## 5.4 Een overwachte gelijkheid

Het toevoegen van handvatten, kruishandvatten en kruismutsen geeft de mogelijkheid om, van een gegeven oppervlak, een hele serie nieuwe oppervlakken te maken.

Stel dat we met een bolschil beginnen. Deze noteren we met S2. Een handvat toevoegen is gelijk aan de samenhangende som nemen met de torus T2. Omdat S2#T2=T2, geeft dit de serie

In een plaatje ziet deze serie er als volgt uit:

We kunnen ook kruismutsen aan S2 toevoegen. Dit geeft ook nog eens de serie

Deze serie kunnen we tekenen als:

We kunnen ook kruishandvatten toevoegen en zo een hele serie van samenhangende sommen van de fles van Klein maken:

Je kunt handvatten, kruismutsen en kruishandvatten natuurlijk ook combineren. Zo krijg je bijvoorbeeld het oppervlak

en nog veel meer. Het zou fijn zijn om wat orde in deze overvloed aan oppervlakken aan te brengen.

Een kruishandvat is gelijk aan twee kruismutsen

De eerste versimpelende gelijkheid die we kunnen aantonen is dat P2#P2=K2, oftewel twee kruismutsen is gelijk aan een kruishandvat.

Dit is te zien aan het volgende plaatje met ritsen:

In plaatje A zie je een vierkant gat uit een oppervlak gehaald met op de randen een identificatieschema als van de fles van Klein. Dit is gelijk aan de samenhangende som met de fles van Klein. Als je vervolgens de stappen A, B, C volgt zie je dat dit gelijk is aan een kruishandvat. Als je daarentegen A, D, E, F, G, H, I doorloopt zie je hoe dit gelijk is aan twee kruismutsen.

Bouwplaten

Je kunt de gelijkheid K2=P2#P2 ook zelf aantonen met het knippen en plakken van bouwplaten. Begin met de volgende bouwplaat voor P2#P2 (teken deze voor jezelf en overtuig jezelf ervan dat dit inderdaad P2#P2voorstelt). Knip zoals aangegeven met de stippellijnen en plak de stukken tot de bouwplaat van K2. Teken het resultaat.

klik hier

Meerkeuzevraag

Een handvat aan het projectieve vlak

Nu we weten dat K2=P2#P2 vereenvoudigt de lijst van makkelijk te maken oppervlakken door handvatten et cetera aan een bolschil toe te voegen aanzienlijk. Alle K2's kunnen we vervangen voor twee P2's. De oppervlakken die uit S2 te maken zijn door handvatten en kruismutsen toe te voegen staan in de volgende tabel. Kruishandvatten voegen hier niets aan toe.

S2 | P2 | P2# P2 | P2#P2#P2 | ...
T2 | T2#P2 | T2#P2#P2 | T2#P2#P2#P2 | ...
T2#T2 | T2#T2#P2 | T2#T2#P2#P2 | T2#T2#P2#P2#P2 | ...
T2#T2#T2 | T2#T2#T2#P2 | T2#T2#T2#P2#P2 | T2#T2#T2#P2#P2#P2 | ...
T2#T2#T2#T2 | T2#T2#T2#T2#P2 | T2#T2#T2#T2#P2#P2 | T2#T2#T2#T2#P2#P2#P2 | ...
... | ... | ... | ... | ...

Naar beneden neemt het aantal kopieën van de torus T2 telkens met één toe, naar rechts het aantal kopieën van het projectieve vlak P2.

Staan er in deze tabel oppervlakken dubbel? Is het bijvoorbeeld zo dat T2#P2=P2#P2#P2? Het verrassende antwoord hierop is JA en er geldt inderdaad dat T2#P2=P2#P2#P2!

In de volgende afbeelding staat weergegeven hoe een kruismuts een handvat in een kruishandvat transformeert:

Invuloefening

De regel P2 # T2 = P2 # K2 is erg handig, maar de illustratie in het bovenstaande plaatje is misschien voldoende overtuigend. Je kunt de regel bewijzen met het behulp van bouwplaten. Het is het beste dit eerst zelf te proberen.

Bewijs

Als bouwplaat van P2 # T2 nemen we een zeshoek met de zijden geïdentificeerd volgens het schema aabcb-1c-1. Je kunt deze door twee keer te knippen en te plakken omvormen tot een zeshoek waarvan de zijden zijn geplakt volgens eedcd-1c, een bouwplaat voor P2 # K2.

Laat zien hoe je moet knippen en plakken om de volgende gelijkheden aan te tonen.

klik hier