## 2.1 Het affiene systeem

Het vercijferen van boodschappen komt tegenwoordig vaak neer op het uitvoeren van berekeningen met de letters van de boodschap. Je zet bijvoorbeeld de letters eerst om in rangnummers en met die rangnummers ga je rekenen. De a krijgt rangnummer 0, de b rangnummer 1 en zo ga je door tot de z met rangnummer 25.
Als je berekeningen uitvoert met rangnummers, krijg je al gauw getallen die niet meer in het gebied [0 .. 25] zitten. Om deze getallen toch terug te vertalen naar symbolen uit het alfabet, schrijven we in gedachten het alfabet oneindig vaak achter elkaar:

... | w | x | y | z | a | b | c | d | ... | x | y | z | a | b | c | ... | y | z | a | b | c | ...
... | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |  | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | ...

Maar dat is gemakkelijker te representeren met een cirkel, net als bij een klok. We winden al die kopieën van het alfabet rond de cirkel. Om nu bij een getal het betreffende symbool terug te vinden is het aantal keer dat je rond de cirkel bent gelopen niet van belang; alleen het reststukje bepaalt waar je uitkomt op de cirkel. Je berekent dus eigenlijk de rest bij deling door het aantal letters in je alfabet. Bij een gewone klok werkt dit net zo: na elke 12 uur begin je weer op 0. Als je 100 uur verder telt op een klok, is de afstand die je eigenlijk opschuift gelijk aan de rest die je overhoudt als je 100 deelt door 12. Je telt dus 4 uur verder, want 100:12 = 8 rest 4. Op dezelfde manier vind je dat op de letterstrook hierboven bij het getal 85 de letter h hoort: 85:26 = 3 rest 7, dus bij het getal 85 staat dezelfde letter als bij het getal 7 en dat is de h.

Opgave 1

a) Welke letter hoort bij het getal 133?
b) Hoe zie je direct dat bij de getallen 1000 en 1026 dezelfde letters horen?
c) Welke letter hoort er bij het getal 2662?
d) Welke letter hoort er bij het getal -22?