Kijk naar het volgende voorbeeld:
Als onze regels moeten kloppen met de werkelijkheid, dan gaat optellen dus niet altijd voor aftrekken, nee, we moeten het programma van links naar rechts afwerken, in de volgorde van de opgave.
Als we al weten wat negatieve getallen zijn, kunnen we afscheid nemen van het aftrekken en dan is er helemaal geen volgordeprobleem meer.
Daarvoor eerst een nieuwe definite van aftrekken:
“Ergens een getal van aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal erbij optellen.”
Wat is een tegengestelde?
Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som 0 is.
Vb.: en
zijn elkaars tegengestelde.
De bewerking optellen heeft twee belangrijke eigenschappen:
Als je twee getallen bij elkaar optelt, maakt het niet uit met wie je begint:
Dit staat bekend als de commutatieve eigenschap.
Als je meerdere getallen bij elkaar optelt, mag je zelf weten wie je het eerst bij elkaar doet:
en
Dit staat bekend als de associatieve eigenschap.
Deze rekenregels zijn natuurlijk een afspiegeling van de werkelijkheid. Dat leggen we uit met behulp van een bus:
commutatieve eigenschap
Er zitten mensen in de bus. Er stappen
mensen in. Hoeveel mensen zitten nu in de bus?
En andersom:
Er zitten mensen in de bus. Er stappen
mensen in. Hoeveel mensen zitten nu in de bus?
associatieve eigenschap
Er zitten mensen in de bus. Bij de eerste halte stappen er door de voordeur
mensen in en door de achterdeur
. Er stappen dus in totaal
mensen in. Nu zitten er
mensen in de bus.
of
De bus is leeg. Bij de eerste halte stappen er door de voordeur mensen in en door de achterdeur
. Er stappen dus in totaal
mensen in. Bij de tweede halte stappen er nog
mensen in. Nu zitten er weer
mensen in de bus.
Het gevolg van deze twee eigenschappen is dat je bij een optelling van meerdere getallen helemaal zelf de volgorde kunt bepalen. Heel handig, want dan neem je eerst de getallen samen die een mooie uitkomst opleveren, een bekende truc bij het narekenen van een kassabon.
Neem nu het volgende voorbeeld:
Als optellen voor aftrekken zou gaan, komt hier 0 uit. Maar dat klopt niet met de definitie van aftrekken en het fraaie feit dat je kunt goochelen met de volgorde:. Kijk maar:
of
of
of
Is dit nu een slimmigheidje van de wiskunde, of is de wiskunde zo ingericht dat het klopt met het echte leven?
De wiskunderegels kloppen natuurlijk met de werkelijke wereld (of is het andersom???)