## 1.2 Even en oneven

Om je een idee te geven van een wiskundige theorie met axioma's, definities, stellingen en bewijzen, bekijken we de theorie van even en oneven getallen. Dit is het oudste voorbeeld van een wiskundige theorie, ooit ontwikkeld in de school van Pythagoras (vijfde eeuw voor Christus). Hoe de theorie er toen precies uitzag, weten wij niet omdat de volgelingen van Pythagoras een eed moesten zweren dat zij al hun kennis geheim zouden houden. Wij geven een moderne versie.

Als we het hieronder hebben over 'een getal' dan bedoelen we steeds een natuurlijk getal, dus 0, 1, 2, 3, enz..

Definitie 1

Gegeven is getal x

- We zeggen: x is even als er een getal z is zodat x = 2 z
  We zeggen: x is oneven als er een getal z is zodat x = 2 z + 1

Bijvoorbeeld:

- 6 is even want 6 is 2 x 3, dus 2 keer een (geheel) getal.
  5 is oneven want het is 2 x 2 + 1.

We hebben nu afgesproken wat we bedoelen met "even" en "oneven", maar dat zijn slechts definities. Om te kunnen redeneren hebben we ook waarheden nodig, dingen waar we vanuit mogen gaan. Bijvoorbeeld dat je 1 niet kunt schrijven als ' 2 keer iets", dus dat 1 niet even is. Of algemener: dat getallen niet even en oneven tegelijk kunnen zijn.
Om dat te bewijzen heb je echter een algemene theorie nodig over hele getallen. Daarom kiezen we als uitgangspunt (axioma) in onze theorie:

aanname (axioma)

- Voor elk getal x geldt dat het óf even óf oneven is.

Stelling 1

De even en oneven getallen liggen om en om, oftewel: voor elk getal x geldt:

1. Als x even is, dan is x + 1 oneven.
2. Als x oneven is, dan is x + 1 even.

Bewijs

1. Stel x is even, dan is er een getal a zodat x = 2a
   - dan x + 1 = 2a + 1
     dus er is een getal z (namelijk a) zodat x + 1 = 2z + 1
     en dus is x + 1 oneven.
2. Stel x is oneven, dan is er een natuurlijk getal b zodat x = 2b + 1
   - dan x + 1 = (2b + 1) +1 = 2b + (1 + 1) =2b + 2 • 1 = 2(b + 1)
     dus er is een getal z (namelijk b + 1) zodat x + 1 = 2z
     dus is x + 1 even

Stelling 2

Gegeven getallen x en y, dan geldt:

1. is x even en y even dan is x + y even.
2. is x even en y oneven dan is x + y oneven.
3. is x oneven en y even dan is x + y oneven.
4. is x oneven en y oneven dan is x + y even.

We doen nu alleen het bewijs van b), de rest komt hieronder in vraagstuk 2 aan de orde.

Bewijs

- Omdat x even is, is er een getal a zodat x = 2a
  Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b + 1
  Dan geldt: x + y = 2a + 2b + 1 = 2 (a + b) +1
  Dus er is een getal z (namelijk a + b) zodat x + y = 2z + 1
  dus x + y is oneven.

Vraagstuk 2

Stelling 3

Gegeven getallen x en y, dan geldt:

1. is x even en y even dan is x • y even.
2. is x even en y oneven dan is x • y even.
3. is x oneven en y even dan is x • y even.
4. is x oneven en y oneven dan is x • y oneven.

Stelling 3d):

- Zijn x en y oneven, dan is x • y ook oneven.

Bewijs

Bewijs stelling d):

- Omdat x oneven is, is er een getal a zodat x = 2a +1.

  Omdat y oneven is, is er een getal b zodat y = 2b +1.

  Dan geldt:

  Dus er is een getal z (namelijk 2ab + b + a) zodat x • y = 2z +1

  dus x • y is oneven.
  - x • y = (2a +1) • (2b + 1)

    = (4ab + 2b + 2a) + 1 (na haakjes wegwerken)

    = 2 (2ab + b + a) + 1

Vraagstuk 3

Bewijs stelling 3b en lever je antwoord schriftelijk in bij je docent.

Vraagstuk 4

Stelling 4

Gegeven getal x, dan geldt:

1. Als x is even dan is x2 even.
2. Als x is oneven dan is x2 oneven.

Bewijs

1. Als x is even, dan is er een getal a zodat x = 2a.
   Dan is x2 = (2a)2 = 4a2 = 2 • (2a2).
   Dus er is een getal z (namelijk 2a2) zodat x2 = 2z.
   Dus x2 is even.
2. Als x oneven is, dan is er een getal a zodat x = 2a + 1.
   Dan is x2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 (2a2 + 2a) + 1.
   Dus er is een getal z (namelijk 2a2 + 2a) zodat x2 = 2z + 1.
   Dus x2 is oneven.

Opdracht:

Leg het bewijs van Stelling 4 a en b aan elkaar uit. Maak hierbij gebruik van de chatfunctie van de e-klas.