## 6.3 Het omgekeerde q ⇒ p

Het omgekeerde van een bewering p ⇒ q is de bewering q⇒p (of p⇐q).
Als p⇒q waar is, dan hoeft q⇒p het niet te zijn.

Bijvoorbeeld:

- x >5 ⇒ x>2

is waar, maar

- x>2 ⇒ x>5

klopt niet (3 is een tegenvoorbeeld).

Vraagstuk 4

In dagelijks taalgebruik wordt een als-dan bewering vaak door elkaar gehaald met de omgekeerde bewering.

Bijvoorbeeld:

A: Meid, wat ziet die plant van je er slecht uit!
Als je hem niet goed verzorgt, dan kwijnt-ie weg.
(slecht verzorgen ⇒ wegkwijnen)

B: Ik verzorg hem wel goed!

Eigenlijk bedoelt A (en zo voelt B het blijkbaar): "Als hij wegkwijnt dan verzorg je hem niet goed."
(slecht verzorgen ⇐ wegkwijnen)

Vraagstuk 5

Geef voorbeelden van eigenschappen p en q van natuurlijke getallen zodat:

1. wel p⇒q maar niet q⇒p
2. wel p⇒q maar niet (niet p)⇒(niet q)
3. niet p⇒q en niet q⇒p.

Kies voor p en q:

- x is even
  x is oneven
  x is drievoud
  x is macht van 2

Antwoord vraagstuk 5.docx

de contrapositie (niet q)⇒(niet p)

Stel dat alle sinaasappels oranje zijn, en stel je hebt een vrucht die niet oranje is. Dan weet je zeker dat het geen sinaasappel is, want dan zou hij oranje moeten zijn.
Dus: als een vrucht een sinaasappel is, dan is hij oranje. En dan weet je ook: als een vrucht niet oranje is, dan is hij geen sinaasappel.
Algemeen: als p⇒q waar is, dan is (niet q)⇒(niet p) het ook.
De bewering (niet q)⇒(niet p) heet de contrapositie van p⇒q.
Let op: p en q zijn omgewisseld en hebben een "niet" erbij.

- Stelling: Als p⇒q dan (niet q)⇒(niet p)
  Bewijs: Er is gegeven: p⇒q, dus in alle gevallen dat p waar is, geldt ook q. Om te bewijzen dat: (nietq)⇒(niet p) beginnen we met alle gevallen dat niet q waar is.
  Als nou in die gevallen p waar is, dan geldt (volgens het gegeven p⇒q) dat ook q waar is.
  Dus we begonnen met alle gevallen dat niet q waar is, en vinden nu (via "als p waar") dat q waar is. Dat kan niet kloppen.
  Dus is het niet p. Kortom als je niet q hebt, krijg je niet p.
  QED

Vraagstuk 6