## 5.2 Kruismutsen

De samenhangende som nemen met een torus, oftewel het toevoegen van een handvat, is goed voor te stellen. Het is alsof je een extra buis aan het oppervlak plakt. Maar voor niet-oriënteerbare oppervlakken is ook het nemen van de samenhangende som met het projectieve vlak of de fles van Klein belangrijk.

De samenhangende som nemen met een projectief vlak of een Kleinse fles is echter lastiger voor te stellen, aangezien deze oppervlakken zelf al lastiger voor te stellen zijn.

Toch zijn er goede manieren om hierover na te denken. Het toevoegen van een projectief vlak wordt ook wel het toevoegen van een kruismuts genoemd, terwijl het toevoegen van een fles van Klein overeenkomt met het toevoegen van een kruishandvat. Aan het eind van deze les zullen we zien waarom kruismutsen en kruishandvatten overeenkomen met het nemen van de samenhangende som met het projectieve vlak en de fles van Klein. We gaan nu eerst bekijken wat kruismutsen en kruishandvatten zijn.

Kruishandvatten

Het toevoegen van een kruishandvat aan een oppervlak gaat als volgt: we knippen twee ronde gaten in het oppervlak en ritsen de randen van deze gaten, twee cirkels, vervolgens aan elkaar.

We doen dit zoals in onderstaand plaatje aangegeven is.

In plaatje A zie je dat de ritsen dezelfde oriëntatie hebben. Wanneer we de randen een stukje uit het oppervlak trekken moeten we één van de pijpjes door zichzelf heentrekken, anders kunnen we de ritsen niet op elkaar aan laten sluiten. Vervolgens hebben de ritsen dezelfde oriëntatie gekregen, en kunnen wij die aan elkaar ritsen.

We noemen het handvat dat ontstaat een kruishandvat aangezien één helft gekruist is.

Kruishandvatten

Hoe moet je plaatje A aanpassen om een gewone handvat te krijgen?

klik hier

Kruismutsen

Om een kruismuts toe te voegen knippen we slechts één rond gat in ons oppervlak. We voegen nu een rits toe op de randcirkel die ontstaan is. De makkelijkste manier om dit te doen is weergegeven in onderstaande figuur;

We zien hier dat de rits het oppervlak mooi dichtritst alsof er geen gat geweest is. We zien hier dat de twee kanten van de rits in hetzelfde punt beginnen en tegengestelde richting hebben. We kunnen de twee kanten echter ook dezelfde richting geven zoals aangegeven is in plaatje A hieronder.

Wanneer we beginnen met ritsen lijkt alles makkelijk te gaan (plaatje B en C) maar om de rits helemaal dicht te ritsen moet het oppervlak zichzelf doorsnijden; we krijgen een kruismuts zoals te zien is in plaatje D.

Begrijp je de constructie van kruishandvatten en kruismutsen? Je kunt eventueel nog de volgende online artikelen (in het Engels) raadplegen voor meer informatie en plaatjes:

- Kruishandvat
  - http://mathworld.wolfram.com/Cross-Handle.html
- Kruismuts
  - http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-cap
  - http://mathworld.wolfram.com/Cross-Cap.html

Reflectie

Welk oppervlak krijg je als je een kruismuts aanbrengt op de bolschil?

klik hier