \(35°\) met de grond. De arm is \(8\) meter lang.
Wat is de reikwijdte van de kraan in dm nauwkeurig?
Oplossing
We maken weer een schets.
Door in de tweede formule in te vullen vind je:
\(reikwijdte=8⋅\text{cos}(35°)\).
De rekenmachine geeft \(\text{cos}(35°)=0,8191...\),
dus \(reikwijdte=8⋅0,8191...≈6,6\) m.
De reikwijdte is \(66\) dm.

Voorbeeld 3

Bekijk de rechthoekige driehoek in het plaatje. De schuine zijde is \(2\), de
rechthoekszijden zijn \(a\) en \(b\).
De hoek tegenover zijde \(b\) is \(40°\).
Bereken \(a\) en \(b\) in twee decimalen.
Oplossing
\(b=2⋅\text{sin}(40°)=2⋅0,642...≈1,29\) en
\(a=2⋅\text{cos}(40°)=2⋅0,766...≈1,53\)

Voorbeeld 4

Bekijk het plaatje voor de gegevens.
Bereken \(a\) en \(b\) in twee decimalen.
Oplossing
\(10=a⋅\text{cos}(32°)=a⋅0,848...\), dus
\(a=\frac{10}{0,848...}≈11,79\) en
\(b=a⋅\text{sin}(32°)=a⋅0,529...≈6,25\)

Over nauwkeurigheid In de voorbeelden 1 en 2 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord dus af op één decimaal. In de voorbeelden 3 en 4 moet je op twee decimalen afronden. Rond je tussenantwoorden niet af; zie de berekening van \(b\) in voorbeeld 4.