## 3.3 Niet-oriënteerbare oppervlakken

De Möbiusband is het prototype niet-oriënteerbaar oppervlak, zou je kunnen zeggen. Elk ander oppervlak dat niet oriënteerbaar is bevat immers een kopie van de Möbiusband. Op internet zijn veel filmpjes met de Möbiusband te vinden. Bijvoorbeeld:

Klik hier voor film.

Maar de Möbiusband heeft een rand. Daarmee is de Möbiusband geen ideale kandidaat als model voor Flatland. Wat betekent het als het universum van A Square een rand heeft?

De fles van Klein is een voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. We geven de fles van Klein aan met K2. De bouwplaat ervan heb je al gezien:

Dit oppervlak is niet in de driedimensionale ruimte voor te stellen zonder dat het zichzelf doorsnijdt.

Bron: http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc

De fles van Klein is een veel terugkerend voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. Dé bouwsteen van de niet-oriënteerbare oppervlakken blijkt echter het projectieve vlak. Als bouwplaat kunnen we het projectieve vlak als volgt voorstellen:

Net als bij de fles van Klein is het fysiek plakken van de bouwplaat niet mogelijk zonder zelfdoorsnijding. Hier een afbeelding met zelfdoorsnijding: