## 6.1 Een vermoeden

A Square heeft sinds het bericht van Euler inmiddels helemaal in de gaten hoe hij de Eulerkarakteristiek van oppervlakken berekent. Hij is met name geïnteresseerd in oppervlakken zonder rand, aangezien hij vermoedt dat Flatland geen rand heeft. Onderstaand zie je alle kaarten die A Square bedacht heeft met als bouwplaat een vierkant. We hebben in Les 1 gezien dat dit alle mogelijkheden zijn voor een vierkante bouwplaat en een ruimte zonder rand.

Hieronder vind je de berekeningen van A Square van de Eulerkarakteristiek van deze kaarten.

Hij merkt op dat A,B en F dezelfde Eulerkarakteristiek hebben maar dat A verschilt van B en F omdat A oriënteerbaar is en B en F allebei niet. Verder merkt hij op dat C en E beide niet-oriënteerbaar zijn en bovendien dezelfde Eulerkarakteristiek hebben.

Hij weet nu dus zeker dat hij zijn kaarten als volgt kan indelen:

| Oriënteerbaar | Niet oriënteerbaar
Eulerkarakteristiek 0 | A | B, F
Eulerkarakteristiek 1 |  | E, C
Eulerkarakteristiek 2 | D |

Maar hij vraagt zich af of B en F nu dan ook gelijk zijn of tóch verschillend. En net zo voor E en C weet hij het nog niet zeker.

Opdracht

Leg aan A Square uit hoe hij met knippen en plakken in kan zien dat B en F beide de fles van Klein zijn en dat E en C gelijk zijn aan het projectieve vlak.

Na jouw verhelderende uitleg bekijkt A Square zijn overige kaarten met meerdere zijden nogmaals. Na een heleboel geknip en geplak komt hij tot de conclusie dat al zijn kaarten uniek bepaald zijn door te bepalen of ze oriënteerbaar zijn en de Eulerkarakteristiek uit te rekenen. Hij vraagt zich af of dit voor alle oppervlakken waar is?
Hij heeft natuurlijk maar een eindig aantal kaarten getekend en bestudeerd. Hij kan niet met zekerheid zeggen dat er geen twee kaarten te vinden zijn die echt verschillende ruimten voorstellen maar wel dezelfde Eulerkarakteristiek hebben en ofwel beide oriënteerbaar zijn ofwel beide niet oriënteerbaar zijn.
Hij beschrijft zijn vermoeden als volgt:

"Wanneer twee oppervlakken beide orienteerbaar zijn en gelijke Eulerkarakteristiek hebben zijn ze ook daadwerkelijk gelijk. En net zo wanneer twee oppervlakken beide niet oriënteerbaar zijn en gelijke Eulerkarakteristiek hebben, dan zijn ze ook gelijk."

In deze les zul je inzien dat A Square gelijk heeft en zal het bewijs van zijn vermoeden geformuleerd worden. Daarmee wordt het vermoeden een stelling bekend als de classificatiestelling voor gesloten oppervlakken.