## 1.3 Topologie

Topologie is een belangrijk onderwerp binnen deze e-klas. Topologie is een wiskundig vakgebied waarvan het ontstaan wel aan Henri Poincaré (1854 - 1912) wordt toegedicht. Later meer over hem en een beroemd wiskundig vermoeden dat naar hem is vernoemd.

Tegenwoordig is topologie een groot, belangrijk en invloedrijk deel van de wiskunde, dat toepassingen en inzichten biedt ver buiten de wiskunde.

A Square gaat op zoek naar de mogelijke vorm van Flatland. Dit komt overeen met de vraag uit de topologie "welke oppervlakken zijn er eigenlijk?". Om deze vraag te beantwoorden moeten we eerst nadenken over wat we eigenlijk met vorm bedoelen. Wanneer noemen we twee ruimtes hetzelfde? Wat zijn de criteria om vormen in de wereld te classificeren?

De Wereld classificeren

Mensen verdelen de wereld constant in verschillende klassen. Ga maar na: De CD’s in de CD-winkel zijn gerangschikt naar genre, of soms op alfabetische volgorde van de artiest. Als leerling zit je in een bepaalde klas, bijvoorbeeld 6v-b. Boeken zijn onderverdeeld in romans, poëzie, kookboeken, reisverhalen, boeketreeksen, non-fictie, et cetera.

Dezelfde dingen worden niet altijd op dezelfde manier ingedeeld. Soms is de onderverdeling grover dan anders. Het toilet in een restaurant verdeelt mensen in mannen en vrouwen, bij gewichtheffen worden de deelnemers daarnaast ook nog ingedeeld in gewichtsklassen.

Bedenk vijf verschillende criteria waarop je foto's op je computer kunt indelen.

Klik hier

Topologie geeft een antwoord op de vraag hoe vormen te classificeren. In de topologie worden meetkundige objecten in verschillende klassen ingedeeld. Voorbeelden van meetkundige objecten zijn cirkels, driehoeken en andere figuren in het vlak. Maar ook het oppervlak van een bol, een gevulde bol, of het oppervlak van donut zijn voorbeelden van meetkundige objecten.

We delen de meetkundige objecten in de topologie in door alleen de ''topologisch relevante eigenschappen'' van de objecten te beschouwen en alle ''topologisch irrelevante'' eigenschappen te negeren. Grofweg betekent dat, dat we alle informatie over afstand vergeten. Je mag objecten dus uitrekken en vervormen zonder dat er topologisch iets verandert. Zo komen objecten die bepaalde fundamentele eigenschappen met elkaar delen in dezelfde klasse.

Meetkundige objecten in dezelfde topologische klasse zien we als gelijk. De wiskundige term hiervoor is homeomorf. Voorbeelden van topologische (niet-)homeomorfe objecten zijn:

Het alfabet classificeren

In deze opgave delen we de letters van het alfabet in op topologische gelijkheid.

A B C D E F G

H I J K L M N O P

Q R S T U V W X Y Z

Bedenk voor jezelf welke letter in dezelfde topologische klasse zitten en beantwoord daarna de vragen.

klik hier voor tekening eerste vraag.