6.1 Als-dan

Beweringen hebben vaak de vorm 'als p dan q'.

Enkele manieren om als-dan in een Nederlandse zin weer te geven:

niet persé oorzaak en gevolg

In de wiskunde wordt met als-dan wat anders omgesprongen dan in het dagelijkse taalgebruik. We zullen vanaf nu voor het wiskundige als-dan het teken ⇒ gebruiken, dat implicatiepijl heet.

De betekenis van p⇒q kun je zo omschrijven:

  • In alle gevallen waarin p waar is, is q ook waar.

Met p⇒q wordt niet persé bedoeld dat er een oorzakelijk verband bestaat tussen p en q, dus dat p de oorzaak is van q, en q het gevolg van p. In het dagelijks taalgebruik is dat trouwens ook zo. Bijvoorbeeld:

  • Als je in het ziekenhuis ligt, dan is er iets mis met je gezondheid.

Deze uitspraak is (als we een stage met nachtdienst uitsluiten) juist: in alle situaties waarin je in een ziekenhuis ligt zal er een medische reden zijn. Maar het feit dat je in het ziekenhuis ligt, is niet de oorzaak van het ziek-zijn. En niet iedereen die ziek is, wordt opgenomen.

als-dan als universele bewering

Een als-dan bewering is een universele bewering. Bijvoorbeeld: met
als het regent word je nat, wordt eigenlijk gezegd:

  • alle momenten dat het regent
    zijn momenten waarop je nat wordt

Dus de verzameling van regenmomenten is een deelverzameling van de verzameling van nat-word-momenten.

Eigenlijk komt het teken ⇒ nooit alleen voor, altijd zijn er variabelen in p en q waarover een universele uitspraak wordt gedaan:

  • ∀m
  • (op m regent het ⇒ op m word je nat)

Een wiskundiger voorbeeld: het vermoeden van Goldbach luidt:

  • Als een getal even is dan is het de som van hoogstens twee priemgetallen.

kun je schrijven als:

  • x is evenx is de som van hoogstens twee priemgetallen

of nog beter:

  • ∀x∈Ν
  • (x is evenx is de som van hoogstens twee priemgetallen)

of

  • ∀x∈Ν
  • (x is even ⇒   ∃y∈Ρ   ∃z∈Ρ   x=y+z )

Vraagstuk 1

Vraagstuk 2