Intervallen
Je hebt bij de slakkengang van opgave 6d vier stukjes van de tijdbalk gekleurd. Zulke stukjes noemen we tijdsintervallen.
Bij de biedprijzen van opgave 5f heb je afstandsintervallen gekleurd.
Voorbeeld
Welke getallen kan x voorstellen als \(3x+2<11\)?
Op deze vraag is het antwoord: \(x<3\). Zie opgave 2.
De getallen die \(x\) kan voorstellen, vormen een interval.
Dit interval is getekend op een getallenlijn.
Een interval is een deel van de getallenlijn “uit één stuk”. Dat wil zeggen: een aaneengesloten deel, zonder gaten. “Inter” betekent “tussen”; “interval” betekent letterlijk “tussenruimte”.
Er zijn acht typen intervallen: vier met één grenspunt en vier met twee grenspunten. Van elk type staat hiervan een voorbeeld. Naast het plaatje staat het interval beschreven met behulp van de variabele \(x\).
In plaats van “\(x<3\)” kun je ook schrijven: “\(3>x\)”.
In plaats van “\(‐2≤x<3\)” kun je ook schrijven: “\(3>x≥‐2\)”. Enzovoort.
Opgave 7
Voorbeeld
Voorbeeld
Vraag:
Voor welke getallen \(x\) geldt: \(3x+5<11\)?
Oplossing:
\(3x+5<11\)
\(3x<6\)
\(x<2\)
Plaatje:
Voorbeeld
Vraag:
Voor welke getallen \(x\) geldt: \(5−2x≥1\)?
Oplossing:
\(5−2x≥1\)
\(4≥2x\)
\(2≥x\)
Plaatje:
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
22.3 Diagrammen
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Voegwoorden
De voegwoorden en en of spelen in de wiskunde een belangrijke rol.
Het voegwoord en wordt in de wiskunde hetzelfde gebruikt als in het dagelijks
leven; bij en zijn er dus geen problemen.
Het voegwoord of wordt in de wiskunde wel andersgebruikt dan in de gewone
spreektaal. Kijk maar eens naar het voorbeeld.
Het wiskundige of is dus wat in het dagelijks leven “en/of” wordt genoemd.
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20
22.4 En/of
Opgave 21
In de vorige opgave horen de punten die op de rand van het gebied liggen er niet meer bij. Hoe geef je dat in het plaatje aan? En als de punten er wel bij gehoord zouden hebben, hoe geef je dat dan aan?
Afspraak
Als een stuk van de rand er niet bij hoort, moet je dat stuk stippelen; anders trek je het gewoon.
In het voorbeeld hoort randpunt \(P\)1 niet tot het gebied (open stip) en randpunt \(P\)2 wel (dichte stip).
Opgave 22
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
Opgave 26
Opgave 27
Opgave 28
Opgave 29
22.5 Producten
Opgave 30
Opgave 31
Opgave 32
Opgave 33
Voorbeeld
Voorbeeld
We gaan nu de volgende vraag behandelen: wat is \(x\) als \((x+2)(x−1)>0\)?
We weten al voor welke \(x\) geldt: \((x+2)(x−1)=0\). Dat is namelijk voor de
getallen \(‐2\) en \(1\) het geval. Zie opgave 33a.
Het product van \(x+2\) en \(x−1\) is positief als \(x+2\) en \(x−1\) allebei positief
zijn en ook als \(x+2\) en \(x−1\) allebei negatief zijn.
\(x+2\) en \(x−1\) zijn allebei positief als \(x>1\), \(x+2\) en \(x−1\) zijn allebei
negatief als \(x<‐2\).
Het antwoord op de vraag is dus: \(x<‐2\) of \(x>1\). Je ziet hier een plaatje van de oplossingen.
Opgave 34
Voorbeeld
Voorbeeld:
We gaan nu de volgende vraag behandelen:
wat is \(x\) als \(x^2+x−2>0\)?
We ontbinden het linkerlid: \(x^2+x−2=(x+2)(x−1)\)
De vraag kan ook worden geschreven als:
wat is \(x\) als \((x+2)(x−1)>0\)?
en die vraag is al in het vorige voorbeeld behandeld.
Opgave 35
Opgave 36
Opgave 37
Opgave 38
22.6 Eindpunt
ongelijkheden en grafieken
Auto \(B\) ligt om 10:00 uur 6 km voor op auto \(A\). Auto \(A\) haalt auto \(B\) in; later
worden de rollen weer omgedraaid.
Op de tijdbalk is aangegeven wanneer \(B\) voor ligt op \(A\). Dat is het geval tijdens
twee intervallen: als \(0<t<10\) en als \(t>30\).
ongelijkheden
\(1+2x<7\) is een ongelijkheid.
De oplossingen zijn de getallen \(x<3\). Dit interval is op een getallenlijn getekend.
\(2−x≥4\) is een ongelijkheid.
De oplossingen zijn de getallen \(x≤‐2\) Dit interval is op een getallenlijn getekend.
Voor welke getallen geldt: \(1+2x<7\) en \(2−x≥4\)?
Dat zijn de getallen \(x≤‐2\).
Voor welke getallen geldt: \(1+2x<7\) of \(2−x≥4\)?
Dat zijn de getallen \(x<3\).
in het platte vlak
In het plaatje zijn alle punten blauw gekleurd die dichter bij \(AB\) of \(AC\) liggen dan bij \(BC\).
We hebben alleen de punten genomen die binnen de driehoek liggen of op de rand.
In het plaatje zijn alle punten blauw gekleurd die dichter bij of \(C\) liggen dan bij \(A\).
We hebben opnieuw alleen de punten genomen die binnen de driehoek liggen of op de rand.
en / of
“Jan heeft een voldoende en Piet heeft een voldoende” betekent dat beide een voldoende hebben.
“Jan heeft een voldoende of Piet heeft een voldoende” betekent dat minstens een van de twee een voldoende heeft (allebei kan dus ook).
\(K\) is de verzameling kwadraten, \(O\) is de verzameling oneven getallen. \(4\) is een kwadraat en niet oneven, \(9\) is een kwadraat en oneven, \(3\) is geen kwadraat en oneven.
diagrammen en tellen
Iemand werpt met drie munten: 10, 20 en 50 eurocent. Als hij met een muntstuk kop gooit, komt de worp binnen de bijbehorende kring.
Links is het gebied gekleurd waar een worp met 2 keer kop en 1 keer munt terecht komt.
De worp met de drie munten werd twintig keer herhaald. Rechts staat in elk gebied hoe vaak de worp in dat gebied terecht kwam. Uit het diagram lezen we af dat het 6 keer voorkwam dat het 10-cent-stuk op kop en het 50-cent-stuk op munt viel.
een product is positief/negatief/nul
Als \(a⋅b>0\), dan \(( a>0\) en \(b>0)\) of \(( a<0\) en \(b<0)\).
Als \(a⋅b<0\), dan \(( a>0\) en \(b<0)\) of \(( a<0\) en \(b>0)\).
Als \(a⋅b=0\), dan \(a=0\) of \(b=0\).
Los op: \(x^2+2x−15<0\)
Oplossing: \(x^2+2x−15=(x−3)(x+5)\)
Als \((x−3)(x+5)=0\), dan \(x=3\) of \(x=‐5\)
Als \((x−3)(x+5)<0\), dan \(( x−3>0\) en \(x+5<0)\) of \(( x−3<0\) en \(x+5>0)\),
dus dan \(‐5<x<3\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: ongelijkheden, diagrammen, en/of en producten.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Rekenen/wiskunde;
Tellen;
Probleemaanpak;
Herkennen en gebruiken wiskunde;
Inzicht en handelen;
Verbanden leggen;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: ongelijkheden, diagrammen, en/of en producten.
Dit interval is getekend op een getallenlijn.
Je ziet hier een plaatje van de oplossingen.
Auto 
Dit interval is op een getallenlijn getekend.
Dit interval is op een getallenlijn getekend.
In het plaatje zijn alle punten blauw gekleurd die dichter bij 
In het plaatje zijn alle punten blauw gekleurd die dichter bij of 
