## 7.2 Pijlen bij het oplossen van vergelijkingen

Bij het oplossen van vergelijkingen worden vaak pijltjes gebruikt.

- x2 - 5x + 6 = 0 ⇔ (x - 2) (x - 3) = 0 ⇔ x - 2 = 0 of x - 3 = 0 ⇔ x = 2 of x = 3

Daarmee is de vergelijking opgelost. Het idee is namelijk dat je laat zien dat

x2 - 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 of x = 3

Wil x dus voldoen aan de vergelijking links, dan moet x voldoen aan de vergelijking rechts. Dus x is een oplossing als x=2 of als x=3. Andersom als x gelijk aan 2 of 3 is, dan voldoet hij aan de vergelijking.

Sommige stappen in het oplossen van vergelijkingen zijn echter niet omkeerbaar. Bekijk de volgende uitwerking:

x+2=x⇒(x+2)2=x2⇔x+2=x2⇔x2−x−2=0⇔ x = -1 of x = 2

Hierin is de eerste stap niet omkeerbaar. Voor x=−1 is x+2=x niet waar, want er staat dan 1=−1 , terwijl(x+2)2 wel waar is, want dat komt neer op 1 = 1.
De serie stappen levert wel:

- x+2=x
- ⇒ x=-1 ∨ x = 2

Hier staat dat áls x een oplossing is, x gelijk aan -1 of 2 is. Maar of -1 en 2 wel echt oplossingen zijn, moet je nog controleren. En dan blijkt dat -1 vals is.

Bij het oplossen van een vergelijking met een wortel is het vaak handig beide leden te kwadrateren. Maar let op, door het kwadrateren verlies je equivalentie en zul je de gevonden mogelijke oplossingen moeten controleren.

x=y⇒x2=y2 | maar niet | x2 = y2 ⇒ x = y
Als twee getallen gelijk zijn, dan zijn hun kwadraten ook gelijk. Maar als de kwadraten van twee getallen gelijk zijn, dan zijn het nog geen gelijke getallen, bijvoorbeeld (-1)2 = (1)2 is waar, maar 1 = -1 is niet waar. Vraagstuk 2 Onderzoek welke implicatiepijl(en) ingevuld kunnen worden zodat er een ware bewering ontstaat. Als de dubbele implicatie mag, kies die dan. De variabelen x,y en c staan voor willekeurige reële getallen. klik hier

Vraagstuk 3

Wat is er precies fout aan het onderstaande 'bewijs'?
Vervang de foute dubbele implicatie door de juiste enkele pijl.

Stelling : 2 = 3

Bewijs : 4 -10 = 9 -15

- ⇔4−10+254=9−15+254
  ⇔22−2⋅2⋅(52)+254=32−2⋅3⋅(52)+254
  ⇔(2−52)2=(3−52)2
  ⇔2−52=3−52
  ⇔2=3 QED

klik hier