# 13.3 Afleiding van een verband

Voeg aan de tabel twee kolommen met x en y toe en vul deze gevonden waarden in:

Er moet uiteindelijk ook een getal x en een getal y te vinden zijn zodat x*1234+y*437217=1 en daar zijn we juist naar op zoek, maar dat is lastiger te vinden. Er blijkt echter een verband te bestaan tussen de waarden van x en y in een rij en de waarden in de rij erboven.

Ga na:
In de tabel hierboven geldt: veld E7= veld F8 en F7=E8-F8*C7.
In de volgende afleiding wordt aangetoond waarom dit zo moet zijn.

Afleiding van een verband

Noem de variabelen op de achtste rij in de tabel A8, M8, Q8, R8, X8 en Y8.
Noem de variabelen op de zevende rij in de tabel A7, M7, Q7, R7, X7 en Y7.

Volgens de stelling van Bachet-Bézout geldt X8*A8+Y8*M8=1 ---------------(1)
Met M8 de modus en R8=1 (de laatste Rest) geldt A8-Q8*M8=1,
dus X8=1 en Y8=-Q8.
Ga dit na.

Nu geldt A7-Q7*M7=R7 en R7=M8, dus M8=A7-Q7*M7 -------------------------(2)
Substitueer M8 van vergelijking (2)
in vergelijking (1): X8*A8+Y8*(A7-Q7*M7)=1 -------------------------------(3)
substitueer A8=M7 in (3): X8*M7+Y8*A7-Y8*Q7*M7=1
en herleid tot: Y8*A7+(X8-Y8*Q7)*M7=1 ----------------------------------(4)
Tot slot moet ook Bachet-Bézout gelden: X7*A7+Y7*M7=1 --------------------(5)

Uit vergelijking van (4) en (5) volgt Y8*A7=X7*A7, dus Y8=X7
en (X8-Y8*Q7)*M7=Y7*M7, dus X8-Y8*Q7=Y7

Dit is precies wat we aan wilden tonen: het verband tussen de X en Y op een rij en de X en Y op de rij erboven.

Het gevonden verband tussen rij 8 en rij 7 geldt ook tusssen rij 7 en rij 6 en zo verder naar boven. Dat biedt de mogelijkheid om deze formules te slepen over de rest van de cellen van de X- en Y-kolom.
Dit levert het volgende resultaat:

Reflectie

Controleer de gevonden formules in de kolom van x en y

Noteer de regels als
xrij = yvolgende_rij
yrij = xvolgende_rij – yvolgende_rij . qrij

klik hier