Einstein ontdekte de beroemde formule \(E=m \cdot c^2\) (in dit hoofdstuk leer je wat de \(\cdot\) en \(c^2\) betekenen). Dankzij die formule kunnen we kernenergie opwekken en - helaas - atoombommen maken. In hoofdstuk 1 ben je zelf al met formules bezig geweest. Zo heb je gezien dat het aantal grensvlakken van een \(n\)-zijdige prisma gelijk is aan \(n +2\).
In de bovenstaande voorbeelden legden Einstein en jijzelf verbanden tussen grootheden. We spreken over een verband als de ene grootheid afhangt van de andere. Mensen zijn gek op het leggen van verbanden. We doen dat zelfs onbewust. Ook jij legt verbanden. Lees maar eens de volgende voorbeelden.
Hoe groter het grasveld, des te langer duurt het maaien. De grootheid maaitijd is afhankelijk van de grootheid grootte van het grasveld.
Hoe langer het telefoongesprek, des te hoger zijn de kosten. De grootheid kosten is afhankelijk van de grootheid beltijd.
Hoe meer hoeken in een veelhoek, des te meer zijden. De grootheid aantal zijden is afhankelijk van de grootheid aantal hoeken.
Opgave 1
Opgave 2
3.2 Patronen en formules
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
3.3 Kwadraten
Opgave 10
\(81\) is een kwadraat, want \(81=9⋅9\).
Je kunt ook zeggen: \(81\) is het kwadraat van \(9\).
Je kunt \(9⋅9\) ook schrijven als \(9^2\).
Spreek uit: negen-kwadraat.
Je kunt \(n⋅n\) ook schrijven als \(n^2\).
Spreek uit: \(n\)-kwadraat.
Het aantal hokjes van een vierkant in een rooster is een kwadraat. Daarom spreek je ook wel van "vierkantsgetallen". Hoezeer "kwadraat" en "vierkant" bij elkaar horen, blijkt uit andere talen: het Duits, het Frans en het Engels gebruiken hetzelfde woord voor "vierkant" als voor "kwadraat" namelijk Quadrat, Carré en Square.
Opgave 11
Opgave 12
3.4 Formules en gelijkheden
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
3.5 Driehoeksgetallen
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20
Opgave 21
Carl Friedrich Gauss (één van de grootste wiskundigen aller tijden) verbaasde op 9-jarige leeftijd zijn meester met een slimme methode om de getallen 1 tot en met 100 op te tellen. De meester had deze som opgegeven. Terwijl zijn klasgenoten moeizaam rekenden, zag Gauss de truc en schreef de uitkomst meteen op zijn lei. Wil je weten hoe hij dit deed? Bestudeer dan "De truc van Gauss".
3.6 De distributiewetten
Opgave 22
De oppervlakte van figuur 1 kun je eenvoudig vinden. De rechthoek heeft een lengte van \(4\) en een breedte van \(8\). De oppervlakte krijg je door de lengte te vermenigvuldigen met de breedte, dus \(4⋅8=32\).
In figuur 2 is de lengte \(5\) en wordt de breedte gegeven door de variabele \(a\). De oppervlakte van deze rechthoek is dan \(5⋅a\).
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
Opgave 26
Opgave 27
Opgave 28
Opgave 29
Opgave 30
Opgave 31
Opgave 32
Opgave 33
Opgave 34
Opgave 35
Opgave 36
De distributiewetten zien er misschien wat moeilijk uit, maar eigenlijk pas je deze wetten al jaren (onbewust) toe. Bijvoorbeeld als je \(13⋅25+7⋅25\) en \(6⋅101\) uit je hoofd uitrekent.
Wil je nog extra oefenen, bijvoorbeeld met een spelletje, dan kan dit met de applet memory: oppervlakteformules.
Het leukst is de optie 'trio's', want dan moet je telkens de drie dingen zoeken die bij elkaar horen: een plaatje, een formule met haakjes en een formule zonder haakjes.
3.7 Eindpunt
Afspraken
In plaats van de \(×\) voor vermenigvuldiging schrijf je voortaan een punt. Dus \(3×5=15\) wordt nu \(3⋅5=15\). En \(12×x\) wordt \(12⋅x\).
Bij het product van een getal en een variabele zet je altijd het getal voorop. Dus in plaats van \(x⋅3\) schrijf je voortaan altijd \(3⋅x\).
Patronen en formules
In de rij met vierkante roosters zit regelmaat.
De formule \(g=3⋅z−2\) geeft het verband tussen de grootheden "aantal gekleurde hokjes" (\(g\)) en "lengte van de zijde" (\(z\)). Omdat de waarde van de letters kan varieren, noemen we deze variabelen. Je kunt een formule controleren door enkele getallen in te vullen.
Om de regelmaat in een rij patronen te ontdekken, kan het helpen om:
het volgende patroon uit de rij te tekenen;
een tabel te maken.
Kwadraten
\(81\) is een kwadraat, want \(81=9⋅9\).
Je kunt ook zeggen: \(81\) is het kwadraat van \(9\).
Je kunt \(9⋅9\) ook schrijven als \(9^2\).
Spreek uit: negen-kwadraat.
Je kunt \(n⋅n\) ook schrijven als \(n^2\).
Spreek uit: \(n\)-kwadraat.
Gelijkheden
De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren berekenen:
lengte \(\cdot\) breedte:
\((a+2)⋅(b+3)\)
de som van de delen:
\(a⋅b+3⋅a+2⋅b+6\)
Deze uitdrukkingen zien er verschillend uit, maar na het invullen van willekeurig getallen voor \(a\) en \(b\) geven ze dezelfde uitkomst. Zo krijg je de gelijkheid \((a+2)⋅(b+3)=a⋅b+3⋅a+2⋅b+6\).
Driehoeksgetallen
Bij het driehoeksgetal \(21\) kan een stippenplaatje worden getekend. Het plaatje bestaat uit \(21\) stippen.
Getallen die je door een driehoekig stippenpatroon kunt voorstellen, worden driehoeksgetallen genoemd. Het aantal stippen op de onderste rij heet de basis van het driehoeksgetal.
Het driehoeksgetal met basis \(6\) kun je op twee manieren berekenen:
\(1^e\) manier:
\(1+2+3+4+5+6=21\)
\(2^e\) manier:
\((6+1)⋅6:2=21\)
Dus:
\(1+2+3+4+5+6=(6+1)⋅6:2\)
Het stippenplaatje van het driehoeksgetal met basis \(n\) bestaat uit \(1+2+3+…+n=(n+1)⋅n:2\) stippen.
Distributiewetten
figuur 1
Je kunt de oppervlakte van de rechthoek in figuur \(1\) op twee manieren schrijven:
met haakjes:
\(a⋅(b+c)\)
zonder haakjes:
\(a⋅b+a⋅c\)
Zo vind je de gelijkheid \(a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\).
figuur 2
Bij de oppervlakte van het donkere stuk in figuur \(2\) hoort de gelijkheid \(a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. De volgende onderdelen worden behandeld: patronen en formules, kwadraten, formules en gelijkheden, driehoeksgetallen en distributiewetten.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Rekenen/wiskunde;
Getallen en variabelen;
Getallen, getalsystemen en -relaties;
Rekenen met getallen;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. De volgende onderdelen worden behandeld: patronen en formules, kwadraten, formules en gelijkheden, driehoeksgetallen en distributiewetten.
Er is ook een nieuwe, verbeterde versie 2.0 van dit hoofdstuk/thema:
Einstein ontdekte de beroemde formule 
De oppervlakte van figuur 1 kun je eenvoudig vinden. De rechthoek heeft een lengte van 
De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren berekenen:
Bij het driehoeksgetal 
