## 8.3 Marian Rejewski

Bij het Poolse Biuro Szyfrów werkte Marian Rejewski, een begaafd wiskundige, aan het Enigma-vraagstuk. De dagelijks onderschepte berichten begonnen allemaal met de zes letters om de orientatie van de scramblers door te geven. Veronderstel dat op een dag de eerste vier berichten met de volgende zes letters begonnen (zie de tabel hierboven).

De eerste en vierde letter zijn altijd de encryptie van dezelfde letter, net zoals de tweede en de vijfde, de derde en de zesde.

Rejewski leidde hieruit af, dat er, bij een onbekende scramblerstand (scramblervolgorde + scrambleroriëntatie), een letter als L werd vercijferd en drie aanslagen later dezelfde letter als een R. Voor een andere letter gold bij dezelfde scramblerstand, dat deze eerst als M en daarna als X werd vercijferd. De verandering van L naar R, van M naar X, van J naar M en van D naar P waren niet toevallig en zeiden iets over de bedrading binnen de scramblers en dus over de scramblerstand. Rejewski stopte zijn gegevens die iets zeiden over de eerste en vierde letter in een tabel (hieronder blauw geaccentueerd) en vulde die aan met de eerste en vierde letters van alle berichten die op één dag ontvangen waren. Al deze berichten begonnen vanuit dezelfde scramblerstand:

A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z
F | Q | H | P | L | W | O | G | B | M | V | R | X | U | Y | C | Z | I | T | N | J | E | A | S | D | K

De vraag was nu wat je hieraan had om de dagsleutel te bepalen.
Rejewski bestudeerde nu de patronen die in de tabel te herkennen zijn: In de tabel zien we dat de A een relatie heeft met de F en dat de F vervolgens een relatie heeft met de W en de W op zijn beurt weer met de A. Daarmee is een kringetje rond. Het kringetje bestaat uit een keten van 3 schakels:
A -> F -> W -> A
Rejewski besloot alle ketens in kaart te brengen en daarvan een catalogus aan te leggen. In bovenstaande tabel vinden we nog een paar ketens:
B -> Q -> Z -> K -> V -> E -> L -> R -> I -> B, een keten van negen schakels
C -> H -> G -> O -> Y -> D -> P -> C, een keten van zeven schakels
J -> M -> X -> S -> T -> N -> U -> J, een keten van zeven schakels

Op dezelfde manier bepaalde Rejewski de ketens met de relaties tussen de tweede en de vijfde letter en tussen de derde en de zesde letter. Rejewski bedacht dat het aantal schakels in de ketens alleen afhankelijk was van de scramblerstand. Afhankelijk van de scramblerstand zou de ene of de andere serie ketens tevoorschijn komen. Het aantal scramblerstanden is gelijk aan het aantal scramblervolgordes (6), vermenigvuldigd met het aantal scrambleroriëntaties (26x26x26), dat is 6x17576=105.456.
In plaats van op zoek te gaan naar de sleutel, die bestaat uit scramblerstand + letterparen, ging Rejewski op zoek naar alleen de scramblerstand. Het team van Rejewski liep elk van de 105.456 scramblerstanden langs en legde een catalogus aan van alle ketenlengtes die bij een bepaalde scramblerstand werden gevonden. Het kostte een jaar, maar toen dit eenmaal was gebeurd kon hij beginnen met het kraken van de Enigma.
In zijn catalogus vermeldde hij bij iedere scramblerstand de ketens, zoals:

4 ketens van de 1e en de 4e letter, met 3, 9, 7 en 7 schakels
4 ketens van de 2e en de 5e letter, met 2, 3, 9 en 12 schakels
5 ketens van de 3e en de 6e letter, met 5, 5, 5, 3 en 8 schakels

De combinaties van schakels verraadden de scramblerstanden. Zodra de ketens op een bepaalde dag gevonden waren was het aantal scramblerstanden beperkt en deze konden uitgeprobeerd worden om de code te ontsleutelen. Daarbij speelde het schakelbord een ondergeschikte rol omdat dit slechts bijdroeg tot een kinderlijk eenvoudige gedeeltelijke monoalfabetische substitutie, zoals we hierboven in opgave 1 hebben kunnen ervaren.

Opgave 2

Op een bepaalde dag vond Rejewski de volgende relaties tussen de 2e en de 5e letter:

A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z
H | W | M | V | Q | S | B | C | N | X | T | G | A | E | L | K | D | Y | J | F | Z | I | U | R | P | O

Hoe zou Rejewski dit gegeven opnemen in zijn catalogus?

Zodra het team van Rejewski de dagsleutel gekraakt had konden alle berichten van die dag ontcijferd worden. Door de problematiek van de sleutel te scheiden in het probleem van de scramblerstand en het probleem van de letterparen kon elk deelprobleem opgelost en daarmee de sleutel gevonden worden. Rejewski's aanval op de Enigma was een van de grote prestaties uit de geschiedenis van de cryptoanalyse. Zonder het verraad van Schmidt, de wiskundige techniek van Rejewski en de vrees voor Duitsland was het niet gelukt om de Enigma te kraken. Rejewski automatiseerde zijn systeem door zes machines, ieder met een andere scramblervolgorde, om tegelijkertijd de scramblerstanden door te laten rekenen. De eenheid die zo ontstond noemden ze een Bombe en deze bombes waren in staat om binnen een uur of twee de sleutel te kraken.
Zonder dat het team van Rejewski dit wist ging Hans-Thilo Schmidt door met het leveren van informatie. In totaal leverde hij 38 maanden codeboeken aan de Fransen, die het op hun beurt doorgaven aan het hoofd van het Poolse bureau van Rejewski, majoor Gwido Langer, die het in een diepe la opborg. De reden hiervan was, dat Langer wilde dat de Polen niet afhankelijk zouden zijn van de informatie van Schmidt.

Helaas voor de Polen voerden de Duitsers de veiligheid van hun Enigma op door vijf scramblers te laten rouleren en het aantal kabels op het schakelbord op te voeren zodat er 20 paren gevormd konden worden. Omdat ook Schmidt bij het uitbreken van de Tweede Wereldoorlog niet meer in staat was gegevens door te sturen hield het op voor Rejewski en zijn team. Twee weken voordat de Duitsers Polen zouden binnenvallen nodigde Langer de geallieerde cryptoanalisten uit in Polen om hun op de hoogte te stellen van de ontdekkingen van Rejewski. Alle informatie die beschikbaar was, twee reserve-Enigma's en blauwdrukken voor de bombes, werden aan de stomverbaasde analisten meegegeven in de hoop dat de Engelsen en de Fransen in staat zouden zijn op het resultaat verder te bouwen in hun strijd tegen de Duitsers. De Polen hadden tien jaar voorsprong op de rest van de wereld. Ze hadden laten zien dat het Enigma-cijfer niet onfeilbaar was en dat gaf hoop. Bovendien hadden ze aangetoond dat wiskundigen een grote bijdrage konden leveren om cijfers te breken. Tot dan hadden taalkundigen en classici gedomineerd in Kamer 40 in Londen. Vanaf nu werd alle moeite gedaan om het team aan te vullen met wiskundigen en andere wetenschappers. Ze werden ondergebracht in Bletchley Park, Buchinghamshire, de zetel van de Government Code and Cypher School (GC&CS), de opvolger van Kamer 40.

Opgave 3

Omdat de cryptografen drie scramblers konden kiezen uit vijf en het aantal letterparen kon worden opgevoerd tot twintig ontstonden er nog veel meer sleutels. Het werd een te kostbare zaak voor het Biuro Szyfrów om een bombe te bouwen die alle mogelijke scramblerstanden tegelijkertijd door kon rekenen.

a) Uit hoeveel machines zou zo'n Bombe moeten bestaan?

b) Hoeveel verschillende sleutels ontstaan er met een keuze van drie scramblers uit vijf, twintig letterparen en de 17576 scramblerorientaties?