## 6.2 Opdrachten ellipsen

Om je te laten wennen aan de berekeningen die straks nodig zijn voor de bewegingen in ons melkwegstelsel laten we je nu eerst een paar opgaven maken over ellipsen.

Opdracht 14

Maak deze opdracht in je schrift.

In deze figuur zie je een ellips, met een aantal onderdelen aangegeven. Een ellips heeft twee brandpunten. (In het geval van het zonnestelsel zitten de planeten in een ellipsbaan rond de zon, met de zon in een van de brandpunten.)

- a = halve lange as
- b = halve korte as
- c = afstand van middelpunt ellips tot brandpunt

Een ellips is de verzameling van alle punten, waarvan de som van de afstanden tot twee punten (de brandpunten) gelijk is. Deze som is gelijk aan de lengte van de lange as (= 2a) van de ellips.
Bovendien geldt: a2 = b2 + c2.

a. Teken op een vel millimeterpapier een assenstelsel waarbij de x-as en de y-as beide van -10 cm tot 10 cm gaan. Prik het vel met punaises op een stuk zachtboard. Prik twee punaises vast in de punten (-8, 0) en (8, 0). De twee punaises vormen de brandpunten van de ellips.

b. Maak een touwtje met een lengte van iets meer dan 20 cm vast aan de beide punaises: knoop de ene kant van het touwtje aan de eerste punaise en de andere kant van het touwtje aan de tweede punaise. Zorg ervoor dat tussen beide punaises het touw precies 20 cm lang is. Trek met het potlood het touw strak en teken een ellips door rond te gaan met het potlood.
c. Bepaal a, b en c van de door jou getekende ellips.
d. Laat met behulp van de a die je net hebt bepaald, zien dat de lengte van het touw gelijk is aan 2a (de lengte van de lange as van de ellips).
e. Bewijs algemeen dat geldt: touwlengte = 2a.
f. Laat met behulp van de a, b en c die je net hebt bepaald, zien dat: a2 = b2 + c2.
g. Bewijs dat voor een ellips geldt: a2 = b2 + c2.

Opdracht 15

Maak deze opdrachten in je schrift.

Bloemperk
Je wilt in de tuin een ellipsvormig bloemperk maken, met een lange as van 6,5 meter lang. De korte as moet 3,5 meter lang zijn. Je zet de ellips uit met een touw en twee paaltjes die je in de grond slaat.

a. Hoe lang moet het touw zijn?
b. Bereken hoe ver de beide paaltjes uit elkaar moeten staan.

Ellips met twee boompjes
Twee boompjes staan 15 meter uit elkaar. Je maakt een stuk touw zo aan beide boompjes vast dat zich tussen de boompjes 20 meter touw bevindt. Daarmee construeer je een ellips.
Bereken de lengte van de korte as van de ellips.

Ellips 1
Hieronder zie je een tekening van een ellips. De tekening is op ware grootte.
a. Bepaal a en b van deze ellips (in centimeters).
b. Bepaal c van deze ellips.
c. Teken de beide brandpunten op de goede plaats in de ellips. Laat zien hoe je dat doet.

Ellips 2
Voor de bovenste helft van een ellips geldt de formule:

a. Laat zien dat de functie voor de bovenste helft klopt.
b. Teken de ellips met a = 10 en b = 6.
c. Teken de beide brandpunten in de ellips.
d. Plot de ellips op je grafische rekenmachine. Zorg ervoor dat de schaalverdelingen langs de x-as en de y-as even groot zijn. Laat zien hoe je dit hebt gedaan.