## 4.2 Bewijzen en weerleggen

Hoe bewijs je een universele bewering " alle a's zijn b's"?

- Door van elke a aan te tonen dat hij een b is. Meestal doe je dat door je een willekeurige a voor te stellen, dus een a waarover je niets weet behalve dat hij in A zit. Al redenerend laat je dan zien dat die a een b moet zijn, hoe hij er verder ook uitziet.
  - Voorbeeld:
  - Bewering: Het kwadraat van een oneven getal is oneven.
    Bewijs:
    Stel x is een oneven getal, dan is er een natuurlijk getal n zodat x=2n+1.
    Dan x2 = (2n+1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2n)+ 1. Dus ook oneven.

    QED

Hoe weerleg je een universele bewering " alle a's zijn b's"?

- Je laat een a zien, die niet b is. Zo'n a heet dan een tegenvoorbeeld.

- Voorbeeld:
  - Bewering: Alle vijfvouden zijn oneven.
    Weerlegging: Het getal 10 is wel een vijfvoud maar niet oneven. Dus niet alle vijfvouden zijn oneven.

Hoe bewijs je een existentiële bewering "Sommige a's zijn b's "?

- Je laat één of meerdere a's zien die b zijn. Eén is al genoeg.

- Voorbeeld:
  - Bewering: Een drievoud kan even zijn.
    Bewijs: Het getal 6 is een drievoud en het is even.

Hoe weerleg je een existentiële bewering "Sommige a's zijn b's "?

Je laat zien dat geen enkele a een b is, oftewel je bewijst de universele bewering dat elke a niet-b is.

- Voorbeeld:
  - Bewering: √(-1) bestaat,
    Oftewel er is een getal x zodat x2= -1.
    Weerlegging: Er zijn drie soorten getallen: positieve, negatieve en het getal 0. Als een getal positief is, dan is diens kwadraat ook positief, dus nooit -1.
    Ook als een getal negatief is, is diens kwadraat positief, dus niet gelijk aan -1.
    Het kwadraat van 0 is 0, dus ook 02 is ongelijk aan -1. Kortom van geen enkel getal is het kwadraat gelijk aan -1, dus -1 heeft geen wortel.

  QED

Vraagstuk 3

Hieronder staan een aantal uitspraken. Welke uitspraken kunnen in principe weerlegd worden met één enkel tegenvoorbeeld.

(i) Drievouden zijn altijd even.

(ii) Het kwadraat van een oneven getal is even.

(iii) Er betaat een drievoud dat even is.

(iv) Een drievoud kan geen kwadraat zijn.

(v) Het kwadraat van een oneven getal kan even zijn.

Weerleggingen.docx