## 11.3 Rekenen met de inverse sleutel

We stellen ons nu de vraag of elke functie een goede encryptiefunctie is en of er geen snellere manier is om de sleutel te breken. En daarvoor gaan we terug naar het eerste voorbeeld van de affiene afbeelding
E(x)=15x(mod26)=REST(15x;26). Stel nou dat we twee gehele getallen a en b kunnen vinden waarvoor geldt dat we het klare alfabet kunnen vercijferen met a en het cijferalfabet kunnen ontcijferen met b.
Anders gezegd:
(getal klare tekst)*a = (getal cijfertekst)
(getal cijfertekst)*b = (getal klare tekst)

Substitueren we de eerste vergelijking in de tweede dan geeft dit:
((getal klare tekst)*a)*b = (getal klare tekst)*a*b = getal klare tekst
Het klinkt een beetje fantastisch maar er zou uit moeten volgen dat a*b=1.

Definitie: de getallen a en b waarvoor geldt dat a*b=1 noemen we elkaars inverse bij de vermenigvuldiging.
Voor de gewone vermenigvuldiging * kan dit alleen voor hele waarden van a en b als a=1 en b=1.
Daar schieten we niet veel mee op, maar ...

Als we de vercijfering modulo 26 berekenen dan zou ook mogen gelden a*b=27, wanta*b=27(mod26)=1
of a*b=53, want a*b=53(mod26)=1 of a*b=79, want a*b=79(mod26)=1, etcetera.

Reflectie

Hierboven lezen we dat a*b=1 modulo 26 als geldt a*b=27, a*b=53, a*b=79, etcetera.
Waarom is dat zo?

Plaats hier je muis

We proberen het uit op een eerste voorbeeld waar we de letters van het woord 'utrecht' vermenigvuldigden met 15.
We berekenen b zodat 15*b=1(mod 26) en we vinden na enig proberen b=7, want 15*7-4*26=105-104=1.
Anders gezegd: 15 en 7 zijn elkaars inverse bij de vermenigvuldiging (mod26)
De resultaten zetten we in het rekenblad:

Op de subpagina delen in Zm wordt uitgebreid stilgestaan bij de vraag wanneer a*b=1(modm)
Maak nu eerst de opgaven onder het kopje delen in Zm.

Opgave 2

Een tekst is vercijferd met de Affiene encryptiefunctie E(x)=ax(mod26)
De inverse van a onder de vermenigvuldiging (mod26) noemen we b.
a) Kies a=9. Bestaat er een waarde voor b zodat geldt dat a*b=1(mod26)?
b) Doet de toevoeging 'bij de vermenigvuldiging (mod26)' er erg veel toe als je zegt:
a en b zijn elkaars inverse bij de vermenigvuldiging (mod26)?