## 2.3 Bouwplaten en gelijkheid

Bouwplaten zijn een handige manier om een oppervlak te representeren. Met een bouwplaat bedoelen we een plat figuur - een of meerdere veelhoek(en) - waarbij we aangeven waar we randen of punten op elkaar plakken. Hieronder staan nog enkele voorbeelden van bouwplaten:

Verschillende bouwplaten kunnen hetzelfde oppervlak voorstellen. We kunnen de bouwplaten "knippen en plakken" zonder dat het oppervlak dat ze voorstelt verandert:

1. Je mag overal knippen zolang je maar aangeeft hoe je de stukken weer aan elkaar plakt.

2. Laat richtingen intact.

3. Je mag soms twee pijlen samenvoegen, namelijk wanneer je twee keer dezelfde volgorde tegenkomt.

Welk oppervlak is het?

De volgende bouwplaat ken je nog niet:

Maar als we het plakken zouden uitvoeren krijg je een oppervlak dat je al eerder bent tegengekomen. Pak pen, papier, een schaar en plakband.

- Knip een zeshoek en zet bij de zijden een pijltje en een letter overeenkomend met het plaatje hierboven.
- Knip de zeshoek in zes stukken zoals hieronder aangegeven:

- Geef bij randen van de stukken I tot en met VI aan hoe ze op elkaar geplakt moeten worden.
- Plak de stukken I tot en met VI tot een vierkant (zodat het plakken van de randen klopt natuurlijk). Welke bouwplaat heb je nu? Dus welk oppervlak correspondeert met de zeshoekige bouwplaat?

Identificatieschema's
We kunnen vaak kort noteren over welke bouwplaat we het hebben. Als we een bouwplaat hebben waarvan we de identificaties met letters op de rand aangeven, kunnen we het identificatieschema samenvatten als “woord”. (Hoekpunten zijn dan impliciet geïdentificeerd). We schrijven de letters zoals we ze tegenkomen als we met de klok mee langs de zijden van het veelhoek lopen. De oriëntatie van de pijl geven we aan door klein -1 rechts boven de letter te schrijven als de pijl “tegen de klok in” wijst. Het identificatieschema van de torus kunnen we daarmee noteren als aba-1b-1 (spreek uit: a, b, a-invers, b-invers).

De torus heeft identificatieschema aba-1b-1.

Het maakt natuurlijk niet uit in welk hoekpunt we beginnen met het aflezen van het identificatieschema. De torus heeft ook identificatieschema bab-1a-1, oftewel aba-1b-1= bab-1a-1. Je mag ook besluiten in tegengestelde richting te lopen. Het oppervlak verandert dan nog steeds niet, dus we zien weer dat aba-1b-1 = bab-1a-1. We noemen identificatieschema's altijd gelijk wanneer zij hetzelfde oppervlak maken. Daarbij mogen we ook best de namen van de zijden veranderen, dus; bab-1a-1 = cdc-1d-1.

Waar/Niet waar-vraag