## 8.2 Van vermoeden tot stelling

Geschiedenis
Henri Poincaré werkte rond 1900 aan de fundamenten van wat later algebraïsche topologie zou gaan heten. Hij zette zijn werk uiteen in het boek Analysis Situs, wat hij aanvulde met een aantal supplementen. Poincaré beweerde op een gegeven moment dat de homologie (zoiets als de Eulerkarakteristiek) voldoende is om een 3-sfeer te herkennen. Hij dacht dat je, als je een willekeurige 3D gesloten variëteit zou maken, de homologie uit kon rekenen en op de homologie van de 3-sfeer zou uitkomen, zeker zou weten dat je onbewust de 3-sfeer had geconstrueerd. Deze claim blijkt niet te kloppen. Hij kwam er zelf achter dat hij het mis had, door een tegenvoorbeeld te geven. Vervolgens stelde hij de volgende vraag:

Zou het zo kunnen zijn dat er een gesloten 3-variëteit bestaat die enkelvoudig samenhangend is, maar niet homeomorf met de 3-sfeer?

Poincaré heeft zelf nooit een antwoord gegeven, maar de positieve formulering van deze vraag is het Poincaré vermoeden gaan heten.

In de bijna honderd jaar dat het Poincaré vermoeden onbewezen heeft bestaan hebben veel wiskundigen zich er het hoofd over gebroken. Soms dacht iemand het bewezen te hebben, maar telkens bleek het bewijs toch niet te kloppen. Nieuwe, vermeende bewijzen werden sceptisch ontvangen door de wiskundige gemeenschap. Telkens terecht. De wiskundige John R. Stallings schreef zelfs een artikel met de titel How not to prove the Poincaré conjecture te vinden op zijn website. (Schik niet als je een keer een blik werpt op dit artikel, dit is een echt wiskundig onderzoeksartikel, dus dat ziet er moeilijk uit!)

Rond 1980 zorgde de geniale William Thurston voor een revolutionaire versnelling van het begrip van driedimensionale ruimtes. Hij wist met meetkundige technieken een heel nieuw licht op driedimensionale topologie te werpen. Zijn resultaten motiveerde hem tot het formuleren van een vermoeden dat bekend staat als het Thurston Geometrisatie vermoeden. Dit vermoeden is zelfs groter dan het Poincaré vermoeden, in de zin dat het het Poincaré vermoeden impliceert. Hij stelt een manier voor om alle gesloten 3-variëteiten te classificeren. William Thurston is misschien nog wel meer de A Square van Spaceland dan Poincaré.

Soms werkt het zo dat meer algemene dingen in de wiskunde meer opschieten dan speciale gevallen en dankzij de arbeid van veel wiskundigen kwam men verder met het Geometrisatie vermoeden van Thurston. Het was dan ook in deze context dat de Grigori Perelman aan het werk was. In 2002 en 2003 publiceerde hij drie artikelen op het internet. Deze brachten een schok teweeg in de wiskundige gemeenschap. Hoewel de artikelen erg beknopt en maar voor weinigen te lezen waren, leek het er op dat ze een bewijs van het Poincaré vermoeden gaven en zelfs van het volledige Geometrisatie vermoeden.

Drie jaar lang zijn kenners in het vakgebied bezig geweest om de artikelen van Perelman helemaal uit te pluizen. Elk argument hielden zij onder de loep. Alle tussenstappen werden ingevuld. Maar het bewijs hield stand. Het Poincaré vermoeden was bewezen.

Perelman kreeg voor zijn werk de hoogste onderscheiding in de wiskunde, de Fields Medal (vergelijkbaar met de Nobel prijs). Maar ondanks aandringen van de organisatie weigerde hij de prijs in ontvangst te nemen. Hij was zelfs niet op de ceremonie.

Het Clay Mathematics Institute heeft het Poincaré vermoeden opgenomen in de lijst Millennium problemen. Voor het bewijs staat een miljoen dollar uitgeloofd. De kans is groot dat, als het miljoen aan Perelman wordt toegekend, hij ook deze prijs aan zich voorbij laat gaan.

De methode
Het bewijs dat Perelman uteindelijk leverde voor het Poincaré vermoeden lijkt weinig op de wiskunde die we in deze module hebben behandeld. Het is op een bepaalde manier dan ook een gruwel voor veel topologen.
In het bewijs begint Perelman heel algemeen met een driedimensionale ruimte. Hij bekijkt deze niet alleen topologisch, maar ook meetkundig. Maar de ruimte kan allerlei rare krommingen hebben. Dus zowel topologisch als meetkundig kan de ruimte vreemd in elkaar steken.

Vervolgens past hij de Ricciflow toe op de meetkunde van de ruimte. Deze door Richard Hamilton geïntroduceerde methode strijkt de kromming van de ruimte langzaam glad. Dit wordt wiskundig weergegeven in een dynamisch model zoals natuurkundigen dat veel gebruiken, bijvoorbeeld om de verspreiding van warmte door een medium te moduleren.

Doordat de kromming steeds egaler verdeeld wordt, krijg je op den duur stukken die mooi egaal gekromd zijn. Deze stukken zijn dan te herkennen aan de meetkunde die ze bezitten zoals geformuleerd in het geometrisatievermoeden.

De Ricciflow toegepast op een oppervlak. Bij oppervlakken ontstaan geen singulariteiten.

Maar tussen de stukken kunnen allerlei vreemde dingen gebeuren als de kromming oneindig wordt. Hier breekt de ruimte als het ware in tweeën. Wiskundigen noemen deze plekken singulariteiten en vinden dat meestal enge dingen. Perelman heeft laten zien dat de singulariteiten van de Ricciflow niet té eng zijn. De breuken die ontstaan bij de singulariteiten zijn wiskundig netjes, een beetje zoals sommige wonden netjes zijn en makkelijk te hechten en andere niet. Een pak van zijn hart.