Knoop
Introductie - Kennisbank
In deze opdracht gaan we kijken naar een regelmatige vijfhoek.
In deze figuur zitten veel andere figuren verstopt.
Denk, samen met een klasgenoot, na over de volgende vragen.
1
Waarom heet de vijfhoek regelmatig? Wat betekent dat?
2
Je kan de vijfhoek op verschillende manieren opdelen. Bedenk een manier zodat de vijfhoek in drie driehoeken is opgedeeld.
3
Ga na dat als \(A\) op de \(x\)-as ligt, de lengte van \(OA\) (met \(O\) de oorsprong) gelijk is aan de \(x\)-coördinaat van \(A\). Als \(A\) op de \(y\)-as ligt, waar is de lengte van \(OA\) dan gelijk aan?
Kennisbank
Voor je aan de slag gaat met het beantwoorden van de vragen die horen bij deze opdracht, bestudeer je de theorie in de volgende items van de Kennisbank wiskunde.
KB: Vierhoeken
KB: Driehoeken
KB: Rekenen met hoeken
KB: Sinus en cosinus
KB: Tangens
Vragen
Vragen
Mike heeft een kunstvoorwerp ontworpen in de vorm van een regelmatige vijfhoekige knoop.
Dit voorwerp wil hij met een 3D printer printen. Om dit voor elkaar te krijgen, moet hij de coördinaten van de hoekpunten weten.
Mike heeft een schets gemaakt van het bovenaanzicht in een assenstelsel. Elke zijde van de regelmatige vijfhoek is \(40\) cm lang.
1. (3p)
Laat met een berekening zien dat hoek \(A\) \(108^\circ\) is.
2. (4p)
Punt \(A\) heeft coördinaten \((x, 0)\).
- Laat zonder te meten met een berekening zien dat de \(x\)-coördinaat van punt \(A\), afgerond op één decimaal, gelijk is aan \(12,4\).
3. (4p)
Bereken zonder te meten de coördinaten van punt \(M\).
Schrijf je berekening op en rond je antwoorden af op één decimaal.
Antwoordmodel
1 maximumscore 3
1 punt voor: hoek \(M\) in driehoek \(ABM\) is \({360 \over 5} = 72(^\circ)\)
1 punt voor: de twee basishoeken van een driehoek zijn samen \(180 – 72 = 108(^\circ)\)
1 punt voor: Elke hoek van de vijfhoek is even groot als twee basishoeken (dus \(108(^\circ)\))
of
2 punten voor: (De vijfhoek bestaat uit vijf driehoeken, dus) het aantal graden van alle hoeken in de vijfhoek is \(3\) x\(180 = 540(^\circ)\)
1 punt voor: Elke hoek van de regelmatige vijfhoek is dus \({540 \over 5} = 108(^\circ)\)
2 maximumscore 4
1 punt voor: Hoek \(A\) in driehoek \(OAE\) is \(180 – 108 = 72(^\circ)\)
2 punten voor: \(\cos(72^\circ) = {OA \over 40}\)
1 punt voor: \(OA = 40\) x \(\cos (72^\circ) = 12,360\) (dus de \(x\)-coördinaat van \(A\) is afgerond \(12,4\))
3 maximumscore 4
1 punt voor :de \(x\)-coördinaat van \(M\) is \(12,4 + 20 = 32,4\)
2 punten voor: \(\tan (54^\circ) = {\text{y-coördinaat M}\over20}\)
1 punt voor: de \(y\)-coördinaat van \(M\) is \(20\) x \(\tan (54^\circ) = 27,527\), afgerond dus \(27,5\)
