## 7.4 De 3-sfeer

We hebben gezien dat een bolschil in zekere zin het makkelijkste eindige oppervlak is. We kunnen alle andere oppervlakken krijgen door handvatten en kruishandvatten toe te voegen aan de bolschil, door middel van het nemen van de samenhangende som. De makkelijkste eindige driedimensionale ruimte is de 3-sfeer, deze les gaat over deze ruimte.

Net als de serie; punt, lijn, vlak, kubus, 4D-hyperkubus, …. hebben we ook een serie voor de cirkel en de bolschil.

Deze serie wordt gegeven door; twee punten, cirkel, bolschil, 3-sfeer, 4-sfeer etc.

De manier waarop deze ruimtes gedefinieerd zijn is als volgt:

• De 0-sfeer zijn de punten op afstand 1 van de oorsprong in een lijn.
• De 1-sfeer (cirkel) bestaat uit de punten op afstand 1 van de oorsprong in het vlak.
• De 2-sfeer (bolschil) zijn de punten op afstand 1 van de oorsprong in de driedimensionale ruimte.

De 3-sfeer bestaat dan ook uit alle punten op afstand 1 van de oorsprong in een vierdimensionale ruimte. Dit is moeilijk voorstelbaar voor ons, maar we kunnen wel weer een bouwplaat maken van deze ruimte.

Reflectie

Nog een andere serie ruimten is de volgende; interval, disk (cirkelschijf), gevulde bol.

Welke eigenschap hebben de punten in deze figuren? (Hint: lijkt erg op de eigenschap van de sferen)

klik hier

We gaan deze bouwplaat maken naar analogie met de 1-sfeer en de 2-sfeer. De 1-sfeer kan gemaakt worden door twee intervallen, als volgt op elkaar te plakken:

De 2-sfeer kan gemaakt worden door twee disken op elkaar te plakken:

Net zo kunnen we de 3-sfeer die we met S3 voorstellen door twee gevulde bollen op elkaar te plakken. Plakken komt neer op de volgende eigenschap: als je bij de ene bol op een bepaald punt door de randsfeer naar buiten gaat, kom je op hetzelfde punt van de randsfeer bij de andere bol naar binnen.

De 3-sfeer

Het plakken van de randen (twee keer een bolschil) hebben we aangegeven met een grote letter A.