## 8.3 Ontsnappingssnelheid

8.3 Ontsnappingssnelheid

Ontsnappingssnelheid

De snelheid die nodig is om aan een zwaar voorwerp, bijvoorbeeld een planeet of zwart gat, te ontsnappen, wordt ook wel de ontsnappingssnelheid genoemd. De snelheid die je moet hebben om aan een bolvormig lichaam met massa M en straal r te ontsnappen, kun je berekenen met de volgende formule:

waarin:

- Vontsnapping = de ontsnappingssnelheid in meters per seconde (m/s)
- G = de gravitatieconstante in N m2 kg-2
- M = de massa van het bolvormige lichaam in kilogrammen (kg)
- r = de straal van het lichaam in meters (m)

Wat denk je?

Met de volgende applet kun je ontsnappen aan de wereld. Wat is de invloed van de massa van de planeet? Wat verandert er als je de hoogte van het kanon boven de aarde groter maakt?

Klik op het plaatje voor de applet. Je computer heeft wel de shockwave plugin voor internet explorer nodig. Die kun je hier ophalen.

Plaats hier je muis

Achtergrondinformatie: Schwarzschildstraal

Eerder noemden we de waarnemingshorizon, een point of no return, een grens rondom het zwarte gat. Deze grens is met behulp van de formule te bepalen door voor vontsnapping de lichtsnelheid c in te vullen. De straal Rs die nu te bepalen is heet de Schwarzschildstraal. Binnen deze straal Rs, kan niets meer ontsnappen aan het zwarte gat. We vinden:

- Rs = de Schwarzschildstraal in meters (m)
- G = de gravitatieconstante in N m2 kg-2
- M = de massa in kilogrammen (kg)
- c = de lichtsnelheid in meters per seconde (m/s)

Kenniskaart: ontsnappingssnelheid

Leerlingen met natuurkunde kunnen onderstaande afleiding volgen, voor leerlingen zonder natuurkunde is vooral het resultaat van belang.
Een lichaam met massa m dat zich op een hoogte van h meter boven het aardoppervlak voortbeweegt met een snelheid van v m/s heeft zowel kinetische energie als zwaarte-energie. De formules voor kinetische energie en zwaarte-energie zijn:

waarin:
- Ekin = de kinetische energie in joules (J)
- Ez = de zwaarte-energie in joules (J)
- m = de massa in kilogrammen (kg)
- v = de snelheid in meters per seconde (m/s)
- g = de zwaartekrachtversnelling in meters per seconde kwadraat (m/s2)
- h = de hoogte in meters (m)

Als je een steentje omhoog gooit met een snelheid v, stijgt het tot een hoogte h en keert daarna weer terug doordat de zwaartekracht het omlaag trekt. Tijdens de tocht omhoog heeft de zwaartekracht (negatieve) arbeid verricht en is de kinetische energie omgezet in zwaarte-energie. Als h zeer groot is, neemt Fz af en mogen we mgh niet meer gebruiken voor de zwaarte-energie. De negatieve arbeid die de zwaartekracht over een kleine afstand Dr verricht is:

In dit geval gebruiken we Dr omdat we van het centrum van de Aarde uitgaan. M is de massa van de Aarde.

Tussen r = R en r = r verricht de zwaartekracht de arbeid:

Door deze arbeid verandert de zwaarte-energie Ez. Laten we r tot ¥ naderen, dan volgt voor Ez op afstand r van het centrum:

Een voorwerp met massa m heeft op het aardoppervlak (r = R) dus een zwaarte-energie

Het minteken staat erbij omdat we te maken hebben met een aantrekkende kracht.
Een voorwerp kan alleen aan een planeet ontsnappen als het op het aardoppervlak voldoende kinetische energie bezit om de negatieve zwaarte-energie tot 0 te laten toenemen. Dan moet gelden:

De minimale snelheid die het voorwerp moet hebben wordt de ontsnappingssnelheid v0 genoemd. We vinden dus:

waarin:

- v0 = de ontsnappingssnelheid in meters per seconde (m/s)
- G = de gravitatieconstante in N m2 kg-2
- M = de massa van de planeet in kilogrammen (kg)
- R = de straal van de planeet in meters (m)

Maak de volgende vragen in je schrift.

Opdracht 26 Wanneer krijg je een zwart gat? a. Bereken de ontsnappingssnelheid vanaf de Aarde. Maak gebruik van Binas. b. Bereken de ontsnappingssnelheid als de straal van de Aarde maar 0,5 cm is. c. Bereken tot slot de ontsnappingssnelheid als de Aarde weer z'n echte straal heeft, maar een massa van 2200 keer de massa van de Zon. ?

Opdracht 27 Als je zelf een zwart gat was... a. Neem de massa van je eigen lichaam en bereken de straal die nodig is om een ontsnappingssnelheid te krijgen die gelijk is aan de lichtsnelheid. Je moet jezelf tot een bol met een dergelijke straal samenpersen om jezelf in een zwart gat te veranderen. b. Vergelijk het antwoord op vraag a met de straal van een atoom. De straal van een atoom is ongeveer 10-10 m en van een kern is ongeveer 10-15m. Is het mogelijk om zelf een zwart gat te worden?