## 2.3 Een formule voor het affiene systeem

Als de encryptiefunctie van de vorm E(a,b)(x)=ax+b is, dus een willekeurige lineaire functie, wordt de volgorde van de letters verstoord. Merk op dat je nu twee waarden moet weten om de versleuteling uit te voeren, de waarde van a en de waarde van b. Daarbij kan het lastig worden om de letters terug te vinden in de eindeloze rij rangnummers die in de tabel op de vorige pagina staat. Om steeds terug te keren tot het gebied [0,25] noteren we de functies als Ek(x)= rest((x+k):26) en E(a,b)(x)=rest((ax+b):26). Deze manier van rekenen wordt ook wel modulo-rekenen of klokrekenengenoemd. In les 11 komen we hier uitgebreid op terug.

We spreken van een affien systeem met de encryptiefunctie E(a,b)(x)=rest((ax+b):26) en het sleutelpaar (a,b). Je zou kunnen zeggen dat het getal 26 ook onderdeel van de sleutel is, maar deze wordt bepaald door de lengte van de karakterset en is dus vrij eenvoudig uit de cijfertekst af te leiden. Bij een schuifsysteem blijven de letters van het alfabet na versleuteling keurig naast elkaar staan; bij een affien systeem wordt deze volgorde verstoord.
Opgave 4

a) Neem de volgende tabel over en bepaal de versleutelingen van de letters van het alfabet onder
de encryptiefuncties E11(x)= rest((x+11):26) en E(5,6)(x)=rest((5x+6):26).

| a | b | c | d | e | . . . | v | w | x | y | z
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |  | 21 | 22 | 23 | 24 | 25
E11(x)= rest((x+11):26) | L | M |  |  |  |  |  |  |  | J | K
E(5,6)(x)=rest((5x+6):26) | G | L |  |  |  |  |  |  |  | W | B

Je hebt in de gaten dat het heel wat rekenwerk geeft om de tabel in te vullen. Het rekenblad van Excel kan ons wat werk besparen. We maken gebruik van een functie in Excel die de letters omzet in een getalswaarde volgens de ASCII-tabel en andersom.
De hoofdletters van het alfabet hebben in deze tabel de waarde 65 t/m 90, de kleine letters hebben de waarden 97 t/m 122
b) Neem de volgende tabel over en bepaal de versleutelingen van de letters van het alfabet onder
de encryptiefuncties. Gebruik de tabel voor affiene versleuteling.

Affiene versleuteling

Het gebruik wordt toegelicht in het volgende filmpje.

Klik hier voor film.

| a | b | c | d | e | . . . | v | w | x | y | z
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |  | 21 | 22 | 23 | 24 | 25
E(9,2)(x)= rest((9x+2):26) | C |  |  |  |  |  |  |  |  |  | T
E(3,8)(x)=rest((3x+8):26) |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

Opgave 5

In deze opgave werken we met het affiene systeem met sleutel (a,b)=(5,6).
a) Vercijfer het bericht "vanavond om tien uur gaat het gebeuren " met deze sleutel.
b) Ontcijfer het bericht "UEBGJ ANBU ZTATV NGGKA ATKAA JEGTG NUADG ETIMW " dat met deze sleutel vercijferd is.
Opgave 6

Wat gebeurt er als je de sleutel met (a,b)=(0,3) kiest?
Opgave 7

Welke waarden moet je voor a en b kiezen als je de encryptiefunctie hetzelfde wilt laten zijn als de encryptiefunctie die hoort bij een schuifcryptosysteem?
Opgave 8

a) Vercijfer de woorden "input" en "vacht" met het affiene systeem met de sleutel (4,3).
b) Vercijfer het alfabet met het affiene systeem met sleutel (4,3).
c) Wat gaat er mis?
d) Leg uit waarom het verkeerd gaat.