## 4.3 De Eulerkarakteristiek

Van een oppervlak opgedeeld in veelvlakken kun je het aantal hoekpunten, randen en vlakken tellen. We spreken de volgende notatie af:

V = hoekpunten (vertices)
E = randen (edges)
F = vlakken (faces)
Neem bijvoorbeeld de kubus. Deze is opgebouwd uit zes vierkanten.

Voor de kubus geldt dus V = 8, E = 12 en F = 6. In de vorige paragraaf ben je er als het goed is achtergekomen dat voor alle platonische lichamen geldt dat V - E + F = 2.

Stel dat een oppervlak M is opgedeeld in veelhoeken. Het getal V - E + F wordt de Eulerkarakteristiek van M genoemd. De notatie is . Dus

De Eulerkarakteristiek blijkt alleen af te hangen van de topologie van het oppervlak M, niet van de manier waarop het oppervlak in veelvlakken is verdeeld.

De torus

Het volgende filmpje laat zien dat de Eulerkarakteristiek niet afhangt van hoe je een boloppervlak verdeelt in veelvlakken.

bron: http://www.youtube.com/watch?v=qsO9kpZJzTI

Echt formeel bewijzen dat de Eulerkarakteristiek een topologische invariant is (alleen afhankelijk van de topologie) zullen we niet doen. Zie dit stukje uit een andere e-learning module om te weten waarom niet.