## 3.1 De beweging van planeten

Samenvatting
Voor de omlooptijd T van satellieten die in een cirkelbaan met een straal r rond een object met een grote massa bewegen geldt de derde wet van Kepler:
r3/T2 = K
De baansnelheid v bij een eenparige cirkelbeweging met baanstraal r en omlooptijd T wordt gegeven door:
v = 2.π.r/T
Een eenparige cirkelbeweging vindt plaats onder invloed van een middelpuntzoekende kracht F . Deze kracht is gericht naar het middelpunt van de cirkelbaan, en staat dus loodrecht op de baansnelheid. De grootte van de middelpuntzoekende kracht hangt af van de massa m, de baansnelheid v en de baanstraal r: Fmpz= m.v2/r
De middelpuntzoekende kracht is de resultante van de krachten op het in een cirkelbaan bewegende voorwerp.

Volgens welke wetten bewegen de planeten?

Newtons belangrijkste werk is de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, meestal kortweg de Principia genoemd. Dit boek heeft een grote invloed gehad op de ontwikkeling van de natuurkunde en de sterrenkunde.
De gravitatiewet wordt in het laatste deel van het boek behandeld. Daar paste Newton zijn theorieën en wetten die gelden voor aardse voorwerpen ook toe op de beweging van de maan, planeten en sterren.

Hier zie je een bladzijde uit dit beroemde boek. Je ziet onder andere een tabel met waarnemingen die door Cassini en Borelli gedaan zijn. 'Distantiae Satellitum a centro Jovis' betekent: afstanden van de satellieten (manen) ten opzichte van Jupiter. Klik hier voor de vertaling....

In deze hypothese uit de Principia noemt Newton een evenredigheid die ontdekt is door Kepler en die daarom tegenwoordig de derde wet van Kepler wordt genoemd die voor alle planeten en manen in ons zonnestelsel geldt.

De derde wet van Kepler

Je oefent nu eerst met de derde wet van Kepler.

Webopgave 85 - Oefenen met deze formule....r3/T2= K(1)

Gebruik gegevens uit BINAS of van internet...

- Bereken de grootte van de constante K voor de beweging van Jupiter om de zon.
- Bereken ook de waarde van K voor de beweging van de aarde om de zon.
- En, wat valt je op?

klik hier

Webopgave 86 - Oefenen met deze formule....r3/T2 = K(2)

- Bereken de grootte van de constante K voor de beweging van de maan Callisto om Jupiter.
- Bereken ook de waarde van K voor de beweging van de maan Europa om Jupiter.
- En, wat valt je op bij de gevonden waarden van K?
- En wat zie je, als je de deze waarde van K vergelijkt met die van de bewegingen van Jupiter en de aarde om de zon?

klik hier

Voor de volledigheid volgen hier alledrie de wetten van Kepler (klik op de gekleurde tekst voor een toelichting):

1. De eerste wet: planeten bewegen in ellipsvormige banen om de zon.

De eerste wet van Kepler.docx

2. De tweede wet: planeten bewegen sneller, als ze zich dichter bij de zon bevinden.

De tweede wet van Kepler.docx

Als een planeet in een bepaalde tijd van A naar B gaat, bestrijkt zijn baanstraal een bepaalde oppervlakte
(met blauw aangegeven). Gaat de planeet van C naar D (met grotere snelheid, maar in een even lange tijd),
dan is de bestreken oppervlakte even groot.

3. De derde wet: de derde macht van de baanstraal van een planeet is evenredig met het kwadraat van de omlooptijd om de zon.

De derde wet van Kepler.docx

Webopgave 87 - Wat denk je?

Waar moet de snelheid van een planeet 't grootst zijn om aan de perkenwet te voldoen?
klik hier
Eenparige cirkelbeweging ........

Bij een eenparige cirkelbeweging is de grootte van de baansnelheid v constant, maar de richting natuurlijk niet. Die verandert steeds tijdens een rondje.De richting van de baansnelheid v wordt gegeven door de raaklijn aan de cirkel.

Webopgave 88 -Invullen.....

Gebruik deze animatie om onderstaande vragen te beantwoorden. Je kunt de verschillende grootheden zichtbaar maken door de juiste hokjes aan te vinken.

Webopgave 89

Je kunt met deze animatie ook de derde wet van Kepler controleren door de getallen uit het scherm in te vullen. Hoe groot is hier de K?

Webopgave 90 - Even oefenen......

Gebruik BINAS of internet net om uit te rekenen met welke snelheid de aarde om de zon draait.
klik hier
...... en de middelpuntzoekende kracht

Als je een plankje aan een touwtje rondslingert werkt er ook een middelpuntzoekende kracht. Je kunt er een blik op zetten en dat valt niet van de plank ook niet als het boven in de cirkelbaan is. Bekijk het filmpje:

Bron: http://www.youtube.com/watch?v=56QCI4Ig4EY

Webopgave 91 - Even oefenen......

niet aanwezig

Als een auto door een bocht wordt gestuurd, voelen de inzittenden een kracht. De auto en de inzittenden willen eigenlijk rechtdoor (eerste wet van Newton), maar de wrijvingskrachten uitgeoefend door het wegdek op de banden zorgen ervoor dat de auto in het spoor blijft. Als je goed in de gordel zit, dan duwt de auto je mee door de bocht. In het geval dat de bocht (een deel van) een cirkel is en de snelheid constant is, dan voelen de inzittenden een constante kracht uitgeoefend door de auto. Die constante kracht is gericht naar het middelpunt van de cirkel. Dit is de middelpuntzoekende kracht die nodig is om een eenparige cirkelbeweging uit te voeren.

Webopgave 92

Wat zou er met een auto gebeuren als er géén middelpuntzoekende kracht zou werken?

Webopgave 93 - Oefenen met deze formule...

Bekijk het videofragment. Stel dat een wagentje met personen een massa van 400 kg heeft en de achtbaan heeft een hoogste punt van 15 m boven de grond. Meet de omlooptijd van de eerste looping met een stopwatch en bereken met deze gegevens de kracht die nodig is om zo'n achtbaanwagentje rond te laten gaan.