## 3.1 Een teken

Op aanraden van A Square zijn er ontdekkingsmissies Flatland ingestuurd om te verkennen en Flatland in kaart te brengen. Het vierkant zelf denkt ondertussen verder over de mogelijkheden van zijn tweedimensionale wereld. Hij ontdekt dat hij eenvoudig veel verschillende kaarten kan maken, veel meer dan voor Lineland. Altijd al meer geïnteresseerd in de theoretische dan in de praktische kant van zaken laat hij de berichten van de verkenningsploegen voor wat ze zijn, maar gaat hij verder met de vraag wat alle mogelijke verschillende vormen van Flatland zijn. Wanneer zijn deze echt verschillend? "Ik kan zo veel kaarten maken als ik wil, maar misschien zijn het gewoon andere weergaves van dezelfde vorm? Hmmm..."

A Square heeft vier verschillende kaarten getekend:

Hij weet niet zeker of deze ruimten verschillend zijn of hetzelfde. En dan bedenkt hij dat hij eigenschappen kan onderzoeken, niet van de kaart maar van het Flatland dat de kaart voorstelt! Als deze eigenschappen verschillen, of zoals hij in zichzelf mompelt "als de twee Flatlands nou verschillende natuurwetten hebben" weet hij zeker dat de kaarten ook echt verschillende Flatlands voorstellen.

Wij weten natuurlijk dat de twee rechterkaarten de torus en de bolschil, die we ook wel sfeer noemen, zijn. De andere twee kennen wij nog niet. Deze twee oppervlakken hebben een merkwaardige eigenschap.

Activiteit

Speel de bovenstaande Applet A Square. Je kunt A Square besturen met de pijltjestoetsen en met 'r' draai je A Square. Kun je een eigenschap verzinnen die A Square zelf zou kunnen opmerken?
A Square besluit Flatland te onderzoeken op deze eigenschap. Om te kunnen zien of zijn ruimte oriënteerbaar is of niet, laat hij een teken achter op zijn beginplek.

Een teken in Flatland

A Square vraagt zich af in welke ruimte hij leeft. Hij maakt een teken "Hallo". Flatland is zoals hieronder aangegeven.

Vervolgens wandelt A Square naar het Noorden, over het teken "Hallo", tot hij voor de tweede keer een teken tegenkomt. In welke van de volgende plaatjes wordt de situatie na de wandeling weergegeven? In welk oppervlak leeft Flatland?

a |
b |
c |
d |

Feedback