## 5.1 Van cirkelbanen naar Kepler

Eerder hebben we gezien dat de Maan om de Aarde draait en dat de Aarde om de zon draait. In dit gedeelte gaan we kijken naar de banen die planeten afleggen.

Daarvoor gebruiken we de wis- en natuurkunde voor cirkelvormige banen en voor ellipsen. Als je deze leerstof begrijpt kun je straks gaan meten en rekenen aan de banen van sterren rond ons vermoedelijke zwarte gat SgrA*.

Een voorwerp dat je horizontaal weggooit beschrijft een kromme (parabool-) baan. De snelheid verandert voortdurend van grootte en richting, omdat de zwaarte- of gravitatiekracht op het voorwerp werkt. De snelheid neemt toe omdat de val ook in de richting van de zwaartekracht gaat: het voorwerp valt ook naar beneden. (Beneden moet je trouwens lezen als: in de richting van het middelpunt van de aarde want voor onze tegenvoeters in Australië is die richting dan natuurlijk "omhoog".)

Deze beschrijving klopt alleen maar als je niet te hard gooit, en je aanneemt dat het aardoppervlak horizontaal is. Newton liet al zien dat als de beginsnelheid van de worp maar groot genoeg is, je het voorwerp in een cirkelbaan om de aarde kunt brengen, het aardoppervlak buigt dan voortdurend onder het voorwerp weg. De snelheid van je voorwerp verandert dan alleen nog maar van richting en niet meer van grootte. Dat komt omdat de gravitatiekracht bij een cirkelbaan altijd loodrecht staat op de snelheid, en die kracht kan dus geen arbeid verrichten. De bewegingsenergie van je voorwerp blijft dus constant, en daarmee natuurlijk ook de snelheid.

Opdracht 12

In de volgende simulatie kun je zien hoe een en ander in zijn werk gaat: sleep de snelheid naar de juiste waarde voor een cirkelbeweging rond de aarde. Die waarde kun je vinden door gewoon uitproberen, maar je kunt hem ook berekenen met de formules voor een cirkelbeweging. De stipjes geven informatie over de grootte van de snelheid want ze worden met een vast tijdsinterval Δt getekend.

Zoals je wel kunt nagaan is de animatie zelf niet op schaal gemaakt: de straal van de aarde is 6,4·103 km, dus de berg zou in deze tekening wel erg hoog zijn!

Maak deze opdracht in je schrift.

a. Welke snelheid geeft een goede cirkelbaan?
b. Welke kracht zorgt ervoor dat de snelheid van je voorwerp steeds van richting verandert?
c. Wat gebeurt er als je de snelheid iets groter maakt?

Om de juiste snelheid te geven kun je hier ook een eenvoudige berekening toepassen. Voor elke cirkelbeweging heb je een kracht nodig die de snelheid van richting verandert: de middelpuntzoekende kracht Fmpz.

Let op: dit is zelf geen échte kracht, hij wordt altijd geleverd door een van de bestaande krachten zoals de gravitatiekracht, de wrijvingskracht, een spankracht...

In dit voorbeeld wordt de Fmpz geleverd door de gravitatiekracht Fg.

In formulevorm:

Waarin m de massa van je voorwerp, mA de massa van de aarde, r de afstand van je voorwerp tot het midden van de aarde, G de gravitatieconstante en v de snelheid.

Na omschrijven vind je:

Wat denk je? Klopt de waarde die jij gevonden had in de simulatie met deze analytische oplossing? Plaats hier je muis