19. Ontbinden

19. Ontbinden

19 Intro

Opgave 1

19.1 De oplossing zoeken - 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

19.1 De oplossing zoeken - 2

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

19.2 Het product is 0

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

Uitleg

Je hebt de volgende stelling geleerd.

Als een product 0 is,
dan is minstens één van de factoren 0.

 

Een dergelijke stelling hebben we niet voor een product dat 60 is, of voor nog een andere uitkomst. 0 is voor producten dus een heel bijzondere uitkomst. Dit feit gebruiken we in de volgende paragraaf om vergelijkingen systematisch op te lossen. Daarvoor schrijven we een vergelijking als een product van de vorm: \(a⋅b=0\). We oefenen daarom eerst het schrijven van een uitdrukking als product; we noemen dit ontbinden in factoren.

Bij ontbinden in factoren gebruiken we de onderstaande gelijkheden.

Distributiewetten
Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:

  • \(a(b+c)=ab+ac\)

  • \(a(b−c)=ab−ac\)

Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:

  • \((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)

Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  • \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

  • \((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)

 

Opgave 30

19.3 Systematisch oplossen

Uitleg

We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:

  • herleiden op 0,

  • ontbinden in factoren.

Voorbeeld

Los op:

\(x^2=5x−4\)

herleid op 0 (min 5x, plus 4)
\(x^2−5x+4=0\)

ontbind in factoren
\((x−4)(x−1)=0\)  
\(x=4\)   of    \(x=1\)  

 

Controle:

\(x^2=4^2=16\) en \(5x−4=5⋅4−4=16\)

 

\(x^2=1^2=1\) en \(5x−4=5⋅1−4=1\)


Voorbeeld

Los op:

\(4x^3=100x\)

herleid op 0 (min 100x)
\(4x^3−100x=0\)

deel door 4
\(x^3−25x=0\)

ontbind in factoren
\(x(x^2−25)=0\)  
\(x=0\)   of    \(x^2=25\)  
\(x=0\)   of    \(x=5\)   of    \(x=‐5 \)

 

Controle:

\(4x^3=4⋅0^3=0\) en \(100x=100⋅0=0\)

 

\(4x^3=4⋅5^3=500\) en \(100x=100⋅5=500\)

 

\(4x^3=4⋅(‐5)^3=‐500\) en \(100x=100⋅‐5=‐500 \)

 

  • Bij het oplossen van vergelijkingen zoals hierboven beginnen we steeds met herleiden op nul: het rechter- of linkerlid maken we 0.

  • Het is handig de termen te rangschikken: voorop de term met \(x^2\), dan de term met \(x\), dan het getal zonder \(x\).

  • We ontbinden het linker- of rechterlid in factoren: we schrijven het als product.

  • We controleren de oplossing(en).

 

Opgave 31

Opgave 32

Opgave 33

19.4 Vergelijkingen opstellen

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

Opgave 37

Opgave 38

Opgave 39

Opgave 40

19.5 Hogeregraads vergelijkingen

Opgave 41

Opgave 42

Opgave 43

19.6 Eindpunt

Priemgetal

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal \(1\) neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat \(1\) geen priemgetal is.

Ontbinden in factoren

Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.

Voorbeelden
\(x^2+4x=x(x+4)\)
\(x^2−4x−21=(x+3)(x−7) \)
\(​x^2+6x+9=(x+3)^2\)

Voorrangsregels

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.

Dus: \(2x^2=2⋅x⋅x\) en \(‐x^2=‐(x⋅x)\)

Systematisch oplossen

Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:

  • op nul herleiden,

  • haakjes uitwerken,

  • termen rangschikken,

  • delen door een getal.

Voorbeeld
\((x+3)^2=‐(x−1)^2+58\)
\(x^2+6x+9=‐x^2+2x−1+58\)
\(2x^2+4x−48=0\)
\(x^2+2x−24=0\)
\((x+6)(x−4)=0\)
\(x=‐6\)   of    \(x=4\)

Controle:
\((x+3)^2=(‐3)^2=9 \) en \(‐(x−1)^2+58=‐49+58=9\)
\((x+3)^2=7^2=49\) en \(‐(x−1)^2+58=‐3^2+58=49\)

Voorbeeld
We lossen de vergelijking \((x^2−4)(x^2+9)=0 \) op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of \(x^2=4\), dus \(x=2\)   of    \(x=‐2,\)
of \(x^2=‐9\), maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en \(‐2\).

Product is 0

Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als \(a⋅b=0\), dan \(a=0\) of \(b=0\).

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

Distributiewetten

Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:

  • \(a(b+c)=ab+ac\)

  • \(a(b−c)=ab−ac\)

Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:

  • \((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)

Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  • \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

  • \((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)

Vergelijkingen opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?

Noem de breedte \(x\).
We krijgen dan de vergelijking: \(x(x+4)=21\).
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: \(‐7\) en 3.
De oplossing \(‐7\) kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.

De graad van een vergelijking

De vergelijking \(5x=x^2+4x−12\) is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van \(x\) in deze vergelijking is 2. Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking \(5(x+3)=2x−5\) is een eerstegraads vergelijking.

19.7 Extra opgaven

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Oker

Opgave 1-S

Opgave 14-S

Opgave 18-S

Opgave 24-S

Opgave 25-S

Opgave 30-S

Opgave 33-S

Opgave 34-S

Opgave 36-S

Opgave 37-S

Opgave 43-S

  • Het arrangement 19. Ontbinden is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2018-07-22 10:05:08
    Licentie
    CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 2. De volgende onderdelen worden behandeld: product en som, systematisch oplossen, vergelijkingen opstellen en hogeregraadsvergelijkingen
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden herkennen - kwadratisch; Verbanden en formules; Kwadratische verbanden; Rekenen/wiskunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, distributiewet, hogeregraadsvergelijkingen, ontbinden in factoren, product en som, stercollectie, systematisch oplossen, vergelijkingen opstellen, vwo 2, wiskunde

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Leermateriaal, StudioVO. (z.d.).

    importeervragen

    https://maken.wikiwijs.nl/116579/importeervragen

    Wiskunde Wageningse Methode. (2017).

    19. Ontbinden

    https://maken.wikiwijs.nl/113219/19__Ontbinden

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van