## 6.6 Opdrachten wetten van Kepler

Eenheden in de sterrenkunde

In de sterrenkunde hebben we te maken met zeer grote afstanden. Het is daarom verstandig om voor deze afstanden aparte eenheden af te spreken.

Astronomische Eenheid
De Astronomische Eenheid (A.E.) is een afstandsmaat die vooral gebruikt wordt om afstanden binnen het zonnestelsel aan te geven. Afgesproken is dat de gemiddelde afstand van de Aarde tot de Zon precies één astronomische eenheid bedraagt. Deze afstand is nauwkeurig bekend en bedraagt 149.597.870,69 km.

Lichtjaar
Omdat de afstanden van de Aarde tot de sterren vele malen groter zijn dan de afstand van de Aarde tot de Zon is het gebruik van de astronomische eenheid voor deze afstanden niet erg praktisch. Een meer voor de hand liggende eenheid is het lichtjaar. Eén lichtjaar is de afstand die het licht in één jaar aflegt. Eén lichtjaar is 9,4607 . 1012 km.

Parsec
Voor nog grotere afstanden wordt de parsec (afkorting pc) als afstandsmaat gebruikt.
Een ster of ander voorwerp staat op een afstand van 1 parsec tot de Zon als de afstand Aarde - Zon (de Astronomische Eenheid (zie hierboven)) vanaf die ster een zichthoek van 1 boogseconde heeft. Eén parsec komt overeen met 3,26 lichtjaar. Voor afstanden tussen sterrenstelsels wordt vaak de megaparsec (1 Mpc = 106 pc) gebruikt.

Zonsmassa
Sterren en sterrenstelsels hebben een zo grote massa dat bij gebruik van de S.I.-eenheid kilogram de waarden erg groot zijn. Het is in de astronomie gebruikelijker om de massa van de zon als eenheid te nemen. Eén zonsmassa mzon komt overeen met 1,989 . 1030 kg.

Boogseconde
Bij waarnemingen wordt vaak de hoek gemeten waarin een ster of ander bewegend voorwerp ten opzichte van de Aarde verschuift.
Deze verschuivingen worden in boogseconden uitgedrukt. Een boogseconde is een zestigste deel van een boogminuut. Een boogminuut is weer een zestigste deel van een graad. Een boogseconde is dus een klein deel van een graad.

Als een ster zich aan de hemel beweegt, kun je met behulp van de hoek p in boogseconden bepalen welke afstand R de ster heeft afgelegd. Je hebt dan ook de afstand d van de Aarde tot de ster nodig. Zie de figuur hieronder.

Omdat de hoek erg klein is, zullen de schuine zijde en de aanliggende zijde van hoek p vrijwel even lang zijn. Met behulp van de volgende formule kun je de waarde van R, de afstand die de ster heeft afgelegd, uitrekenen als p en d bekend zijn.

- p = de hoek in graden(°)
- R = de afstand die de ster heeft afgelegd in meters (m)
- d = de afstand van de Aarde tot de ster in meters (m).

Maak nu de volgende opdrachten in je schrift.

Opdracht 16
a. | Reken na, met behulp van Binas, dat één lichtjaar overeenkomt met 9,4607 . 1012 km (Een jaar duurt gemiddeld 365,25 dagen).
b. | Hoe vaak kun je in één jaar van de Aarde naar de Zon en weer terug vliegen als je raket met de lichtsnelheid zou vliegen?
c. | Hoe vaak kun je in één jaar om de Aarde vliegen op een hoogte van 250 km boven de evenaar? De snelheid van je raket is gelijk aan de lichtsnelheid.

Opdracht 17

a. Bereken hoeveel lichtjaar er in 1pc zitten. Geef je antwoord in 4 decimalen .
b. Voor een ster op een afstand van 8000 pc (dat is 8,0 kpc) komt 2 boogseconden ongeveer overeen met 92 lichtdagen. Reken dat met behulp van bovenstaande informatie uit.
c. Reken uit hoeveel radialen 2 boogseconden zijn (360° = 2 pi radialen).
d. Bij zeer kleine hoeken geldt dat de waarde van de sinus gelijk is aan de waarde van de hoek in radialen. Ga dit na voor de hoek van 2 boogseconden.
e. Leid met behulp van vraag b en c de volgende formule af (p in boogseconden):

Opdracht 18 Bepaling van de omlooptijd In opdracht 14 construeer je een ellips. De nauwkeurigheid van deze methode kun je vergroten door de ellips eerst op een stuk karton te plakken en dan pas uit te knippen. Let er wel op dat je de lijm goed verdeelt. Ook kun je de ellips vooraf vergroten met een kopieerapparaat.
a. | Knip met behulp van een schaar de ellips van opdracht 14 uit. Weeg de uitgeknipte ellips op een weegschaal met een nauwkeurigheid van tenminste 0,01 g. Hiermee kun je (de massa van) Aell bepalen.
b. | Knip vervolgens de oppervlakte die nog niet gepasseerd was door de voerstraal weg, en weeg het overgebleven papier opnieuw. Op deze manier krijg je (de massa van) DA. Als je echte oppervlaktes wilt bepalen, dan moet je de massa's van het papier omzetten in vierkante boogseconden. Omdat je echter alleen de verhouding tussen DA en Aell nodig hebt, is hier nu geen reden voor.
c. | Bereken T door gebruik te maken van de massa's van de verschillende delen van de ellips. Bepaal de waarde van Dt en vergelijk het verkregen resultaat met dat van je docent.

Opdracht 19 Vraag: de massa van de Zon en de Aarde Bereken de gezamenlijke massa van de Zon en de Aarde door gebruik te maken van Keplers derde wet. Neem voor de halve lange as van de ellips die de Aarde beschrijft 150 miljoen kilometer en de omlooptijd is 1 jaar.

Middels verschillende opdrachten en animaties over de tweede wet van Kepler en over de derde wet van Kepler ben je meer te weten gekomen over de wetten van Kepler.

De docent is erg benieuwd naar de grafieken die jullie gemaakt hebben en jullie antwoorden op de vragen.
Upload voor de vervaldatum je ingevulde werkdocument.

Werkdocument%2Bbij%2BDe%2Bwetten%2Bvan%2BKepler.doc