## 10.3 Sokken en schoenen in de wiskunde

De oplossing zou echter gevonden worden volgens dezelfde wiskundige principes. Een eenvoudig voorbeeld vinden we in de volgorde van optellen en aftrekken, zoals een eenvoudig getallenvoorbeeld laat zien. De uitkomst is onafhankelijk van de volgorde waarin we de bewerkingen uitvoeren. Neem een getal in gedachten, tel er 6 bij op, trek er 8 vanaf, tel er -3 bij op en trek er -2 vanaf: de uitkomst is 22. Om er achter te komen welk getal we in gedachten namen moeten we in de een of andere volgorde de 6 en de -3 er weer vanaf trekken en de 8 en -2 er weer bij optellen. In alle gevallen is de uitkomst hetzelfde: 25

De enige encryptiemethode die gebruik maakt van 'optellen en aftrekken' is het schuifsysteem van de Caesar-encryptie. Het tweemaal verschuiven van een tekst was echter niet de opossing waarop het trio direct zat te wachten. Hetzelfde is echter ook te bereiken met iets ingewikkelder functies zoals het vermenigvuldigen en delen en zoals het machtsverheffen en worteltrekken wanneer je het beperkt tot positieve getallen.

Opgave 1

Bedenk een getallenvoorbeeld waarmee je laat zien dat de volgorde van de bewerkingen bij vermenigvuldigen en delen niet van belang is voor het antwoord en gebruik dit om een eenvoudige boodschap uit te wisselen. Maak gebruik van een werkblad zoals Excel waarmee je de bewerkingen snel eenvoudig kunt uitvoeren. Lees voor het gebruik van het werkblad de reflectie hiervoor.

In het voorbeeld wat we gekozen hebben op de antwoordpagina van les 10, zien we dat er tussen Alice en Bob de volgende berichten heen en weer gestuurd worden:

Alice | 3640 | 3395 | 3780 | 3780 | 3885 | 3430 | 4095 | 4095 | 3990 | 4130 | 3990 | 3885 | 4095 | 4165
Bob | 152880 | 142590 | 158760 | 158760 | 163170 | 144060 | 171990 | 171990 | 167580 | 173460 | 167580 | 163170 | 171990 | 174930
Alice | 4368 | 4074 | 4536 | 4536 | 4662 | 4116 | 4914 | 4914 | 4788 | 4956 | 4788 | 4662 | 4914 | 4998

Opgave 2

Eve is er in geslaagd het berichtenverkeer af te luisteren tussen Alice en Bob. Hoe moeilijk is het nu voor Eve om de code te kraken? Probeer het zelf eens uit.

Uit de berekeningen van opgave 2 volgt wel dat de encryptiemethode die we daar bedacht hebben niet zo geweldig is. Ook herhaald machtsverheffen is verwisselbaar maar leidt niet tot een beter resultaat. Het enige wat je hiermee bereikt is dat de getallen snel groter worden, maar hier heeft een computer niet veel last van. Zie het rekenvoorbeeld hieronder waarin we de getallen eerst verheffen tot de vijfde macht en daarna tot de derde macht. Vervolgens nemen we in dezelfde volgorde (!) eerst de vijfdemachts wortel en daarna de derdemachts wortel. In de eerste kolom doen we dit met het getal 2 als eenvoudig rekenvoorbeeld:

| h | a | l | l | o | b
2 | 104 | 97 | 108 | 108 | 111 | 98
2^5=32 | 12166529024 | 8587340257 | 14693280768 | 14693280768 | 16850581551 | 9039207968
32^3=32768 | 1,80094E+30 | 6,33251E+29 | 3,17217E+30 | 3,17217E+30 | 4,78459E+30 | 7,38569E+29
32768^(1/5)=8 | 1124864 | 912673 | 1259712 | 1259712 | 1367631 | 941192
8^(1/3)=2 | 104 | 97 | 108 | 108 | 111 | 98

u | u | r
117 | 117 | 114
21924480357 | 21924480357 | 19254145824
1,05387E+31 | 1,05387E+31 | 7,13794E+30
1601613 | 1601613 | 1481544
117 | 117 | 114

De conclusie uit deze opdracht moet zijn dat het mogelijk is om de volgorde van inpakken en uitpakken te verwisselen zolang de bewerkingen gelijkwaardig zijn, zoals optellen en aftrekken of vermenigvuldigen en delen of machtsverheffen en worteltrekken ...