## 4.1 Het opdelen van Flatland

Nu A Square de torus en sfeer kan onderscheiden van het projectieve vlak en de fles van Klein, is hij op zoek naar meer eigenschappen om een fijnere indeling te maken. Hij vermoedt namelijk (en terecht) dat de sfeer en de torus verschillende oppervlakken zijn. Hij weet alleen niet hoe hij dit wiskundig hard kan maken.
Gelukkig bereikt hem op een dag een bericht van de wiskundige Leonhard Euler:
Beste A Square,
Ik heb gehoord over uw zoektocht naar de vorm van Flatland. Ik ben zelf ook geinteresseerd in de vorm van verschillende ruimten en heb een invariant bedacht. Deze invariant kunt u op de volgende manier berekenen. Tel alle punten van uw oppervlak, noem deze V, tel alle zijden en noem deze E, en tel tot slot alle vlakken, noem deze F. Bereken nu het volgende getal V – E + F. Dit getal hangt niet af van de manier waarop je een oppervlak in vlakken verdeelt, en is daarom een invariant voor oppervlakken. De Eulerkarakteristiek van de sfeer is bijvoorbeeld 2.
Succes met uw verdere werk,
Vriendelijke groet,
Leonhard Euler.
A Square gaat meteen aan de slag, hij pakt zijn kaart de sfeer erbij en begint te tellen.

A. Square telt 4 hoekpunten, 2 lijnen en 1 vlak, en rekent uit 4 – 2 + 1 = 3? Maar Euler zei toch dat de Eulerkarakteristiek van een sfeer 2 was?

Reflectie

Kun jij zien wat A Square verkeerd doet?

klik hier

Om de tip van Euler te volgen moet A Square zijn kaarten op de een of andere manier opdelen in veelhoeken. Oppervlakken worden vaak voorgesteld als aan elkaar geplakte veelhoeken. Het meest bekende voorbeeld is de kubus. Topologisch is dit de sfeer, maar deze is nu verdeeld in zes vierkanten.

Het voorstellen van oppervlakken als aan elkaar geplakte veelhoeken kent een lange traditie. Oppervlakken als de kubus staan al veel langer in de belangstelling van wiskundigen. Zelfs in de Griekse oudheid waren wiskundigen en filosofen hier al mee bezig (zie de volgende paragraaf).

Toen men zich met oppervlakken ging bezighouden, bleek het voorstellen van oppervlakken als aan elkaar geplakte veelhoeken veel voordelen te hebben. Men ging er vaak van uit dat de oppervlakken waren verdeeld in driehoekjes. Het is niet moeilijk om in te zien dat elke veelhoek verder verdeeld kan worden in driehoeken en de drie is het minimale aantal hoeken van een veelhoek. Vandaar dat de driehoek goed dienst kan doen als elementaire bouwsteen.

Oppervlakken die in driehoeken verdeeld zijn, noemt men getrianguleerd en men spreekt wel van een triangulatie (triangulation).

In 1925 is door T. Rado bewezen dat elk oppervlak een triangulatie heeft (uitgaande van de abstracte definitie van oppervlak die wij niet behandelen). Maar dit bewijs is technisch en moelijk. We gaan verder niet in op deze technische details.

#