29. Parabolen

29. Parabolen

29 Intro

Opgave 1

29.1 Parabolen

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

29.2 Herhaling

Distributiewetten

\(a(b+c)=ab+ac\)

\(a(b−c)=ab−ac\)

 

Product van tweetermen

Voor alle getallen \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\) geldt: \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

 

Merkwaardige producten

Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  • \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

  • \((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)


Voor alle getallen \(a\), \(b\) en \(c\) geldt:

  • \(a+(b+c)=a+b+c\)

  • \(a+(b−c)=a+b−c\)

  • \(a−(b+c)=a−b−c\)

  • \(a−(b−c)=a−b+c\)

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

29.3 Parabolen tekenen

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

29.4 Toepassingen

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

Opgave 30

29.5 Vergelijkingen oplosssen

Niet alle vergelijkingen zijn op te lossen met ontbinden. Soms is het zelfs niet nodig om haakjes uit te werken. Zie volgend voorbeeld.

Voorbeeld
Los op:
\((x+4)^2=9\)

\(x+4=3\) of \(x+4=‐3\)
\(x=‐1\) of \(x=‐7\)

 

In het bovenstaande voorbeeld had je eventueel de haakjes kunnen uitwerken en vervolgens kunnen ontbinden in factoren. Maar als je geen gehele getallen als oplossing krijgt lukt dat niet.
Hoe je de vergelijking \((x+4)^2=10\) oplost zie je hieronder.

Voorbeeld
Los op:
\((x+4)^2=10\)

\(x+4=\sqrt{10}\) of \(x+4=‐\sqrt{10}\)
\(x=‐4+\sqrt{10}\) of \(x=‐4−\sqrt{10}\)


       
       

Opgave 31

Opgave 32

Opgave 33

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

29.6 Eindpunt

Parabolen

De parabool met vergelijking \(y=x^2\) noemen we de standaardparabool.

De top van de parabool \(y=cx^2\) is \((0,0)\). De symmetrieas heeft vergelijking \(x=0\).

Parabolen hebben allemaal een top en een symmetrieas. De top van de parabool \(y=c(x−a)^2+b\) is \((a,b)\).
Een vergelijking van de symmetrieas is: \(x=a\).


Je krijgt een dalparabool als \(c>0\) en een bergparabool als \(c<0\). Het getal \(c\) bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.

Nulpunten

De nulpunten van een vergelijking zijn de oplossingen van de vergelijking als \(y=0\).

De nulpunten van de vergelijking \(y=x^2+5x−6\) zijn \(1\) en \(‐6\), want
\(x^2+5x−6=0\)
\((x−1)(x+6)=0\)
\(x=1\)    of     \(x=‐6\)


Vergelijking symmetrieas
Vergelijking symmetrieas is: \(x=\frac{‐6+1}{2}=‐2\frac12\)

Coördinaten top
\(y=(‐2\frac12)^2+5⋅‐2\frac12=‐12\frac12\), Top \((‐2\frac12,‐12\frac12)\)

Tekenen van parabolen

Bereken bij elke parabool die je tekent:

  • de nulpunten (indien mogelijk),

  • het snijpunt met de \(y\)-as,

  • de vergelijking van de symmetrieas,

  • de top en

  • enkele punten links en rechts van de symmetrieas.

 

Herhaling

Distributiewetten
\(a(b+c)=ab+ac\)

\(a(b−c)=ab−ac\)


Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a\), \(b\), \(c\) en \(d\) geldt: \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)


Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  • \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

  • \((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)


Voor alle getallen \(a\), \(b\) en \(c\) geldt:

  • \(a+(b+c)=a+b+c\)

  • \(a+(b−c)=a+b−c\)

  • \(a−(b+c)=a−b−c\)

  • \(a−(b−c)=a−b+c\)

Kwadraatafsplitsen

\(x^2+9x+20\frac14\) schrijven als \((x+4\frac12)^2\) en \(x^2−6x\) schrijven als \((x−3)^2−9\) noemen we kwadraatafsplitsen.

abc-formule

Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van \(D=b^2−4ac\).
We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.


De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft

  • geen oplossingen als \(D<0\)

  • één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\)

  • twee oplossingen als \(D>0\) namelijk: \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\)    of     \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)

 

Voorbeeld:
\(‐3(x−2)^2=8x−20\)
\(‐3x^2+12x−12=8x−20\)
\( \left. \begin{array}{l} a = ‐3\\ b = 4\\ c = 8 \end{array} \right\} \begin{array}{l} D=16-4⋅‐3⋅8=112\\ \sqrt{D}=\sqrt{112} = 4\sqrt7 \end{array}\)

\(x=\frac{‐4+4\sqrt7}{‐6} = \frac23-\frac23\sqrt7\)     of     \(x=\frac{‐4-4\sqrt7}{‐6} = \frac23+\frac23\sqrt7\)

29.7 Extra opgaven

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Oker

Opgave 15-S

Opgave 23-S

Opgave 29-S

Opgave 30-S

  • Het arrangement 29. Parabolen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-03 16:38:38
    Licentie
    CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: parabolen, parabolen tekenen, toepassingen en vergelijkingen oplossen.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden en formules; Representaties - grafiek tekenen; Grafieken, tabellen, verbanden en formules; Rekenen/wiskunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    4 uur en 0 minuten
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, havo 3, parabolen, parabolen tekenen, standaardparabool, stercollectie, symmetrie-as, toepassingen, vergelijkingen oplossen, wiskunde
  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van