Driehoeken
Een driehoek is een vlak figuur met drie hoeken en drie zijden.
Je ziet driehoek \(\small{ABC}\).
In plaats van driehoek \(\small{ABC}\) schrijf je ook wel \(\bigtriangleup\)\(\small{ABC}\).
De zijden van de driehoek zijn \(\small{AB}\), \(\small{BC}\) en \(\small{AC}\).
De hoeken van de driehoek zijn \(\small{\angle A}\), \(\small{\angle B}\) en \(\small{\angle C}\).
In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen \(\small{180^\circ}\) zijn.
Voorbeeld
Van de driehoek \(\small{ABC}\) is \(\small{\angle A = 132^\circ}\) en \(\small{\angle B = 20^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle C}\)?
\(\small{\angle C = 180^\circ -132^\circ - 20^\circ = 28^\circ}\)
Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:
- twee gelijke zijden
- twee gelijke hoeken
- één symmetrieas
De symmetrieas gaat door de tophoek.
Voorbeeld
Driehoek \(\small{PQR}\) is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek \(\small{\angle R = 52^\circ}\).
Bereken \(\small{\angle P}\) en \(\small{\angle Q}\).
\(\small{\angle P}\) en \(\small{\angle Q}\) zijn samen \(\small{180^\circ - 52^\circ = 128^\circ}\)
Driehoek \(\small{PQR}\) is een gelijkbenige driehoek, dus \(\small{\angle P}\) = \(\small{\angle Q}\).
\(\small{\angle P}\) \(=\) \(\small{\angle Q}\)\(=\)\(\small{128^\circ : 2 =64^\circ}\)
Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek
Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek.
Een gelijkzijdige driehoek heeft:
- drie gelijke zijden
- drie gelijke hoeken
- drie symmetrieassen
De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn \(\small{180^\circ : 3 = 60^\circ}\)
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken \(\small{90^\circ}\) is.
Voorbeeld
Driehoek \(\small{ABC}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle A = 90^\circ}\) en \(\small{\angle B = 42^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle C}\)?
\(\small{\angle C = 180^\circ - 90 ^\circ - 42^\circ = 48^\circ}\)
Stelling van Pythagoras
In iedere rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras.
Voorbeeld
\(\small{\bigtriangleup ABC}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle A = 90 ^\circ}\)
en \(\small{AB = 5}\) en \(\small{AC = 3}\).
Bereken de lengte van zijde \(\small{BC}\).
- Maak een schema met de rechthoekszijden (rhz) en de schuine zijde (sz).
- Vul de lengte van de rechthoekszijden in.
- Vul de kwadraten in.
- Tel de kwadraten bij elkaar op.
- Bereken de lengte van \(\small{BC}\).
\(\small{BC = \sqrt{34} \approx 5,8}\)
Rechthoekzijde berekenen
Soms moet je één van de rechthoekzijden uitrekenen.
Voorbeeld
\(\small{\bigtriangleup ABC}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle C = 90^\circ}\) en \(\small{AB = 6}\) en \(\small{BC = 4}\).
Bereken de lengte van zijde \(\small{AC}\).
- Maak een schema met de rechthoekszijden (rhz) en de schuine zijde (sz).
- Vul de lengte van de rechthoekszijden in.
- Vul de kwadraten in.
- Trek de kwadraten van elkaar af.
- Bereken de lengte van \(\small{AC}\).
\(\small{AC = \sqrt{20} \approx 4,5}\)
Oppervlakte driehoek
Voor de oppervlakte van een driehoek geldt:
- \(\small{\text{opp. driehoek} = \frac{1}{2} \times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
Let op: de \(\small{\text{hoogte}}\) staat altijd loodrecht op de \(\small{\text{zijde}}\).
Hiernaast zie je driehoek \(\small{KLM}\) met \(\small{LM = 10}\).
In de driehoek is een hoogtelijn \(\small{KN}\) op \(\small{LM}\) getekend; \(\small{KN = 4,6}\).
Bereken de oppervlakte van de driehoek \(\small{KLM}\).
- \(\small{\text{opp.}\bigtriangleup KLM = \frac{1}{2} \times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
- \(\small{\text{opp.}\bigtriangleup KLM = \frac{1}{2} \times 10 \times 4\text{,}6}\)
- \(\small{\text{opp.}\bigtriangleup KLM = 23}\)
