## 13.1 Op zoek naar de inverse

Invuloefening

Voorbeeld 1

Een boodschap is gecodeerd met de ASCII-tabel, waarin "A"=65, "B"=66, enz en waarin "a"=97, "b"=98, enz.
Daarna is ze letter voor letter versleuteld met de encryptie-functie
E(x) = (117*x)mod500.
De versleutelde boodschap is 073 317 338 136 285 402 019 244 200 317 136 317 370 361.

a) Laat met een berekening zien dat de eerste letter van de boodschap een "E" is.
b) Welke vergelijking moet je oplossen om het tweede symbool te ontcijferen?
c) En het derde?
d) Bereken (453*117)mod500.
e) Leg met behulp van je antwoord op de vragen b en d uit dat het ontcijferen van het tweede symbool neerkomt op het berekenen van (453*317)mod500. Ontcijfer en decodeer het tweede symbool.
f) Ontcijfer op dezelfde manier het derde symbool.
g) Ontcijfer en decodeer nu de hele boodschap.

Probeer zelf:

Een boodschap is gecodeerd met de ASCII-tabel. Daarna is ze letter voor letter versleuteld met de encryptie-functie
E(x) = (143*x)mod500.
De versleutelde boodschap is 298 373 444 300 443 087 373 302 088
a) Leg uit waarom we graag een oplossing willen hebben van de vergelijking (y*143)mod500 = 1
b) Vind door uitproberen een oplossing van de vergelijking in vraag a.
c) Ontcijfer en decodeer de versleutelde boodschap.

klik hier

Bob ontvangt het bericht 417 235 185 516 001 525 van Alice, vercijferd met de sleutel van opgave 10 uit les 12.

Bob kent die encryptiefunctie E(x)=1234*x+192731(mod 437217).
Het encryptie-algoritme plakt de letters in tweetallen aan elkaar, vermenigvuldigt met 1234 en telt er 192731 bij op.
Als je probeert de tekst te ontcijferen door terug te rekenen, trek je er eerst weer 192731 af, maar deling van de getallen door 1234 levert allemaal breuken op en dan ....?
De modulo-functie is niet omkeerbaar en het gaat ons moeite kosten om de code te ontcijferen.
Om het te ontcijferen zou je de vercijfering van Alice moeten proberen op alle getalen van 000000 tot 437216,
net zolang totdat je de juiste antwoorden vindt. Maar in de oefeningen hierboven heb je gezien dat de vermenigvuldiging in sommige gevallen wel ongedaan gemaakt kan worden door met een ander getal te vermenigvuldigen. De tabel van Euclides helpt ons om dit probleem op te lossen met gebruik van de stelling van Bachet-Bézout.