## 8.1 Poincaré en zijn vermoeden

Het vermoeden van Poincaré is een beroemd probleem uit de topologie dat bijna honderd jaar onbewezen heeft bestaan. Hieronder een filmpje van het Australische programma Catalyst als korte introductie.

Bron: http://www.youtube.com/watch?v=TzMZKiCgEVE

Poincaré

De Franse wiskundige Henri Poincaré hield zich, net als ons fictieve figuur Spherius, bezig met de vorm van driedimensionale ruimten. Hij was een van de pioniers op het gebied van topologie. Naar aanleiding van de classificatiestelling voor oppervlakken vroeg hij zich af of iets soortgelijks ook mogelijk was voor driedimensionale ruimten. De complexiteit van driedimensionale ruimten bleek echter een stuk groter te zijn dan die van oppervlakken. Het leek een onbegonnen werk om deze te classificeren.

Poincaré richtte zich daarom in eerste instantie op de 'simpelste' eindige, driedimensionale ruimte zonder rand, namelijk de drie sfeer S3. We voegen hier het woordje eindig toe omdat we niet naar de driedimensionale Euclidische ruimte willen kijken. Hij vroeg zich af op welke manier we deze ruimte kunnen herkennen. Het beroemde vermoeden dat uit zijn nieuwsgierigheid voortvloeide kwam bekend te staan als het vermoeden van Poincaré.
Het vermoeden van Poincaré luidt als volgt:

Elke enkelvoudig samenhangende, gesloten 3-variëteit is homeomorf met de 3-sfeer S3.
We zullen nu een korte toelichting geven op wat hier eigenlijk staat.

• Met een 3-variëteit bedoelen wiskundigen een mooie driedimensionale ruimte. Dit betekent dat de ruimte er vanuit elk punt uitziet als de driedimensionale ruimte die wij kennen, net als de cirkel er vanuit elk punt uitziet als een lijn voor een Linelander, en elk oppervlak er vanuit ieder punt net zo uitziet als een plat vlak voor de Flatlander.
• We noemen een variëteit gesloten wanneer deze eindig (compact) is en geen rand heeft.
• Twee ruimten zijn homeomorf wanneer ze topologisch gelijk zijn.
• De 3-sfeer hebben we in de vorige les besproken.

Een ruimte heet enkelvoudig samenhangend wanneer deze “geen gaten” bevat. Maar voor een wiskundige moet het “geen gaten” dan wel intrinsiek geformuleerd zijn. Poincaré bedacht om gaten te onderzoeken door het samentrekken van lusjes. Wanneer deze nooit blijven hangen en altijd helemaal ingetrokken kunnen worden, zijn er blijkbaar geen gaten in de ruimte.

Het vermoeden van Poincaré is sinds 2003 geen vermoeden meer, maar een stelling. Dankzij werk van de Russische wiskundige Grigori Perelman is het Poincaré vermoeden namelijk bewezen.